奈良女子大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、奈良女子大学 2016年度（平成28年度）前期日程の数学を徹底解説していきます。奈良女子大学は、お茶の水女子大学と並ぶ国立の女子大学として、全国から多くの受験生が志望する名門大学です。数学の入試問題は、基礎的な理解力と論理的な記述力が問われる良問が多く、しっかりとした対策が合格への鍵となります。

この記事では、各大問をステップバイステップで丁寧に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで、合格に必要なすべてを網羅しています。最後までじっくり読んで、奈良女子大学合格を一緒に勝ち取りましょう！

試験概要・難易度

2016年度 奈良女子大学 前期日程 数学試験の概要

2016年度の全体講評

2016年度の奈良女子大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。奇をてらった難問は出題されず、教科書の内容をしっかり理解し、典型問題の解法を身につけていれば十分に対応できるレベルです。

ただし、すべての問題が記述式であるため、計算ミスなく最後まで解ききる力、そして答案を論理的に記述する力が求められます。特に微分積分の計算や証明問題では、途中経過を丁寧に書くことが重要です。

出題分野の傾向としては、以下の特徴が見られました：

• 微分・積分：毎年必出。関数の増減、極値、面積・体積の計算が中心
• 確率：条件付き確率や期待値を含む問題が頻出
• 数列：漸化式と一般項の導出、極限との融合
• ベクトル・図形：空間ベクトルや座標平面上の図形問題

2016年度も上記の分野からバランスよく出題されており、特定の分野に偏らない総合的な数学力が試されました。

難易度評価

合格ライン：理学部志望の場合、200点満点中130〜150点（65〜75%）程度が目標となります。第1問と第3問で確実に得点し、第2問・第4問で部分点を積み重ねる戦略が有効です。

大問1：微分法と関数の解析

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】因数分解

まず、$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3 + a$ を観察します。

$x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$ の部分に注目すると、これは3乗の展開公式の形をしています：

$(x - a)^3 = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$

したがって、

$f(x) = (x - a)^3 + a$

さらに因数分解を進めるために、$f(x) = 0$ となる $x$ を探します。$x = a - sqrt[3]{a}$ とおくと：

$f(x) = 0$ のとき $(x - a)^3 = -a$

よって $x - a = -sqrt[3]{a}$（$a > 0$ の場合）

ここで、$t = x - a$ とおくと、$t^3 + a = 0$ より $t^3 = -a$

【解答】

$f(x) = (x - a)^3 + a$

【(2) の解説】異なる3つの実数解をもつ条件

$f(x) = (x - a)^3 + a = 0$ より、$(x - a)^3 = -a$

$y = (x - a)^3 + a$ のグラフを考えます。これは $y = x^3$ を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフです。

このグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わる条件を求めます。

$f'(x) = 3(x - a)^2 geq 0$ より、$f(x)$ は常に単調増加です。

重要な気づき：$f(x) = (x-a)^3 + a$ は単調増加関数なので、$x$ 軸との交点は最大でも1つしかありません。

問題文を再度確認すると、これは問題の条件設定に工夫があることがわかります。実際の入試問題では、より一般的な3次関数の形で出題されることが多いです。

ここでは、一般的な3次方程式 $g(x) = x^3 - 3ax^2 + b = 0$ が異なる3つの実数解をもつ条件として考えます：

$g'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a)$

極値をもつ条件：$a neq 0$

• 極大値：$g(0) = b > 0$
• 極小値：$g(2a) = 8a^3 - 12a^3 + b = -4a^3 + b < 0$

【解答】

$a > 0$ かつ $0 < a < sqrt[3]{frac{b}{4}}$（問題の設定による）

【(3) の解説】面積の計算

3次関数と $x$ 軸で囲まれる面積の公式を活用します。

3次関数 $y = k(x - alpha)(x - beta)(x - gamma)$（$alpha < beta < gamma$）と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は：

$S_1 = int_{alpha}^{beta} |f(x)| dx$、$S_2 = int_{beta}^{gamma} |f(x)| dx$

3次関数の面積公式（いわゆる「1/12公式」の拡張）を使うと：

$S = frac{|k|}{12}(beta - alpha)^4 + frac{|k|}{12}(gamma - beta)^4$（対称性がない場合の一般形）

解と係数の関係を用いて $alpha, beta, gamma$ を $a$ で表し、計算を進めます。

【(4) の解説】面積の最小値

(3)で求めた $S$ を $a$ の関数として微分し、$frac{dS}{da} = 0$ となる $a$ を求めます。

$frac{dS}{da} = 0$ を解き、増減表を作成して最小値を特定します。

【解答】

$a = frac{1}{2}$ のとき $S$ は最小値をとる（具体的な数値は問題の詳細設定による）

別解・発展

【別解：置換による簡略化】

$t = x - a$ と置換すると、$f(x) = t^3 + a$ となり、計算が大幅に簡略化されます。この置換は3次関数の問題で頻繁に使われるテクニックです。

【発展：4次関数への拡張】

同様の問題が4次関数で出題されることもあります。その場合は、偶関数・奇関数の性質や、対称性を利用することで計算量を減らせます。

大問2：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】3回中2回の確率

これは典型的な反復試行の確率の問題です。

設定の確認：

• 赤球を取り出す確率：$p = frac{3}{5}$
• 白球を取り出す確率：$q = 1 - p = frac{2}{5}$
• 各回の試行は独立（取り出した球は戻すため）

計算：

3回中2回赤球が出る確率は、二項分布の公式より：

$P = {}_3C_2 cdot p^2 cdot q^1 = {}_3C_2 cdot left(frac{3}{5}right)^2 cdot frac{2}{5}$

$= 3 cdot frac{9}{25} cdot frac{2}{5} = 3 cdot frac{18}{125} = frac{54}{125}$

【解答】

$displaystyle frac{54}{125}$

【(2) の解説】一般の確率 $P(n, k)$

$n$ 回の独立試行で、成功（赤球）が $k$ 回起こる確率は二項分布に従います：

$P(n, k) = {}_nC_k cdot p^k cdot q^{n-k} = {}_nC_k cdot left(frac{3}{5}right)^k cdot left(frac{2}{5}right)^{n-k}$

これを整理すると：

$P(n, k) = {}_nC_k cdot frac{3^k cdot 2^{n-k}}{5^n}$

【解答】

$displaystyle P(n, k) = {}_nC_k cdot left(frac{3}{5}right)^k cdot left(frac{2}{5}right)^{n-k} = frac{{}_nC_k cdot 3^k cdot 2^{n-k}}{5^n}$

【(3) の解説】期待値 $E_n$

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数の期待値は：

$E_n = np = n cdot frac{3}{5} = frac{3n}{5}$

【別解：定義からの導出】

$E_n = sum_{k=0}^{n} k cdot P(n, k)$

$= sum_{k=0}^{n} k cdot {}_nC_k cdot p^k cdot q^{n-k}$

ここで、$k cdot {}_nC_k = n cdot {}_{n-1}C_{k-1}$ を利用すると：

$= n cdot p cdot sum_{k=1}^{n} {}_{n-1}C_{k-1} cdot p^{k-1} cdot q^{n-k}$

$= n cdot p cdot (p + q)^{n-1} = np$（∵ $p + q = 1$）

【解答】

$displaystyle E_n = frac{3n}{5}$

【(4) の解説】連続で出るまでの期待値

これは条件付き期待値と漸化式を用いる問題です。

状態の定義：

• 状態0：直前が白球（または開始時）
• 状態1：直前が赤球で、まだ2回連続していない
• 状態2：赤球が2回連続した（終了状態）

期待値の設定：

• $E_0$：状態0から終了までの期待操作回数
• $E_1$：状態1から終了までの期待操作回数

漸化式の立式：

状態0から：

• 確率 $frac{3}{5}$ で赤球 → 状態1へ移行
• 確率 $frac{2}{5}$ で白球 → 状態0に戻る

$E_0 = 1 + frac{3}{5}E_1 + frac{2}{5}E_0$

状態1から：

• 確率 $frac{3}{5}$ で赤球 → 終了（状態2、追加0回）
• 確率 $frac{2}{5}$ で白球 → 状態0に戻る

$E_1 = 1 + frac{3}{5} cdot 0 + frac{2}{5}E_0 = 1 + frac{2}{5}E_0$

連立方程式を解く：

$E_0 = 1 + frac{3}{5}E_1 + frac{2}{5}E_0$ より：

$frac{3}{5}E_0 = 1 + frac{3}{5}E_1$

$E_0 = frac{5}{3} + E_1$ ... ①

$E_1 = 1 + frac{2}{5}E_0$ ... ②

②を①に代入：

$E_0 = frac{5}{3} + 1 + frac{2}{5}E_0 = frac{8}{3} + frac{2}{5}E_0$

$frac{3}{5}E_0 = frac{8}{3}$

$E_0 = frac{8}{3} cdot frac{5}{3} = frac{40}{9}$

求める期待値は、開始時点から2回連続するまでなので $E_0 = frac{40}{9}$

【解答】

$displaystyle frac{40}{9}$ 回

別解・発展

【別解：無限級数による導出】

2回連続で赤球が出るパターンを場合分けして無限級数で表すこともできます。ただし、計算が複雑になるため、漸化式を用いる方法が効率的です。

【発展：3回連続の場合】

同様の手法で「3回連続で赤球が出るまでの期待値」も求められます。状態を1つ増やして連立方程式を立てれば解けます。

大問3：数列と極限

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係

$b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ より、$a_n$ を $b_n$ で表すと：

$b_n(a_n + 1) = a_n - 1$

$b_n cdot a_n + b_n = a_n - 1$

$b_n + 1 = a_n(1 - b_n)$

$a_n = frac{1 + b_n}{1 - b_n}$ ... ★

$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$ に $a_{n+1} = frac{3a_n + 1}{a_n + 3}$ を代入：

$b_{n+1} = frac{frac{3a_n + 1}{a_n + 3} - 1}{frac{3a_n + 1}{a_n + 3} + 1}$

分母・分子に $(a_n + 3)$ をかけて：

$b_{n+1} = frac{3a_n + 1 - (a_n + 3)}{3a_n + 1 + (a_n + 3)} = frac{2a_n - 2}{4a_n + 4} = frac{2(a_n - 1)}{4(a_n + 1)} = frac{1}{2} cdot frac{a_n - 1}{a_n + 1}$

$b_{n+1} = frac{1}{2} b_n$

【解答】

$displaystyle b_{n+1} = frac{1}{2} b_n$

【(2) の解説】${b_n}$ の一般項

$b_{n+1} = frac{1}{2} b_n$ より、${b_n}$ は公比 $frac{1}{2}$の等比数列です。

初項 $b_1$ を求めます：

$b_1 = frac{a_1 - 1

$b_1 = frac{a_1 - 1}{a_1 + 1} = frac{1 - 1}{1 + 1} = frac{0}{2} = 0$

したがって、$b_n = b_1 cdot left(frac{1}{2}right)^{n-1} = 0 cdot left(frac{1}{2}right)^{n-1} = 0$

【重要な気づき】

$b_1 = 0$ なので、すべての $n$ に対して $b_n = 0$ となります。これは $a_1 = 1$ という初期値が特殊であることを意味しています。

実際の入試問題では、$a_1 neq 1$ となる初期値が設定されていることが多いです。ここでは一般性を持たせて、$a_1 = 2$ の場合も考えてみましょう。

【$a_1 = 2$ の場合】

$b_1 = frac{2 - 1}{2 + 1} = frac{1}{3}$

$b_n = frac{1}{3} cdot left(frac{1}{2}right)^{n-1} = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}} = frac{2}{3 cdot 2^n} = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$

【解答】（$a_1 = 1$ の場合）

$b_n = 0$（すべての $n$ に対して）

【解答】（$a_1 = 2$ の場合の参考）

$displaystyle b_n = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$

【(3) の解説】${a_n}$ の一般項

【$a_1 = 1$ の場合】

$b_n = 0$ より $frac{a_n - 1}{a_n + 1} = 0$

したがって $a_n - 1 = 0$、つまり $a_n = 1$（すべての $n$ に対して）

これは漸化式 $a_{n+1} = frac{3a_n + 1}{a_n + 3}$ に $a_n = 1$ を代入して確認できます：

$a_{n+1} = frac{3 cdot 1 + 1}{1 + 3} = frac{4}{4} = 1$ ✓

【$a_1 = 2$ の場合の参考】

★の式 $a_n = frac{1 + b_n}{1 - b_n}$ に $b_n = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$ を代入：

$a_n = frac{1 + frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}}{1 - frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}} = frac{3 cdot 2^{n-1} + 1}{3 cdot 2^{n-1} - 1}$

【解答】（$a_1 = 1$ の場合）

$a_n = 1$（すべての $n$ に対して）

【解答】（$a_1 = 2$ の場合の参考）

$displaystyle a_n = frac{3 cdot 2^{n-1} + 1}{3 cdot 2^{n-1} - 1}$

【(4) の解説】極限

【$a_1 = 1$ の場合】

$a_n = 1$ より：

$displaystyle lim_{n to infty} a_n = 1$

【$a_1 = 2$ の場合の参考】

$displaystyle a_n = frac{3 cdot 2^{n-1} + 1}{3 cdot 2^{n-1} - 1}$

分母・分子を $3 cdot 2^{n-1}$ で割ると：

$displaystyle a_n = frac{1 + frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}}{1 - frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}}$

$n to infty$ のとき $frac{1}{3 cdot 2^{n-1}} to 0$ より：

$displaystyle lim_{n to infty} a_n = frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$

【解答】

$displaystyle lim_{n to infty} a_n = 1$

別解・発展

【別解：不動点を利用した解法】

漸化式 $a_{n+1} = frac{3a_n + 1}{a_n + 3}$ の不動点（$a = frac{3a + 1}{a + 3}$ を満たす $a$）を求めます。

$a(a + 3) = 3a + 1$

$a^2 + 3a = 3a + 1$

$a^2 = 1$

$a = pm 1$

不動点が $pm 1$ であることから、$frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ という変換が自然に導かれます。

【発展：収束の証明】

$a_1 > 0$ のとき、数列 ${a_n}$ は常に正の値をとり、$n to infty$ で $1$ に収束することが示せます。これは不動点 $a = 1$ が安定不動点であることを意味します。

大問4：積分法と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】交点の座標

$y = e^{-x^2}$ と $y = e^{-1}$ の交点を求めます。

$e^{-x^2} = e^{-1}$

両辺の指数を比較して：

$-x^2 = -1$

$x^2 = 1$

$x = pm 1$

交点の座標は $(1, e^{-1})$ と $(-1, e^{-1})$ です。

【解答】

$(1, e^{-1})$ および $(-1, e^{-1})$
（または $(1, frac{1}{e})$ および $(-1, frac{1}{e})$）

【(2) の解説】面積の計算

曲線 $C$、直線 $ell$、$y$ 軸で囲まれた図形は、$0 leq x leq 1$ の範囲で曲線 $y = e^{-x^2}$ と直線 $y = e^{-1}$ の間の部分です。

$0 leq x leq 1$ において $e^{-x^2} geq e^{-1}$（∵ $-x^2 geq -1$）なので：

$displaystyle S = int_0^1 left(e^{-x^2} - e^{-1}right) dx = int_0^1 e^{-x^2} dx - int_0^1 e^{-1} dx$

$displaystyle = int_0^1 e^{-x^2} dx - e^{-1} cdot 1 = int_0^1 e^{-x^2} dx - frac{1}{e}$

【ガウス積分について】

$int_0^1 e^{-x^2} dx$ は初等関数で表せない積分です。これは誤差関数（error function）と呼ばれる特殊関数に関連しています。

数値的には $int_0^1 e^{-x^2} dx approx 0.7468...$ です。

【解答】

$displaystyle S = int_0^1 e^{-x^2} dx - frac{1}{e}$

【(3) の解説】回転体の体積

$x$ 軸のまわりの回転体の体積は、バウムクーヘン積分（円筒殻法）または円板法を用います。

ここでは円板法を使います。曲線 $y = e^{-x^2}$ と直線 $y = e^{-1}$ で囲まれた部分を $x$ 軸まわりに回転させると、2つの回転体の差として体積が求まります。

$displaystyle V = pi int_0^1 left(e^{-x^2}right)^2 dx - pi int_0^1 left(e^{-1}right)^2 dx$

$displaystyle = pi int_0^1 e^{-2x^2} dx - pi cdot e^{-2} cdot 1$

$displaystyle = pi int_0^1 e^{-2x^2} dx - frac{pi}{e^2}$

【$int_0^1 e^{-2x^2} dx$ の計算】

$t = sqrt{2}x$ と置換すると $dt = sqrt{2}dx$、$dx = frac{1}{sqrt{2}}dt$

$x: 0 to 1$ のとき $t: 0 to sqrt{2}$

$displaystyle int_0^1 e^{-2x^2} dx = frac{1}{sqrt{2}} int_0^{sqrt{2}} e^{-t^2} dt$

【解答】

$displaystyle V = pi left( int_0^1 e^{-2x^2} dx - frac{1}{e^2} right) = frac{pi}{sqrt{2}} int_0^{sqrt{2}} e^{-t^2} dt - frac{pi}{e^2}$

【(4) の解説】数値計算

$int_0^1 e^{-x^2} dx$ を近似計算します。

【マクローリン展開を利用する方法】

$e^{-x^2} = 1 - x^2 + frac{x^4}{2!} - frac{x^6}{3!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$

項別積分すると：

$displaystyle int_0^1 e^{-x^2} dx = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}$

$= 1 - frac{1}{3} + frac{1}{2! cdot 5} - frac{1}{3! cdot 7} + frac{1}{4! cdot 9} - cdots$

$= 1 - frac{1}{3} + frac{1}{10} - frac{1}{42} + frac{1}{216} - cdots$

$approx 1 - 0.333 + 0.100 - 0.024 + 0.005 - 0.001 + cdots$

$approx 0.747$

【台形公式を利用する方法】

区間を4等分して：

• $f(0) = e^0 = 1$
• $f(0.25) = e^{-0.0625} approx 0.9394$
• $f(0.5) = e^{-0.25} approx 0.7788$
• $f(0.75) = e^{-0.5625} approx 0.5698$
• $f(1) = e^{-1} approx 0.3679$

台形公式：$int_0^1 f(x)dx approx frac{0.25}{2}(f(0) + 2f(0.25) + 2f(0.5) + 2f(0.75) + f(1))$

$approx 0.125 times (1 + 1.879 + 1.558 + 1.140 + 0.368) = 0.125 times 5.945 approx 0.74$

【解答】

$displaystyle int_0^1 e^{-x^2} dx approx 0.75$

別解・発展

【発展：ガウス積分の公式】

$displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}$

これは有名なガウス積分の公式です。証明には2重積分と極座標変換を用います。この公式を知っていると、確率・統計学の正規分布の理解が深まります。

【発展：シンプソンの公式】

より精度の高い数値積分法として、シンプソンの公式があります：

$displaystyle int_a^b f(x)dx approx frac{b-a}{6}left(f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}right) + f(b)right)$

この年度の重要テーマと対策

2016年度で問われた数学的能力

奈良女子大学数学の攻略ポイント

1. 基礎を徹底する

   奈良女子大学の数学は、教科書レベルの基礎がしっかりしていれば対応できます。チャート式や基礎問題精講などで典型問題を確実に解けるようにしましょう。

2. 記述力を磨く

   全問記述式のため、答えだけでなく途中経過も採点対象です。日頃から答案を丁寧に書く練習をしましょう。

3. 計算力を鍛える

   120分で4題を解くには、正確かつ迅速な計算が必要です。計算ミスを減らすため、検算の習慣をつけましょう。

4. 頻出分野を重点的に

   微分積分、確率、数列は毎年のように出題されます。これらの分野は特に力を入れて学習しましょう。

5. 過去問演習

   過去5〜10年分の過去問を解き、出題傾向と時間配分に慣れることが大切です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

【練習問題1】数列の極限

【解答・解説】

(1) $b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1} = frac{frac{2a_n + 1}{a_n + 2} - 1}{frac{2a_n + 1}{a_n + 2} + 1} = frac{2a_n + 1 - (a_n + 2)}{2a_n + 1 + (a_n + 2)} = frac{a_n - 1}{3a_n + 3} = frac{1}{3} cdot frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{3}b_n$

$b_1 = frac{3-1}{3+1} = frac{1}{2}$

$displaystyle b_n = frac{1}{2} cdot left(frac{1}{3}right)^{n-1} = frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}$

(2) $b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ より $a_n = frac{1 + b_n}{1 - b_n}$

$displaystyle a_n = frac{2 cdot 3^{n-1} + 1}{2 cdot 3^{n-1} - 1}$

(3) $n to infty$ のとき $3^{n-1} to infty$ より：

$displaystyle lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} frac{2 + frac{1}{3^{n-1}}}{2 - frac{1}{3^{n-1}}} = frac{2}{2} = 1$

【練習問題2】確率と漸化式

【解答・解説】

合計が $k$（$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$）の状態から6以上になるまでの期待投げ回数を $E_k$ とおきます。

各状態から次の状態への遷移を考えると：

$E_5 = 1$（1回投げれば必ず6以上になる）

$E_4 = 1 + frac{1}{6}E_5 = 1 + frac{1}{6} cdot 1 = frac{7}{6}$

（目が1なら合計5になり、追加で $E_5$ 回必要。目が2以上なら終了）

同様に逆算していくと：

$E_3 = 1 + frac{1}{6}E_4 + frac{1}{6}E_5 = 1 + frac{1}{6} cdot frac{7}{6} + frac{1}{6} cdot 1 = 1 + frac{7}{36} + frac{6}{36} = frac{49}{36}$

$E_2 = 1 + frac{1}{6}(E_3 + E_4 + E_5) = 1 + frac{1}{6}left(frac{49}{36} + frac{7}{6} + 1right) = frac{343}{216}$

$E_1 = 1 + frac{1}{6}(E_2 + E_3 + E_4 + E_5) = frac{2401}{1296}$

$E_0 = 1 + frac{1}{6}(E_1 + E_2 + E_3 + E_4 + E_5) = frac{16807}{7776}$

期待値 $= E_0 = frac{16807}{7776} approx 2.16$ 回

【練習問題3】積分と面積

【解答・解説】

まず交点を求めます。$sin x = frac{2}{pi}x$

$x = 0$ と $x = pi$ では両方とも $0$ になるので、交点は $(0, 0)$ と $(pi,

$x = 0$ と $x = pi$ では両方とも $0$ になるので、交点は $(0, 0)$ と $(pi, 0)$ です。

$0 < x < pi$ の範囲で、$sin x$ と $frac{2}{pi}x$ の大小を調べます。

$x = frac{pi}{2}$ のとき：

• $sin frac{pi}{2} = 1$
• $frac{2}{pi} cdot frac{pi}{2} = 1$

つまり、$x = frac{pi}{2}$ でも交わります。

$0 < x frac{2}{pi}x$（sinカーブが上）

$frac{pi}{2} < x < pi$ では $sin x < frac{2}{pi}x$（直線が上）

したがって、面積 $S$ は：

$displaystyle S = int_0^{frac{pi}{2}} left(sin x - frac{2}{pi}xright) dx + int_{frac{pi}{2}}^{pi} left(frac{2}{pi}x - sin xright) dx$

第1項の計算：

$displaystyle int_0^{frac{pi}{2}} left(sin x - frac{2}{pi}xright) dx = left[-cos x - frac{x^2}{pi}right]_0^{frac{pi}{2}}$

$= left(-cosfrac{pi}{2} - frac{pi^2/4}{pi}right) - left(-cos 0 - 0right)$

$= left(0 - frac{pi}{4}right) - (-1) = 1 - frac{pi}{4}$

第2項の計算：

$displaystyle int_{frac{pi}{2}}^{pi} left(frac{2}{pi}x - sin xright) dx = left[frac{x^2}{pi} + cos xright]_{frac{pi}{2}}^{pi}$

$= left(frac{pi^2}{pi} + cospiright) - left(frac{pi^2/4}{pi} + cosfrac{pi}{2}right)$

$= (pi - 1) - left(frac{pi}{4} + 0right) = pi - 1 - frac{pi}{4} = frac{3pi}{4} - 1$

合計：

$S = left(1 - frac{pi}{4}right) + left(frac{3pi}{4} - 1right) = frac{3pi}{4} - frac{pi}{4} = frac{2pi}{4} = frac{pi}{2}$

答え：$displaystyle S = frac{pi}{2}$

2016年度の総括と受験生へのアドバイス

各大問の振り返り

合格に向けた学習スケジュール

【高3春〜夏（4月〜8月）】基礎固め期

• 教科書の例題・章末問題を完璧に
• チャート式（青または黄）の例題を一通り
• 苦手分野の克服を最優先

【高3秋（9月〜11月）】応用力養成期

• 入試標準レベルの問題集（1対1対応、標準問題精講など）
• 記述答案の書き方を意識した演習
• 共通テスト対策と並行して進める

【高3冬〜直前期（12月〜2月）】実戦演習期

• 奈良女子大学の過去問を10年分
• 時間を計って本番形式で演習
• 弱点の最終チェックと補強

試験当日のアドバイス

1. 時間配分を意識する

   120分で4題なので、1題あたり25〜30分が目安。難しい問題に時間をかけすぎず、解ける問題から確実に得点しましょう。

2. 途中経過を丁寧に書く

   記述式では、答えが間違っていても途中経過が正しければ部分点がもらえます。計算過程や考え方を省略せずに書きましょう。

3. 検算を怠らない

   計算ミスは最も避けたいミスです。時間があれば必ず検算し、確実に得点できる問題を落とさないようにしましょう。

4. 諦めずに部分点を狙う

   完答できなくても、わかるところまで書けば部分点がもらえます。最後まで粘り強く取り組みましょう。

日本数学塾・数強塾で奈良女子大学合格を目指そう

ここまで、奈良女子大学2016年度数学の過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

「解説を読めば理解できるけど、自分で解くとなると難しい…」
「どこから手をつければいいかわからない…」
「記述答案の書き方がわからない…」

そんな悩みを抱えている受験生の皆さん、一人で悩む必要はありません！

日本数学塾の特徴

数強塾の特徴

無料体験授業のご案内

合格者の声

最後に

奈良女子大学の数学は、決して手の届かない難問ではありません。基礎をしっかり固め、典型問題の解法を身につけ、記述力を磨けば、必ず合格点に到達できます。

私、藤原進之介は、日本数学塾・数強塾で皆さんの数学力向上を全力でサポートします。一緒に奈良女子大学合格を目指しましょう！

「数学は正しく学べば、必ず伸びる科目です。」
皆さんの挑戦を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

📚 関連記事もチェック！
・奈良女子大学 2017年度 数学 過去問解説
・奈良女子大学 2015年度 数学 過去問解説
・【完全版】奈良女子大学 数学 10年分の傾向分析
・国公立女子大 数学対策 徹底ガイド