名古屋市立大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

【(4)の解説：極限値を求める】

$p_n = frac{1}{2}left(1 + frac{1}{5^n}right)$ において、$n to infty$ のとき $frac{1}{5^n} to 0$ なので：

$lim_{n to infty} p_n = frac{1}{2}(1 + 0) = frac{1}{2}$

【答え】 $lim_{n to infty} p_n = frac{1}{2}$

【直感的な解釈】

この結果は直感的にも理解できます。操作を無限に繰り返すと、赤玉の取り出し回数が偶数である確率と奇数である確率は、それぞれ $frac{1}{2}$ に収束します。これは「十分長い試行の後では、偶奇が均等に分布する」という確率論の基本的な性質を反映しています。

別解・発展

【別解：行列を用いた解法】

状態を「偶数」「奇数」の2状態で表し、推移行列を用いる方法もあります。

推移行列 $P = begin{pmatrix} frac{3}{5} & frac{2}{5} \ frac{2}{5} & frac{3}{5} end{pmatrix}$ として、

初期状態ベクトル $vec{v_0} = begin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$ に対し、

$vec{v_n} = P^n vec{v_0}$

を計算することで $p_n$ を求めることができます。この方法は、より複雑な状態遷移問題にも応用できます。

【発展：確率漸化式のポイント】

• 「n回目の状態」から「(n+1)回目の状態」への遷移を考える
• 状態を明確に定義する（本問では「赤玉の回数が偶数」と「奇数」）
• 漸化式の形 $p_{n+1} = ap_n + b$ は特性方程式で解く
• 極限値は収束先（特性方程式の解）と一致することが多い

大問4：定積分と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

【準備：接線の式を整理する】

まず、直線 $ell$ の式を整理します。

$y = e^a(x - a) + e^a = e^a x - ae^a + e^a = e^a x + e^a(1 - a)$

また、直線 $ell$ と y 軸の交点（x = 0 のとき）は：

$y = e^a(1 - a)$

【(1)の解説：面積 S(a) を求める】

曲線 C と直線 $ell$ と y 軸で囲まれる領域を考えます。

x = 0 から x = a の範囲で、曲線 C は直線 $ell$ より上にあります（接点で一致、それ以外では曲線が上）。

$S(a) = int_0^a {e^x - (e^a x + e^a(1-a))} dx$

これを計算します：

$S(a) = int_0^a e^x dx - e^a int_0^a x dx - e^a(1-a) int_0^a dx$

$= [e^x]_0^a - e^a left[frac{x^2}{2}right]_0^a - e^a(1-a)[x]_0^a$

$= (e^a - 1) - e^a cdot frac{a^2}{2} - e^a(1-a) cdot a$

$= e^a - 1 - frac{a^2 e^a}{2} - ae^a + a^2 e^a$

$= e^a - 1 - ae^a + frac{a^2 e^a}{2}$

$= e^a left(1 - a + frac{a^2}{2}right) - 1$

【答え】 $S(a) = e^a left(1 - a + frac{a^2}{2}right) - 1 = frac{e^a(a-1)^2 + e^a - 2}{2}$
または $S(a) = frac{(a-1)^2 e^a}{2} + e^a - 1$

【(2)の解説：S(a) の最小値】

$S(a) = e^a left(frac{a^2}{2} - a + 1right) - 1$ を微分します。

$f(a) = frac{a^2}{2} - a + 1$ とおくと、$f'(a) = a - 1$

積の微分法より：

$S'(a) = e^a cdot f(a) + e^a cdot f'(a) = e^a {f(a) + f'(a)}$

$= e^a left(frac{a^2}{2} - a + 1 + a - 1right) = e^a cdot frac{a^2}{2} = frac{a^2 e^a}{2}$

a > 0 のとき、$S'(a) = frac{a^2 e^a}{2} > 0$ となり、S(a) は単調増加です。

したがって、a > 0 の範囲で S(a) は最小値を持ちません。

ただし、$a to +0$ のとき S(a) → 0 に近づくので、a が 0 に近いほど面積は小さくなります。

【答え】 a > 0 の範囲では S(a) は最小値を持たない。
（a → +0 のとき S(a) → 0 であり、これが下限となる）

【注意】 問題の条件によっては、a の範囲に制約がある場合があります。例えば a ≥ 1 などの条件があれば、a = 1 で最小となります。

【(3)の解説：回転体の体積 V(a)】

x 軸のまわりに回転させた体積を求めます。曲線 y = e^x と直線 y = e^a x + e^a(1-a) で囲まれる部分の回転体です。

$V(a) = pi int_0^a {(e^x)^2 - (e^a x + e^a(1-a))^2} dx$

$= pi int_0^a e^{2x} dx - pi int_0^a (e^a x + e^a(1-a))^2 dx$

第1項の計算：

$pi int_0^a e^{2x} dx = pi left[frac{e^{2x}}{2}right]_0^a = frac{pi}{2}(e^{2a} - 1)$

第2項の計算：

$g(x) = e^a x + e^a(1-a) = e^a(x + 1 - a)$ とおくと、

$int_0^a g(x)^2 dx = e^{2a} int_0^a (x + 1 - a)^2 dx$

$t = x + 1 - a$ と置換すると、$x: 0 to a$ のとき $t: 1-a to 1$

$= e^{2a} int_{1-a}^1 t^2 dt = e^{2a} left[frac{t^3}{3}right]_{1-a}^1 = e^{2a} cdot frac{1 - (1-a)^3}{3}$

$(1-a)^3 = 1 - 3a + 3a^2 - a^3$ より、

$1 - (1-a)^3 = 3a - 3a^2 + a^3 = a(3 - 3a + a^2)$

したがって：

$pi int_0^a g(x)^2 dx = frac{pi e^{2a} a(3 - 3a + a^2)}{3}$

V(a) の計算：

$V(a) = frac{pi}{2}(e^{2a} - 1) - frac{pi e^{2a} a(3 - 3a + a^2)}{3}$

$= frac{pi}{6}{3(e^{2a} - 1) - 2e^{2a} a(3 - 3a + a^2)}$

$= frac{pi}{6}{3e^{2a} - 3 - 2e^{2a}(3a - 3a^2 + a^3)}$

$= frac{pi}{6}{e^{2a}(3 - 6a + 6a^2 - 2a^3) - 3}$

【答え】
$V(a) = frac{pi}{6}{e^{2a}(3 - 6a + 6a^2 - 2a^3) - 3}$
$= frac{pi}{6}{(3 - 6a + 6a^2 - 2a^3)e^{2a} - 3}$

別解・発展

【別解：バウムクーヘン積分（円筒殻法）】

y 軸まわりの回転体であれば、円筒殻法を用いることもできます：

$V = 2pi int_0^a x cdot (text{上の関数} - text{下の関数}) dx$

【発展：積分計算のコツ】

• 指数関数と多項式の積の積分は、部分積分を繰り返す
• $int e^{ax} dx = frac{1}{a}e^{ax}$ の公式を活用
• 回転体の体積では、$(上)^2 - (下)^2$ の形を正確に立式する
• 計算ミスを防ぐため、途中式を丁寧に書く

この年度の重要テーマと対策

2019年度入試から見える名古屋市立大学の出題傾向

2019年度の入試問題を分析すると、以下のような傾向が浮かび上がります。

1. 微分・積分は最重要分野

名古屋市立大学の数学では、微分・積分が毎年必ず出題されます。特に以下のパターンが頻出です：

• 関数の最大・最小問題：微分して増減表を作成し、端点も含めて比較
• 面積・体積の計算：曲線と直線で囲まれた領域の面積、回転体の体積
• 接線の方程式：接点を文字でおいて条件を立てる
• 定積分の計算：部分積分、置換積分の正確な実行

【対策】 青チャートやFocus Goldの微積分野を重点的に演習しましょう。特に「面積」「体積」の章は繰り返し解いて、計算力を高めることが大切です。

2. ベクトルは空間が頻出

平面ベクトルより空間ベクトルの出題が多い傾向にあります。

• 内積の計算：成分表示と角度の両方から求められるように
• 垂線の足、正射影：直交条件を用いた連立方程式
• 平面の方程式：法線ベクトルの活用
• 四面体の体積：スカラー三重積の利用

【対策】 空間座標とベクトルの関係を理解し、「垂直条件」「平面上の条件」などの典型パターンをマスターしましょう。

3. 確率漸化式は定番

確率の問題では、漸化式を立てて解くパターンが頻出です。

• 状態の定義：「○○である確率」を $p_n$ とおく
• 遷移の考察：n回目からn+1回目への変化を分析
• 漸化式の解法：特性方程式、等比数列への変形
• 極限値の計算：$n to infty$ での収束先

【対策】 確率漸化式の問題を数多く解き、「状態の設定→漸化式の立式→解法」の流れを体に染み込ませましょう。

4. 計算力と記述力の両方が問われる

名古屋市立大学の数学は全問記述式です。答えだけでなく、途中経過も採点対象となります。

• 論理的な記述：「〜なので」「よって」などの接続語を適切に使う
• 場合分けの明示：条件によって場合分けする際は、すべての場合を漏れなく記述
• 計算の正確さ：複雑な計算でもミスなく最後まで遂行する力

【対策】 普段から答案を丁寧に書く習慣をつけましょう。模試や過去問演習では、解答用紙に書くつもりで答案を作成し、添削を受けることが効果的です。

学部別の対策ポイント

医学部志望者向け

医学部は数学の配点が高く、高得点が求められます。

• 4題すべてで高い完成度を目指す
• 計算ミスは致命的なので、検算の習慣をつける
• 数学Ⅲ（特に微積分）を重点的に強化
• 時間配分は1題30分を目安に

薬学部志望者向け

薬学部も数学Ⅲが出題範囲に含まれます。

• 標準問題を確実に得点することが重要
• 微積分と数列・確率を重点的に
• 難問に時間を取られすぎないよう注意

経済学部志望者向け

経済学部は数学Ⅲが出題範囲外です。

• 数学Ⅰ・Ⅱ・A・Bの範囲を完璧に
• 微積分（数Ⅱ範囲）と確率・数列が頻出
• ベクトル、三角関数も出題される

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2019年度の出題傾向を踏まえた練習問題を3問出題します。各問題には詳しい解答・解説をつけていますので、ぜひ挑戦してみてください。

練習問題1：微分と最大・最小（大問1類題）

解答・解説

【(1)の解答】

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$

増減表を作成すると：

• $x 0$（増加）
• $1 < x < 3$ のとき $f'(x) < 0$（減少）
• $x > 3$ のとき $f'(x) > 0$（増加）

極値は：

• $x = 1$ で極大値 $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$
• $x = 3$ で極小値 $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$

【答え】 極大値 6（x = 1）、極小値 2（x = 3）

【(2)の解答】

端点の値を計算：

• $f(0) = 2$
• $f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6$

極値と端点の値を比較：

• $f(0) = 2$
• $f(1) = 6$（極大）
• $f(3) = 2$（極小）
• $f(4) = 6$

【答え】 最大値 6（x = 1, 4）、最小値 2（x = 0, 3）

【(3)の解答】

f(x) = 0 の解を求める。$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$

極小値 f(3) = 2 > 0 なので、曲線は x > 0 の範囲で x 軸と交わらない。

x 0$, $f(-1) = -1 - 6 - 9 + 2 = -14 < 0$

よって $-1 < x < 0$ に解 $alpha$ が存在する。

面積は：

$S = -int_{alpha}^{0} f(x) dx = -left[frac{x^4}{4} - 2x^3 + frac{9x^2}{2} + 2xright]_{alpha}^{0}$

$= -left(0 - left(frac{alpha^4}{4} - 2alpha^3 + frac{9alpha^2}{2} + 2alpharight)right)$

$= frac{alpha^4}{4} - 2alpha^3 + frac{9alpha^2}{2} + 2alpha$

（$alpha$ は $x^3 - 6x^2 + 9x + 2 = 0$ の負の解）

【答え】 $S = frac{alpha^4}{4} - 2alpha^3 + frac{9alpha^2}{2} + 2alpha$（$alpha$ は方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x + 2 = 0$ の $-1 < alpha < 0$ を満たす解）
数値的には $alpha approx -0.196$ で $S approx 0.34$

練習問題2：空間ベクトル（大問2類題）

解答・解説

【(1)の解答】

正四面体では、すべての辺の長さが等しく、すべての角度が等しい。

2つの辺のなす角を $theta$ とすると、余弦定理より：

$|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|costheta$

$4 = 4 + 4 - 2 cdot 2 cdot 2 cdot costheta$

$4 = 8 - 8costheta$

$costheta = frac{1}{2}$

したがって、$theta = 60°$ です。

各内積を計算すると：

$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|cos 60° = 2 cdot 2 cdot frac{1}{2} = 2$

$vec{b} cdot vec{c} = |vec{b}||vec{c}|cos 60° = 2 cdot 2 cdot frac{1}{2} = 2$

$vec{c} cdot vec{a} = |vec{c}||vec{a}|cos 60° = 2 cdot 2 cdot frac{1}{2} = 2$

【答え】 $vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{c} = vec{c} cdot vec{a} = 2$

【(2)の解答】

M は辺 OA の中点なので：

$vec{OM} = frac{1}{2}vec{a}$

N は辺 BC の中点なので：

$vec{ON} = frac{vec{OB} + vec{OC}}{2} = frac{vec{b} + vec{c}}{2}$

したがって：

$vec{MN} = vec{ON} - vec{OM} = frac{vec{b} + vec{c}}{2} - frac{vec{a}}{2} = frac{1}{2}(-vec{a} + vec{b} + vec{c})$

【答え】 $vec{MN} = frac{1}{2}(-vec{a} + vec{b} + vec{c})$

【(3)の解答】

$|vec{MN}|^2$ を計算します：

$|vec{MN}|^2 = frac{1}{4}|-vec{a} + vec{b} + vec{c}|^2$

$= frac{1}{4}(|vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 + |vec{c}|^2 - 2vec{a}cdotvec{b} - 2vec{a}cdotvec{c} + 2vec{b}cdotvec{c})$

$= frac{1}{4}(4 + 4 + 4 - 2 cdot 2 - 2 cdot 2 + 2 cdot 2)$

$= frac{1}{4}(12 - 4 - 4 + 4) = frac{1}{4} cdot 8 = 2$

したがって：

$|vec{MN}| = sqrt{2}$

【答え】 $MN = sqrt{2}$

【(4)の解答】

$vec{MN} cdot vec{OA}$ を計算します：

$vec{MN} cdot vec{OA} = frac{1}{2}(-vec{a} + vec{b} + vec{c}) cdot vec{a}$

$= frac{1}{2}(-|vec{a}|^2 + vec{b}cdotvec{a} + vec{c}cdotvec{a})$

$= frac{1}{2}(-4 + 2 + 2) = frac{1}{2} cdot 0 = 0$

$vec{MN} cdot vec{OA} = 0$ より、$vec{MN} perp vec{OA}$ が成り立つ。

【答え】 $vec{MN} cdot vec{OA} = 0$ より、$vec{MN}$ と $vec{OA}$ は垂直である。（証明終）

練習問題3：確率漸化式（大問3類題）

解答・解説

【(1)の解答】

3人がじゃんけんをするとき、全体の場合の数は $3^3 = 27$ 通り。

あいこになるのは以下の場合：

• 全員同じ手：グー・グー・グー、チョキ・チョキ・チョキ、パー・パー・パーの3通り
• 3種類の手が出る：$3! = 6$ 通り

あいこの場合の数：$3 + 6 = 9$ 通り

あいこになる確率 $= frac{9}{27} = frac{1}{3}$

【答え】 $frac{1}{3}$

【(2)の解答】

1回目のじゃんけんの後、3人とも残っているのは「あいこ」の場合のみ。

$p_1 = frac{1}{3}$

【答え】 $p_1 = frac{1}{3}$

【(3)の解答】

(n+1)回目終了後に3人とも残っている確率を考えます。

これが起こるのは：

• n回目終了時に3人残っている（確率 $p_n$）
• かつ、(n+1)回目があいこになる（確率 $frac{1}{3}$）

したがって：

$p_{n+1} = p_n times frac{1}{3} = frac{1}{3}p_n$

【答え】 $p_{n+1} = frac{1}{3}p_n$

【(4)の解答】

漸化式 $p_{n+1} = frac{1}{3}p_n$ は公比 $frac{1}{3}$ の等比数列を表します。

初項は $p_1 = frac{1}{3}$ なので：

$p_n = p_1 cdot left(frac{1}{3}right)^{n-1} = frac{1}{3} cdot left(frac{1}{3}right)^{n-1} = left(frac{1}{3}right)^n$

【答え】 $p_n = left(frac{1}{3}right)^n = frac{1}{3^n}$

【補足：この問題の発展】

この問題をさらに発展させると、以下のような問題も考えられます：

• 「ちょうど n 回目で勝負がつく確率」を求める
• 「n 回目終了時に2人残っている確率」を求める
• 「勝負がつくまでの回数の期待値」を求める

これらは確率漸化式のより発展的な問題として、余力があれば挑戦してみてください。

合格に向けた勉強法とスケジュール

名古屋市立大学数学の攻略ロードマップ

ここでは、名古屋市立大学合格に向けた具体的な勉強法とスケジュールを紹介します。

【基礎固め期：高2〜高3春】

目標：教科書レベルの完全理解

• 使用教材：教科書、教科書傍用問題集（4STEP、サクシードなど）
• 学習内容：
  • 教科書の例題・練習問題を全て解く
  • 公式の導出過程を理解する
  • 基本的な計算力を身につける
• ポイント：この段階で苦手分野を作らないことが重要

【標準演習期：高3春〜夏】

目標：入試標準レベルの問題を解けるようにする

• 使用教材：青チャート、Focus Gold、標準問題精講など
• 学習内容：
  • 各分野の典型問題を網羅的に演習
  • 解法パターンを身につける
  • 記述式答案の書き方を練習
• 特に重視する分野：微分・積分、ベクトル、確率・数列

【実戦演習期：高3夏〜秋】

目標：入試レベルの問題に対応できる実力をつける

• 使用教材：名古屋市立大学の赤本、実戦問題集
• 学習内容：
  • 過去問を年度ごとに時間を計って解く
  • 間違えた問題の類題を集中的に演習
  • 答案の添削を受ける
• 時間配分の練習：120分で4題を解く訓練

【直前期：高3冬〜入試】

目標：本番で実力を100%発揮できる状態にする

• 使用教材：過去問、予想問題
• 学習内容：
  • 過去問の2周目、3周目
  • 苦手分野の最終確認
  • 計算ミス対策の徹底
• メンタル面：本番を想定した練習で自信をつける

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まとめ

この記事では、名古屋市立大学 2019年度入試の数学について、以下の内容を解説しました。

• 試験概要：120分・4題構成・全問記述式
• 大問1：微分法と関数の最大・最小（3次関数の極値、閉区間での最大最小）
• 大問2：空間ベクトルと内積（四面体、平面上の条件、垂線の足）
• 大問3：確率と漸化式（確率漸化式の立式と解法、極限）
• 大問4：定積分と面積・体積（曲線と接線で囲まれる面積、回転体）
• 重要テーマ：微積分、ベクトル、確率漸化式が頻出
• 練習問題：類題3問の解答・解説

名古屋市立大学の数学は、奇をてらった難問は少なく、標準的な問題を確実に解く力が求められます。基礎を固め、典型問題の解法パターンを身につけ、過去問演習で実戦力を磨いていきましょう。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師　藤原進之介