京都府立大学 2008年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

皆さん、こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は京都府立大学 2008年度の数学入試問題を徹底解説していきます。京都府立大学は2008年に公立大学法人化され、文学部・公共政策学部・生命環境学部の3学部体制となった年度でもあります。この年の数学は、基礎から応用まで幅広い力を問う良問が揃っており、受験対策の指針として非常に参考になる内容です。

この記事では、各大問をステップバイステップで詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅していきます。最後まで読んでいただければ、京都府立大学の数学で合格点を取るために必要な力が身につくはずです。それでは、一緒に頑張っていきましょう！

試験概要・難易度

試験形式と基本情報

2008年度の全体講評

2008年度の京都府立大学数学は、「基礎力の確認」と「応用力の発揮」のバランスが絶妙な年度でした。大問4題の構成で、各大問には複数の小問が設定されており、段階的に難易度が上がる典型的な構成となっています。

【難易度の特徴】

• 大問1：小問集合形式。計算力と基本事項の理解を確認する標準的な問題
• 大問2：図形と方程式、ベクトルに関する融合問題。空間把握能力が問われる
• 大問3：微分積分の応用問題。関数の増減や面積計算が中心
• 大問4：確率・数列の融合問題。論理的思考力と計算の正確さが必要

全体として、教科書レベルの基礎がしっかり身についていれば6割程度は確保できる内容です。しかし、8割以上を目指すためには、典型問題の解法パターンを確実に習得し、応用問題への対応力を磨く必要があります。

【合格に必要な得点目安】

• 生命環境学部（理系）：65〜70%（130〜140点/200点）
• 公共政策学部・文学部（文系）：60〜65%（120〜130点/200点）

大問1：小問集合（基礎計算・基本事項の確認）

問題

解説・解法のポイント

（1）無理数を含む式の値

【ポイント】分母の有理化を行い、$x$ の具体的な値を求めてから代入する方法と、$x$ と $x^2 - 4x + 1$ の関係式を利用する方法の2通りがあります。

【解法1：直接代入】

まず、$x$ の分母を有理化します。

$$x = frac{1}{2-sqrt{3}} = frac{1 cdot (2+sqrt{3})}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})} = frac{2+sqrt{3}}{4-3} = 2+sqrt{3}$$

次に、$x^2$ を計算します。

$$x^2 = (2+sqrt{3})^2 = 4 + 4sqrt{3} + 3 = 7 + 4sqrt{3}$$

これを $x^2 - 4x + 1$ に代入します。

$$x^2 - 4x + 1 = (7 + 4sqrt{3}) - 4(2+sqrt{3}) + 1$$
$$= 7 + 4sqrt{3} - 8 - 4sqrt{3} + 1$$
$$= 0$$

よって、答えは $0$ です。

【解法2：式の性質を利用】

$x = 2 + sqrt{3}$ より、$x - 2 = sqrt{3}$ となります。

両辺を2乗すると、$(x-2)^2 = 3$ より $x^2 - 4x + 4 = 3$

したがって、$x^2 - 4x + 1 = 0$

このように、無理数を含む計算では「無理数部分を消す」ことを意識すると、計算が楽になることが多いです。

（2）対数の底の変換と計算

【ポイント】底の変換公式 $log_a b = dfrac{log_c b}{log_c a}$ を使って、すべて底2の対数に変換します。

【解答】

まず、$log_4 45$ を底2の対数で表します。

$$log_4 45 = frac{log_2 45}{log_2 4} = frac{log_2 45}{2}$$

次に、$log_2 45$ を計算します。$45 = 9 times 5 = 3^2 times 5$ より、

$$log_2 45 = log_2 (3^2 times 5) = log_2 3^2 + log_2 5 = 2log_2 3 + log_2 5 = 2a + b$$

したがって、

$$log_4 45 = frac{2a + b}{2}$$

よって、答えは $dfrac{2a+b}{2}$（または $a + dfrac{b}{2}$）です。

（3）3次関数の極値

【ポイント】極値を求めるには、まず導関数を求め、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を見つけます。その後、増減表を作成して極大・極小を判定します。

【解答】

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ を微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 0$ または $x = 2$

増減表を作成します。

極値を計算します。

$$f(0) = 0^3 - 3 cdot 0^2 + 2 = 2$$
$$f(2) = 2^3 - 3 cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$$

よって、極大値は $2$（$x=0$ のとき）、極小値は $-2$（$x=2$ のとき）です。

（4）円の接線

【ポイント】点 $(3, 4)$ は円 $x^2 + y^2 = 9$ の外部にある点です（$3^2 + 4^2 = 25 > 9$）。外部の点から円への接線は2本存在します。

【解答】

点 $(3, 4)$ を通り傾き $m$ の直線の方程式は、

$$y - 4 = m(x - 3)$$
$$mx - y + 4 - 3m = 0$$

この直線が円 $x^2 + y^2 = 9$（中心 $(0, 0)$、半径 $3$）に接する条件は、中心から直線までの距離が半径に等しいことです。

点 $(0, 0)$ から直線 $mx - y + (4-3m) = 0$ までの距離は、

$$d = frac{|m cdot 0 - 1 cdot 0 + (4-3m)|}{sqrt{m^2 + 1}} = frac{|4-3m|}{sqrt{m^2 + 1}}$$

接する条件 $d = 3$ より、

$$frac{|4-3m|}{sqrt{m^2 + 1}} = 3$$

両辺を2乗して、

$$(4-3m)^2 = 9(m^2 + 1)$$
$$16 - 24m + 9m^2 = 9m^2 + 9$$
$$-24m + 16 = 9$$
$$-24m = -7$$
$$m = frac{7}{24}$$

ここで、$(4-3m)^2 = 9(m^2+1)$ を展開すると、

$$16 - 24m + 9m^2 = 9m^2 + 9$$
$$-24m = -7$$
$$m = frac{7}{24}$$

しかし、これは1つの解しか出ていません。実は、傾きが存在しない（$x = 3$ という垂直線）場合も考える必要がありますが、$x = 3$ と円 $x^2 + y^2 = 9$ を連立すると $y^2 = 0$、つまり $y = 0$ で接することがわかります。

よって、$m = dfrac{7}{24}$（傾きが存在する接線の場合）

別解・発展

【(4)の別解：接点を利用する方法】

円 $x^2 + y^2 = 9$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は、

$$x_0 x + y_0 y = 9$$

この接線が点 $(3, 4)$ を通るので、

$$3x_0 + 4y_0 = 9$$

また、$(x_0, y_0)$ は円上の点なので、$x_0^2 + y_0^2 = 9$

$3x_0 + 4y_0 = 9$ より $y_0 = dfrac{9 - 3x_0}{4}$ を $x_0^2 + y_0^2 = 9$ に代入して、

$$x_0^2 + frac{(9-3x_0)^2}{16} = 9$$
$$16x_0^2 + (9-3x_0)^2 = 144$$
$$16x_0^2 + 81 - 54x_0 + 9x_0^2 = 144$$
$$25x_0^2 - 54x_0 - 63 = 0$$

解の公式より、$x_0 = dfrac{54 pm sqrt{54^2 + 4 cdot 25 cdot 63}}{50} = dfrac{54 pm sqrt{2916 + 6300}}{50} = dfrac{54 pm 96}{50}$

$x_0 = 3$ または $x_0 = -dfrac{21}{25}$

$x_0 = 3$ のとき、$y_0 = 0$ で、接線は $x = 3$（傾きなし）

$x_0 = -dfrac{21}{25}$ のとき、$y_0 = dfrac{9 + frac{63}{25}}{4} = dfrac{frac{225+63}{25}}{4} = dfrac{288}{100} = dfrac{72}{25}$

傾き $m = dfrac{4 - y_0}{3 - x_0} = dfrac{4 - frac{72}{25}}{3 + frac{21}{25}} = dfrac{frac{100-72}{25}}{frac{75+21}{25}} = dfrac{28}{96} = dfrac{7}{24}$

大問2：図形と方程式・ベクトル（空間図形の応用）

問題

解説・解法のポイント

（1）3点を通る平面の方程式

【ポイント】平面の方程式を $ax + by + cz = d$（$d neq 0$）と置き、3点の座標を代入して係数を求める方法と、切片形を利用する方法があります。

【解法1：切片形の利用】

平面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, $(0, 0, 3)$ で交わることから、平面の切片形は、

$$frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} = 1$$

これを整理すると、

$$6x + 3y + 2z = 6$$

よって、平面の方程式は $6x + 3y + 2z = 6$ です。

【解法2：法線ベクトルの利用】

ベクトル $overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$、$overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$

平面の法線ベクトル $vec{n}$ は $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ で求められます。

$$vec{n} = overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 end{vmatrix}$$
$$= vec{i}(2 cdot 3 - 0 cdot 0) - vec{j}((-1) cdot 3 - 0 cdot (-1)) + vec{k}((-1) cdot 0 - 2 cdot (-1))$$
$$= vec{i}(6) - vec{j}(-3) + vec{k}(2)$$
$$= (6, 3, 2)$$

法線ベクトルが $(6, 3, 2)$ で、点 $A(1, 0, 0)$ を通る平面の方程式は、

$$6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0$$
$$6x + 3y + 2z = 6$$

（2）垂線の足の座標

【ポイント】原点 $O$ から平面への垂線は、平面の法線ベクトルの方向を向きます。

【解答】

点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $6x + 3y + 2z = 6$ への垂線は、法線ベクトル $(6, 3, 2)$ の方向を向くので、垂線上の点は、

$$(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)$$

と表せます。この点が平面上にあるとき、

$$6 cdot 6t + 3 cdot 3t + 2 cdot 2t = 6$$
$$36t + 9t + 4t = 6$$
$$49t = 6$$
$$t = frac{6}{49}$$

したがって、垂線の足 $H$ の座標は、

$$H = left( frac{36}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49} right)$$

よって、$Hleft( dfrac{36}{49}, dfrac{18}{49}, dfrac{12}{49} right)$ です。

（3）三角形 $ABC$ の面積

【ポイント】外積の大きさを利用する方法が最も効率的です。$S = dfrac{1}{2}|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}|$

【解答】

（1）で求めた外積 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = (6, 3, 2)$ の大きさは、

$$|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = sqrt{36 + 9 + 4} = sqrt{49} = 7$$

したがって、三角形 $ABC$ の面積は、

$$S = frac{1}{2} times 7 = frac{7}{2}$$

よって、$S = dfrac{7}{2}$ です。

（4）四面体 $OABC$ の体積

【ポイント】体積は $V = dfrac{1}{3} times text{底面積} times text{高さ}$ で求められます。底面を三角形 $ABC$、高さを原点から平面 $ABC$ までの距離とします。

【解答】

原点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $6x + 3y + 2z = 6$ までの距離 $h$ は、

$$h = frac{|6 cdot 0 + 3 cdot 0 + 2 cdot 0 - 6|}{sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = frac{6}{sqrt{49}} = frac{6}{7}$$

したがって、四面体 $OABC$ の体積は、

$$V = frac{1}{3} times S times h = frac{1}{3} times frac{7}{2} times frac{6}{7} = frac{1}{3} times frac{6}{2} = frac{1}{3} times 3 = 1$$

よって、$V = 1$ です。

別解・発展

【体積の別解：スカラー三重積】

四面体 $OABC$ の体積は、スカラー三重積を用いて、

$$V = frac{1}{6}|overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC})|$$

で計算できます。

$$overrightarrow{OA} = (1, 0, 0), quad overrightarrow{OB} = (0, 2, 0), quad overrightarrow{OC} = (0, 0, 3)$$

$$overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{vmatrix} = (6, 0, 0)$$

$$overrightarrow{OA} cdot (6, 0, 0) = 1 times 6 + 0 times 0 + 0 times 0 = 6$$

$$V = frac{1}{6} times 6 = 1$$

この方法は、座標軸に平行なベクトルの場合、行列式が単純になるため計算が楽です。

大問3：微分積分（関数の解析と面積）

問題

解説・解法のポイント

（1）極値の計算

【ポイント】$f(x) = xe^{-x}$ は積の形なので、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

【解答】

$f(x) = xe^{-x}$ を微分します。$u = x$, $v = e^{-x}$ とおくと、

$$f'(x) = 1 cdot e^{-x} + x cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$

$f'(x) = $$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$$

$f'(x) = 0$ となるのは、$e^{-x} > 0$ より、$1 - x = 0$、すなわち $x = 1$ のときです。

増減表を作成します。

$x = 1$ で極大値をとり、

$$f(1) = 1 cdot e^{-1} = frac{1}{e}$$

よって、極大値は $dfrac{1}{e}$（$x = 1$ のとき）で、極小値は存在しない。

（2）変曲点の座標

【ポイント】変曲点は $f''(x) = 0$ となる点で、かつその前後で $f''(x)$ の符号が変わる点です。

【解答】

$f'(x) = e^{-x}(1-x)$ をさらに微分します。

$$f''(x) = (-e^{-x})(1-x) + e^{-x}(-1)$$
$$= e^{-x}(-(1-x) - 1)$$
$$= e^{-x}(-1 + x - 1)$$
$$= e^{-x}(x - 2)$$

$f''(x) = 0$ となるのは、$x = 2$ のときです。

$x < 2$ のとき $f''(x) 2$ のとき $f''(x) > 0$（下に凸）なので、$x = 2$ で凹凸が変わります。

$$f(2) = 2e^{-2} = frac{2}{e^2}$$

よって、変曲点の座標は $left(2, dfrac{2}{e^2}right)$ です。

（3）極限の計算

【ポイント】$dfrac{x}{e^x}$ の形は「指数関数の増加速度は多項式より速い」という性質を使います。ロピタルの定理も有効です。

【解答】

$$lim_{x to infty} xe^{-x} = lim_{x to infty} frac{x}{e^x}$$

これは $dfrac{infty}{infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$$lim_{x to infty} frac{x}{e^x} = lim_{x to infty} frac{1}{e^x} = 0$$

よって、$displaystylelim_{x to infty} f(x) = 0$ です。

（4）面積の計算

【ポイント】$displaystyleint xe^{-x}dx$ は部分積分を使います。$displaystyleint u,dv = uv - int v,du$ の公式で、$u = x$, $dv = e^{-x}dx$ とおきます。

【解答】

$x geq 0$ のとき $f(x) = xe^{-x} geq 0$ なので、求める面積は、

$$S = int_0^2 xe^{-x},dx$$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^{-x}dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -e^{-x}$

$$int xe^{-x},dx = x cdot (-e^{-x}) - int (-e^{-x}),dx = -xe^{-x} + int e^{-x},dx$$
$$= -xe^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x + 1) + C$$

したがって、

$$S = left[-e^{-x}(x+1)right]_0^2$$
$$= left(-e^{-2}(2+1)right) - left(-e^{0}(0+1)right)$$
$$= -3e^{-2} + 1$$
$$= 1 - frac{3}{e^2}$$

よって、$S = 1 - dfrac{3}{e^2}$（または $dfrac{e^2 - 3}{e^2}$）です。

別解・発展

【部分積分の公式化】

$displaystyleint x^n e^{ax}dx$ の形の積分は、部分積分を $n$ 回繰り返すことで求められます。一般に、

$$int x e^{ax}dx = frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C$$

$a = -1$ のとき、

$$int x e^{-x}dx = e^{-x}(-x - 1) + C = -e^{-x}(x + 1) + C$$

この公式を覚えておくと、計算時間を短縮できます。

【グラフの概形】

以上の結果をまとめると、$y = xe^{-x}$ のグラフは以下の特徴を持ちます：

• $x = 0$ で原点を通る
• $x = 1$ で極大値 $dfrac{1}{e} approx 0.368$
• $x = 2$ で変曲点 $left(2, dfrac{2}{e^2}right) approx (2, 0.271)$
• $x to infty$ で $y to 0$（$x$ 軸に漸近）
• $x to -infty$ で $y to -infty$

大問4：確率と数列（漸化式の応用）

問題

解説・解法のポイント

（1）$P_1$ の計算

【ポイント】$S_1 = X_1$ なので、1回目に3の倍数の目が出る確率を求めます。

【解答】

さいころの目1〜6のうち、3の倍数は3と6の2つです。

$$P_1 = frac{2}{6} = frac{1}{3}$$

よって、$P_1 = dfrac{1}{3}$ です。

（2）漸化式の導出

【ポイント】$S_n$ を3で割った余りに注目します。$S_n equiv 0, 1, 2 pmod{3}$ の3つの状態を考え、状態遷移を追跡します。

【解答】

$S_n$ を3で割った余りが $r$（$r = 0, 1, 2$）である確率をそれぞれ $P_n^{(r)}$ とします。

$P_n = P_n^{(0)}$ です。

さいころの目1〜6を3で割った余りは：

• 余り0：3, 6 → 2個
• 余り1：1, 4 → 2個
• 余り2：2, 5 → 2個

各余りが出る確率はすべて $dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$ です。

$S_{n+1}$ が3の倍数となるのは、以下の場合：

• $S_n equiv 0 pmod{3}$ かつ $X_{n+1} equiv 0 pmod{3}$
• $S_n equiv 1 pmod{3}$ かつ $X_{n+1} equiv 2 pmod{3}$
• $S_n equiv 2 pmod{3}$ かつ $X_{n+1} equiv 1 pmod{3}$

対称性から $P_n^{(1)} = P_n^{(2)} = dfrac{1 - P_n}{2}$ です（$P_n^{(0)} + P_n^{(1)} + P_n^{(2)} = 1$ より）。

したがって、

$$P_{n+1} = P_n cdot frac{1}{3} + P_n^{(1)} cdot frac{1}{3} + P_n^{(2)} cdot frac{1}{3}$$
$$= frac{1}{3}left(P_n + frac{1-P_n}{2} + frac{1-P_n}{2}right)$$
$$= frac{1}{3}left(P_n + 1 - P_nright)$$
$$= frac{1}{3}$$

あれ、これだと定数になってしまいます。もう一度確認しましょう。

実は上の計算は正しく、$P_{n+1}$ を正確に計算し直します。

$$P_{n+1} = P_n^{(0)} cdot frac{1}{3} + P_n^{(1)} cdot frac{1}{3} + P_n^{(2)} cdot frac{1}{3} = frac{1}{3}(P_n^{(0)} + P_n^{(1)} + P_n^{(2)}) = frac{1}{3}$$

これは誤りです。正しくは、$S_{n+1} equiv 0$ となる条件を正確に考えます。

$S_{n+1} = S_n + X_{n+1}$ が3の倍数となる条件：

• $S_n equiv 0$ かつ $X_{n+1} equiv 0$ → 確率 $P_n cdot dfrac{1}{3}$
• $S_n equiv 1$ かつ $X_{n+1} equiv 2$ → 確率 $P_n^{(1)} cdot dfrac{1}{3}$
• $S_n equiv 2$ かつ $X_{n+1} equiv 1$ → 確率 $P_n^{(2)} cdot dfrac{1}{3}$

$$P_{n+1} = frac{1}{3}P_n + frac{1}{3}P_n^{(1)} + frac{1}{3}P_n^{(2)}$$

ここで、$P_n^{(1)} + P_n^{(2)} = 1 - P_n$ なので、

$$P_{n+1} = frac{1}{3}P_n + frac{1}{3}(1 - P_n) = frac{1}{3}P_n + frac{1}{3} - frac{1}{3}P_n = frac{1}{3}$$

この計算結果から、実は対称性により $P_n = dfrac{1}{3}$ が常に成り立つことがわかります。

しかし、これは $P_1 = dfrac{1}{3}$ から始まり、漸化式が $P_{n+1} = dfrac{1}{3}$ という定数を与えるためです。

【再考：別の漸化式の導出】

実は、対称性をより詳しく見ると、$P_n^{(1)} = P_n^{(2)}$ は $n geq 1$ で成り立ちます。

漸化式を改めて書くと：

• $P_{n+1}^{(0)} = dfrac{1}{3}P_n^{(0)} + dfrac{1}{3}P_n^{(1)} + dfrac{1}{3}P_n^{(2)}$
• $P_{n+1}^{(1)} = dfrac{1}{3}P_n^{(0)} + dfrac{1}{3}P_n^{(1)} + dfrac{1}{3}P_n^{(2)}$
• $P_{n+1}^{(2)} = dfrac{1}{3}P_n^{(0)} + dfrac{1}{3}P_n^{(1)} + dfrac{1}{3}P_n^{(2)}$

あれ、すべて同じになってしまいます。これは状態遷移が対称的すぎるためです。

もう一度問題を確認し、正しい遷移を考えます。

【正しい状態遷移】

$S_n equiv r pmod{3}$ のとき、$X_{n+1}$ の余りによって $S_{n+1}$ の余りは：

• $X_{n+1} equiv 0$ → $S_{n+1} equiv r$
• $X_{n+1} equiv 1$ → $S_{n+1} equiv r+1 pmod{3}$
• $X_{n+1} equiv 2$ → $S_{n+1} equiv r+2 pmod{3}$

これを行列で表すと：

$$begin{pmatrix} P_{n+1}^{(0)} \ P_{n+1}^{(1)} \ P_{n+1}^{(2)} end{pmatrix} = frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} P_n^{(0)} \ P_n^{(1)} \ P_n^{(2)} end{pmatrix}$$

これは誤りです。正しくは：

$$begin{pmatrix} P_{n+1}^{(0)} \ P_{n+1}^{(1)} \ P_{n+1}^{(2)} end{pmatrix} = frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} P_n^{(0)} \ P_n^{(1)} \ P_n^{(2)} end{pmatrix}$$

あ、計算を間違えていました。正しい遷移行列を導出し直します。

$S_{n+1} equiv 0$ となるのは：

• $S_n equiv 0$ かつ $X_{n+1} equiv 0$：確率 $dfrac{1}{3}$
• $S_n equiv 1$ かつ $X_{n+1} equiv 2$：確率 $dfrac{1}{3}$
• $S_n equiv 2$ かつ $X_{n+1} equiv 1$：確率 $dfrac{1}{3}$

$$P_{n+1}^{(0)} = frac{1}{3}P_n^{(0)} + frac{1}{3}P_n^{(1)} + frac{1}{3}P_n^{(2)} = frac{1}{3}$$

これは実際に $dfrac{1}{3}$ になります！

よって、$P_{n+1} = dfrac{1}{3}$（$n geq 1$ のとき）

実は、この問題では漸化式が非常に単純な形になり、$P_n = dfrac{1}{3}$ が全ての $n geq 1$ で成り立ちます。

（3）$P_n$ の一般項

【解答】

上の考察から、

$$P_n = frac{1}{3} quad (n geq 1)$$

よって、$P_n = dfrac{1}{3}$ です。

（4）極限

【解答】

$$lim_{n to infty} P_n = lim_{n to infty} frac{1}{3} = frac{1}{3}$$

よって、$displaystylelim_{n to infty} P_n = dfrac{1}{3}$ です。

別解・発展

【別の問題設定の場合】

もし初期条件が異なる（例えば、$S_0 = 0$ からスタートする）場合や、さいころの目の分布が均等でない場合は、より複雑な漸化式が現れます。

一般に、このタイプの問題では以下のアプローチが有効です：

1. 状態を定義する（余りで分類）
2. 状態遷移確率を求める
3. 漸化式を立てる
4. 特性方程式を解いて一般項を求める

【より一般的な漸化式の場合】

もし漸化式が $P_{n+1} = aP_n + b$ の形になる場合、

$$P_n - frac{b}{1-a} = a^{n-1}left(P_1 - frac{b}{1-a}right)$$

で一般項が求められます。

この年度の重要テーマと対策

出題分野の分析

2008年度の京都府立大学数学では、以下の分野からバランスよく出題されました：

頻出テーマと対策法

1. 計算力の強化

京都府立大学の数学では、正確で速い計算力が求められます。特に：

• 分母の有理化、式の変形
• 対数の底の変換、指数・対数の計算
• 微分・積分の計算（特に部分積分）
• ベクトルの内積・外積の計算

対策：教科書の章末問題や標準的な問題集（青チャートやFocus Goldなど）で、毎日30分以上の計算練習を行いましょう。

2. 空間図形の把握

大問2のような空間図形の問題は、座標設定とベクトルの活用がカギです。

• 平面の方程式（一般形・切片形・法線ベクトル形）
• 点と平面の距離公式
• 外積による面積計算
• スカラー三重積による体積計算

対策：空間座標の問題を多く解き、「どの公式をどの場面で使うか」を判断できるようにしましょう。

3. 微分積分の応用

大問3のような関数の解析問題は、京都府立大学の定番です。

• 導関数・第2次導関数の計算
• 増減表・凹凸の判定
• 極限の計算（ロピタルの定理）
• 定積分（部分積分・置換積分）

対策：$xe^x$, $xln x$, $dfrac{sin x}{x}$ などの典型的な関数について、グラフの概形まで描けるようにしておきましょう。

4. 確率と漸化式の融合

大問4のような確率漸化式は、近年の入試で頻出です。

• 状態の設定と遷移の把握
• 漸化式の立式
• 等比数列型・階差数列型の漸化式の解法
• 極限の計算

対策：「ランダムウォーク」「マルコフ連鎖」的な考え方に慣れるため、様々なパターンの確率漸化式を解いておきましょう。

時間配分の目安

120分で大問4題を解く場合の時間配分：

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：無理数と式の値

解答・解説

分母を有理化します。

$$x = frac{1}{3+sqrt{5}} = frac{3-sqrt{5}}{(3+sqrt{5})(3-sqrt{5})} = frac{3-sqrt{5}}{9-5} = frac{3-sqrt{5}}{4}$$

$x = dfrac{3-sqrt{5}}{4}$ より、$4x = 3 - sqrt{5}$、つまり $4x - 3 = -sqrt{5}$

両辺を2乗すると、$(4x-3)^2 = 5$

$$16x^2 - 24x + 9 = 5$$
$$16x^2 - 24x$$16x^2 - 24x + 4 = 0$$
$$4x^2 - 6x + 1 = 0$$

よって、$4x^2 - 6x + 1 = 0$ より、

$$x^2 - frac{6}{4}x + frac{1}{4} = 0$$
$$x^2 = frac{3}{2}x - frac{1}{4}$$

求める式を変形します。

$$x^2 - 6x + 1 = left(frac{3}{2}x - frac{1}{4}right) - 6x + 1 = frac{3}{2}x - 6x - frac{1}{4} + 1$$
$$= -frac{9}{2}x + frac{3}{4}$$

$x = dfrac{3-sqrt{5}}{4}$ を代入すると、

$$-frac{9}{2} cdot frac{3-sqrt{5}}{4} + frac{3}{4} = -frac{9(3-sqrt{5})}{8} + frac{3}{4}$$
$$= frac{-9(3-sqrt{5}) + 6}{8} = frac{-27 + 9sqrt{5} + 6}{8} = frac{9sqrt{5} - 21}{8}$$

別解として、直接計算する方法もあります。

$x = dfrac{3-sqrt{5}}{4}$ より、

$$x^2 = frac{(3-sqrt{5})^2}{16} = frac{9 - 6sqrt{5} + 5}{16} = frac{14 - 6sqrt{5}}{16} = frac{7 - 3sqrt{5}}{8}$$

$$x^2 - 6x + 1 = frac{7-3sqrt{5}}{8} - 6 cdot frac{3-sqrt{5}}{4} + 1$$
$$= frac{7-3sqrt{5}}{8} - frac{18-6sqrt{5}}{4} + 1$$
$$= frac{7-3sqrt{5}}{8} - frac{36-12sqrt{5}}{8} + frac{8}{8}$$
$$= frac{7 - 3sqrt{5} - 36 + 12sqrt{5} + 8}{8}$$
$$= frac{-21 + 9sqrt{5}}{8} = frac{9sqrt{5} - 21}{8}$$

よって、答えは $dfrac{9sqrt{5} - 21}{8}$（または $dfrac{3(3sqrt{5} - 7)}{8}$）です。

練習問題2：空間ベクトルと体積

解答・解説

(1) 外積の計算

$overrightarrow{OA} = (2, 1, 0)$, $overrightarrow{OB} = (1, 2, 1)$ より、

$$overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 2 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 end{vmatrix}$$

$$= vec{i}(1 cdot 1 - 0 cdot 2) - vec{j}(2 cdot 1 - 0 cdot 1) + vec{k}(2 cdot 2 - 1 cdot 1)$$
$$= vec{i}(1) - vec{j}(2) + vec{k}(3)$$
$$= (1, -2, 3)$$

よって、$overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB} = (1, -2, 3)$

(2) 三角形 $OAB$ の面積

$$|overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}| = sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = sqrt{1 + 4 + 9} = sqrt{14}$$

三角形の面積は、

$$S = frac{1}{2}|overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}| = frac{sqrt{14}}{2}$$

よって、三角形 $OAB$ の面積は $dfrac{sqrt{14}}{2}$

(3) 四面体 $OABC$ の体積

スカラー三重積を用います。$overrightarrow{OC} = (0, 1, 2)$ より、

$$overrightarrow{OC} cdot (overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}) = (0, 1, 2) cdot (1, -2, 3)$$
$$= 0 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 2 cdot 3 = 0 - 2 + 6 = 4$$

四面体の体積は、

$$V = frac{1}{6}|overrightarrow{OC} cdot (overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB})| = frac{1}{6} times 4 = frac{2}{3}$$

よって、四面体 $OABC$ の体積は $dfrac{2}{3}$

練習問題3：確率漸化式

解答・解説

(1) $P_1$, $P_2$ の計算

$P_1$：1回の操作後に原点にいることは不可能（必ず $+1$ か $-1$ に移動）なので、

$$P_1 = 0$$

$P_2$：2回の操作後に原点にいるのは、「$+1$ してから $-1$」または「$-1$ してから $+1$」の場合。

$$P_2 = frac{2}{3} cdot frac{1}{3} + frac{1}{3} cdot frac{2}{3} = frac{2}{9} + frac{2}{9} = frac{4}{9}$$

よって、$P_1 = 0$, $P_2 = dfrac{4}{9}$

(2) 漸化式の導出

$n+2$ 回後に原点にいるためには：

• $n$ 回後に原点にいて、その後「$+1, -1$」または「$-1, +1$」と動く
• $n$ 回後に $+2$ の位置にいて、その後「$-1, -1$」と動く
• $n$ 回後に $-2$ の位置にいて、その後「$+1, +1$」と動く

しかし、この考え方は複雑になるので、別のアプローチを取ります。

$n$ 回後に原点にいる確率 $P_n$ について、$n$ 回後の位置 $k$ にいる確率を $Q_n(k)$ とします。

$n+2$ 回後に原点にいるには、$n$ 回後に位置 $k$ にいて、2回で $-k$ だけ移動する必要があります。

2回の操作で移動量が $-k$ となる確率を考えます。2回で移動できる量は $+2, 0, -2$ の3通りです。

簡単のため、原点にいる確率に注目した漸化式を立てます。

$n+2$ 回後に原点にいるのは：

• $n$ 回後に原点にいて、2回で移動量 $0$（確率 $dfrac{2}{3} cdot dfrac{1}{3} + dfrac{1}{3} cdot dfrac{2}{3} = dfrac{4}{9}$）
• $n$ 回後に位置 $-2$ にいて、2回で $+2$（確率 $dfrac{2}{3} cdot dfrac{2}{3} = dfrac{4}{9}$）
• $n$ 回後に位置 $+2$ にいて、2回で $-2$（確率 $dfrac{1}{3} cdot dfrac{1}{3} = dfrac{1}{9}$）

ここで、位置 $+2$ や $-2$ にいる確率の計算が必要になり複雑です。

より簡単な漸化式として、$n$ が奇数のとき $P_n = 0$ であることに注目します（原点に戻るには偶数回の操作が必要）。

$P_{2m}$ に対する漸化式を考えます。

原点から出発して $2m+2$ 回後に原点に戻る経路は、

• 最初の2回で原点に戻り（確率 $dfrac{4}{9}$）、残り $2m$ 回で原点に戻る
• 最初の2回で原点に戻らず、その後 $2m$ 回で原点に戻る

この分解は「初めて原点に戻る時刻」で場合分けする方法に相当しますが、計算が複雑です。

ここでは、組合せ的に直接 $P_{2n}$ を求めます。

(3) $P_{2n}$ の計算

$2n$ 回の操作で原点に戻るには、$+1$ が $n$ 回、$-1$ が $n$ 回必要です。

$+1$ が出る確率は $dfrac{2}{3}$、$-1$ が出る確率は $dfrac{1}{3}$ なので、

$$P_{2n} = binom{2n}{n} left(frac{2}{3}right)^n left(frac{1}{3}right)^n = binom{2n}{n} frac{2^n}{3^{2n}}$$

$$= binom{2n}{n} left(frac{2}{9}right)^n$$

よって、$P_{2n} = dbinom{2n}{n} left(dfrac{2}{9}right)^n$

例えば、$P_2 = dbinom{2}{1} cdot dfrac{2}{9} = 2 cdot dfrac{2}{9} = dfrac{4}{9}$ となり、(1)の結果と一致します。

$P_4 = dbinom{4}{2} cdot left(dfrac{2}{9}right)^2 = 6 cdot dfrac{4}{81} = dfrac{24}{81} = dfrac{8}{27}$

京都府立大学数学攻略のまとめ

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この記事が京都府立大学を目指す皆さんの参考になれば幸いです。数学は正しい方法で努力すれば、必ず伸びる科目です。諦めずに頑張ってください！

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介