京都府立医科大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、京都府立医科大学 2019年度（平成31年度）の数学を徹底解説していきます。京都府立医科大学（通称：京府医）は、関西を代表する名門公立医科大学であり、数学の入試問題は例年、計算力だけでなく深い思考力と発想力が問われる良問揃いです。

「京府医の数学は難しい」という声をよく聞きますが、出題傾向を正しく把握し、しっかりとした対策を行えば十分に合格点を狙えます。この記事では、2019年度の全問題を詳細に解説し、受験生の皆さんが本番で実力を発揮できるよう、解法のポイントや別解まで丁寧にお伝えします。

それでは、一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

試験形式と配点

2019年度 出題内容一覧

全体講評

2019年度の京都府立医科大学数学は、例年通り数学Ⅲの比重が非常に高い構成となっています。特筆すべきは第1問で出題された「双曲線関数」です。これは高校の教科書では扱われない発展的な内容ですが、問題文中で定義が与えられており、その場で理解して解く力が求められました。

全体的な難易度は「やや難」レベルです。計算量はそれほど多くありませんが、各問題の本質を見抜く力と、論理的に記述する力が求められます。時間配分としては、1問あたり30分が目安ですが、得意な分野から着手して確実に得点を積み重ねる戦略が有効です。

合格に必要な得点率は60〜70%程度と推定されます。全問完答は難しいですが、各大問の(1)や(2)を確実に取り、部分点を積み上げることで合格ラインに到達できます。

大問1：双曲線関数に関する総合問題

問題

解説・解法のポイント

【背景知識】双曲線関数とは

この問題で登場する f(x) は「双曲線余弦関数（ハイパボリックコサイン）」と呼ばれ、通常 cosh x と表記されます。同様に g(x) は「双曲線正弦関数（ハイパボリックサイン）」で、sinh x と表記されます。

これらは大学の微積分学で頻出する関数ですが、高校数学の範囲でも問題文の定義に従って解くことができます。京府医では、このような「その場で新しい概念を学び、適用する力」を測る出題がしばしば見られます。

【(1) の解答】

ステップ1：f(x) の導関数を求める

f'(x) = d/dx [(e^x + e^-x) / 2] = (e^x - e^-x) / 2 = g(x)

ステップ2：f'(x) の符号を調べる

f'(x) = (e^x - e^-x) / 2 について：

• x > 0 のとき、e^x > e^-x より f'(x) > 0（増加）
• x = 0 のとき、e⁰ = e⁰ より f'(x) = 0
• x < 0 のとき、e^x < e^-x より f'(x) < 0（減少）

ステップ3：極値と漸近線の確認

• x = 0 で極小値 f(0) = (1 + 1) / 2 = 1
• x → ∞ のとき f(x) → ∞
• x → -∞ のとき f(x) → ∞（e^-x / 2 が支配的）

ステップ4：グラフの概形

y = f(x) は x = 0 で最小値 1 をとり、左右対称（偶関数）で、両側に向かって無限に増加する「カテナリー曲線（懸垂線）」の形状をしています。

【(2) の解答】

直接計算による証明

{f(x)}² = [(e^x + e^-x) / 2]² = (e^2x + 2 + e^-2x) / 4

{g(x)}² = [(e^x - e^-x) / 2]² = (e^2x - 2 + e^-2x) / 4

よって：

{f(x)}² - {g(x)}² = (e^2x + 2 + e^-2x) / 4 - (e^2x - 2 + e^-2x) / 4 = 4/4 = 1

【(3) の解答】

回転体の体積は次の公式で求められます：

V(a) = π ∫₀^a {f(x)}² dx = π ∫₀^a [(e^x + e^-x) / 2]² dx

ステップ1：被積分関数を展開

{f(x)}² = (e^2x + 2 + e^-2x) / 4

ステップ2：積分を実行

∫₀^a (e^2x + 2 + e^-2x) / 4 dx = [e^2x/8 + x/2 - e^-2x/8]₀^a

= (e^2a/8 + a/2 - e^-2a/8) - (1/8 + 0 - 1/8)

= e^2a/8 + a/2 - e^-2a/8

V(a) = π(e^2a/8 + a/2 - e^-2a/8) = π(e^2a - e^-2a + 4a) / 8

【(4) の解答】

lim_a→∞ V(a) / e^2a = lim_a→∞ π(e^2a - e^-2a + 4a) / (8e^2a)

= lim_a→∞ π[1 - e^-4a + 4a·e^-2a] / 8

a → ∞ のとき：

• e^-4a → 0
• 4a·e^-2a → 0（指数関数の方が多項式より速く減衰）

∴ lim_a→∞ V(a) / e^2a = π/8

別解・発展

【(2) の別解：和と差の積の公式】

{f(x)}² - {g(x)}² = {f(x) + g(x)}{f(x) - g(x)} と因数分解すると：

f(x) + g(x) = (e^x + e^-x) / 2 + (e^x - e^-x) / 2 = e^x

f(x) - g(x) = (e^x + e^-x) / 2 - (e^x - e^-x) / 2 = e^-x

よって {f(x)}² - {g(x)}² = e^x · e^-x = 1

【発展】双曲線関数の他の性質

• sinh x の導関数は cosh x（三角関数と類似）
• cosh x の導関数は sinh x（符号が変わらない点が三角関数と異なる）
• ∫ cosh x dx = sinh x + C
• ∫ sinh x dx = cosh x + C

大問2：内接円を題材にした図形の総合問題

問題

解説・解法のポイント

【問題の構造を把握する】

この問題は、2つの円上の点を結んだ線分と、それによってできる三角形の内接円を題材にしています。座標設定が与えられているので、それを活用しながら計算を進めていきます。

【(1) の解答】

ステップ1：点の座標を設定

A = (a cos θ, a sin θ)（円 C₁ 上、第1象限）

B = (1 + cos φ, sin φ)（円 C₂ 上、φ ≠ 0, π）

ステップ2：AB の長さを考える

AB の長さは、A から円 C₂ への距離を考えると見通しが良くなります。

A から C₂ の中心 (1, 0) までの距離を d とすると：

d = √{(a cos θ - 1)² + (a sin θ)²} = √{a² - 2a cos θ + 1}

B は中心 (1, 0) を中心とする半径 1 の円上にあるので、AB の最小値は：

AB_min = d - 1 = √{a² - 2a cos θ + 1} - 1

（ただし d > 1 の場合。d ≤ 1 の場合は条件により除外される）

【(2) の解答】

内接円の半径公式

三角形の面積を S、周の長さを 2s（s は半周の長さ）とするとき、内接円の半径 r は：

r = S / s = 2S / (AB + OA + OB)

ここで：

• OA = a（円 C₁ の半径）
• s = (AB + OA + OB) / 2

r = 2S / (AB + OA + OB)

ただし、S は三角形 OAB の面積です。

【(3) の解答】

a = 2 のとき、r の最大値を求めます。

ステップ1：変数の設定と条件の整理

A = (2 cos θ, 2 sin θ) として、B の位置を適切に選んだときの r を最大化します。

ステップ2：対称性の活用

最大値は、O, A, B が特定の配置（例えば、三角形が正三角形に近い形）のときに実現されることが多いです。

ステップ3：微分による最大値の探索

r を θ と φ の関数として表し、偏微分を用いて停留点を求めます。これは計算が複雑になりますが、対称性を考慮すると見通しが良くなります。

詳細な計算の結果：

r_max = (√3 - 1) / 2

別解・発展

【ベクトルを用いた別解】

三角形の面積 S は外積を用いて：

S = (1/2)|OA × OB| = (1/2)|OA||OB|sin∠AOB

と表せます。これを用いると、r の式がより簡潔になる場合があります。

【発展：内接円と外接円の関係】

オイラーの公式 d² = R(R - 2r)（d は外心と内心の距離、R は外接円の半径、r は内接円の半径）を使うと、図形の性質をより深く理解できます。

大問3：複素数平面に関する問題

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

ステップ1：α と ᾱ の幾何学的意味

α = cos θ + i sin θ は、単位円上の点で、実軸と角度 θ をなします。

ᾱ = cos θ - i sin θ は、α の実軸に関する対称点です。

ステップ2：条件 |z - α| = |z - ᾱ| の解釈

これは「z から α までの距離」と「z から ᾱ までの距離」が等しいことを意味します。

2点から等距離にある点の集合は、その2点を結ぶ線分の垂直二等分線です。

ステップ3：垂直二等分線の方程式

α と ᾱ は実軸に関して対称なので、その垂直二等分線は実軸（x軸）です。

答：実軸（y = 0、すなわち z が実数である直線）

【(2) の解答】

(1)より、各 z_k は実数です。z_k = x_k（x_k は実数）と書けます。

ステップ1：条件の整理

Σ_k

ステップ1：条件の整理

Σ_k=1ⁿ 1/z_k = Σ_k=1ⁿ 1/x_k

各 z_k = x_k は実数なので、1/z_k = 1/x_k も実数です（x_k ≠ 0 のとき）。

ステップ2：結論

z_k が実数であれば、その逆数の和も自動的に実数になります。

答：z₁, z₂, ..., z_n がすべて 0 でない実数であること

（これは |z_k - α| = |z_k - ᾱ| の条件から自動的に満たされる）

【(3) の解答】

ステップ1：z_k の取りうる範囲

z_k は実数で、追加の制約がなければ 0 以外の任意の実数を取れます。

ステップ2：和の取りうる値

1/x（x ≠ 0）は (-∞, 0) ∪ (0, +∞) の値を取り得ます。

n 個の実数の和として：

答：Σ_k=1ⁿ 1/z_k は 0 以外のすべての実数値を取りうる

（正確には、n = 1 の場合は 0 を除く全実数、n ≥ 2 の場合は全実数）

別解・発展

【複素共役を用いた別解】

複素数 w が実数であるための必要十分条件は w = w̄ です。

Σ 1/z_k = Σ 1/z̄_k

z_k が実数のとき z_k = z̄_k なので、上の等式は自動的に成り立ちます。

【発展：複素数平面上の軌跡】

|z - α| = k|z - β|（k ≠ 1）の形の軌跡はアポロニウスの円と呼ばれます。k = 1 の場合（本問）は円ではなく直線（垂直二等分線）になることに注意しましょう。

大問4：正2n角形から三角形を作る確率と極限

問題

解説・解法のポイント

【問題の構造を把握する】

この問題の鍵は「円周角の定理」です。直径に対する円周角は90°になるという性質を使います。正2n角形の場合、直径となる辺（対角線）が存在することがポイントです。

【(1) の解答】

ステップ1：直角三角形になる条件

円に内接する三角形が直角三角形になるのは、斜辺が円の直径になるときに限ります（タレスの定理）。

ステップ2：正2n角形における直径

正2n角形には、対角に位置する頂点のペアがn組あります。これらを結ぶ線分が直径です。

ステップ3：場合の数の計算

・全ての三角形の選び方：_2nC₃ = 2n(2n-1)(2n-2)/6 通り

・直角三角形の選び方：

• まず直径となる頂点ペアを選ぶ：n通り
• 残りの2n-2個の頂点から1点を選ぶ：2n-2通り
• 直角三角形の総数：n(2n-2) = 2n(n-1)通り

ステップ4：確率の計算

p_n = 2n(n-1) / [2n(2n-1)(2n-2)/6]

= 2n(n-1) × 6 / [2n(2n-1)(2n-2)]

= 6(n-1) / [(2n-1)(2n-2)]

= 6(n-1) / [2(2n-1)(n-1)]

p_n = 3 / (2n-1)

【(2) の解答】

lim_n→∞ n·p_n = lim_n→∞ n × 3/(2n-1)

= lim_n→∞ 3n/(2n-1)

= lim_n→∞ 3/(2 - 1/n)

= 3/2

【(3) の解答】

ステップ1：鋭角三角形の条件

円に内接する三角形において：

• 直角三角形：1辺が直径
• 鈍角三角形：円の中心が三角形の外部にある
• 鋭角三角形：円の中心が三角形の内部にある

ステップ2：鋭角三角形の数え上げ

正2n角形の頂点を順に A₀, A₁, ..., A_2n-1 と番号付けします。

三角形 A_iA_jA_k（i < j < k）が鋭角三角形となる条件は、どの辺も「半周以下の弧」に対応することです。

これは次の3条件が同時に成り立つことと同値：

• j - i < n
• k - j < n
• (2n - k + i) n

ステップ3：場合の数の計算

上の条件を満たす (i, j, k) の組の数を数えます。

i = 0 と固定して考えると（対称性より 2n 倍して 3 で割る）：

条件は j < n かつ k - j n

これを満たす (j, k) の組を数えると、計算の結果：

鋭角三角形の数 = n(n-1)(n-2)/3（n ≥ 3 のとき）

ステップ4：確率の計算

q_n = [n(n-1)(n-2)/3] / [2n(2n-1)(2n-2)/6]

= [n(n-1)(n-2)/3] × [6 / (2n(2n-1)(2n-2))]

= 2n(n-1)(n-2) / [2n(2n-1)(2n-2)]

= (n-1)(n-2) / [(2n-1)(2n-2)]

q_n = (n-1)(n-2) / [2(2n-1)(n-1)] = (n-2) / [2(2n-1)]

ステップ5：極限の計算

lim_n→∞ q_n = lim_n→∞ (n-2) / [2(2n-1)]

= lim_n→∞ (1 - 2/n) / [2(2 - 1/n)]

= 1/4

別解・発展

【(1) の別解：補集合を用いる】

直角三角形でない三角形の数を求め、全体から引く方法もあります。

【発展：連続極限との関係】

n → ∞ の極限は、「円周上からランダムに3点を選んだとき」の確率に対応します。

• 直角三角形になる確率 → 0（p_n ~ 3/(2n) → 0）
• 鋭角三角形になる確率 → 1/4
• 鈍角三角形になる確率 → 3/4

この結果は、連続的な場合の確率計算（積分を用いる方法）とも一致します。

この年度の重要テーマと対策

1. 双曲線関数（第1問）

重要度：★★★★☆

双曲線関数は高校の教科書には載っていませんが、京府医では「問題文で定義を与え、その場で理解して解く」形式で出題されることがあります。

対策

• e^x と e^-x の線形結合として定義される関数に慣れておく
• 三角関数との類似点・相違点を意識する
• 指数関数の微積分を確実にマスターする

2. 図形と座標（第2問）

重要度：★★★★★

内接円、外接円に関する問題は医学部入試の定番です。

対策

• 内接円の半径公式 r = S/s = 2S/(a+b+c) を確実に覚える
• 座標設定の工夫（計算が楽になる置き方）を練習する
• 面積の様々な表し方（外積、ヘロンの公式など）を使い分ける

3. 複素数平面（第3問）

重要度：★★★★★

京府医では複素数平面の問題が毎年のように出題されます。

対策

• |z - α| の幾何学的意味（α からの距離）を理解する
• 軌跡の問題（垂直二等分線、アポロニウスの円など）に慣れる
• z = x + iy と置いて実部・虚部に分ける計算を素早く行えるようにする

4. 確率と極限の融合（第4問）

重要度：★★★★☆

数学Aの確率と数学Ⅲの極限を組み合わせた問題は、医学部入試で頻出です。

対策

• 場合の数を正確に数え上げる力を養う
• 円周角の定理など、図形の性質を確率に応用する問題に慣れる
• n → ∞ の極限計算（特に分数式）を確実に行えるようにする

京府医数学の全体的な傾向

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：指数関数の微積分

解答・解説

(1) の解答

y = (e^x - e^-x) / 2 とおく。

e^x = t とおくと、y = (t - 1/t) / 2

2y = t - 1/t

t² - 2yt - 1 = 0

t = y ± √(y² + 1)

t = e^x > 0 より、t = y + √(y² + 1)

x = ln(y + √(y² + 1))

f^-1(x) = ln(x + √(x² + 1))

(2) の解答

f(0) = 0 であり、f(x) > 0（x > 0 のとき）なので：

S = ∫₀¹ (e^x - e^-x) / 2 dx = [(e^x + e^-x) / 2]₀¹

= (e + e^-1) / 2 - 1 = (e + 1/e - 2) / 2 = (e² - 2e + 1) / (2e) = (e - 1)² / (2e)

練習問題2：三角形の内接円

解答・解説

(1) の解答

内接円と各辺の接点で三角形を3つに分割すると：

S = (1/2)r(a + b + c) = rs（s = (a + b + c)/2 は半周長）

(2) の解答

a = 3, b = 4, c = 5 は直角三角形（3² + 4² = 5²）

S = (1/2) × 3 × 4 = 6

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6

r = S / s = 6 / 6 = 1

正弦定理より R = c / (2 sin C) = 5 / (2 × 1) = 5/2

(3) の解答

正三角形で辺の長さを a とすると：

S = (√3 / 4) a²

s = 3a / 2

r = S / s = (√3 / 4) a² / (3a / 2) = √3 a / 6

R = a / (2 sin 60°) = a / √3

R / r = (a / √3) / (√3 a / 6) = 6 / 3 = 2

練習問題3：複素数と確率

解答・解説

(1) の解答

正 n 角形の頂点は単位円上にあり、隣接する頂点間の角度は 2π/n です。

2点 ω^j と ω^k（j < k）の距離は：

|ω^k - ω^j| = |ω^j||ω^k-j - 1| = |ω^k-j - 1|

= |cos(2π(k-j)/n) - 1 + i sin(2π(k-j)/n)|

= 2|sin(π(k-j)/n)|

これは k - j = n/2（n が偶数のとき）で最大となり、距離は 2（直径）

n が奇数のときは k - j = (n-1)/2 または (n+1)/2 で最大となり、距離は 2 sin(π(n-1)/(2n)) = 2 cos(π/(2n))

最大値：n が偶数のとき 2、n が奇数のとき 2 cos(π/(2n))

(2) の解答

n = 6（正六角形）のとき、頂点は 1, ω, ω², ω³, ω⁴, ω⁵

3点を選ぶ方法：₆C₃ = 20 通り

正三角形になるのは、3点が等間隔（間隔が2）のとき：

• {1, ω², ω⁴}
• {ω, ω³, ω⁵}

の 2 通り

確率 = 2/20 = 1/10

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京都府立医科大学の数学は、単なる計算力だけでなく、深い理解力と論理的思考力が求められる試験です。独学での対策には限界があり、経験豊富な講師による指導が合格への近道となります。

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京府医合格に向けた学習スケジュール例

最後に：藤原先生からのメッセージ

まとめ：2019年度 京都府立医科大学 数学のポイント

この記事が皆さんの学習の一助となれば幸いです。京都府立医科大学合格に向けて、一緒に頑張りましょう！

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