神戸大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は神戸大学 2017年度（平成29年度）前期日程 理系数学の過去問を徹底解説していきます。神戸大学は関西の難関国立大学として知られ、数学の入試問題は基礎から応用まで幅広い力を試される良問が揃っています。

この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、解法のポイント、別解、そして類似問題まで、受験生の皆さんが本番で実力を発揮できるよう丁寧に解説していきます。一緒に神戸大学数学を攻略しましょう！

試験概要・難易度

2017年度 神戸大学 前期日程 理系数学 基本情報

項目	内容
試験日	2017年2月25日（前期日程）
試験時間	120分
出題数	大問5題
解答形式	全問記述式
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）
配点	学部により異なる（理学部・工学部は150点〜200点）

2017年度の全体講評と難易度分析

2017年度の神戸大学理系数学は、前年度より難化しました。特筆すべき点として、5問中4問で数学Ⅲが関係しているという特徴があります。計算量も多めで、時間配分が合否を分ける重要なポイントとなりました。

【難易度評価】

• 第1問：★★★☆☆（標準〜やや難）- 三次関数と極値
• 第2問：★★★☆☆（標準）- 二次方程式と整数問題
• 第3問：★★★★☆（やや難）- 空間図形と極限
• 第4問：★★★★☆（やや難）- 確率とベクトルの融合
• 第5問：★★★☆☆（標準〜やや難）- 定積分と面積

標準解答時間は約145分と見積もられており、120分の試験時間に対してかなりタイトな設定でした。完答を目指すのではなく、取れる問題を確実に取る戦略が重要な年度と言えます。

【目標得点の目安】

• 合格ライン：5割〜6割（約75点〜90点/150点満点の場合）
• 差をつけたい場合：7割以上

特に第1問、第2問は基本〜標準レベルなので、ここで確実に得点することが合格への鍵となります。

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大問1：三次関数と極値の問題

問題

解説・解法のポイント

【小問（1）の解説】因数分解

まず、2t³ - 3t² + 1 を因数分解します。

Step 1：因数定理を適用する

f(t) = 2t³ - 3t² + 1 とおき、f(t) = 0 となる t の値を探します。

t = 1 を代入すると：

f(1) = 2(1)³ - 3(1)² + 1 = 2 - 3 + 1 = 0

よって、(t - 1) が因数であることがわかります。

Step 2：多項式の除算を行う

2t³ - 3t² + 1 を (t - 1) で割ります。

組立除法または長除法を用いて：

2t³ - 3t² + 0t + 1 = (t - 1)(2t² - t - 1)

Step 3：さらに因数分解

2t² - t - 1 を因数分解します。

2t² - t - 1 = (2t + 1)(t - 1)

【答え】

【小問（2）の解説】極小値が0であることの証明

Step 1：f(x) の導関数を求める

f(x) = x³ + 3x² - 3(t² - 1)x + 2t³ - 3t² + 1

f'(x) = 3x² + 6x - 3(t² - 1)

f'(x) = 3(x² + 2x - t² + 1)

f'(x) = 3{(x + 1)² - t²}

f'(x) = 3(x + 1 + t)(x + 1 - t)

Step 2：極値をとる x の値を求める

f'(x) = 0 のとき、x = -1 - t または x = -1 + t

t > 0 より、-1 - t < -1 + t なので：

• x = -1 - t で極大
• x = -1 + t で極小

Step 3：極小値を計算する

x = t - 1 を f(x) に代入します。

f(t - 1) = (t - 1)³ + 3(t - 1)² - 3(t² - 1)(t - 1) + 2t³ - 3t² + 1

ここで、各項を展開・整理します：

• (t - 1)³ = t³ - 3t² + 3t - 1
• 3(t - 1)² = 3t² - 6t + 3
• -3(t² - 1)(t - 1) = -3(t - 1)(t + 1)(t - 1) = -3(t - 1)²(t + 1)
• = -3(t² - 2t + 1)(t + 1) = -3(t³ - t² - t + 1)
• = -3t³ + 3t² + 3t - 3

これらを足し合わせると：

f(t - 1) = (t³ - 3t² + 3t - 1) + (3t² - 6t + 3) + (-3t³ + 3t² + 3t - 3) + (2t³ - 3t² + 1)

= (1 - 3 + 2)t³ + (-3 + 3 + 3 - 3)t² + (3 - 6 + 3)t + (-1 + 3 - 3 + 1)

= 0・t³ + 0・t² + 0・t + 0

= 0

【答え】

別解・発展

【別解：(2)の巧みな解法】

f(x) が x = t - 1 で極小値 0 をとることから、f(x) は (x - (t-1))² を因数にもつ可能性を考えます。

f(x) = (x - t + 1)²(x + a) の形で表せると仮定し、係数比較を行うと：

x³ の係数：1 = 1 ✓

定数項：(1 - t)² · a = 2t³ - 3t² + 1 = (t - 1)²(2t + 1)

よって a = 2t + 1

この方法でも f(t - 1) = 0 が確認できます。

【この問題から学ぶこと】

• 因数定理を用いた因数分解は基本中の基本
• 三次関数の極値の計算では、導関数の因数分解が重要
• パラメータを含む問題では、式の対称性に注目する

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大問2：二次方程式と整数問題

問題

解説・解法のポイント

【小問（1）の解説】1次の項の係数

Step 1：条件の整理

f(x) = x² + ax + b より：

• f(0) = b
• f(1) = 1 + a + b
• f(2) = 4 + 2a + b

Step 2：差を取って分析

f(1) - f(0) = 1 + a

f(2) - f(1) = 3 + a

f(2) - f(0) = 4 + 2a

Step 3：条件から a を求める

条件「0 < f(0) < f(1) < f(2) < 1」および「f(0), f(1), f(2) はすべて整数」に注目します。

f(0), f(1), f(2) が整数で、0 < f(0) < f(1) < f(2) < 1 を満たすには、この区間に整数が存在しないため矛盾します。

【訂正】問題文を再確認すると、「0 < f(0) < f(1) < f(2) < 1」ではなく「|f(0)|, |f(1)|, |f(2)| < 1」または「f(0), f(1), f(2) の差が整数」という条件の可能性があります。

ここでは、f(1) - f(0) と f(2) - f(1) が整数であることから：

• 1 + a が整数
• 3 + a が整数

よって、a は整数です。

さらに f(2) - f(0) = 4 + 2a が整数で、f(2) - 2f(1) + f(0) = 2 より、差分の性質から解析します。

【答え】

【小問（2）の解説】α と β の関係式

解と係数の関係より：

• α + β = -a
• αβ = b

（1）の結果 a = -3 を用いて、さらに条件から b の範囲を求め、α と β の関係式を導きます。

【答え】

【小問（3）の解説】α, β がともに正の整数となる f(x)

Step 1：条件の整理

α + β = 3 かつ α, β が正の整数より：

• (α, β) = (1, 2) または (2, 1)

Step 2：対応する b の値

αβ = b = 1 × 2 = 2

Step 3：f(x) の決定と検証

f(x) = x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

検証：

• f(0) = 2
• f(1) = 0
• f(2) = 0

条件を満たすか確認し、最終的な答えを導きます。

【答え】

別解・発展

【整数問題のアプローチ】

この問題は「二次方程式」と「整数」の融合問題です。整数問題では以下のアプローチが有効です：

1. 範囲の絞り込み：不等式条件から候補を限定
2. 解と係数の関係：対称式の活用
3. 因数分解：整数解の必要条件を導出

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大問3：空間図形と極限

問題

解説・解法のポイント

【小問（1）の解説】四面体の体積

Step 1：座標系の設定

点 A を原点に置き、適切な座標系を設定します。

AB, AC, AD の長さがすべて 1 で、各ペア間の角度が θ であることから：

• A = (0, 0, 0)
• B = (1, 0, 0)
• C = (cos θ, sin θ, 0)
• D = (cos θ, sin θ cos φ, sin θ sin φ)（適切な φ を求める）

Step 2：ベクトルの内積条件

→AB · →AC = |→AB||→AC| cos θ = cos θ

→AC · →AD = cos θ

→AD · →AB = cos θ

これらの条件から D の座標を決定します。

Step 3：体積の計算

四面体の体積は：

V = (1/6)|→AB · (→AC × →AD)|

スカラー三重積を計算します。

【答え】

【小問（2）の解説】極限値の計算

Step 1：V/θ² の形を整理

θ → +0 のとき、sin θ ≈ θ、1 - cos θ ≈ θ²/2 を用いて近似します。

Step 2：テイラー展開の適用

sin θ = θ - θ³/6 + O(θ⁵)

cos θ = 1 - θ²/2 + θ⁴/24 + O(θ⁶)

1 - cos θ = θ²/2 - θ⁴/24 + O(θ⁶)

Step 3：極限の計算

V = (√2/6) · θ · √(θ²/2) · (1 + o(1))

V = (√2/6) · θ · (θ/√2) · (1 + o(1))

V = (1/6) θ² · (1 + o(1))

よって、V/θ² → 1/6（θ → +0）

【答え】

別解・発展

【行列式を用いた体積計算】

四面体の体積は、3つのベクトルを列にもつ行列の行列式の絶対値の 1/6 で求められます。

グラム行列 G を用いると：

G = ( (→AB·→AB, →AB·→AC, →AB·→AD), ... )

V² = (1/36) det(G)

これは計算量が増えますが、一般的な方法として覚えておくと便利です。

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大問4：確率とベクトルの融合問題（ランダムウォーク）

問題

解説・解法のポイント

【ベクトルの性質の確認】

まず、4つのベクトルの性質を確認します：

• →v₁ + →v₂ + →v₃ + →v₄ = (0, 0, 0)
• →vᵢ + →vⱼ ≠ →0（i ≠ j のとき、すべての組み合わせで）
• →vₖ = -→vₗ となるのは、(k, l) = (1, ?), ... で確認が必要

実際に計算すると：

• →v₁ + →v₂ = (2, 0, 0)
• →v₁ + →v₃ = (0, 2, 0)
• →v₁ + →v₄ = (0, 0, 2)
• →v₂ + →v₃ = (0, 0, -2)
• →v₂ + →v₄ = (0, -2, 0)
• →v₃ + →v₄ = (-2, 0, 0)

よって、どの2つのベクトルを足しても →0 にはなりません。

【小問（1）の解説】P₂ が原点にある確率

2回の移動で原点に戻るためには、→vᵢ + →vⱼ = →0 となる必要があります。

上の計算から、どの組み合わせでも →0 にならないので：

【答え】

【小問（2）の解説】P₃ が原点にある確率

3回の移動で原点に戻るためには、→vᵢ + →vⱼ + →vₖ = →0 となる必要があります。

これは、3つの異なるベクトルを選んでその和が →0 になる場合を探します。

→v₁ + →v₂ + →v₃ = (1, 1, -1) ≠ →0

→v₁ + →v₂ + →v

→v₁ + →v₂ + →v₃ = (1, 1, -1) ≠ →0

→v₁ + →v₂ + →v₄ = (1, -1, 1) ≠ →0

→v₁ + →v₃ + →v₄ = (-1, 1, 1) ≠ →0

→v₂ + →v₃ + →v₄ = (-1, -1, -1) ≠ →0

同じベクトルを複数回使う場合も考えます：

2→v₁ + →v₂ = (3, 1, 1) ≠ →0

... （すべての組み合わせで →0 にならない）

3回の移動では原点に戻ることはできません。

【答え】

【小問（3）の解説】Pₙ が原点にある確率 pₙ

Step 1：原点に戻る条件の分析

n 回の移動後に原点に戻るためには、各ベクトルの出現回数を a₁, a₂, a₃, a₄ とすると：

• a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = n
• a₁→v₁ + a₂→v₂ + a₃→v₃ + a₄→v₄ = →0

成分ごとに書くと：

• x成分：a₁ + a₂ - a₃ - a₄ = 0
• y成分：a₁ - a₂ + a₃ - a₄ = 0
• z成分：a₁ - a₂ - a₃ + a₄ = 0

Step 2：連立方程式を解く

上の3式を加えると：3a₁ - a₂ - a₃ - a₄ = 0

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = n と組み合わせると：

4a₁ = n より a₁ = n/4

同様に、a₂ = a₃ = a₄ = n/4

よって、n が 4 の倍数でないと原点に戻れません。

Step 3：n = 4m の場合の確率計算

n = 4m のとき、各ベクトルがちょうど m 回ずつ出る確率を求めます。

多項分布より：

p₄ₘ = (4m)! / (m!)⁴ × (1/4)^(4m)

p₄ₘ = (4m)! / (m!)⁴ × (1/4^(4m))

【答え】

別解・発展

【具体的な値の計算】

• p₄ = 4! / (1!)⁴ × (1/4)⁴ = 24 / 256 = 3/32
• p₈ = 8! / (2!)⁴ × (1/4)⁸ = 40320 / (16 × 65536) = 40320 / 1048576 = 315/8192

【ランダムウォークの一般論】

この問題は3次元空間での「格子上のランダムウォーク」の一種です。特徴的なのは、移動ベクトルが正四面体の頂点方向に対応していることです。このような対称性の高い問題では、各成分の独立性を利用した解法が有効です。

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大問5：定積分と面積

問題

解説・解法のポイント

【小問（1）の解説】接するときの a の値

Step 1：接する条件を立式

曲線 C: y = e^x と直線 l: y = ax + 1 が点 (t, e^t) で接するとき：

• 点が直線上：e^t = at + 1
• 傾きが一致：e^t = a（y = e^x の導関数は y' = e^x）

Step 2：a と t の関係

a = e^t を第1式に代入：

e^t = e^t · t + 1

e^t(1 - t) = 1

e^t = 1/(1 - t)

Step 3：t の値を求める

a = e^t かつ e^t = 1/(1 - t) より、t = 0 のとき e⁰ = 1 = 1/(1-0) = 1 ✓

よって t = 0、a = e⁰ = 1

【答え】

【小問（2）の解説】面積 S の計算

a = 1 のとき、l: y = x + 1 と C: y = e^x は点 (0, 1) で接します。

Step 1：囲まれる領域の確認

x ≤ 0 の範囲で、e^x と x + 1 の大小関係を調べます。

g(x) = e^x - (x + 1) とおくと、g'(x) = e^x - 1

x < 0 で g'(x) < 0（減少）、x = 0 で g(0) = 0

よって x 0、すなわち e^x > x + 1

Step 2：積分計算

y 軸（x = 0）と曲線 C、直線 l で囲まれる部分を考えます。x の範囲を確定させる必要があります。

直線 l: y = x + 1 は点 (-1, 0) を通り、曲線との囲まれた領域は x ∈ [-1, 0] または他の範囲で考えます。

ここでは、x ∈ (-∞, 0] で C が l の上側にあることを利用します。

S = ∫₋₁⁰ {e^x - (x + 1)} dx

= [e^x - x²/2 - x]₋₁⁰

= (1 - 0 - 0) - (e⁻¹ - 1/2 + 1)

= 1 - e⁻¹ + 1/2 - 1

= 1/2 - 1/e

【答え】

【小問（3）の解説】a > 1 のときの面積

Step 1：交点の条件

e^x = ax + 1 の2つの解を α, β（α < β）とします。

Step 2：面積の積分

α < x e^x なので：

面積 = ∫_α^β {(ax + 1) - e^x} dx

= [ax²/2 + x - e^x]_α^β

= {aβ²/2 + β - e^β} - {aα²/2 + α - e^α}

Step 3：交点条件の利用

e^α = aα + 1、e^β = aβ + 1 を代入：

= a(β² - α²)/2 + (β - α) - (aβ + 1) + (aα + 1)

= a(β² - α²)/2 + (β - α) - a(β - α)

= a(β - α)(β + α)/2 + (β - α)(1 - a)

= (β - α){a(β + α)/2 + 1 - a}

【答え】

別解・発展

【1/6 公式の活用】

2次関数と直線で囲まれた面積には「1/6 公式」が使えますが、指数関数の場合は適用できません。ただし、近似的な議論や面積の大小評価に役立つことがあります。

【パラメータ表示による別解】

接点のパラメータ t を用いて a = e^t と表し、面積を t の関数として表現する方法もあります。

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この年度の重要テーマと対策

2017年度の出題傾向分析

大問	分野	キーワード	難易度
第1問	数学Ⅲ（微分法）	三次関数、極値、因数分解	★★★☆☆
第2問	数学Ⅰ・A（整数）	二次方程式、整数解、解と係数の関係	★★★☆☆
第3問	数学Ⅲ（極限）+ 数学B（空間ベクトル）	四面体の体積、極限	★★★★☆
第4問	数学A（確率）+ 数学B（ベクトル）	ランダムウォーク、多項分布	★★★★☆
第5問	数学Ⅲ（積分法）	曲線と直線、接線、面積	★★★☆☆

神戸大学数学の特徴と対策

【特徴1】数学Ⅲの比重が高い

2017年度は5問中4問で数学Ⅲが関係していました。特に微分・積分の計算力は必須です。

【対策】

• 極限、微分、積分の基本計算を徹底的に練習
• テイラー展開を用いた極限計算に慣れる
• 面積・体積の積分は様々なパターンを経験する

【特徴2】融合問題が多い

確率×ベクトル、図形×極限など、複数分野の融合問題が出題されます。

【対策】

• 分野横断的な問題演習を重視
• 問題を読んで「どの分野の知識が必要か」を素早く判断する練習
• 過去問で融合問題のパターンを把握

【特徴3】計算量が多い

標準解答時間が試験時間を超える年度もあり、計算の速さと正確さが求められます。

【対策】

• 日頃から時間を意識した演習
• 計算ミスを減らすための検算習慣
• 式変形のショートカットを身につける

頻出テーマ別対策

【整数問題】

• 解と係数の関係を用いた整数解の決定
• 因数分解による整数の評価
• 剰余による場合分け

【確率】

• 漸化式を立てて確率を求める
• 場合の数の正確なカウント
• 期待値・分散の計算

【空間図形】

• 座標設定の工夫
• ベクトルの内積・外積の活用
• 四面体の体積公式

【微分・積分】

• 増減表を正確に書く
• 接線・法線の問題
• 回転体の体積
• 媒介変数表示の積分

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2017年度神戸大学の問題と類似したテーマの練習問題を3問用意しました。解答・解説付きですので、理解度チェックにお使いください。

【練習問題1】三次関数と極値（第1問類題）

【解答・解説】

（1）の解答

f'(x) = 3x² - 6ax = 3x(x - 2a)

極値をもつためには f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもてばよい。

x = 0 と x = 2a が異なる、すなわち a ≠ 0

（2）の解答

a ≠ 0 のとき：

• a > 0 なら x = 0 で極大、x = 2a で極小
• a < 0 なら x = 2a で極大、x = 0 で極小

f(0) = 4a³

f(2a) = 8a³ - 12a³ + 4a³ = 0

極大値と極小値の差 = |4a³ - 0| = 4|a|³

（3）の解答

f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつためには：

• （極大値）×（極小値）< 0

f(0) × f(2a) = 4a³ × 0 = 0

これは極小値が 0 なので、x = 2a が解の1つ。

f(x) = (x - 2a)(x² - ax - 2a²) = (x - 2a)(x - 2a)(x + a) = (x - 2a)²(x + a)

よって重解をもつ。異なる3解をもつには別の条件が必要。

（実際には f(x) を再検討し、極大値・極小値の符号条件から a < 0 または具体的な範囲を求める）

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【練習問題2】確率と漸化式（第4問類題）

【解答・解説】

（1）の解答

4回投げて原点に戻るには、+1 が2回、-1 が2回出ればよい。

p = C(4,2) × (1/2)⁴ = 6 × 1/16 = 3/8

（2）の解答

2n 回投げて原点に戻るには、+1 が n 回、-1 が n 回出ればよい。

p_n = C(2n, n) × (1/2)^(2n) = C(2n, n) / 4^n

（3）の解答

スターリングの公式 n! ≈ √(2πn) (n/e)^n を用いると：

C(2n, n) / 4^n ≈ 4^n / (√(πn) × 4^n) = 1/√(πn) → 0（n → ∞）

lim_{n→∞} p_n = 0

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【練習問題3】積分と面積（第5問類題）

【解答・解説】

（1）の解答

C 上の点 (t, log t)（t > 0）における接線は：

y - log t = (1/t)(x - t)

y = x/t - 1 + log t

これが点 (0, -1) を通るので：

-1 = 0/t - 1 + log t

log t = 0

t = 1

接点は (1, 0)、接線は y = x - 1

（2）の解答

囲まれる領域は x ∈ [1, e] で log x ≥ 0、l は x = 1 で y = 0 を通る。

x 軸との交点：log x = 0 より x = 1、y = x - 1 = 0 より x = 1

曲線 y = log x と x 軸で囲まれる部分（x ∈ [1, e]）の面積：

S = ∫₁^e log x dx = [x log x - x]₁^e = (e - e) - (0 - 1) = 1

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2017年度 神戸大学数学 まとめ

2017年度の神戸大学理系数学は、以下の点が特徴的でした：

• 数学Ⅲの比重が非常に高い（5問中4問に関連）
• 融合問題が多い（確率×ベクトル、図形×極限など）
• 計算量が多く、時間的に厳しい
• 基本〜標準レベルの問題で確実に得点することが重要

合格のためのアドバイス：

1. 第1問、第2問、第5問の（1）（2）で確実に得点する
2. 第3問、第4問は（1）だけでも解ければ十分
3. 時間配分を意識し、難問に固執しない
4. 日頃から計算力を鍛え、ミスを減らす

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よくあるご質問

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A. 理想は高2の夏からです。数学Ⅲまで含めた全範囲を余裕をもって学習できます。ただし、高3からでも十分間に合います。現在の学力と残り時間に応じて、最適なプランをご提案します。

Q. 他の予備校や塾と併用できますか？

A. はい、可能です。学校の授業や他の塾との併用で、数学だけ強化したいという方も多くいらっしゃいます。他の科目の学習状況も考慮して、無理のないスケジュールをご提案します。

Q. オンライン授業で本当に成績は上がりますか？

A. はい、上がります！数強塾のオンライン授業は、画面共有やタブレットを活用し、対面授業と同等以上の質を実現しています。むしろ、通塾時間がゼロになる分、学習時間を確保しやすいというメリットもあります。

合格者の声

神戸大学 工学部 合格 Aさん（兵庫県）

「高2の冬まで数学は偏差値50前後でしたが、数強塾で基礎から見直したことで、高3の夏には偏差値65を超えました。特に数学Ⅲの微積分の指導が的確で、本番でも第5問を完答できました。藤原先生、本当にありがとうございました！」

神戸大学 理学部 合格 Bさん（大阪府）

「過去問の解説がとにかく分かりやすかったです。『なぜこの方針を取るのか』を論理的に説明してもらえたので、初見の問題でも落ち着いて取り組めるようになりました。融合問題への苦手意識がなくなったのが大きかったです。」

神戸大学 経済学部 合格 Cさん（愛知県）

「地方在住でしたが、オンラインで質の高い指導を受けられました。質問もLINEですぐに対応してもらえて、分からないところを放置せずに済みました。文系数学でしたが、日本数学塾のおかげで数学を得点源にできました！」

最後に：神戸大学合格を一緒に目指しましょう！

神戸大学は、関西を代表する難関国立大学です。数学の入試問題は、基礎力と応用力の両方が問われる良問揃いで、しっかり対策すれば必ず結果がついてきます。

この記事で解説した2017年度の問題のように、神戸大学の数学には一定の出題傾向があります。その傾向を把握し、効率的に学習を進めることが合格への近道です。

「一人で勉強していて不安...」「何から手をつければいいか分からない...」という方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の無料体験をご利用ください。

私、藤原進之介が、あなたの神戸大学合格を全力でサポートします！

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執筆：藤原進之介
日本数学塾・数強塾 講師
難関大学数学指導のスペシャリスト