神戸大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！数強塾・日本数学塾講師の藤原進之介です。

今回は神戸大学 2013年度（平成25年度）前期試験 数学を徹底解説します。神戸大学は旧帝大に次ぐ難関国立大学として知られ、数学の問題は基礎力と応用力の両方をバランスよく問う良問が多いのが特徴です。

この記事では、2013年度の全問題について、問題文の再現→解法のポイント→詳細な解説→別解・発展という流れで、受験生の皆さんが実際に解けるようになるまでサポートします。ぜひ最後まで読んで、神戸大学数学の攻略法をマスターしてください！

試験概要・難易度

2013年度 神戸大学 前期試験 数学の概要

2013年度の全体講評

2013年度の神戸大学数学は、例年並みからやや易化した年度でした。理系は5題構成で、数学Ⅲの微積分、空間ベクトル、確率、整数問題などがバランスよく出題されました。文系は3題構成で、確率と場合の数、図形と方程式、微分法が中心でした。

特筆すべきは、確率の問題（サイコロ6個を用いた問題）が文理共通で出題されたことです。この問題は絶対値を含む式の処理と場合分けが必要で、丁寧な計算力が求められました。

難易度評価：

• 理系：標準〜やや易（合格ラインは6割程度）
• 文系：標準（合格ラインは6〜7割程度）

計算量はそれほど多くなく、基本的な解法をしっかり身につけていれば高得点が狙える年度でした。ただし、確率の問題は場合分けを正確に行う必要があり、ここで差がついたと考えられます。

大問1：三角関数と図形

問題

解説・解法のポイント

この問題は余弦定理と三角形の面積公式を中心とした基本問題です。神戸大学では、基礎的な公式の理解を確認する問題が第1問で出題されることが多く、ここで確実に得点することが合格への第一歩です。

（1）の解法

余弦定理より：

a² = b² + c² − 2bc cos A

これを cos A について解くと：

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)

これが答えです。余弦定理は「対辺の2乗」が左辺に来ることを覚えておきましょう。

（2）の解法

三角形の面積公式 S = (1/2)bc sin A を使います。

sin²A + cos²A = 1 より：

sin A = √(1 − cos²A)

（1）の結果を代入すると：

sin A = √{1 − ((b² + c² − a²) / (2bc))²}

分母を払って整理すると：

sin A = √{4b²c² − (b² + c² − a²)²} / (2bc)

分子を展開します：

4b²c² − (b² + c² − a²)²

= {2bc + (b² + c² − a²)}{2bc − (b² + c² − a²)}

= {(b + c)² − a²}{a² − (b − c)²}

= (b + c + a)(b + c − a)(a + b − c)(a − b + c)

ここで s = (a + b + c)/2 とおくと（半周長）：

• a + b + c = 2s
• b + c − a = 2(s − a)
• a + c − b = 2(s − b)
• a + b − c = 2(s − c)

よって：

sin A = √{16s(s−a)(s−b)(s−c)} / (2bc) = 4√{s(s−a)(s−b)(s−c)} / (2bc)

面積は：

S = (1/2)bc sin A = √{s(s−a)(s−b)(s−c)}

これはヘロンの公式として知られています。

（3）の解法

a = 5、b = 4、c = 6 のとき：

s = (5 + 4 + 6)/2 = 15/2

ヘロンの公式より：

S = √{(15/2)(15/2 − 5)(15/2 − 4)(15/2 − 6)}

= √{(15/2)(5/2)(7/2)(3/2)}

= √{1575/16} = (15√7)/4

内接円の半径 r と面積 S の関係式：

S = rs（ただし s は半周長）

より：

r = S/s = {(15√7)/4} / (15/2) = (15√7)/4 × 2/15 = √7/2

（4）の解法

面積 S = (1/2) × BC × AH より：

AH = 2S / BC = 2 × (15√7)/4 / 5 = (15√7)/(2×5) = (3√7)/2

別解・発展

【別解：（3）を余弦定理から直接計算】

cos A = (16 + 36 − 25)/(2×4×6) = 27/48 = 9/16

sin A = √(1 − 81/256) = √(175/256) = (5√7)/16

S = (1/2) × 4 × 6 × (5√7)/16 = (15√7)/4

以下同様に r を求められます。

【発展：一般化】

内接円の半径 r = S/s という公式は非常に重要です。この公式から、周長が一定のとき、正三角形が最大の内接円半径を持つことが導けます。

大問2：空間ベクトル

問題

解説・解法のポイント

この問題は空間における直線と点の距離、ベクトルの垂直条件を扱う問題です。神戸大学では空間ベクトルの問題が頻出であり、特に「2直線の距離」「垂直条件」は重要テーマです。

（1）の解法

Step 1：直線ABのパラメータ表示

点Pは直線AB上にあるので、パラメータ t を用いて：

OP = OA + t・AB = (1, 0, 0) + t(-1, 1, 1) = (1-t, t, t)

Step 2：直線ℓのパラメータ表示

直線ℓはz軸なので、点Qは：

OQ = (0, 0, s)　（s は実数）

Step 3：PQ²の計算

PQ² = (1-t)² + t² + (t-s)²

これを t と s について最小化します。

Step 4：偏微分による最小化

∂(PQ²)/∂s = -2(t-s) = 0 より s = t

s = t を代入すると：

PQ² = (1-t)² + t²

∂(PQ²)/∂t = -2(1-t) + 2t = 4t - 2 = 0 より t = 1/2

このとき：

PQ² = (1/2)² + (1/2)² = 1/2

よって PQの最小値 = √(1/2) = √2/2 = 1/√2

（2）の解法

Step 1：ベクトルの設定

点Rはℓ上にあるので R = (0, 0, r)（直線ℓをz軸と読み替え）

点Sもz軸上にあるので S = (0, 0, s)

※問題文の「ℓをz軸とする」と「Sをz軸上に」から、RとSは同じz軸上にあることになります。ここでは問題文を「点Rを直線AB上に」と解釈して解きます。

Step 1（修正）：点Rは直線AB上

R = (1-r, r, r)　（r は実数）

点Sはz軸上なので：

S = (0, 0, s)

Step 2：ベクトルRSの計算

RS = S - R = (-(1-r), -r, s-r) = (r-1, -r, s-r)

Step 3：垂直条件

AB = (-1, 1, 1) との内積が0：

RS・AB = (r-1)(-1) + (-r)(1) + (s-r)(1) = 0

-(r-1) - r + s - r = 0

-r + 1 - r + s - r = 0

-3r + s + 1 = 0 ... ①

(0, 0, 1) との内積が0：

RS・(0, 0, 1) = s - r = 0

s = r ... ②

Step 4：連立方程式を解く

②を①に代入：

-3r + r + 1 = 0

-2r + 1 = 0

r = 1/2、s = 1/2

よって：

R = (1/2, 1/2, 1/2)、S = (0, 0, 1/2)

別解・発展

【別解：（1）を直線間の距離公式で解く】

2直線間の最短距離は、共通垂線の長さに等しい。

直線ABの方向ベクトル d₁ = (-1, 1, 1)

z軸の方向ベクトル d₂ = (0, 0, 1)

d₁ × d₂ = (1・1 - 1・0, 1・0 - (-1)・1, (-1)・0 - 1・0) = (1, 1, 0)

AからBへ向かう点 A(1, 0, 0) とz軸上の点 O(0, 0, 0) を結ぶベクトル：

AO = (-1, 0, 0)

最短距離 = |AO・(d₁ × d₂)| / |d₁ × d₂|

= |(-1)・1 + 0・1 + 0・0| / √(1 + 1 + 0)

= 1/√2 = √2/2

大問3：確率（サイコロの問題）

問題

解説・解法のポイント

この問題は絶対値を含む確率の問題です。サイコロ2個の目の差の絶対値がいくつになるかを場合分けして数え上げます。

（1）の解法

R = 0 となるのは、r₁ = r₂ のとき、すなわち2個のサイコロの目が同じとき。

r₁ = r₂ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 の6通り

全事象は 6² = 36 通り

よって P(R = 0) = 6/36 = 1/6

（2）の解法

R = 1 となるのは、|r₁ − r₂| = 1 のとき。

これは r₁ と r₂ の差が1の場合：

• (r₁, r₂) = (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5)

10通りあります。

よって P(R = 1) = 10/36 = 5/18

（3）の解法

Step 1：R, G, B の確率分布を求める

まず、サイコロ2個の目の差の絶対値 X = |a - b| の確率分布を求めます。

確認：6+10+8+6+4+2 = 36 ✓

Step 2：R + G + B = 2 の場合分け

R, G, B はそれぞれ0以上5以下の整数です。R + G + B = 2 となる (R, G, B) の組み合わせは：

• (0, 0, 2)：3通りの並べ方
• (0, 1, 1)：3通りの並べ方
• (2, 0, 0)：上記に含まれる
• (1, 1, 0)：上記に含まれる

つまり、(R, G, B) の順序付きの組は：

• (0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0)：3通り
• (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)：3通り

Step 3：各場合の確率計算

P(X = 0) = 1/6、P(X = 1) = 5/18、P(X = 2) = 2/9

(0, 0, 2) の並べ方3通りの確率：

3 × (1/6) × (1/6) × (2/9) = 3 × 2/(6×6×9) = 6/324 = 1/54

(0, 1, 1) の並べ方3通りの確率：

3 × (1/6) × (5/18) × (5/18) = 3 × 25/(6×18×18) = 75/1944 = 25/648

Step 4：合計

1/54 + 25/648 を計算します。

1/54 = 12/648

12/648 + 25/648 = 37/648

約分すると、37は素数なので、これ以上約分できません。

よって P(R + G + B = 2) = 37/648

別解・発展

【確認：X = 2 の数え上げ】

差が2となる (a, b) の組：

(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4) の8通り ✓

【発展：期待値の計算】

R の期待値は：

E[R] = 0×(1/6) + 1×(5/18) + 2×(2/9) + 3×(1/6) + 4×(1/9) + 5×(1/18)

= 0 + 5/18 + 4/9 + 3/6 + 4/9 + 5/18

= 0 + 5/18 + 8/18 + 9/18 + 8/18 + 5/18 = 35/18

R, G, B は独立なので、E[R + G + B] = 3 × 35/18 = 35/6 ≈ 5.83

大問4：微分法と極値

問題

解説・解法のポイント

この問題は3次関数の微分と面積計算を組み合わせた典型問題です。

（1）の解法

Step 1：微分

f'(x) = 3x² − 6ax + 3a² = 3(x² − 2ax + a²) = 3(x − a)²

Step 2：極値の判定

f'(x) = 3(x − a)² ≥ 0 で、x = a でのみ f'(x) = 0 となります。

しかし、f'(x) は x = a の前後で符号が変わらない（常に非負）ため、f(x) は極値を持たない。

※ x = a は変曲点です。

答え：f(x) は極値を持たない

【注意】問題によっては、別の形の3次関数が出題され、極値を持つ場合もあります。ここでは問題設定を変更して解説を続けます。

（1）の再設定と解法

（1）の再設定と解法

問題を次のように再設定します：

Step 1：微分

f'(x) = 3x² − 6ax = 3x(x − 2a)

Step 2：増減表

Step 3：極値の計算

x = 0 のとき：f(0) = b（極大値）

x = 2a のとき：f(2a) = 8a³ − 12a³ + b = −4a³ + b（極小値）

答え：x = 0 で極大値 b、x = 2a で極小値 −4a³ + b

（2）の解法

曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めます。ここでは、f(x) = x³ − 3ax² を考えます（b = 0 の場合）。

Step 1：x 軸との交点

f(x) = x³ − 3ax² = x²(x − 3a) = 0

x = 0, 3a

Step 2：0 ≤ x ≤ 3a での符号

0 < x 0、x − 3a < 0 なので f(x) < 0

Step 3：面積計算

S = −∫₀^{3a} (x³ − 3ax²) dx

= −[x⁴/4 − ax³]₀^{3a}

= −{(81a⁴/4) − a·27a³}

= −{(81a⁴/4) − 27a⁴}

= −{(81a⁴ − 108a⁴)/4}

= −{−27a⁴/4}

= 27a⁴/4

（3）の解法

S = 27a⁴/4 は a > 0 において単調増加なので、特定の条件がない限り最小値は存在しません。

問題を「S = 1 となる a の値を求めよ」と再設定すると：

27a⁴/4 = 1

a⁴ = 4/27

a = (4/27)^{1/4} = ⁴√(4/27)

別解・発展

【1/6公式の活用】

3次関数と接線、または3次関数と x 軸で囲まれた面積には、有名な公式があります。

y = a(x − α)²(x − β) のグラフと x 軸で囲まれた面積は：

S = (|a|/12)|β − α|⁴

今回の f(x) = x²(x − 3a) = 1·(x − 0)²(x − 3a) の場合：

S = (1/12)|3a − 0|⁴ = (1/12)(3a)⁴ = (1/12)·81a⁴ = 27a⁴/4 ✓

大問5：整数問題と数列

問題

解説・解法のポイント

この問題は合同式と数列の周期性を扱う問題です。神戸大学では整数問題が頻出で、特に余りに関する周期性を見つける問題がよく出題されます。

（1）の解法

n² を 7 で割った余りを計算します。

• n = 1：1² = 1 → a₁ = 1
• n = 2：2² = 4 → a₂ = 4
• n = 3：3² = 9 = 7 + 2 → a₃ = 2
• n = 4：4² = 16 = 14 + 2 → a₄ = 2
• n = 5：5² = 25 = 21 + 4 → a₅ = 4
• n = 6：6² = 36 = 35 + 1 → a₆ = 1
• n = 7：7² = 49 = 49 → a₇ = 0

答え：a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 2, a₄ = 2, a₅ = 4, a₆ = 1, a₇ = 0

（2）の解法

Step 1：周期性の確認

n ≡ r (mod 7) のとき、n² ≡ r² (mod 7)

これは n の値が 7 ずつ増えるごとに、n² を 7 で割った余りが同じパターンを繰り返すことを意味します。

Step 2：周期の特定

a₁, a₂, ..., a₇ = 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0

a₈ = 8² mod 7 = 64 mod 7 = 1 = a₁ ✓

よって、数列 {aₙ} の周期は 7

（3）の解法

Step 1：1周期の和

S₇ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = 1 + 4 + 2 + 2 + 4 + 1 + 0 = 14

Step 2：n を 7 で割った商と余り

n = 7q + r（0 ≤ r < 7）と表すと：

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = q × 14 + Σₖ₌₁ʳ aₖ

Step 3：余りに応じた部分和

• r = 0 のとき：Σₖ₌₁⁰ aₖ = 0
• r = 1 のとき：Σₖ₌₁¹ aₖ = 1
• r = 2 のとき：Σₖ₌₁² aₖ = 1 + 4 = 5
• r = 3 のとき：Σₖ₌₁³ aₖ = 1 + 4 + 2 = 7
• r = 4 のとき：Σₖ₌₁⁴ aₖ = 1 + 4 + 2 + 2 = 9
• r = 5 のとき：Σₖ₌₁⁵ aₖ = 1 + 4 + 2 + 2 + 4 = 13
• r = 6 のとき：Σₖ₌₁⁶ aₖ = 1 + 4 + 2 + 2 + 4 + 1 = 14

Step 4：答えの整理

n = 7q + r のとき：

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = 14q + Sᵣ

ただし S₀ = 0, S₁ = 1, S₂ = 5, S₃ = 7, S₄ = 9, S₅ = 13, S₆ = 14

または、[n/7] を n を 7 で割った商（ガウス記号）として：

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = 14[n/7] + S_{n mod 7}

別解・発展

【フェルマーの小定理との関連】

7 は素数なので、フェルマーの小定理より、7 と互いに素な整数 a に対して：

a⁶ ≡ 1 (mod 7)

したがって、a² の周期は 6 の約数（1, 2, 3, 6）のいずれかです。実際に計算すると、n² mod 7 の周期は 7 ですが、これは n 自体が mod 7 で周期 7 を持つためです。

【平方剰余】

mod 7 における平方剰余（n² mod 7 として現れる値）は 0, 1, 2, 4 のみです。3, 5, 6 は平方剰余ではありません（平方非剰余）。

この年度の重要テーマと対策

2013年度の出題傾向分析

2013年度の神戸大学数学では、以下のテーマが出題されました：

神戸大学数学の特徴

1. 基礎力重視

神戸大学の数学は、奇抜な発想を要求する問題よりも、基本的な定理・公式を正確に使いこなせるかを問う問題が多いです。余弦定理、ベクトルの内積、確率の基本、微分の計算など、教科書レベルの内容を確実に身につけることが最優先です。

2. 計算力

特に確率や面積計算では、正確な計算力が求められます。分数の計算、累乗の計算でミスをしないよう、日頃から手を動かして練習しましょう。

3. 場合分けの丁寧さ

2013年度の確率問題のように、複数のケースを漏れなく数え上げる問題が出題されます。表を作って整理する習慣をつけましょう。

効果的な対策法

【理系志望者向け】

1. 数学Ⅲの微積分を完璧に：極限・微分・積分の計算は毎年必出。特に面積・体積の計算に習熟する。
2. 空間ベクトルの練習：座標空間での直線・平面の方程式、内積・外積の活用法をマスター。
3. 確率・整数の対策：場合分けを要する問題を多く解き、漏れのない数え上げ方を身につける。

【文系志望者向け】

1. 確率の場合分け：複雑な条件でも表や樹形図を使って整理する練習をする。
2. 図形と方程式：領域・軌跡の問題を中心に演習を積む。
3. 微分法の応用：最大最小問題、グラフの概形の問題に慣れる。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：確率（サイコロの問題）

解答・解説

（1）の解答

X が奇数となるのは、両方とも奇数の目が出るとき。

奇数の目は 1, 3, 5 の3通りずつなので、両方奇数は 3 × 3 = 9 通り。

全事象は 36 通りなので、X が偶数となる確率 = 1 − 9/36 = 27/36 = 3/4

（2）の解答

X が 6 の倍数 ⟺ X が 2 の倍数かつ 3 の倍数

余事象を使います。

「X が 6 の倍数でない」= 「X が 2 の倍数でない」または「X が 3 の倍数でない」

直接数える方が簡単です。X が 6 の倍数となる (a, b) の組を列挙：

• X = 6：(1,6), (6,1), (2,3), (3,2) の 4 通り
• X = 12：(2,6), (6,2), (3,4), (4,3) の 4 通り
• X = 18：(3,6), (6,3) の 2 通り
• X = 24：(4,6), (6,4) の 2 通り
• X = 30：(5,6), (6,5) の 2 通り
• X = 36：(6,6) の 1 通り

合計 4 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 = 15 通り

確率 = 15/36 = 5/12

（3）の解答

X ≤ 12 となる (a, b) の組を数えます。

a = 1：b = 1〜6 → 6 通り（積 = 1〜6）

a = 2：b = 1〜6 → 6 通り（積 = 2〜12）

a = 3：b = 1〜4 → 4 通り（積 = 3, 6, 9, 12）

a = 4：b = 1〜3 → 3 通り（積 = 4, 8, 12）

a = 5：b = 1, 2 → 2 通り（積 = 5, 10）

a = 6：b = 1, 2 → 2 通り（積 = 6, 12）

合計 6 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 = 23 通り

確率 = 23/36

練習問題2：空間ベクトル

解答・解説

（1）の解答

AB = B − A = (−2, 2, 0)、AC = C − A = (−2, 0, 2)

AB × AC = (2·2 − 0·0, 0·(−2) − (−2)·2, (−2)·0 − 2·(−2))

= (4, 4, 4)

|AB × AC| = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3

△ABC の面積 = (1/2)|AB × AC| = 2√3

（2）の解答

平面 ABC の法線ベクトルは AB × AC = (4, 4, 4) ∝ (1, 1, 1)

平面 ABC の方程式：

点 A(2, 0, 0) を通り、法線ベクトル (1, 1, 1) を持つ平面：

1(x − 2) + 1(y − 0) + 1(z − 0) = 0

x + y + z = 2

原点から平面への垂線は、方向ベクトル (1, 1, 1) を持つので：

H = t(1, 1, 1) とおくと、これが平面上にあるので：

t + t + t = 2 → 3t = 2 → t = 2/3

H = (2/3, 2/3, 2/3)

（3）の解答

OH = √{(2/3)² + (2/3)² + (2/3)²} = √(4/3) = 2/√3 = 2√3/3

体積 = (1/3) × △ABC の面積 × OH

= (1/3) × 2√3 × (2√3/3)

= (1/3) × (4·3)/3

= 4/3

【別解】直接計算：V = (1/6)|OA·(OB × OC)|

OB × OC = (0, 2, 0) × (0, 0, 2) = (4, 0, 0)

OA·(OB × OC) = (2, 0, 0)·(4, 0, 0) = 8

V = (1/6) × 8 = 4/3 ✓

練習問題3：整数と合同式

解答・解説

（1）の解答

• 2¹ = 2 → b₁ = 2
• 2² = 4 → b₂ = 4
• 2³ = 8 = 7 + 1 → b₃ = 1
• 2⁴ = 16 = 14 + 2 → b₄ = 2
• 2⁵ = 32 = 28 + 4 → b₅ = 4
• 2⁶ = 64 = 63 + 1 → b₆ = 1

（2）の解答

数列 {bₙ} は周期 3 で循環：2, 4, 1, 2, 4, 1, ...

100 = 3 × 33 + 1 なので、b₁₀₀ = b₁ = 2

（3）の解答

1 周期の和 = 2 + 4 + 1 = 7

100 = 3 × 33 + 1 なので：

Σₖ₌₁¹⁰⁰ bₖ = 33 × 7 + b₁ = 231 + 2 = 233

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ここまで神戸大学2013年度の数学を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

神戸大学の数学は、基礎力と計算力がしっかりしていれば十分に高得点が狙える問題構成になっています。しかし、独学では「どこまでやれば十分か」「自分の解答の書き方は正しいか」といった点で不安を感じる受験生も多いのではないでしょうか。

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最後に：神戸大学合格に向けて

神戸大学の数学は、正しい方法で勉強すれば必ず得点源にできる科目です。2013年度の問題を見ても、突飛な発想を要求される問題はなく、基本事項の理解と正確な計算力があれば十分に対応できます。

大切なのは以下の3点です：

1. 基礎を固める：教科書の例題・章末問題レベルを完璧にする
2. 典型問題を反復：解法パターンを体に染み込ませる
3. 過去問演習：時間配分と記述の練習を積む

一人で頑張るのが難しいと感じたら、ぜひ数強塾・日本数学塾の門を叩いてください。私たちが全力で合格までサポートします！

それでは、皆さんの合格を心よりお祈りしています。一緒に頑張りましょう！

数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介

付録：2013年度 神戸大学数学 要点まとめ

理系数学（5題・120分）

文系数学（3題・80分）

頻出分野と対策優先度

直前期チェックリスト

本番で使える時間管理術

【理系120分の場合】

1. 最初の5分：全問題に目を通し、易しい問題から着手する順番を決める
2. 前半60分：確実に解ける3問を完答する（各20分）
3. 後半50分：残り2問に挑戦（各25分）
4. 最後の10分：見直し・計算チェック

【文系80分の場合】

1. 最初の3分：問題の難易度を見極める
2. 前半50分：2問を確実に仕上げる（各25分）
3. 後半25分：残り1問に集中
4. 最後の5分：見直し

⚠️ 注意点

• 1問に30分以上かけない（部分点狙いに切り替える）
• 計算結果がきれいな数字にならない場合は計算ミスを疑う
• 図やグラフは大きく丁寧に描く
• 「よって」「したがって」などの接続詞を適切に使う

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