神戸大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、神戸大学 2012年度（平成24年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。神戸大学は関西を代表する難関国公立大学であり、数学の問題は「標準〜やや難」のレベルで、基礎力の充実と応用力の両方が求められます。

この記事では、理系・文系それぞれの問題を丁寧に解説し、合格に必要な考え方や解法のポイントをお伝えします。神戸大学を目指す受験生の皆さん、一緒に頑張っていきましょう！

試験概要・難易度

試験形式

2012年度の全体講評

2012年度の神戸大学数学は、全体的に標準的な難易度でした。教科書の内容をベースとした典型的な問題が多く出題され、演習量がそのまま得点差に表れるセットだったと言えます。

理系数学では、座標平面上の図形問題、微分積分、数列と極限、空間ベクトル、確率など、幅広い分野からバランスよく出題されました。特に数学Ⅲの微分積分は神戸大学の頻出分野であり、この年度も重要な位置を占めていました。

文系数学では、図形と方程式（点と直線の距離）、ベクトル、確率といった典型的なテーマが出題されました。立式後の絶対値処理や場合分けができるかどうかがカギとなる問題が見られました。

難易度評価：

• 理系：★★★☆☆（標準〜やや難）
• 文系：★★★☆☆（標準）

難しい問題も見られましたが、参考書などで見られるような典型的な問題が多く出題されています。基礎を固めて演習を積み重ねた受験生にとっては、高得点を狙えるセットでした。

大問1【理系】：点と直線の距離・軌跡

問題

解説・解法のポイント

この問題は、点と直線の距離の公式を正確に使いこなせるかを問う問題です。直線の方程式の設定と、場合分けが重要なポイントになります。

【解答】

Step 1：直線 ℓ の方程式を設定する

直線 ℓ の方程式を一般形で表します：

ax + by + c = 0（ただし、a² + b² ≠ 0）

ここで、直線が y 軸に平行な場合（b = 0）も含めて考える必要がありますが、まずは一般的な場合を考えましょう。

Step 2：点と直線の距離を計算する

点 P(x₀, y₀) と直線 ax + by + c = 0 との距離は：

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

これを用いて、A(1, 0) と ℓ の距離 d_A、B(−1, 0) と ℓ の距離 d_B を求めます：

d_A = |a + c| / √(a² + b²)

d_B = |−a + c| / √(a² + b²)

条件より、d_A + d_B = 1 なので：

|a + c| + |−a + c| = √(a² + b²)

Step 3：(1) 直線 ℓ が線分 AB と交わるとき

直線 ℓ が線分 AB と交わる場合、A と B は直線 ℓ の反対側にあります。つまり：

• (a + c) と (−a + c) の符号が異なる
• これは c² < a² と同値

このとき、絶対値を外すと：

|a + c| + |−a + c| = (a + c) + (a − c) = 2a（a > 0 の場合）

または = −(a + c) + (−a + c) = −2a（a < 0 の場合）

いずれにしても：

|a + c| + |−a + c| = 2|a|

よって条件式は：

2|a| = √(a² + b²)

両辺を2乗すると：

4a² = a² + b²

3a² = b²

b = ±√3 a

原点 O(0, 0) と直線 ℓ の距離は：

d_O = |c| / √(a² + b²) = |c| / √(a² + 3a²) = |c| / (2|a|)

ここで、直線が線分 AB と交わる条件 c² < a² より |c| < |a| なので：

0 ≤ d_O < 1/2

実際に原点との距離の取りうる範囲を求めると、c = 0 のとき d_O = 0 となり、|c| → |a| のとき d_O → 1/2 となります。

しかし、問題の条件を満たす直線で原点との距離が一定値になることを確認すると：

答：原点との距離は 0 以上 1/2 未満の値をとりうる

Step 4：(2) 直線 ℓ が線分 AB と交わらないとき

直線 ℓ が線分 AB と交わらない場合、A と B は直線 ℓ の同じ側にあります。つまり：

• (a + c) と (−a + c) の符号が同じ
• これは c² ≥ a² と同値（c ≥ |a| または c ≤ −|a|）

c > 0 の場合を考えると（c < 0 の場合も同様）：

|a + c| + |−a + c| = (a + c) + (−a + c) = 2c（c ≥ |a| のとき）

よって条件式は：

2|c| = √(a² + b²)

原点と直線 ℓ の距離は：

d_O = |c| / √(a² + b²) = |c| / (2|c|) = 1/2

答：(1) 0 以上 1/2 未満　(2) 1/2

別解・発展

【別解：直線の傾きで場合分け】

直線 ℓ を y = mx + n（m は傾き）と置く方法もあります。この場合、点と直線の距離の公式から：

d_A = |m + n| / √(m² + 1)

d_B = |−m + n| / √(m² + 1)

として同様の議論を進めることができます。

【発展：楕円との関連】

この問題は、実は楕円の定義と関連しています。「2定点からの距離の和が一定」という条件は楕円を定義するものです。本問では「直線から2定点への距離の和」という形になっていますが、図形的な視点を持つことで問題の本質が見えてきます。

大問2【理系】：微分法の応用（関数の増減・極値）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次関数の微分と極値、そして3次方程式の解の条件を問う典型的な問題です。

【解答】

Step 1：f(x) を微分する

f'(x) = 3x² − 6ax + 3a²

= 3(x² − 2ax + a²)

= 3(x − a)²

Step 2：(1) 極大値・極小値の確認

f'(x) = 3(x − a)² ≥ 0 より、f'(x) = 0 となるのは x = a のみです。

しかし、f'(x) は x = a の前後で符号が変わりません（常に非負）。したがって：

答：f(x) は極大値も極小値も持たない

【補足】x = a では f'(a) = 0 ですが、これは変曲点であり、極値ではありません。

Step 3：(2) 3つの異なる実数解をもつ条件

(1)より、f(x) は単調増加（f'(x) ≥ 0 で、等号は x = a のみ）なので、y = f(x) のグラフは常に増加します。

したがって、y = f(x) と y = 0（x軸）は高々1点でしか交わりません。

答：f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつことはない（条件を満たす a, b は存在しない）

【注意】問題文に誤りがある可能性があります。通常、3次関数が極大値と極小値の両方を持つためには、f'(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つ必要があります。

Step 4：問題を再解釈した場合

もし問題が f(x) = x³ − 3ax² + 3bx + c などの形であれば、f'(x) = 3x² − 6ax + 3b = 0 が異なる2実数解を持つ条件から、典型的な3次関数の問題になります。

その場合：

• 判別式 D = 36a² − 36b > 0、つまり a² > b が条件
• 極大値・極小値の符号から解の個数が決まる

Step 5：(3) 解と係数の関係

3次方程式 x³ + px² + qx + r = 0 の3解を α, β, γ とすると：

• α + β + γ = −p
• αβ + βγ + γα = q
• αβγ = −r

f(x) = x³ − 3ax² + 3a²x + b = 0 において：

• 3解の和 = 3a
• 3解の積 = −b

別解・発展

【発展：グラフを用いた視覚的理解】

3次関数のグラフと x 軸の交点の個数は、極大値と極小値の符号によって決まります：

• 極大値 > 0 かつ 極小値 < 0 → 3つの実数解
• 極大値 × 極小値 = 0 → 重解を含む
• 極大値 0 → 1つの実数解

大問3【理系】：数列と極限

問題

解説・解法のポイント

この問題は、漸化式から一般項を求め、級数の和と極限を計算する問題です。部分分数分解がポイントになります。

【解答】

Step 1：(1) 一般項 aₙ を求める

漸化式 aₙ₊₁ = aₙ + 2n + 1 より、階差をとると：

n ≥ 2 のとき：

aₙ = a₁ + Σ(k=1 to n-1)(2k + 1)

= 1 + Σ(k=1 to n-1)(2k + 1)

= 1 + 2·(n-1)n/2 + (n-1)

= 1 + (n-1)n + (n-1)

= 1 + (n-1)(n+1)

= 1 + n² - 1

= n²

n = 1 のとき、a₁ = 1 = 1² なので、上の式は n = 1 でも成り立ちます。

答：aₙ = n²

Step 2：(2) Sₙ を求める

Sₙ = Σ(k=1 to n) 1/aₖ = Σ(k=1 to n) 1/k²

これは有名な級数ですが、具体的な値を求めるのは難しいです。ただし、部分和については以下の不等式で評価できます：

1/k² < 1/k(k-1) = 1/(k-1) - 1/k（k ≥ 2）を用いて：

Sₙ = 1 + Σ(k=2 to n) 1/k² < 1 + Σ(k=2 to n)(1/(k-1) - 1/k)

= 1 + (1 - 1/n) = 2 - 1/n

答：Sₙ = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² = Σ(k=1 to n) 1/k²

Step 3：(3) 極限を求める

Σ(k=1 to ∞) 1/k² は収束することが知られています（バーゼル問題）。

オイラーにより、この値は π²/6 であることが証明されています：

lim(n→∞) Sₙ = π²/6

入試では、収束することの証明を求められることが多いです：

先ほどの評価より、Sₙ < 2 - 1/n < 2 なので、Sₙ は上に有界。

また、Sₙ は単調増加なので、収束します。

答：lim(n→∞) Sₙ = π²/6（収束することの証明が主眼の場合は「収束する」）

別解・発展

【発展：バーゼル問題の証明】

Σ(k=1 to ∞) 1/k² = π²/6 の証明は複数あります。オイラーの方法では、sin x のテイラー展開と無限積表示を比較して導きます。

【別の評価方法】

1/k² < 1/(k-1)k = 1/(k-1) - 1/k の代わりに：

1/k² < 2/(k(k+1)) = 2(1/k - 1/(k+1)) を用いることもできます。

大問4【理系】：空間ベクトル

問題

解説・解法のポイント

この問題は、空間における内分点、直線の方程式、平面との交点を求める問題です。

【解答】

Step 1：(1) 点 P, Q の座標

点 P：線分 OA を 1:2 に内分

P = (1·A + 2·O)/(1+2) = (1·(1,0,0) + 2·(0,0,0))/3 = (1/3, 0, 0)

点 Q：線分 BC を 2:1 に内分

Q = (2·C + 1·B)/(2+1) = (2·(0,0,1) + 1·(0,1,0))/3 = (0, 1/3, 2/3)

答：P(1/3, 0, 0), Q(0, 1/3, 2/3)

Step 2：(2) 直線 PQ の方程式

方向ベクトル PQ→ を求めます：

PQ→ = Q - P = (0 - 1/3, 1/3 - 0, 2/3 - 0) = (-1/3, 1/3, 2/3)

これを3倍して簡単にすると：(-1, 1, 2)

直線 PQ 上の点は、P を通り方向ベクトル (-1, 1, 2) の直線なので：

(x, y, z) = (1/3, 0, 0) + t(-1, 1, 2)

すなわち：

x = 1/3 - t, y = t, z = 2t

答：(x - 1/3)/(-1) = y/1 = z/2　または媒介変数表示で x = 1/3 - t, y = t, z = 2t

Step 3：(3) 平面 ABC と直線 PQ の交点

平面 ABC の方程式：

A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) を通る平面は：

x + y + z = 1

（これは切片形 x/1 + y/1 + z/1 = 1 から得られます）

交点の計算：

直線 PQ の媒介変数表示 x = 1/3 - t, y = t, z = 2t を平面の方程式に代入：

(1/3 - t) + t + 2t = 1

1/3 + 2t = 1

2t = 2/3

t = 1/3

t = 1/3 を代入して交点の座標を求めます：

x = 1/3 - 1/3 = 0

y = 1/3

z = 2 × 1/3 = 2/3

答：交点の座標は (0, 1/3, 2/3)

【注目】この交点は点 Q と一致しています。これは Q が平面 ABC 上にあることを意味します（実際、B と C は平面 ABC 上にあるので、その内分点 Q も平面 ABC 上にあります）。

別解・発展

【別解：平面の法線ベクトルを利用】

平面 ABC の法線ベクトルは、AB→ = (-1, 1, 0) と AC→ = (-1, 0, 1) の外積で求められます：

n→ = AB→ × AC→ = (1×1 - 0×0, 0×(-1) - (-1)×1, (-1)×0 - 1×(-1)) = (1, 1, 1)

これより、平面 ABC の方程式は 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0、すなわち x + y + z = 1 と確認できます。

【発展：四面体の体積】

四面体 OABC の体積は：

V = (1/6)|OA→·(OB→ × OC→)| = (1/6)|1·1·1| = 1/6

大問5【理系】：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、確率の漸化式を立てて一般項を求める典型的な問題です。「偶数」には 0 も含まれることに注意しましょう。

【解答】

Step 1：確率の基本設定

1 回の操作で：

• 赤玉を取り出す確率 = 2/5
• 白玉を取り出す確率 = 3/5

Step 2：(1) p₁, p₂ を求める

p₁ について：

1 回目の操作後に赤玉の総数が偶数であるのは、赤玉を 0 個取り出した場合（0 は偶数）。

p₁ = P(白玉を取り出す) = 3/5

p₂ について：

2 回目の操作後に赤玉の総数が偶数であるのは：

• 赤玉を 0 個取り出す（白白）：(3/5)² = 9/25
• 赤玉を 2 個取り出す（赤赤）：(2/5)² = 4/25

p₂ = 9/25 + 4/25 = 13/25

答：p₁ = 3/5, p₂ = 13/25

Step 3：(2) 漸化式を立てる

n+1 回目の操作後に赤玉の総数が偶数になるのは、以下の 2 つの場合：

場合 1：n 回目終了時に偶数 → n+1 回目に白玉を取り出す

確率 = pₙ × (3/5)

場合 2：n 回目終了時に奇数 → n+1 回目に赤玉を取り出す

確率 = (1 - pₙ) × (2/5)

したがって：

pₙ₊₁ = (3/5)pₙ + (2/5)(1 - pₙ)

= (3/5)pₙ + (2/5) - (2/5)pₙ

= (1/5)pₙ + (2/5)

答：pₙ₊₁ = (1/5)pₙ + 2/5

Step 4：(3) 一般項を求める

漸化式 pₙ₊₁ = (1/5)pₙ + 2/5 を解きます。

特性方程式：α = (1/5)α + 2/5 を解くと、α = 1/2

pₙ₊₁ - 1/2 = (1/5)(pₙ - 1/2) と変形できるので：

qₙ = pₙ - 1/2 とおくと、qₙ₊₁ = (1/5)qₙ

これは公比 1/5 の等比数列なので：

qₙ = q₁ × (1/5)^(n-1)

q₁ = p₁ - 1/2 = 3/5 - 1/2 = 6/10 - 5/10 = 1/10

したがって：

qₙ = (1/10) × (1/5)^(n-1) = (1/10) × (1/5)^(n-1)

pₙ = qₙ + 1/2 より：

pₙ = (1/10) × (1/5)^(n-1) + 1/2

= (1/2) × (1/5)^n + 1/2

= (1/2){1 + (1/5)^n}

答：pₙ = (1/2){1 + (1/5)^n}　または　pₙ = 1/2 + (1/2)(1/5)^n

検算：

• p₁ = (1/2){1 + 1/5} = (1/2)(6/5) = 3/5 ✓
• p₂ = (1/2){1 + 1/25} = (1/2)(26/25) = 13/25 ✓

Step 5：(4) 極限を求める

n → ∞ のとき、(1/5)^n → 0 なので：

lim(n→∞) pₙ = lim(n→∞) (1/2){1 + (1/5)^n} = (1/2)(1 + 0) = 1/2

答：lim(n→∞) pₙ = 1/2

別解・発展

【直感的理解】

極限が 1/2 になることは直感的にも理解できます。操作を繰り返すうちに、赤玉の総数が偶数か奇数かはほぼ等確率に近づいていきます。これは「ランダムウォーク」の考え方と関連しています。

【発展：一般化】

赤玉が r 個、白玉が w 個の場合、赤玉を取り出す確率を p = r/(r+w) とすると：

pₙ₊₁ = (1-p)pₙ + p(1-pₙ) = (1-2p)pₙ + p

この漸化式の極限は常に 1/2 になります（p ≠ 0, 1 のとき）。

大問1【文系】：点と直線の距離

問題

解説・解法のポイント

この問題は、点と直線の距離の公式を使いこなし、最大値と軌跡を求める問題です。

【解答】

Step 1：(1) 距離 d を求める

直線 ℓ: y = mx を一般形に直すと：mx - y = 0

点と直線の距離の公式より：

d = |m·2 - 1·1| / √(m² + 1)

= |2m - 1| / √(m² + 1)

m > 0 のとき：

• m > 1/2 のとき：d = (2m - 1) / √(m² + 1)
• 0 < m ≤ 1/2 のとき：d = (1 - 2m) / √(m² + 1)

答：d = |2m - 1| / √(m² + 1)

Step 2：(2) d の最大値

d² = (2m - 1)² / (m² + 1) を最大化します。

f(m) = (2m - 1)² / (m² + 1) とおいて微分します：

分子を u = (2m - 1)²、分母を v = m² + 1 とすると：

f'(m) = (u'v - uv') / v²

u' = 2(2m - 1)·2 = 4(2m - 1)

v' = 2m

f'(m) = {4(2m-1)(m²+1) - (2m-1)²·2m} / (m²+1)²

= {2(2m-1)[2(m²+1) - m(2m-1)]} / (m²+1)²

= {2(2m-1)(2m² + 2 - 2m² + m)} / (m²+1)²

= {2(2m-1)(m + 2)} / (m²+1)²

m > 0 において：

• m + 2 > 0 なので、f'(m) の符号は (2m - 1) の符号で決まる
• 0 < m < 1/2 のとき：f'(m) < 0（減少）
• m > 1/2 のとき：f'(m) > 0（増加）

したがって、m = 1/2 で f(m) は最小値 0 をとります。

m → 0 のとき：f(m) → 1

m → ∞ のとき：f(m) = (4m² - 4m + 1)/(m² + 1) → 4

よって、d² → 4 すなわち d → 2（m → ∞）

ただし、d の最大値は m → ∞ の極限値なので、厳密な最大値は存在しません。

別の解釈：点 A(2, 1) と原点 O(0, 0) の距離は √5 です。直線 ℓ は原点を通るので、d の最大値は点 A と原点の距離 √5 であり、このとき直線 ℓ は OA に垂直になります。

OA の傾きは 1/2 なので、ℓ の傾きは -2 ですが、m > 0 の条件があるため、この最大値は達成されません。

答：m > 0 の範囲では、d は最大値を持たない（d の上限は √5 だが達成されない）。または、問題設定によっては別の解釈で d = √5, m = 2 が答となる場合もある。

Step 3：(3) 点 H の軌跡

点 H(x, y) は直線 ℓ 上にあるので、y = mx が成り立ちます。

また、AH ⊥ ℓ なので、AH の傾きと ℓ の傾き m の積が -1：

(y - 1)/(x - 2) × m = -1

m(y - 1) = -(x - 2)

m(y - 1) = -x + 2

y = mx より m = y/x（x ≠ 0）を代入：

(y/x)(y - 1) = -x + 2

y(y - 1) = x(-x + 2)

y² - y = -x² + 2x

x² + y² - 2x - y = 0

(x - 1)² + (y - 1/2)² = 1 + 1/4 = 5/4

これは中心 (1, 1/2)、半径 √5/2 の円です。

ただし、m > 0 より y = mx で y と x は同符号。また、H は A と原点の間にあるので、範囲に制限があります。

答：(x - 1)² + (y - 1/2)² = 5/4（ただし、x > 0, y > 0 の部分で、点 (0, 0) と点 (2, 1) を除く）

別解・発展

【幾何学的考察】

点 H の軌跡が「線分 OA を直径とする円」の一部になることは、円周角の定理（直径に対する円周角は 90°）から理解できます。OH を直径とする円周上の点から直径を見ると直角になるという性質の逆です。

大問2【文系】：平面ベクトル

問題

解説・解法のポイント

この問題は、内分点の位置ベクトルと2直線の交点を求める問題です。

【解答】

Step 1：点 D, E の位置ベクトル

A を基準として位置ベクトルを考えます。AB→ = b→, AC→ = c→ とおきます。

点 D：BC を 2:1 に内分

AD→ = (1·AB→ + 2·AC→)/(2+1) = (b→ + 2c→)/3

【補足】D は BC 上なので、AD→ = AB→ + BD→ = AB→ + (2/3)BC→ = b→ + (2/3)(c→ - b→) = (1/3)b→ + (2/3)c→

点 E：CA を 1:3 に内分

AE→ = (3/4)AC→ = (3/4)c→

Step 2：(1) 交点 P の位置ベクトル

直線 AD 上の点：P は直線 AD 上にあるので

AP→ = s·AD→ = s·{(1/3)b→ + (2/3)c→} = (s/3)b→ + (2s/3)c→ ... ①

直線 BE 上の点：P は直線 BE 上にあるので

AP→ = AB→ + t·BE→ = b→ + t{AE→ - AB→} = b→ + t{(3/4)c→ - b→}

= (1-t)b→ + (3t/4)c→ ... ②

①と②を比較：

b→ と c→ は一次独立なので、係数を比較して：

• b→ の係数：s/3 = 1 - t
• c→ の係数：2s/3 = 3t/4

第2式より：8s = 9t → t = 8s/9

第1式に代入：s/3 = 1 - 8s/9

3s/9 = 1 - 8s/9

3s/9 + 8s/9 = 1

11s/9 = 1

s = 9/11

①に代入：

AP→ = (9/11)·(1/3)b→ + (9/11)·(2/3)c→

= (3/11)b→ + (6/11)c→

= (3/11)AB→ + (6/11)AC→

答：AP→ = (3/11)AB→ + (6/11)AC→

Step 3：(2) 面積比

△ABP と △ABC の面積比を求めます。

△ABP の面積は、底辺を AB として高さの比で考えると、P から AB への距離と C から AB への距離の比になります。

AP→ = (3/11)AB→ + (6/11)AC→ より、P は「AB 方向に 3/11、AC 方向に 6/11」進んだ位置にあります。

△ABC と △ABP について：

• 底辺 AB は共通
• C の AC→ 成分は 1、P の AC→ 成分は 6/11

したがって、高さの比は 6/11 : 1 = 6 : 11

△ABP / △ABC = 6/11

答：△ABP : △ABC = 6 : 11

別解・発展

【別解：メネラウスの定理】

△ABE と直線 DC について、メネラウスの定理を適用すると、比を直接求めることができます。

【発展：チェバの定理との関連】

三角形の頂点から対辺への線分が1点で交わる条件はチェバの定理で表されます。本問では AD と BE の交点を求めましたが、CF（C から AB 上の点 F への線分）も同じ点を通る条件を考えることができます。

大問3【文系】：確率

問題

解説・解法のポイント

この問題は、サイコロの確率に関する基本問題です。場合の数を丁寧に数えることがポイントです。

【解答】

全事象：3 回サイコロを投げる場合の数は 6³ = 216 通り

Step 1：(1) a < b < c となる確率

1 から 6 の中から異なる 3 つの数を選び、小さい順に a, b, c に割り当てます。

6 個から 3 個を選ぶ組み合わせは：₆C₃ = 20 通り

各組み合わせに対して、a < b < c となる並べ方は 1 通りのみ。

P(a < b < c) = 20/216 = 5/54

答：5/54

Step 2：(2) a ≤ b ≤ c となる確率

a ≤ b ≤ c となる (a, b, c) の組を数えます。これは「重複組み合わせ」の問題です。

1 から 6 の中から重複を許して 3 つ選び、小さい順に並べる場合の数は：

₆H₃ = ₈C₃ = 56 通り

【補足】重複組み合わせの公式 ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ

₆H₃ = ₆₊₃₋₁C₃ = ₈C₃ = 56 通り

P(a ≤ b ≤ c) = 56/216 = 7/27

答：7/27

Step 3：(3) a + b + c = 10 となる確率

a + b + c = 10 を満たす (a, b, c) の組（順序を区別する）を数えます。

まず、a ≤ b ≤ c かつ a + b + c = 10 となる組を列挙します：

合計：6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 通り

P(a + b + c = 10) = 27/216 = 1/8

答：1/8

別解・発展

【別解：(2)の対称性を利用】

任意の (a, b, c) に対して、a, b, c を並べ替えた 6 通り（重複があれば少なくなる）のうち、ちょうど 1 通りが a ≤ b ≤ c を満たします。

しかし、この考え方は重複がある場合に注意が必要です。より厳密には：

• 3つとも異なる場合：並べ替え 6 通り中、a ≤ b ≤ c は 1 通り
• 2つが等しい場合：並べ替え 3 通り中、a ≤ b ≤ c は 1 通り
• 3つとも等しい場合：並べ替え 1 通り中、a ≤ b ≤ c は 1 通り

【発展：母関数を用いた方法】

(3) のような問題は、母関数 (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)³ を展開したときの x¹⁰ の係数として求めることもできます。

この年度の重要テーマと対策

2012年度の出題傾向分析

2012年度の神戸大学数学入試では、以下のテーマが重要でした：

【理系】

1. 図形と方程式（点と直線の距離）
   • 距離の公式を正確に使う力
   • 絶対値の場合分け
   • 軌跡の考え方
2. 微分法の応用
   • 3次関数の極値
   • 方程式の解の個数
   • 解と係数の関係
3. 数列と極限
   • 漸化式から一般項を求める
   • 級数の収束・発散
   • はさみうちの原理
4. 空間ベクトル
   • 内分点の座標
   • 直線の方程式（媒介変数表示）
   • 平面との交点
5. 確率と漸化式
   • 推移図を描く
   • 漸化式を立てる
   • 極限の直感的理解

【文系】

1. 図形と方程式
   • 点と直線の距離
   • 最大・最小問題
   • 軌跡
2. 平面ベクトル
   • 内分点の位置ベクトル
   • 2直線の交点
   • 面積比
3. 確率
   • 場合の数の正確な計算
   • 重複組み合わせ
   • 条件付き確率

神戸大学数学の特徴と対策

1. 典型問題の演習を徹底する

神戸大学の数学は、教科書レベルの基礎を固めた上で、典型的な入試問題を数多く解くことが重要です。参考書で見たことのあるような問題が多く出題されるため、演習量がそのまま得点に直結します。

2. 計算力を磨く

試験時間に対して問題量が多いため、正確かつ迅速な計算力が求められます。特に微分積分の計算、連立方程式の処理などは日頃から訓練しておきましょう。

3. 数学Ⅲの微積分を重点的に

理系では数学Ⅲの微分積分が頻出です。面積・体積の計算、関数の増減・極値、曲線の長さなど、幅広く対策しておく必要があります。

4. ベクトルと確率は必須

文系・理系ともに、ベクトルと確率は毎年のように出題されます。特に確率は漸化式との融合問題が多いので、しっかり対策しましょう。

5. 途中経過を明確に書く

神戸大学の数学は記述式です。答えだけでなく、解答に至る過程を論理的に記述することが重要です。日頃から答案の書き方を意識して練習しましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：点と直線の距離【標準】

【解答・解説】

Step 1：直線 AB の方程式

2点 A(3, 0), B(0, 4) を通る直線の方程式は：

x/3 + y/4 = 1

4x + 3y = 12

4x + 3y - 12 = 0

Step 2：点と直線の距離

原点 O(0, 0) と直線 4x + 3y - 12 = 0 の距離は：

d = |4·0 + 3·0 - 12| / √(4² + 3²)

= |-12| / √25

= 12/5

Step 3：点 P の座標

P は、O から直線 AB に下ろした垂線の足です。

直線 AB の方向ベクトルは AB→ = (-3, 4) なので、法線ベクトルは (4, 3)。

原点を通り法線ベクトル (4, 3) の方向の直線は y = (3/4)x。

連立方程式：

• 4x + 3y = 12
• y = (3/4)x

代入して：4x + 3·(3/4)x = 12 → 4x + (9/4)x = 12 → (25/4)x = 12 → x = 48/25

y = (3/4)·(48/25) = 36/25

答：最小値 12/5、点 P の座標 (48/25, 36/25)

練習問題2：確率と漸化式【標準〜やや難】

【解答・解説】

Step 1：基本設定

コインを n 回投げて原点に戻るには、+1 の回数と -1 の回数が等しい必要があります。したがって、n が奇数のとき pₙ = 0 です。

Step 2：(1) p₂, p₄

p₂：2回投げて原点に戻る

+1 が 1 回、-1 が 1 回出ればよい。

p₂ = ₂C₁ × (1/2)² = 2 × 1/4 = 1/2

p₄：4回投げて原点に戻る

+1 が 2 回、-1 が 2 回出ればよい。

p₄ = ₄C₂ × (1/2)⁴ = 6 × 1/16 = 3/8

答：p₂ = 1/2, p₄ = 3/8

Step 3：(2) p₂ₙ の一般項

2n 回投げて原点に戻るには、+1 が n 回、-1 が n 回出ればよい。

p₂ₙ = ₂ₙCₙ × (1/2)^(2n) = ₂ₙCₙ / 4ⁿ

答：p₂ₙ = ₂ₙCₙ / 4ⁿ

Step 4：(3) 極限

スターリングの公式 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ を用いると：

₂ₙCₙ = (2n)! / (n!)² ≈ √(4πn)(2n/e)^(2n) / {2πn(n/e)^(2n)}

= √(4πn) × 4ⁿ / (2πn) = 4ⁿ / √(πn)

したがって：

p₂ₙ ≈ (4ⁿ / √(πn)) / 4ⁿ = 1/√(πn) → 0（n → ∞）

答：lim(n→∞) p₂ₙ = 0

【解釈】十分に長い時間が経つと、原点にいる確率は 0 に近づきます。これは「ランダムウォークの再帰性」と関連しています。

練習問題3：空間ベクトルと平面【やや難】

【解答・解説】

Step 1：(1) 平面 ABC の方程式

平面 ABC は3点 A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6) を通ります。

切片形より：

x/2 + y/3 + z/6 = 1

3x + 2y + z = 6

答：3x + 2y + z = 6

Step 2：(2) 垂線の足 H

平面 ABC の法線ベクトルは n→ = (3, 2, 1)。

原点を通り方向ベクトル (3, 2, 1) の直線の媒介変数表示：

(x, y, z) = t(3, 2, 1) = (3t, 2t, t)

この直線と平面 3x + 2y + z = 6 の交点：

3(3t) + 2(2t) + t = 6

9t + 4t + t = 6

14t = 6

t = 3/7

H の座標：

H = (3 × 3/7, 2 × 3/7, 3/7) = (9/7, 6/7, 3/7)

答：H(9/7, 6/7, 3/7)

Step 3：(3) 四面体の体積

方法1：公式を使う

V = (1/6)|OA→·(OB→ × OC→)|

OA→ = (2, 0, 0), OB→ = (0, 3, 0), OC→ = (0, 0, 6)

OB→ × OC→ = (3×6 - 0×0, 0×0 - 0×6, 0×0 - 3×0) = (18, 0, 0)

OA→·(OB→ × OC→) = 2×18 + 0 + 0 = 36

V = (1/6)|36| = 6

方法2：底面積 × 高さ ÷ 3

底面 △ABC の面積 S を求め、高さ OH を求める。

OH = |n→| × t = √(9+4+1) × (3/7) = √14 × (3/7) = 3√14/7

△ABC の面積は：

S = (1/2)|AB→ × AC→|

AB→ = (-2, 3, 0), AC→ = (-2, 0, 6)

AB→ × AC→ = (18, 12, 6)

|AB→ × AC→| = √(324 + 144 + 36) = √504 = 6√14

S = 3√14

V = (1/3) × S × OH = (1/3) × 3√14 × (3√14/7) = (1/3) × (9×14/7) = (1/3) × 18 = 6 ✓

答：体積 = 6

まとめ：2012年度神戸大学数学のポイント

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介