金沢工業大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は金沢工業大学 2013年度（平成25年度）の数学入試問題を徹底解説していきます！金沢工業大学は「教育力が高い大学」「面倒見の良い大学」として20年以上連続で高い評価を受けている工業系私立大学です。就職率99.9%という驚異的な数字を誇り、エンジニアを目指す受験生にとって非常に魅力的な選択肢となっています。

この記事では、2013年度一般試験Aの数学問題を大問ごとに詳しく解説し、合格に必要な解法のポイントや考え方をお伝えします。過去問演習の参考にしてください！

試験概要・難易度

2013年度入試の基本情報

項目	内容
試験名	一般試験A（前期日程）
試験科目	数学（数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学A・数学B）
試験時間	60分
配点	100点
出題形式	穴埋め式（マーク式・記述式併用）
大問数	5～6問

2013年度の全体講評

2013年度の金沢工業大学数学は、全体的に標準レベルの出題でした。教科書の章末問題レベルから入試標準レベルまでがバランスよく出題されており、基礎を確実に固めた受験生であれば十分に高得点を狙える内容です。

難易度：★★★☆☆（標準）

特徴的だったのは以下の点です：

• 計算力を問う問題が多く、正確な計算が必要
• 公式を暗記しているだけでなく、応用する力が試される
• 時間配分が重要（60分で5～6問を解く必要がある）
• 小問形式で誘導に乗れば解きやすい構成

それでは、各大問を詳しく見ていきましょう！

大問1：二次関数と二次方程式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、解と係数の関係を使って解く典型的な問題です。順を追って解いていきましょう。

Step 1：解と係数の関係を適用する

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $alpha$, $beta$ とすると、

• $alpha + beta = -dfrac{b}{a}$（解の和）
• $alpha cdot beta = dfrac{c}{a}$（解の積）

今回の方程式 $x^2 + (3k+1)x + 2k^2 + 2k - 3 = 0$ では、$a = 1$, $b = 3k+1$, $c = 2k^2 + 2k - 3$ なので、

$alpha + beta = -(3k+1)$

Step 2：条件から $k$ の値を求める

$alpha + beta = -7$ という条件から、

$-(3k+1) = -7$

$3k+1 = 7$

$3k = 6$

$boxed{k = 2}$

Step 3：$k = 2$ を代入して方程式を解く

$k = 2$ を元の方程式に代入すると、

$x^2 + (3 cdot 2 + 1)x + 2 cdot 2^2 + 2 cdot 2 - 3 = 0$

$x^2 + 7x + 8 + 4 - 3 = 0$

$x^2 + 7x + 9 = 0$

解の公式を使って、

$x = dfrac{-7 pm sqrt{49 - 36}}{2} = dfrac{-7 pm sqrt{13}}{2}$

$alpha < beta$ なので、

$boxed{alpha = dfrac{-7 - sqrt{13}}{2}}$, $boxed{beta = dfrac{-7 + sqrt{13}}{2}}$

Step 4：検算（異なる2つの実数解をもつことの確認）

判別式 $D = 49 - 36 = 13 > 0$ より、確かに異なる2つの実数解をもちます。✓

別解・発展

【別解】因数分解を試みる方法

$k = 2$ と分かった時点で、$x^2 + 7x + 9 = 0$ を因数分解できるか試すことも考えられます。しかし、この場合は整数で因数分解できないため、解の公式を使うのが最適です。

【発展】$k$ の存在条件を考える

もし問題が「$alpha + beta = -7$ となる $k$ が存在するための条件」を問うていた場合、判別式 $D > 0$ の条件も考慮する必要があります。

$D = (3k+1)^2 - 4(2k^2 + 2k - 3) > 0$

$= 9k^2 + 6k + 1 - 8k^2 - 8k + 12 > 0$

$= k^2 - 2k + 13 > 0$

$= (k-1)^2 + 12 > 0$

これは常に成り立つので、任意の $k$ で異なる2つの実数解が存在することが分かります。

大問2：三角関数

問題

解説・解法のポイント

三角関数の方程式で、$sin^2theta + cos^2theta = 1$ を使って文字を統一するのが定石です。

Step 1：$sin^2theta$ を $costheta$ で表す

$sin^2theta = 1 - cos^2theta$ を代入すると、

$2(1 - cos^2theta) + 3costheta - 3 = 0$

$2 - 2cos^2theta + 3costheta - 3 = 0$

$-2cos^2theta + 3costheta - 1 = 0$

$2cos^2theta - 3costheta + 1 = 0$

Step 2：$costheta = t$ と置換して因数分解

$t = costheta$ とおくと、$2t^2 - 3t + 1 = 0$

因数分解すると、

$(2t - 1)(t - 1) = 0$

よって、$t = dfrac{1}{2}$ または $t = 1$

Step 3：$costheta$ の値から $theta$ を求める

【$costheta = dfrac{1}{2}$ のとき】

$0 leq theta < 2pi$ で $costheta = dfrac{1}{2}$ となるのは、

$theta = dfrac{pi}{3}$, $dfrac{5pi}{3}$

【$costheta = 1$ のとき】

$0 leq theta < 2pi$ で $costheta = 1$ となるのは、

$theta = 0$

答え

$boxed{theta = 0, dfrac{pi}{3}, dfrac{5pi}{3}}$

別解・発展

【別解】$sintheta$ で統一する方法

$costheta = pmsqrt{1 - sin^2theta}$ と置くこともできますが、平方根が出てきて計算が複雑になるため、今回は $costheta$ で統一する方法が最適です。

【発展】三角関数の合成を使う問題との違い

この問題は「2次方程式に帰着するタイプ」ですが、$asintheta + bcostheta = c$ の形の場合は「三角関数の合成」を使います。問題のタイプを見極めることが大切です。

大問3：確率

問題

解説・解法のポイント

この問題は「条件付き確率」と「場合分け」が重要です。終了条件をしっかり把握しましょう。

確率の基本設定

• 赤玉を取り出す確率：$dfrac{1}{5}$
• 黄玉を取り出す確率：$dfrac{2}{5}$
• 白玉を取り出す確率：$dfrac{2}{5}$

終了条件：「赤玉を取り出す」または「黄玉を2回取り出す」

（1）ちょうど3回目で終了する確率

3回目で終了するパターンを考えます。1回目、2回目では終了しない（=赤を引かず、かつ黄を2回引かない）必要があります。

パターン①：3回目に赤玉を取り出す

1回目、2回目は「白」または「黄1回だけ」で、3回目に赤を引く。

• 白白赤：$dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} times dfrac{1}{5} = dfrac{4}{125}$
• 白黄赤：$dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} times dfrac{1}{5} = dfrac{4}{125}$
• 黄白赤：$dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} times dfrac{1}{5} = dfrac{4}{125}$

パターン②：3回目に黄玉を取り出して、黄玉が2回目になる

• 白黄黄：$dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} = dfrac{8}{125}$
• 黄白黄：$dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} times dfrac{2}{5} = dfrac{8}{125}$

したがって、3回目で終了する確率は、

$dfrac{4}{125} + dfrac{4}{125} + dfrac{4}{125} + dfrac{8}{125} + dfrac{8}{125} = dfrac{28}{125}$

$boxed{dfrac{28}{125}}$

（2）ちょうど4回目で終了する確率

4回目で終了するには、1～3回目では終了せず、4回目で終了条件を満たす必要があります。

1～3回目の条件：赤を引かない、黄は最大1回まで

パターン①：4回目に赤玉を取り出す

1～3回目：白と黄（黄は最大1回）の組み合わせ

• 白白白赤：$left(dfrac{2}{5}right)^3 times dfrac{1}{5} = dfrac{8}{625}$
• 白白黄赤、白黄白赤、黄白白赤：各 $left(dfrac{2}{5}right)^3 times dfrac{1}{5} = dfrac{8}{625}$（3通り）

パターン①の合計：$dfrac{8}{625} + 3 times dfrac{8}{625} = dfrac{32}{625}$

パターン②：4回目に黄玉を取り出して黄玉が2回目になる

1～3回目で黄が1回だけ出る（白が2回）パターン

• 白白黄黄、白黄白黄、黄白白黄：各 $left(dfrac{2}{5}right)^4 = dfrac{16}{625}$（3通り）

パターン②の合計：$3 times dfrac{16}{625} = dfrac{48}{625}$

したがって、4回目で終了する確率は、

$dfrac{32}{625} + dfrac{48}{625} = dfrac{80}{625} = dfrac{16}{125}$

$boxed{dfrac{16}{125}}$

別解・発展

【発展】一般化して n 回目で終了する確率

この問題を一般化すると、漸化式を立てて解くことができます。$P_n$ を「n回目でちょうど終了する確率」とすると、状態遷移を考えて漸化式を導出できます。

大問4：ベクトル

問題

解説・解法のポイント

（1）内分点の位置ベクトル

点Pは辺ABを2:1に内分する点なので、内分点の公式を使います。

$overrightarrow{OP} = dfrac{1 cdot overrightarrow{OA} + 2 cdot overrightarrow{OB}}{2 + 1} = dfrac{vec{a} + 2vec{b}}{3}$

$boxed{overrightarrow{OP} = dfrac{1}{3}vec{a} + dfrac{2}{3}vec{b}}$

（2）$|overrightarrow{OP}|$ の計算

$|overrightarrow{OP}|^2 = overrightarrow{OP} cdot overrightarrow{OP}$ を計算します。

$|overrightarrow{OP}|^2 = left(dfrac{1}{3}vec{a} + dfrac{2}{3}vec{b}right) cdot left(dfrac{1}{3}vec{a} + dfrac{2}{3}vec{b}right)$

$= dfrac{1}{9}|vec{a}|^2 + dfrac{4}{9}(vec{a} cdot vec{b}) + dfrac{4}{9}|vec{b}|^2$

各値を代入すると、

$= dfrac{1}{9} times 9 + dfrac{4}{9} times 6 + dfrac{4}{9} times 16$

$= 1 + dfrac{24}{9} + dfrac{64}{9} = 1 + dfrac{88}{9} = dfrac{97}{9}$

$boxed{|overrightarrow{OP}| = dfrac{sqrt{97}}{3}}$

（3）なす角の計算

まず $overrightarrow{AB}$ を求めます。

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2(vec{a} cdot vec{b}) + |vec{a}|^2$

$= 16 - 12 + 9 = 13$

よって、$|overrightarrow{AB}| = sqrt{13}$

次に内積 $overrightarrow{OP} cdot overrightarrow{AB}$ を計算します。

$overrightarrow{OP} cdot overrightarrow{AB} = left(dfrac{1}{3}vec{a} + dfrac{2}{3}vec{b}right) cdot (vec{b} - vec{a})$

$= dfrac{1}{3}(vec{a} cdot vec{b}) - dfrac{1}{3}|vec{a}|^2 + dfrac{2}{3}|vec{b}|^2 - dfrac{2}{3}(vec{a} cdot vec{b})$

$= -dfrac{1}{3} times 9 + dfrac{2}{3} times 16 - dfrac{1}{3} times 6$

$= -3 + dfrac{32}{3} - 2 = dfrac{32 - 15}{3} = dfrac{17}{3}$

なす角 $theta$ は、

$costheta = dfrac{overrightarrow{OP} cdot overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{OP}||overrightarrow{AB}|} = dfrac{frac{17}{3}}{frac{sqrt{97}}{3} times sqrt{13}} = dfrac{17}{sqrt{97 times 13}} = dfrac{17}{sqrt{1261}}$

$boxed{theta = cos^{-1}left(dfrac{17}{sqrt{1261}}right)}$

別解・発展

【発展】座標を設定して解く方法

$vec{a} = (3, 0)$、$vec{b} = (b_1, b_2)$ と設定し、$|vec{b}| = 4$、$vec{a} cdot vec{b} = 6$ の条件から $b_1 = 2$、$b_2 = 2sqrt{3}$ を求めて計算することもできます。

大問5：微分・積分

問題

解説

解説・解法のポイント

（1）極値を求める

極値を求めるには、まず $f'(x) = 0$ となる点を求め、その前後での符号変化を調べます。

Step 1：$f(x)$ を微分する

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

Step 2：$f'(x) = 0$ を解く

$3(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1$ または $x = 3$

Step 3：増減表を作成する

$x$	$cdots$	$1$	$cdots$	$3$	$cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	極大	↘	極小	↗

Step 4：極値を計算する

極大値（$x = 1$ のとき）：

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$

極小値（$x = 3$ のとき）：

$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$

$boxed{text{極大値：} 6 text{（}x = 1text{のとき）}, quad text{極小値：} 2 text{（}x = 3text{のとき）}}$

（2）面積を求める

$f(x)$ の極小値が $2 > 0$ なので、$0 leq x leq 4$ の範囲では常に $f(x) > 0$ です（曲線は $x$ 軸より上にある）。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = displaystyleint_0^4 f(x) , dx = int_0^4 (x^3 - 6x^2 + 9x + 2) , dx$

Step 1：不定積分を計算する

$displaystyleint (x^3 - 6x^2 + 9x + 2) , dx = dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + dfrac{9x^2}{2} + 2x + C$

Step 2：定積分を計算する

$S = left[dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + dfrac{9x^2}{2} + 2xright]_0^4$

$x = 4$ を代入：

$dfrac{256}{4} - 2 times 64 + dfrac{9 times 16}{2} + 8 = 64 - 128 + 72 + 8 = 16$

$x = 0$ を代入：$0$

$boxed{S = 16}$

別解・発展

【発展】曲線が $x$ 軸と交わる場合の面積計算

もし曲線が $x$ 軸と交わる場合は、交点で積分区間を分け、$x$ 軸より下の部分は絶対値をとって計算する必要があります。今回は極小値が正のため、その必要はありませんでした。

【検算のコツ】

面積が正の値であること、また概算で妥当な値かどうかを確認しましょう。$0 leq x leq 4$ の範囲で $f(x)$ は概ね $2$ ～ $6$ 程度の値をとり、幅が $4$ なので、面積は $8$ ～ $24$ 程度と予想でき、$16$ は妥当な値です。

大問6：数列

問題

解説・解法のポイント

この問題は漸化式を解く典型的なパターンです。$a_{n+1} = pa_n + q$ の形の漸化式は、特性方程式を利用して等比数列に帰着させます。

（1）${b_n}$ が等比数列であることの証明

Step 1：$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係を調べる

$b_n = a_n + 1$ より、$a_n = b_n - 1$

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ に代入すると、

$b_{n+1} - 1 = 3(b_n - 1) + 2$

$b_{n+1} - 1 = 3b_n - 3 + 2$

$b_{n+1} = 3b_n$

Step 2：初項を確認する

$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

Step 3：結論

${b_n}$ は初項 $b_1 = 2$、公比 $3$ の等比数列である。

$boxed{b_n = 2 cdot 3^{n-1}}$

（2）${a_n}$ の一般項

$a_n = b_n - 1$ より、

$a_n = 2 cdot 3^{n-1} - 1$

$boxed{a_n = 2 cdot 3^{n-1} - 1}$

【検算】

• $a_1 = 2 cdot 3^0 - 1 = 2 - 1 = 1$ ✓
• $a_2 = 3 cdot 1 + 2 = 5$、また $a_2 = 2 cdot 3^1 - 1 = 6 - 1 = 5$ ✓
• $a_3 = 3 cdot 5 + 2 = 17$、また $a_3 = 2 cdot 3^2 - 1 = 18 - 1 = 17$ ✓

（3）和 $displaystylesum_{k=1}^{n} a_k$ を求める

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2 cdot 3^{k-1} - 1)$

$= 2sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} - sum_{k=1}^{n} 1$

$= 2 cdot dfrac{3^n - 1}{3 - 1} - n$

$= (3^n - 1) - n$

$boxed{sum_{k=1}^{n} a_k = 3^n - n - 1}$

別解・発展

【別解】特性方程式を使う方法

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ に対し、特性方程式 $alpha = 3alpha + 2$ を解くと $alpha = -1$。

よって $a_n - (-1) = a_n + 1$ とおけば等比数列になることが分かります。これが $b_n = a_n + 1$ の由来です。

【発展】より複雑な漸化式への応用

$a_{n+1} = pa_n + q$ の形は基本ですが、$a_{n+1} = pa_n + f(n)$（$f(n)$ が $n$ の式）の場合は、階差数列や特殊解の利用が必要になります。

この年度の重要テーマと対策

2013年度に出題された重要テーマまとめ

分野	出題テーマ	重要度	対策のポイント
二次関数	解と係数の関係	★★★★★	公式を正確に覚え、条件を立式する練習を
三角関数	三角方程式	★★★★☆	$sin^2 + cos^2 = 1$ での統一を徹底
確率	反復試行・条件付き確率	★★★★★	場合分けを丁寧に、樹形図を活用
ベクトル	内分点・内積・なす角	★★★★☆	公式の適用と計算力が鍵
微分積分	極値・面積計算	★★★★★	増減表を素早く作成、積分計算の正確さ
数列	漸化式・等比数列	★★★★☆	特性方程式の使い方をマスター

金沢工業大学数学の傾向と対策

1. 計算力を鍛えよう

金沢工業大学の数学は、複雑な発想は不要でも、計算量が多いのが特徴です。60分で5～6問を解くためには、1問あたり約10分のペースが必要。日頃から計算練習を怠らないようにしましょう。

2. 基本公式を完璧に

出題される問題の多くは、教科書の例題～章末問題レベルです。奇抜な問題は出ないので、基本公式を正確に使いこなすことが最も重要です。

3. 頻出分野を重点的に

特に以下の分野は毎年のように出題されます：

• 二次関数（最大・最小、解と係数の関係）
• 三角関数（方程式・不等式、合成）
• 確率（反復試行、条件付き確率）
• 微分・積分（極値、面積）
• ベクトル（内積、位置ベクトル）
• 数列（漸化式、和の計算）

4. 時間配分を意識した演習を

過去問演習の際は、必ず時間を計って解く習慣をつけましょう。本番で焦らないためにも、60分で全問解ききる練習が大切です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2013年度の問題と同じテーマで、実力を確認するための練習問題を用意しました。解答・解説も付いているので、ぜひチャレンジしてください！

練習問題1：二次方程式と解の条件

解答・解説

2つの解を $alpha$, $beta$（$alpha, beta > 0$）とすると、以下の3つの条件が必要です。

条件①：判別式 $D > 0$（異なる2つの実数解）

$D = 4a^2 - 4(a + 6) > 0$

$a^2 - a - 6 > 0$

$(a - 3)(a + 2) > 0$

$a 3$

条件②：$alpha + beta > 0$（解の和が正）

$2a > 0 Rightarrow a > 0$

条件③：$alpha cdot beta > 0$（解の積が正）

$a + 6 > 0 Rightarrow a > -6$

3条件の共通部分：

$boxed{a > 3}$

練習問題2：三角関数の最大・最小

解答・解説

Step 1：置換で簡単にする

$t = sintheta + costheta$ とおくと、

$t^2 = 1 + 2sinthetacostheta$

$sinthetacostheta = dfrac{t^2 - 1}{2}$

よって、$y = t + dfrac{t^2 - 1}{2} = dfrac{t^2 + 2t - 1}{2}$

Step 2：$t$ の取りうる範囲を求める

$t = sintheta + costheta = sqrt{2}sinleft(theta + dfrac{pi}{4}right)$

よって、$-sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$

Step 3：$y$ の最大・最小を求める

$y = dfrac{1}{2}(t^2 + 2t - 1) = dfrac{1}{2}(t + 1)^2 - 1$

$t = -1$ のとき最小値 $-1$

$t = sqrt{2}$ のとき最大値 $dfrac{2 + 2sqrt{2} - 1}{2} = dfrac{1 + 2sqrt{2}}{2}$

$boxed{text{最大値：} dfrac{1 + 2sqrt{2}}{2}, quad text{最小値：} -1}$

練習問題3：漸化式と数列の和

解答・解説

（1）一般項を求める

特性方程式 $alpha = 2alpha + 3$ より $alpha = -3$

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$

$b_1 = a_1 + 3 = 5$ より、$b_n = 5 cdot 2^{n-1}$

$boxed{a_n = 5 cdot 2^{n-1} - 3}$

（2）和を求める

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (5 cdot 2^{k-1} - 3) = 5 cdot dfrac{2^n - 1}{2 - 1} - 3n$

$boxed{sum_{k=1}^{n} a_k = 5 cdot 2^n - 3n - 5}$

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いかがでしたか？金沢工業大学の数学は、基礎を大切にしながら確実に解く力が求められます。派手な発想力よりも、地道な計算力と公式の正確な運用が合否を分けるポイントです。

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