金沢工業大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

【問題】

関数 f(x) = x² - 4x + 3 について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) を平方完成せよ。

(2) 0 ≤ x ≤ 5 における f(x) の最大値と最小値を求めよ。

(3) a ≤ x ≤ a + 2 における f(x) の最小値を m(a) とするとき、m(a) を求めよ。

【解答】

f(x) = x² - 4x + 3

= (x² - 4x + 4) - 4 + 3

= (x - 2)² - 1

【解答】

頂点 (2, -1) は定義域 0 ≤ x ≤ 5 に含まれるので：

・最小値：x = 2 のとき f(2) = -1

・最大値は端点で調べる：

　f(0) = 0² - 4(0) + 3 = 3

　f(5) = 5² - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8

・最大値：x = 5 のとき f(5) = 8

【解答】

定義域は [a, a+2]、軸は x = 2 です。定義域の幅は2です。

場合分け：

【場合1】軸が定義域より右にある場合：a + 2 < 2、すなわち a < 0

→ 最小値は右端 x = a + 2 で m(a) = (a+2-2)² - 1 = a² - 1

【場合2】軸が定義域内にある場合：a ≤ 2 ≤ a + 2、すなわち 0 ≤ a ≤ 2

→ 最小値は頂点で m(a) = -1

【場合3】軸が定義域より左にある場合：2 < a

→ 最小値は左端 x = a で m(a) = (a-2)² - 1

まとめ：

m(a) =

　a² - 1　　　　（a < 0 のとき）

　-1　　　　　　（0 ≤ a ≤ 2 のとき）

　(a-2)² - 1　　（a > 2 のとき）

【問題】

(1) sin75° の値を求めよ。

(2) √3 sinθ + cosθ を r sin(θ + α) の形に変形せよ。ただし、r > 0, 0 < α < π/2 とする。

(3) 0 ≤ θ < 2π のとき、√3 sinθ + cosθ = √2 を満たす θ をすべて求めよ。

【解答】

sin75° = sin(45° + 30°)

= sin45°cos30° + cos45°sin30°

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)

= (√6 + √2)/4

【解答】

√3 sinθ + cosθ = r sin(θ + α) とおく。

展開すると：r sin(θ + α) = r(sinθ cosα + cosθ sinα)

係数比較して：

　r cosα = √3 … ①

　r sinα = 1 … ②

①² + ②² より：r² = 3 + 1 = 4 → r = 2（r > 0）

②÷① より：tanα = 1/√3 → α = π/6（0 < α < π/2）

答：2 sin(θ + π/6)

【解答】

(2)より √3 sinθ + cosθ = 2 sin(θ + π/6) なので：

2 sin(θ + π/6) = √2

sin(θ + π/6) = √2/2 = 1/√2

θ + π/6 = t とおくと、0 ≤ θ < 2π より π/6 ≤ t < 2π + π/6

sin t = 1/√2 を満たす t は：

t = π/4, 3π/4, 2π + π/4（ただし範囲内）

π/6 ≤ t < 13π/6 の範囲で：

t = π/4, 3π/4

θ = t - π/6 より：

θ = π/4 - π/6 = 3π/12 - 2π/12 = π/12

θ = 3π/4 - π/6 = 9π/12 - 2π/12 = 7π/12

【問題】

(1) log₂3 = a, log₂5 = b とするとき、log₄15 を a, b を用いて表せ。

(2) 方程式 4^x - 3・2^x - 4 = 0 を解け。

(3) 不等式 log₃(x-1) + log₃(x+1) > 1 を解け。

【解答】

log₄15 = log₄(3 × 5) = log₄3 + log₄5

底の変換公式より：

log₄3 = log₂3 / log₂4 = a/2

log₄5 = log₂5 / log₂4 = b/2

よって：log₄15 = a/2 + b/2 = (a + b)/2

【解答】

4^x = (2²)^x = (2^x)² なので、2^x = t（t > 0）とおくと：

t² - 3t - 4 = 0

(t - 4)(t + 1) = 0

t = 4 または t = -1

t > 0 より t = 4

2^x = 4 = 2²

x = 2

【解答】

真数条件：

x - 1 > 0 かつ x + 1 > 0

x > 1 かつ x > -1

∴ x > 1 … ①

不等式を解く：

log₃(x-1) + log₃(x+1) > 1

log₃(x-1)(x+1) > log₃3

(x-1)(x+1) > 3　（底3 > 1より不等号の向きはそのまま）

x² - 1 > 3

x² > 4

x 2 … ②

①と②の共通部分より：x > 2

【問題】

関数 f(x) = x³ - 3x について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) 上の点 (2, 2) における接線の方程式を求めよ。

(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解答】

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x - 1)

f'(x) = 0 のとき x = -1, 1

増減表：

f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2

f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2

極大値：x = -1 で f(-1) = 2

極小値：x = 1 で f(1) = -2

【解答】

接点が (2, 2) のとき：

f'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9

接線の方程式：y - 2 = 9(x - 2)

y = 9x - 16

【解答】

f(x) = x³ - 3x = x(x² - 3) = x(x - √3)(x + √3)

x軸との交点：x = -√3, 0, √3

グラフより、-√3 ≤ x ≤ 0 では f(x) ≥ 0、0 ≤ x ≤ √3 では f(x) ≤ 0

面積 S = ∫_{-√3}^{0} f(x) dx - ∫_{0}^{√3} f(x) dx

対称性より（f(x)は奇関数）：

∫_{-√3}^{0} f(x) dx = -∫_{0}^{√3} f(x) dx

よって：S = 2 × |∫_{0}^{√3} f(x) dx|

∫_{0}^{√3} (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - 3x²/2]_{0}^{√3}

= (9/4 - 9/2) - 0 = 9/4 - 18/4 = -9/4

S = 2 × 9/4 = 9/2

【問題】

△ABC において、AB = 3, AC = 4, ∠BAC = 60° とする。辺BC を 2:1 に内分する点を D とし、AB = b, AC = c とする。

(1) 内積 b・c を求めよ。

(2) AD を b, c を用いて表せ。

(3) |AD| を求めよ。

(4) cos∠BAD を求めよ。

【解答】

b・c = |b||c|cos∠BAC

= 3 × 4 × cos60°

= 12 × (1/2)

= 6

【解答】

D は BC を 2:1 に内分するので：

AD = AB + BD = AB + (2/3)BC

= b + (2/3)(c - b)

= b + (2/3)c - (2/3)b

= (1/3)b + (2/3)c

【解答】

|AD|² = AD・AD = ((1/3)b + (2/3)c)・((1/3)b + (2/3)c)

= (1/9)|b|² + 2×(1/3)×(2/3)b・c + (4/9)|c|²

= (1/9)×9 + (4/9)×6 + (4/9)×16

= 1 + 24/9 + 64/9

= 9/9 + 24/9 + 64/9

= 97/9

|AD| = √(97/9) = √97/3

【解答】

cos∠BAD = (AB・AD)/(|AB||AD|)

AB・AD =

AB・AD = b・((1/3)b + (2/3)c)

= (1/3)|b|² + (2/3)b・c

= (1/3)×9 + (2/3)×6

= 3 + 4 = 7

よって：

cos∠BAD = 7 / (3 × √97/3)

= 7 / √97

= 7√97/97

【ポイント1】基本公式を完璧に暗記する

金沢工業大学の数学は、基本公式を正確に使えるかどうかが勝負です。特に以下の公式は必ず暗記しましょう：

• 二次関数の平方完成
• 三角関数の加法定理・合成公式
• 対数の性質（底の変換公式含む）
• 微分公式（(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹）
• ベクトルの内積公式

【ポイント2】計算力を鍛える

マークシート形式では、途中点がありません。計算ミスは致命的です。毎日の計算練習で、正確さとスピードを両立させましょう。

【ポイント3】場合分けの練習をする

二次関数の最大・最小、絶対値を含む問題など、場合分けが必要な問題が頻出です。どの条件で場合分けするか、素早く判断できるようにしましょう。

【ポイント4】グラフを描く習慣をつける

二次関数、三角関数、指数・対数関数など、グラフを描くことで問題の見通しが良くなります。特に最大・最小問題や不等式では必須のスキルです。

【ポイント5】時間配分を意識する

60分で5問程度を解くため、1問あたり約12分が目安です。難しい問題に時間をかけすぎず、解ける問題を確実に得点することを心がけましょう。

【問題】

関数 f(x) = -x² + 6x - 5 について、a ≤ x ≤ a + 1 における最大値を M(a) とする。M(a) を求めよ。

【解答・解説】

Step 1：平方完成

f(x) = -x² + 6x - 5 = -(x² - 6x) - 5 = -(x² - 6x + 9) + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4

頂点：(3, 4)、上に凸の放物線

Step 2：場合分け

定義域 [a, a+1] の幅は1、軸は x = 3

【場合1】軸が定義域より右にある：a + 1 < 3、すなわち a < 2

→ 最大値は右端 x = a + 1 で M(a) = -(a + 1 - 3)² + 4 = -(a - 2)² + 4

【場合2】軸が定義域内にある：a ≤ 3 ≤ a + 1、すなわち 2 ≤ a ≤ 3

→ 最大値は頂点で M(a) = 4

【場合3】軸が定義域より左にある：3 < a

→ 最大値は左端 x = a で M(a) = -(a - 3)² + 4

【答】

M(a) =

　-(a - 2)² + 4　（a < 2 のとき）

　4　　　　　　　（2 ≤ a ≤ 3 のとき）

　-(a - 3)² + 4　（a > 3 のとき）

【問題】

0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 sinθ + √3 cosθ = 1 を解け。

【解答・解説】

Step 1：三角関数の合成

sinθ + √3 cosθ = r sin(θ + α) とおく

r² = 1² + (√3)² = 4 → r = 2

tanα = √3/1 = √3 → α = π/3

∴ sinθ + √3 cosθ = 2 sin(θ + π/3)

Step 2：方程式を解く

2 sin(θ + π/3) = 1

sin(θ + π/3) = 1/2

θ + π/3 = t とおくと、π/3 ≤ t < 2π + π/3（= 7π/3）

sin t = 1/2 より t = π/6, 5π/6, 2π + π/6（= 13π/6）

範囲 π/3 ≤ t < 7π/3 内で：t = 5π/6, 13π/6

θ = t - π/3 より：

θ = 5π/6 - π/3 = 5π/6 - 2π/6 = π/2

θ = 13π/6 - π/3 = 13π/6 - 2π/6 = 11π/6

【答】θ = π/2, 11π/6

【問題】

曲線 y = x² - 2x と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解答・解説】

Step 1：交点を求める

x² - 2x = x

x² - 3x = 0

x(x - 3) = 0

x = 0, 3

Step 2：上下関係を確認

0 ≤ x ≤ 3 で、x - (x² - 2x) = 3x - x² = x(3 - x) ≥ 0

よって、直線 y = x が上側

Step 3：面積計算

S = ∫₀³ {x - (x² - 2x)} dx

= ∫₀³ (3x - x²) dx

= [3x²/2 - x³/3]₀³

= (3×9/2 - 27/3) - 0

= 27/2 - 9

= 27/2 - 18/2

= 9/2

【別解：1/6公式】

放物線と直線で囲まれた面積は、交点の x 座標を α, β（α < β）として：

S = |a|/6 × (β - α)³ （aは放物線のx²の係数）

ここでは a = -1（上側の関数 - 下側の関数 = -x² + 3x のx²係数）

S = 1/6 × (3 - 0)³ = 1/6 × 27 = 9/2

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