岩手県立大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、岩手県立大学 2018年度 数学の入試問題を徹底解説していきます。岩手県立大学は1998年に開学し、2018年に開学20周年を迎えた公立大学です。特にソフトウェア情報学部は情報系志望の受験生に人気があり、数学の入試問題もプログラミングや情報科学との親和性を意識した出題が特徴的です。

この記事では、2018年度の前期・後期試験で出題された問題を中心に、詳細な解法・別解・対策法をお伝えします。ぜひ最後まで読んで、合格への一歩を踏み出してください！

試験概要・難易度

試験形式と配点

岩手県立大学ソフトウェア情報学部の一般選抜では、数学は個別学力検査の主要科目として出題されます。2018年度の試験概要は以下の通りです。

2018年度の全体講評

2018年度の岩手県立大学数学は、標準〜やや難のレベルで出題されました。特に以下の特徴が見られます：

• n進法・整数問題：情報学部らしく、二進法・八進法などn進法に関する問題が出題されました。これはコンピュータサイエンスの基礎として非常に重要な分野です。
• 数列・漸化式：複雑な漸化式を解く問題が出題され、論理的思考力と計算力が試されました。
• 微分積分：関数の増減や面積計算など、標準的だが確実に解く力が求められる問題。
• 場合の数・確率：組み合わせの考え方を使った問題。

全体として、基礎を確実に固めた上で、典型問題のパターンを身につけておくことが重要です。難問に時間をかけすぎず、取れる問題を確実に取る姿勢が合格への近道となります。

大問1：n進法と整数の性質

問題

解説・解法のポイント

この問題は、n進法の基本的な変換と整数の範囲に関する条件を理解しているかを問う良問です。情報学部らしい出題と言えるでしょう。

（a）十進法の 7/16 を二進法の小数で表す

【考え方】

十進法の小数を二進法に変換するには、小数部分に2を繰り返し掛けていく方法が基本です。しかし、この問題では分母が $16 = 2^4$ なので、もっと簡単に解けます。

【解法1：直接変換】

$dfrac{7}{16} = dfrac{7}{2^4}$

二進法では、$dfrac{1}{2^n}$ は小数第n位の「1」を意味します。

• $dfrac{1}{2} = 0.1_{(2)}$
• $dfrac{1}{4} = dfrac{1}{2^2} = 0.01_{(2)}$
• $dfrac{1}{8} = dfrac{1}{2^3} = 0.001_{(2)}$
• $dfrac{1}{16} = dfrac{1}{2^4} = 0.0001_{(2)}$

ここで、$7 = 4 + 2 + 1 = 2^2 + 2^1 + 2^0$ より、

$dfrac{7}{16} = dfrac{4}{16} + dfrac{2}{16} + dfrac{1}{16} = dfrac{1}{4} + dfrac{1}{8} + dfrac{1}{16}$

$= 0.01_{(2)} + 0.001_{(2)} + 0.0001_{(2)}$

$= 0.0111_{(2)}$

【答え】$0.0111_{(2)}$

【解法2：繰り返し2倍法（検算用）】

$dfrac{7}{16} times 2 = dfrac{14}{16} = dfrac{7}{8} = 0 + dfrac{7}{8}$ → 整数部分 0

$dfrac{7}{8} times 2 = dfrac{14}{8} = dfrac{7}{4} = 1 + dfrac{3}{4}$ → 整数部分 1

$dfrac{3}{4} times 2 = dfrac{6}{4} = dfrac{3}{2} = 1 + dfrac{1}{2}$ → 整数部分 1

$dfrac{1}{2} times 2 = 1 = 1 + 0$ → 整数部分 1

整数部分を順に並べると：$0.0111_{(2)}$ ✓

（b）十進法の 7/16 を八進法の小数で表す

【考え方】

八進法は $8 = 2^3$ なので、二進法との関係を利用します。

【解法1：二進法経由】

（a）より、$dfrac{7}{16} = 0.0111_{(2)}$

二進法から八進法への変換は、小数点を基準に3桁ずつ区切るのがポイントです。

$0.0111_{(2)} = 0.011 100_{(2)}$（右側に0を補う）

各3桁を八進法の1桁に変換：

• $011_{(2)} = 3_{(8)}$
• $100_{(2)} = 4_{(8)}$

よって、$0.0111_{(2)} = 0.34_{(8)}$

【解法2：直接計算】

$dfrac{7}{16} times 8 = dfrac{56}{16} = dfrac{7}{2} = 3 + dfrac{1}{2}$ → 整数部分 3

$dfrac{1}{2} times 8 = 4$ → 整数部分 4

整数部分を順に並べると：$0.34_{(8)}$

【答え】$0.34_{(8)}$

（c）十進法でも八進法でも3桁になる正の整数の個数

【考え方】

「n進法でk桁」の条件を不等式で表します。

十進法で3桁の条件：

$100 leq n leq 999$

八進法で3桁の条件：

八進法で3桁とは、$100_{(8)} leq n leq 777_{(8)}$ ということ。

$100_{(8)} = 1 times 8^2 = 64$

$777_{(8)} = 7 times 8^2 + 7 times 8 + 7 = 448 + 56 + 7 = 511$

よって、$64 leq n leq 511$

両方の条件を満たす範囲：

$100 leq n leq 999$ かつ $64 leq n leq 511$

$Rightarrow 100 leq n leq 511$

個数の計算：

$511 - 100 + 1 = 412$ 個

【答え】412個

別解・発展

【発展】一般化して考える

十進法でm桁、p進法でn桁となる整数の個数を求める一般的な方法を整理しておきましょう。

• 十進法でm桁 ⇔ $10^{m-1} leq x leq 10^m - 1$
• p進法でn桁 ⇔ $p^{n-1} leq x leq p^n - 1$

両方を満たす範囲は、$max(10^{m-1}, p^{n-1}) leq x leq min(10^m - 1, p^n - 1)$ となります。

この考え方は、情報系の試験で頻出ですので、しっかり身につけておきましょう。

大問2：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、奇数番目と偶数番目で異なる漸化式を持つ数列を扱う問題です。一見複雑に見えますが、順序立てて考えれば解けます。

（1）$a_2, a_3, a_4, a_5$ を求める

【解法】

与えられた漸化式に順番に代入していきます。

$a_1 = 1$（初項）

$a_2 = a_1 + 3^0 = 1 + 1 = 2$（$n=1$ を代入）

$a_3 = 3a_2 = 3 times 2 = 6$（$n=1$ を代入）

$a_4 = a_3 + 3^1 = 6 + 3 = 9$（$n=2$ を代入）

$a_5 = 3a_4 = 3 times 9 = 27$（$n=2$ を代入）

【答え】$a_2 = 2, a_3 = 6, a_4 = 9, a_5 = 27$

【確認】数列の様子

$1, 2, 6, 9, 27, ldots$ という数列になっています。奇数番目は $1, 6, 27, ldots$ で、偶数番目は $2, 9, ldots$ です。

（2）$a_{2n-1}$ を $n$ の式で表す

【考え方】

奇数番目の項を取り出して、$b_n = a_{2n-1}$ とおくと、この数列 ${b_n}$ の漸化式を導きます。

【解法】

$a_{2n+1} = 3a_{2n} = 3(a_{2n-1} + 3^{n-1}) = 3a_{2n-1} + 3^n$

$b_n = a_{2n-1}$ とおくと、$b_{n+1} = a_{2(n+1)-1} = a_{2n+1}$ より、

$b_{n+1} = 3b_n + 3^n$

これは $b_{n+1} = pb_n + q^n$ 型の漸化式です。$p = q = 3$ の場合。

【$p = q$ の場合の解法】

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$dfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}} = dfrac{b_n}{3^n} + dfrac{1}{3}$

$c_n = dfrac{b_n}{3^n}$ とおくと、

$c_{n+1} = c_n + dfrac{1}{3}$

これは公差 $dfrac{1}{3}$ の等差数列です。

$c_1 = dfrac{b_1}{3} = dfrac{a_1}{3} = dfrac{1}{3}$

$c_n = dfrac{1}{3} + (n-1) times dfrac{1}{3} = dfrac{n}{3}$

よって、$b_n = 3^n times dfrac{n}{3} = n cdot 3^{n-1}$

【答え】$a_{2n-1} = n cdot 3^{n-1}$

【検算】

• $n=1$: $a_1 = 1 times 3^0 = 1$ ✓
• $n=2$: $a_3 = 2 times 3^1 = 6$ ✓
• $n=3$: $a_5 = 3 times 3^2 = 27$ ✓

（3）$a_{2n}$ を $n$ の式で表す

【解法】

漸化式 $a_{2n} = a_{2n-1} + 3^{n-1}$ に（2）の結果を代入します。

$a_{2n} = n cdot 3^{n-1} + 3^{n-1} = (n+1) cdot 3^{n-1}$

【答え】$a_{2n} = (n+1) cdot 3^{n-1}$

【検算】

• $n=1$: $a_2 = 2 times 3^0 = 2$ ✓
• $n=2$: $a_4 = 3 times 3^1 = 9$ ✓

（4）$sum_{k=1}^{2n} a_k$ を $n$ の式で表す

【考え方】

奇数番目の和と偶数番目の和に分けて計算します。

【解法】

$displaystylesum_{k=1}^{2n} a_k = sum_{j=1}^{n} a_{2j-1} + sum_{j=1}^{n} a_{2j}$

$= displaystylesum_{j=1}^{n} j cdot 3^{j-1} + sum_{j=1}^{n} (j+1) cdot 3^{j-1}$

$= displaystylesum_{j=1}^{n} (2j+1) cdot 3^{j-1}$

この和を計算します。$S = displaystylesum_{j=1}^{n} (2j+1) cdot 3^{j-1}$ とおきます。

$S = 3 cdot 3^0 + 5 cdot 3^1 + 7 cdot 3^2 + cdots + (2n+1) cdot 3^{n-1}$

$3S = 3 cdot 3^1 + 5 cdot 3^2 + 7 cdot 3^3 + cdots + (2n+1) cdot 3^{n}$

辺々引くと、

$S - 3S = 3 cdot 3^0 + 2 cdot 3^1 + 2 cdot 3^2 + cdots + 2 cdot 3^{n-1} - (2n+1) cdot 3^{n}$

$-2S = 3 + 2(3^1 + 3^2 + cdots + 3^{n-1}) - (2n+1) cdot 3^{n}$

$-2S = 3 + 2 cdot dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} - (2n+1) cdot 3^{n}$

$-2S = 3 + 3(3^{n-1}-1) - (2n+1) cdot 3^{n}$

$-2S = 3 + 3^n - 3 - (2n+1) cdot 3^{n}$

$-2S = 3^n - (2n+1) cdot 3^{n} = 3^n(1 - 2n - 1) = -2n cdot 3^n$

$S = n cdot 3^n$

【答え】$displaystylesum_{k=1}^{2n} a_k = n cdot 3^n$

【検算】

• $n=1$: $a_1 + a_2 = 1 + 2 = 3 = 1 times 3^1$ ✓
• $n=2$: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + 2 + 6 + 9 = 18 = 2 times 3^2$ ✓

別解・発展

【別解：一般項をまとめて表す】

$a_n$ を一つの式で表すこともできます。

$n$ が奇数のとき（$n = 2m-1$）：$a_n = m cdot 3^{m-1}$

$n$ が偶数のとき（$n = 2m$）：$a_n = (m+1) cdot 3^{m-1}$

これを床関数や天井関数を使ってまとめることもできますが、答案では場合分けして書いた方が明確です。

大問3：二次関数と整数問題

問題

解説・解法のポイント

（1）$f(x)$ の最小値

【解法】

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ を平方完成します。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 6$

下に凸の放物線なので、$x = a$ のとき最小値をとります。

【答え】最小値は $-a^2 + a + 6$（$x = a$ のとき）

（2）すべての実数 $x$ で $f(x) > 0$ となる条件

【考え方】

下に凸の放物線がすべての点で正となるには、最小値 > 0 であればよい。

【解法】

$-a^2 + a + 6 > 0$

$a^2 - a - 6 < 0$

$(a-3)(a+2) < 0$

【答え】$-2 < a < 3$

（3）異なる2つの正の整数解をもつ条件

【考え方】

解と係数の関係を使います。$f(x) = 0$ の2つの解を $alpha, beta$（$alpha < beta$、ともに正の整数）とすると：

• $alpha + beta = 2a$（解の和）
• $alpha beta = a + 6$（解の積）

【解法】

第1式より $a = dfrac{alpha + beta}{2}$

これを第2式に代入：

$alpha beta = dfrac{alpha + beta}{2} + 6$

$2alphabeta = alpha + beta + 12$

$2alphabeta - alpha - beta - 12 = 0$

【因数分解のテクニック】

$2alphabeta - alpha - beta - 12 = 0$ を変形します。

$4alphabeta - 2alpha - 2beta - 24 = 0$

$(2alpha - 1)(2beta - 1) = 25$

$alpha, beta$ は正の整数で $alpha < beta$ より、$2alpha - 1, $2beta - 1$ はともに正の奇数で、$2alpha - 1 < 2beta - 1$ です。

$25 = 1 times 25 = 5 times 5$ と因数分解できるので、

• $(2alpha - 1, 2beta - 1) = (1, 25)$ のとき、$(alpha, beta) = (1, 13)$
• $(2alpha - 1, 2beta - 1) = (5, 5)$ のとき、$(alpha, beta) = (3, 3)$（不適、$alpha < beta$ に反する）

よって、$alpha = 1, beta = 13$

$a = dfrac{1 + 13}{2} = 7$

【検算】

$f(x) = x^2 - 14x + 13 = (x-1)(x-13) = 0$ より、$x = 1, 13$ ✓

【答え】$a = 7$、2つの整数解は $1$ と $13$

別解・発展

【別解：整数解の候補を絞り込む】

$alphabeta = a + 6 = dfrac{alpha + beta}{2} + 6$ より、$alpha + beta$ は偶数でなければなりません。

また、$alphabeta > 0$ かつ $alpha + beta > 0$ より、両方とも正の整数という条件と整合します。

小さい方から候補を調べていく方法もありますが、因数分解を使う方法が効率的です。

大問4：微分と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

（1）$f(x)$ の極値を求める

【解法】

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$

増減表を作成します：

$f(0) = k$（極大値）

$f(2) = 8 - 12 + k = k - 4$（極小値）

【答え】極大値 $k$（$x = 0$）、極小値 $k - 4$（$x = 2$）

（2）$x$ 軸と異なる3点で交わる条件

【考え方】

3次関数が $x$ 軸と異なる3点で交わるには、極大値 > 0 かつ 極小値 < 0 であればよい。

【解法】

$k > 0$ かつ $k - 4 < 0$

$0 < k < 4$

【答え】$0 < k < 4$

（3）$k = 2$ のときの面積

【考え方】

$k = 2$ のとき、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2 - 2x - 2)$

まず、$x$ 軸との交点を求めます。

【解法】

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ より、$x = 1$ は解。

$f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ を解くと、

$x = dfrac{2 pm sqrt{4 + 8}}{2} = 1 pm sqrt{3}$

3つの解は $x = 1 - sqrt{3}, 1, 1 + sqrt{3}$

$1 - sqrt{3} approx -0.73$、$1 + sqrt{3} approx 2.73$ です。

増減表より、$1 - sqrt{3} < x 0$、$1 < x < 1 + sqrt{3}$ で $f(x) < 0$ です。

【面積の計算】

$S = displaystyleint_{1-sqrt{3}}^{1} f(x),dx - int_{1}^{1+sqrt{3}} f(x),dx$

$= displaystyleint_{1-sqrt{3}}^{1} f(x),dx + int_{1}^{1+sqrt{3}} (-f(x)),dx$

【対称性の利用】

$f(x) = (x-1)(x^2 - 2x - 2) = (x-1)((x-1)^2 - 3)$

$t = x - 1$ と置換すると、$f(x) = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t$

$g(t) = t^3 - 3t$ は奇関数なので、$t = -sqrt{3}$ から $t = sqrt{3}$ の範囲で対称性があります。

$S = 2displaystyleint_{0}^{sqrt{3}} (3t - t^3),dt$

$= 2left[dfrac{3t^2}{2} - dfrac{t^4}{4}right]_{0}^{sqrt{3}}$

$= 2left(dfrac{3 times 3}{2} - dfrac{9}{4}right)$

$= 2left(dfrac{9}{2} - dfrac{9}{4}right)$

$= 2 times dfrac{9}{4} = dfrac{9}{2}$

【答え】面積は $dfrac{9}{2}$

別解・発展

【1/6公式・1/12公式の活用】

3次関数と直線（またはx軸）で囲まれる面積では、1/12公式が有効です。

$y = a(x - alpha)(x - beta)(x - gamma)$（$alpha < beta < gamma$）と $x$ 軸で囲まれる2つの部分の面積の和は：

$S = dfrac{|a|}{12}(gamma - alpha)^4 times dfrac{(beta - alpha)(gamma - beta)}{(gamma - alpha)^2}$

ただし、この公式は複雑なので、置換積分の方が確実です。

大問5：確率と場合の数

問題

解説・解法のポイント

（1）$a + b + c = 10$ となる確率

【考え方】

$1 leq a, b, c leq 6$ で $a + b + c = 10$ となる $(a, b, c)$ の組を数えます。

【解法】

$a + b + c = 10$ を満たす組を、$a$ の値で場合分けします。

• $a = 1$: $b + c = 9$。$(b, c) = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ の4通り
• $a = 2$: $b + c = 8$。$(b, c) = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ の5通り
• $a = 3$: $b + c = 7$。$(b, c) = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ の6通り
• $a = 4$: $b + c = 6$。$(b, c) = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ の5通り
• $a = 5$: $b + c = 5$。$(b, c) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ の4通り
• $a = 6$: $b + c = 4$。$(b, c) = (1, 3), (2, 2), (3, 1)$ の3通り

合計：$4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27$ 通り

全事象：$6^3 = 216$ 通り

【答え】$dfrac{27}{216} = dfrac{1}{8}$

（2）$a leq b leq c$ となる確率

【考え方】

$a, b, c$ の大小関係による場合分けを考えます。

【解法1：直接数える】

$a leq b leq c$ を満たす組は、「重複組合せ」の考え方で数えられます。

1から6の数字から重複を許して3個選び、小さい順に $a, b, c$ とする方法の数は、

${}_6mathrm{H}_3 = {}_8mathrm{C}_3 = dfrac{8 times 7 times 6}{3 times 2 times 1} = 56$ 通り

【答え】$dfrac{56}{216} = dfrac{7}{27}$

【解法2：対称性を利用】

3つの数の大小関係は、

• すべて異なる場合：$3! = 6$ 通りの並び方があり、そのうち1つが $a < b < c$
• 2つが等しい場合：3通りの並び方
• すべて等しい場合：1通り

より詳細に計算しても同じ結果が得られます。

（3）すべて異なり、かつ和が3の倍数となる確率

【考え方】

まず「すべて異なる」場合を数え、その中で「和が3の倍数」となるものを数えます。

【解法】

すべて異なる場合の数：$6 times 5 times 4 = 120$ 通り

1から6の数字を3で割った余りで分類：

• 余り0：3, 6
• 余り1：1, 4
• 余り2：2, 5

$a + b + c$ が3の倍数となるのは、余りの組み合わせが $(0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 1, 2)$ のいずれかの場合。

すべて異なる3数を選ぶので、

• $(0, 0, 0)$：余り0のグループから3つ選ぶが、2つしかないので不可能
• $(1, 1, 1)$：同様に不可能
• $(2, 2, 2)$：同様に不可能
• $(0, 1, 2)$：各グループから1つずつ選ぶ。$2 times 2 times 2 = 8$ 通りの選び方、並べ方は $3! = 6$ 通り

よって、$8 times 6 = 48$ 通り

【答え】$dfrac{48}{216} = dfrac{2}{9}$

別解・発展

【発展：母関数を使った方法】

（1）の問題は、母関数 $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ を展開したときの $x^{10}$ の係数としても求められます。これは大学レベルの手法ですが、知っておくと便利です。

大問6：ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

（1）$overrightarrow{AD}$ を表す

【解法】

点Dは辺BCを $2:1$ に内分するので、

$overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD}$

$= vec{b} + dfrac{2}{3}overrightarrow{BC}$

$= vec{b} + dfrac{2}{3}(vec{c} - vec{b})$

$= vec{b} + dfrac{2}{3}vec{c} - dfrac{2}{3}vec{b}$

$= dfrac{1}{3}vec{b} + dfrac{2}{3}vec{c}$

【答え】$overrightarrow{AD} = dfrac{1}{3}vec{b} + dfrac{2}{3}vec{c}$

（2）$overrightarrow{AP}$ を表す

【考え方】

PはAD上かつBM上の点なので、2通りの表し方ができます。それを連立して解きます。

【解法】

PはAD上にあるので、実数 $s$ を用いて

$overrightarrow{AP} = soverrightarrow{AD} = sleft(dfrac{1}{3}vec{b} + dfrac{2}{3}vec{c}right) = dfrac{s}{3}vec{b} + dfrac{2s}{3}vec{c}$ ...

MはACの中点なので、$overrightarrow{AM} = dfrac{1}{2}vec{c}$

PはBM上にあるので、実数 $t$ を用いて

$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + toverrightarrow{BM}$

$= vec{b} + t(overrightarrow{AM} - overrightarrow{AB})$

$= vec{b} + tleft(dfrac{1}{2}vec{c} - vec{b}right)$

$= (1-t)vec{b} + dfrac{t}{2}vec{c}$ ...②

①と②を比較して、$vec{b}$ と $vec{c}$ は一次独立なので、

$dfrac{s}{3} = 1 - t$ ...③

$dfrac{2s}{3} = dfrac{t}{2}$ ...④

④より $t = dfrac{4s}{3}$

これを③に代入：

$dfrac{s}{3} = 1 - dfrac{4s}{3}$

$dfrac{s}{3} + dfrac{4s}{3} = 1$

$dfrac{5s}{3} = 1$

$s = dfrac{3}{5}$

よって、

$overrightarrow{AP} = dfrac{3/5}{3}vec{b} + dfrac{2 times 3/5}{3}vec{c} = dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}$

【答え】$overrightarrow{AP} = dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}$

（3）線分APの長さ

【解法】

$|overrightarrow{AP}|^2 = left|dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}right|^2$

$= dfrac{1}{25}|vec{b}|^2 + dfrac{4}{25}|vec{c}|^2 + dfrac{4}{25}vec{b} cdot vec{c}$

$= dfrac{1}{25} times 9 + dfrac{4}{25} times 16 + dfrac{4}{25} times 6$

$= dfrac{9 + 64 + 24}{25} = dfrac{97}{25}$

$|overrightarrow{AP}| = dfrac{sqrt{97}}{5}$

【答え】$AP = dfrac{sqrt{97}}{5}$

別解・発展

【別解：メネラウスの定理】

三角形ABMと直線DPCに対してメネラウスの定理を適用することでも、分点の比を求められます。ただし、ベクトルを使う方法が最も確実です。

この年度の重要テーマと対策

2018年度の出題傾向まとめ

岩手県立大学2018年度の数学入試を振り返ると、以下のテーマが重要でした：

合格に向けた対策ポイント

1. n進法の徹底理解（情報学部特有）

ソフトウェア情報学部を志望するなら、n進法は必須分野です。特に以下を確実にしましょう：

• 十進法 ⇔ 二進法 ⇔ 八進法 ⇔ 十六進法の相互変換
• 小数の変換方法
• 桁数と数の範囲の関係

2. 漸化式のパターン習得

以下の漸化式は解法を暗記するレベルで身につけましょう：

• 等差型：$a_{n+1} = a_n + d$
• 等比型：$a_{n+1} = ra_n$
• 階差型：$a_{n+1} = a_n + f(n)$
• 特性方程式型：$a_{n+1} = pa_n + q$
• $a_{n+1} = pa_n + q^n$ 型

3. 計算力と検算習慣

岩手県立大学の問題は、計算量は標準的ですが、確実に正解を出す力が求められます。常に検算する習慣をつけましょう。

4. 時間配分の練習

90分で4〜5問を解くには、1問あたり15〜20分が目安です。過去問を時間を計って解く練習を積みましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：n進法

【解答・解説】

(1) の解答

$dfrac{5}{32} = dfrac{5}{2^5}$

$5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0$ より、

$dfrac{5}{32} = dfrac{4}{32} + dfrac{1}{32} = dfrac{1}{8} + dfrac{1}{32} = 0.001_{(2)} + 0.00001_{(2)} = 0.00101_{(2)}$

【答え】$0.00101_{(2)}$

(2) の解答

十進法で2桁：$10 leq n leq 99$

十六進法で2桁：$10_{(16)} leq n leq text{FF}_{(16)}$、すなわち $16 leq n leq 255$

両方を満たす範囲：$16 leq n leq 99$

個数：$99 - 16 + 1 = 84$ 個

【答え】84個

練習問題2：漸化式

【解答・解説】

$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ は $a_{n+1} = pa_n + q^n$ 型（$p = 2, q = 3$）の漸化式です。

【解法】

両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = dfrac{2a_n}{3^{n+1}} + dfrac{3^n}{3^{n+1}}$

$dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = dfrac{2}{3} cdot dfrac{a_n}{3^n} + dfrac{1}{3}$

$b_n = dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = dfrac{2}{3}b_n + dfrac{1}{3}$

特性方程式 $x = dfrac{2}{3}x + dfrac{1}{3}$ を解くと $x = 1$

$b_{n+1} - 1 = dfrac{2}{3}(b_n - 1)$

${b_n - 1}$ は初項 $b_1 - 1 = dfrac{2}{3} - 1 = -dfrac{1}{3}$、公比 $dfrac{2}{3}$ の等比数列。

$b_n - 1 = -dfrac{1}{3} cdot left(dfrac{2}{3}right)^{n-1} = -dfrac{2^{n-1}}{3^n}$

$b_n = 1 - dfrac{2^{n-1}}{3^n}$

$a_n = 3^n cdot b_n = 3^n - 2^{n-1}$

【検算】

• $a_1 = 3 - 1 = 2$ ✓
• $a_2 = 9 - 2 = 7$、確認：$2a_1 + 3^1 = 4 + 3 = 7$ ✓

【答え】$a_n = 3^n - 2^{n-1}$

練習問題3：整数解と二次方程式

【解答・解説】

2つの正の整数解を $alpha, beta$（$alpha < beta$）とします。

【解と係数の関係】

• $alpha + beta = k + 3$
• $alpha beta = 3k$

第1式より $k = alpha + beta - 3$

第2式に代入：

$alpha beta = 3(alpha + beta - 3)$

$alpha beta = 3alpha + 3beta - 9$

$alpha beta - 3alpha - 3beta + 9 = 0$

$(alpha - 3)(beta - 3) = 0$

よって $alpha = 3$ または $beta = 3$

【場合分け】

ケース1：$alpha = 3$ のとき

$beta > alpha = 3$ より $beta geq 4$

$k = 3 + beta - 3 = beta$

検算：$alpha beta = 3beta = 3k$ ✓

$beta$ は4以上の任意の正の整数でOK。

ケース2：$beta = 3$ のとき

$alpha < beta = 3$ より $alpha in {1, 2}$

$alpha = 1$ のとき：$k = 1 + 3 - 3 = 1$、検算：$1 times 3 = 3 = 3 times 1$ ✓

$alpha = 2$ のとき：$k = 2 + 3 - 3 = 2$、検算：$2 times 3 = 6 = 3 times 2$ ✓

【答え】

• $k = 1$ のとき、整数解は $1, 3$
• $k = 2$ のとき、整数解は $2, 3$
• $k = n$（$n geq 4$ の整数）のとき、整数解は $3, n$

（問題文で「すべて求めよ」とあるので、$k$ が無限に存在することを明記するか、$k$ の範囲に制限があれば有限個を列挙します。通常の入試では $k$ が特定の値に限定されるような条件が追加されます。）

2018年度の総括と今後の学習アドバイス

2018年度入試の振り返り

岩手県立大学2018年度の数学入試は、情報学部らしい特色と標準的な数学力の確認がバランスよく出題されました。

得点戦略として重要なポイント：

1. n進法は確実に得点する：情報学部特有の問題であり、練習すれば確実に解ける分野です。ここで落とすのは非常にもったいない。
2. 数列・漸化式は定型パターンを身につける：本年度のような「奇数項・偶数項で分ける」タイプも含め、様々なパターンを演習しておきましょう。
3. 微積分は計算ミスに注意：解法自体は標準的ですが、計算量があるため、検算を忘れずに。
4. 時間配分を意識する：難問に固執せず、解ける問題を確実に得点することが合格への近道です。

推奨する学習計画

おすすめの参考書・問題集

• 基礎固め：『チャート式 基礎からの数学』（青チャート）または『Focus Gold』
• 標準演習：『数学 標準問題精講』シリーズ
• n進法対策：『情報関係基礎』の過去問、『離散数学入門』
• 過去問：岩手県立大学の過去問（大学公式サイトで公開）

日本数学塾・数強塾で岩手県立大学合格を目指そう

ここまで、岩手県立大学2018年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

「解説を読めば分かるけど、自分で解くのは難しい...」
「n進法や漸化式がどうしても苦手...」
「時間内に全問解ききれない...」

そんな悩みを抱えていませんか？

数学は正しい方法で学べば、必ず伸びる科目です。

私たち日本数学塾・数強塾では、一人ひとりの理解度と目標に合わせた完全個別指導を行っています。

日本数学塾・数強塾の特徴

無料体験授業 受付中！

「自分に合うか分からない...」という方も、まずは無料体験授業を受けてみてください。

体験授業では、

• 現在の学力診断
• 志望校合格に向けた学習プランの提案
• 実際の授業の雰囲気を体感

を行います。もちろん、体験後に入塾を強制することは一切ありません。

最後に：藤原先生からのメッセージ

岩手県立大学の数学は、決して難問ばかりではありません。基礎をしっかり固め、典型問題のパターンを身につければ、十分に合格点を取れる試験です。

特にソフトウェア情報学部を目指す皆さんには、n進法などの「情報数学」の分野をしっかり学んでほしいと思います。これは大学入学後、プログラミングやコンピュータサイエンスを学ぶ上での重要な基礎になります。

受験勉強は大変ですが、正しい努力は必ず報われます。

この記事が、皆さんの合格への一助となれば幸いです。質問や相談があれば、いつでも日本数学塾・数強塾までお気軽にご連絡ください。

一緒に、岩手県立大学合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介