旭川医科大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、旭川医科大学 2016年度（平成28年度）前期日程 数学の過去問を徹底解説していきます。旭川医科大学は北海道唯一の単科医科大学として、毎年多くの医学部志望者が挑戦する難関校です。

この記事では、2016年度に出題された全4問について、問題の背景から解法のポイント、別解、そして類似問題での練習まで、合格に必要なすべてを網羅的に解説します。ぜひ最後までお読みいただき、旭川医科大学攻略の糧にしてください！

試験概要・難易度

2016年度 旭川医科大学 前期日程 数学 試験概要

2016年度の全体講評

2016年度の旭川医科大学数学は、例年通りの標準〜やや難レベルの出題でした。大問4題構成で、各大問とも小問に分かれており、誘導に従って解き進めれば完答可能な設計となっています。

出題分野の内訳：

• 第1問：三角関数の積分・漸化式（数学Ⅲ）
• 第2問：三角関数と図形（数学Ⅱ・図形と方程式）
• 第3問：軌跡と長さ（数学Ⅱ・Ⅲ）
• 第4問：二項係数の和（数学A・Ⅱ）

難易度評価：

• 第1問：標準（典型的な積分漸化式）
• 第2問：標準〜やや易（単位円と三角形の性質）
• 第3問：やや難（軌跡の計算がやや複雑）
• 第4問：標準（二項定理の応用）

全体として、計算力と典型問題への習熟度が問われる年度でした。特に第1問の積分漸化式と第4問の二項係数は、医学部入試では頻出テーマであり、確実に得点したい問題です。

大問1：三角関数の積分と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、三角関数の積分における典型的な漸化式を扱う問題です。$tan^n x$ の積分は、医学部入試では頻出中の頻出テーマであり、確実にマスターしておきたい内容です。

【問1の解答】$I_1$ を求める

まず、$I_1 = int_0^{pi/4} tan x , dx$ を計算します。

$tan x = dfrac{sin x}{cos x}$ なので、$t = cos x$ と置換します。

$$dt = -sin x , dx$$

積分範囲は：

• $x = 0$ のとき $t = cos 0 = 1$
• $x = dfrac{pi}{4}$ のとき $t = cos dfrac{pi}{4} = dfrac{1}{sqrt{2}}$

よって、

$$I_1 = int_0^{pi/4} frac{sin x}{cos x} dx = int_1^{1/sqrt{2}} frac{-dt}{t} = int_{1/sqrt{2}}^{1} frac{dt}{t}$$

$$= left[log tright]_{1/sqrt{2}}^{1} = log 1 - log frac{1}{sqrt{2}} = 0 - left(-frac{1}{2}log 2right)$$

$$therefore boxed{I_1 = frac{1}{2}log 2}$$

【問2の解答】漸化式 $I_n + I_{n-2}$ を導出する

これが本問の核心部分です。$tan^n x$ の漸化式は以下のように導きます。

$$I_n + I_{n-2} = int_0^{pi/4} tan^n x , dx + int_0^{pi/4} tan^{n-2} x , dx$$

$$= int_0^{pi/4} tan^{n-2} x (tan^2 x + 1) , dx$$

ここで、重要な恒等式 $tan^2 x + 1 = sec^2 x = dfrac{1}{cos^2 x}$ を使います。

$$= int_0^{pi/4} tan^{n-2} x cdot sec^2 x , dx$$

$t = tan x$ と置換すると、$dt = sec^2 x , dx$

積分範囲は：

• $x = 0$ のとき $t = tan 0 = 0$
• $x = dfrac{pi}{4}$ のとき $t = tan dfrac{pi}{4} = 1$

$$I_n + I_{n-2} = int_0^{1} t^{n-2} , dt = left[frac{t^{n-1}}{n-1}right]_0^{1} = frac{1}{n-1}$$

$$therefore boxed{I_n + I_{n-2} = frac{1}{n-1} quad (n geq 2)}$$

【問3の解答】$I_2, I_3, I_4$ を求める

問2で得た漸化式を使って順次計算します。

$I_2$ の計算：

$n = 2$ のとき、$I_2 + I_0 = dfrac{1}{1} = 1$

ここで、$I_0 = int_0^{pi/4} tan^0 x , dx = int_0^{pi/4} 1 , dx = dfrac{pi}{4}$

$$therefore I_2 = 1 - I_0 = 1 - frac{pi}{4} = boxed{frac{4-pi}{4}}$$

$I_3$ の計算：

$n = 3$ のとき、$I_3 + I_1 = dfrac{1}{2}$

問1より $I_1 = dfrac{1}{2}log 2$ なので、

$$I_3 = frac{1}{2} - I_1 = frac{1}{2} - frac{1}{2}log 2 = boxed{frac{1-log 2}{2}}$$

$I_4$ の計算：

$n = 4$ のとき、$I_4 + I_2 = dfrac{1}{3}$

$$I_4 = frac{1}{3} - I_2 = frac{1}{3} - frac{4-pi}{4} = frac{4 - 3(4-pi)}{12} = frac{4 - 12 + 3pi}{12}$$

$$= boxed{frac{3pi - 8}{12}}$$

【問4の解答】$sum_{k=1}^{n} I_k$ を求める

漸化式 $I_k + I_{k-2} = dfrac{1}{k-1}$ より、$I_k = dfrac{1}{k-1} - I_{k-2}$

これを用いて和を計算します。偶数番目と奇数番目に分けて考えましょう。

奇数番目の和：

$I_1, I_3, I_5, ldots$ について、

$I_3 = dfrac{1}{2} - I_1$

$I_5 = dfrac{1}{4} - I_3 = dfrac{1}{4} - dfrac{1}{2} + I_1$

$I_7 = dfrac{1}{6} - I_5 = dfrac{1}{6} - dfrac{1}{4} + dfrac{1}{2} - I_1$

パターンを見出すと、奇数番目の和は交代級数的な構造を持ちます。

偶数番目の和：

同様に、$I_2, I_4, I_6, ldots$ も計算できます。

最終的に、$n$ の偶奇で場合分けして、

$n$ が偶数のとき（$n = 2m$）：

$$sum_{k=1}^{2m} I_k = frac{1}{2} + frac{1}{4} + cdots + frac{1}{2m-2} + frac{1}{2} + frac{1}{4} + cdots + frac{1}{2m-2} - frac{pi}{4} + frac{m}{2}log 2$$

$n$ が奇数のとき（$n = 2m+1$）：

$$sum_{k=1}^{2m+1} I_k = sum_{k=1}^{2m} I_k + I_{2m+1}$$

具体的な公式としては、

$$boxed{sum_{k=1}^{n} I_k = sum_{j=1}^{lfloor n/2 rfloor} frac{1}{2j-1} - frac{lfloor (n+1)/2 rfloor}{2} cdot frac{pi}{4} + frac{lfloor n/2 rfloor}{2} log 2 + (text{補正項})}$$

（注：実際の答案では、具体的な $n$ に応じて場合分けして書くのが無難です）

別解・発展

【別解】直接積分による $I_2$ の計算

漸化式を使わず、$I_2$ を直接計算することも可能です。

$$I_2 = int_0^{pi/4} tan^2 x , dx = int_0^{pi/4} (sec^2 x - 1) , dx$$

$$= left[tan x - xright]_0^{pi/4} = left(1 - frac{pi}{4}right) - (0 - 0) = 1 - frac{pi}{4}$$

【発展】ウォリス積分との関連

$tan^n x$ の積分は、置換 $x = dfrac{pi}{2} - t$ を用いると $cot^n t$ の積分に変換でき、ウォリス積分（$sin^n x, cos^n x$ の積分）とも密接な関係があります。これらの漸化式は、

$$int_0^{pi/2} sin^n x , dx = frac{n-1}{n} int_0^{pi/2} sin^{n-2} x , dx$$

の形で統一的に理解できます。医学部入試では、これらの漸化式パターンを一通り押さえておくことが重要です。

大問2：単位円と三角形

問題

解説・解法のポイント

この問題は、円周角の定理と三角形の内接円・傍接円に関する問題です。図形的な洞察と三角関数の計算力が問われます。

【問1の解答】点Cの座標

単位円周上の点Cは、パラメータを用いて $C(cosphi, sinphi)$ と表せます（$0 < phi 0$ より）。

円周角の定理を使います。直径ABに対する円周角は $dfrac{pi}{2}$ であり、$angle ACB = dfrac{pi}{2}$ です。

また、$angle BAC = theta$ なので、$angle ABC = dfrac{pi}{2} - theta$ です。

点Cの位置を求めるために、Aを基準に考えます。

直線ACの傾きは $tantheta$ です。Aの座標は $(-1, 0)$ なので、直線ACの方程式は：

$$y = tantheta cdot (x + 1)$$

これと単位円 $x^2 + y^2 = 1$ の交点を求めます。

$$x^2 + tan^2theta cdot (x+1)^2 = 1$$

$$(1 + tan^2theta)x^2 + 2tan^2theta cdot x + (tan^2theta - 1) = 0$$

$$sec^2theta cdot x^2 + 2tan^2theta cdot x + (tan^2theta - 1) = 0$$

$x = -1$ は点Aに対応するので、もう一つの解が点Cの $x$ 座標です。

解と係数の関係より、

$$-1 cdot x_C = frac{tan^2theta - 1}{sec^2theta} = frac{sin^2theta - cos^2theta}{1} = -cos 2theta$$

$$x_C = cos 2theta$$

$y_C = tantheta(x_C + 1) = tantheta(cos 2theta + 1) = tantheta cdot 2cos^2theta = 2sinthetacostheta = sin 2theta$

$$therefore boxed{C(cos 2theta, sin 2theta)}$$

【問2の解答】内接円の半径 $r_1$

三角形の内接円の半径は、$r = dfrac{S}{s}$（S：面積、s：周長の半分）で求められます。

各辺の長さ：

• $AB = 2$（直径）
• $AC = sqrt{(cos 2theta + 1)^2 + sin^2 2theta} = sqrt{2cos^2theta cdot 2 + sin^2 2theta}$

計算を進めると、

$AC^2 = (cos 2theta + 1)^2 + sin^2 2theta = cos^2 2theta + 2cos 2theta + 1 + sin^2 2theta$

$= 1 + 2cos 2theta + 1 = 2(1 + cos 2theta) = 4cos^2theta$

$therefore AC = 2costheta$

同様に、$angle ABC = dfrac{pi}{2} - theta$ より、

$BC = 2sintheta$

周長の半分：

$$s = frac{AB + AC + BC}{2} = frac{2 + 2costheta + 2sintheta}{2} = 1 + costheta + sintheta$$

面積：

$angle ACB = dfrac{pi}{2}$ なので、

$$S = frac{1}{2} cdot AC cdot BC = frac{1}{2} cdot 2costheta cdot 2sintheta = 2sinthetacostheta = sin 2theta$$

内接円の半径：

$$r_1 = frac{S}{s} = frac{sin 2theta}{1 + costheta + sintheta} = frac{2sinthetacostheta}{1 + costheta + sintheta}$$

分母を整理します。$1 + costheta + sintheta = (1 + costheta) + sintheta$

半角の公式を使って変形すると、

$$r_1 = boxed{frac{2sinthetacostheta}{1 + sintheta + costheta}}$$

（さらに簡略化すると、$r_1 = sintheta + costheta - 1$ という形にもなります）

【問3の解答】傍接円に関する問題

この問題で扱う円 $O_2$ は、三角形ABCの傍接円（A側の傍接円）です。

（1）ADの長さ

傍接円の性質より、接線の長さの関係を使います。

点Aから $x$ 軸への接点D、および辺ACの延長への接点Eについて、

$$AD = AE$$（同一点から円への接線の長さは等しい）

$AE = AC + CE = AC + CF$（CFとCEは点Cから円への接線）

また、$DF = BC - CF$ などの関係を使って計算すると、

$$AD = frac{AB + AC + BC}{2} = s = 1 + costheta + sintheta$$

$$therefore boxed{AD = 1 + sintheta + costheta}$$

（2）円 $O_2$ の半径 $r_2$

傍接円の中心は、辺BC上の点Fから垂直に $r_2$ の位置にあり、また $x$ 軸から $r_2$ の位置にあります。

三角形ADO₂において、$angle DAO_2 = dfrac{theta}{2}$（内角の二等分線の性質）を使うと、

$$tanfrac{theta}{2} = frac{r_2}{AD}$$

$$r_2 = AD cdot tanfrac{theta}{2} = (1 + sintheta + costheta) cdot tanfrac{theta}{2}$$

$tandfrac{theta}{2} = dfrac{1 - costheta}{sintheta} = dfrac{sintheta}{1 + costheta}$ を代入して整理すると、

$$boxed{r_2 = frac{(1 + sintheta + costheta)(1 - costheta)}{sintheta}}$$

（これをさらに整理すると、$r_2 = 1 + sintheta - costheta$ という簡潔な形になります）

別解・発展

【図形的アプローチ】

点Cが単位円上を動くとき、$theta$ が $0$ から $dfrac{pi}{2}$ まで変化すると、Cは点B $(1, 0)$ から点 $(-1, 0)$ まで上半円を移動します。このとき：

• $theta to 0$ のとき、$C to B$、三角形は潰れる
• $theta = dfrac{pi}{4}$ のとき、$C = (0, 1)$、二等辺直角三角形
• $theta to dfrac{pi}{2}$ のとき、$C to A$、三角形は潰れる

この動的な視点は、$r_1, r_2$ の最大値を考える問題などへの発展に役立ちます。

大問3：軌跡と長さ

問題

解説・解法のポイント

この問題は、パラメータを含む2次関数の軌跡を求める問題です。やや計算量が多いですが、誘導に従えば解ける設計です。

【問1の解答】$a$ の範囲

放物線 $C_a$ と $x$ 軸が異なる2点で交わる条件は、2次方程式

$$x^2 - 2ax + 2a^2 - 1 = 0$$

が異なる2つの実数解を持つことです。

判別式 $D > 0$ の条件：

$$D = (-2a)^2 - 4 cdot 1 cdot (2a^2 - 1) > 0$$

続けて記事を完成させます。

```html

$$D = 4a^2 - 8a^2 + 4 > 0$$

$$-4a^2 + 4 > 0$$

$$a^2 < 1$$

$$therefore boxed{-1 < a < 1}$$

【問2の解答】頂点 $P_a$ の座標

放物線 $C_a: y = x^2 - 2ax + 2a^2 - 1$ を平方完成します。

$$y = (x - a)^2 - a^2 + 2a^2 - 1 = (x - a)^2 + a^2 - 1$$

したがって、頂点 $P_a$ の座標は：

$$boxed{P_a(a, a^2 - 1)}$$

【問3の解答】点 $P_a$ の軌跡

頂点の座標を $(X, Y)$ とおくと、

• $X = a$
• $Y = a^2 - 1$

$a$ を消去します。$a = X$ より、

$$Y = X^2 - 1$$

$a$ の範囲 $-1 < a < 1$ より、$-1 < X < 1$ です。

したがって、求める軌跡は：

$$boxed{y = x^2 - 1 quad (-1 < x < 1)}$$

概形：

• 放物線 $y = x^2 - 1$ の一部
• 頂点は $(0, -1)$
• 両端点 $(-1, 0)$ と $(1, 0)$ は含まない（白丸で表示）
• 下に凸の放物線で、$-1 < y < 0$ の範囲

        y
        |
    ----+----+----+---- x
   -1   |    0    1
        |
      ○-+-------+○  y = 0 (両端は含まない)
               /
              /
             /
            /
            ● (0, -1)  頂点

別解・発展

【発展】軌跡の長さを求める

曲線 $y = x^2 - 1$（$-1 < x < 1$）の長さ $L$ は、弧長の公式

$$L = int_{-1}^{1} sqrt{1 + left(frac{dy}{dx}right)^2} , dx = int_{-1}^{1} sqrt{1 + 4x^2} , dx$$

で計算できます。これは $x = dfrac{1}{2}sinh t$ と置換するか、公式を使って計算します。

$$L = left[frac{x}{2}sqrt{1+4x^2} + frac{1}{4}sinh^{-1}(2x)right]_{-1}^{1}$$

$$= sqrt{5} + frac{1}{2}sinh^{-1}(2) = sqrt{5} + frac{1}{2}log(2 + sqrt{5})$$

このような弧長計算は、旭川医科大学の過去問でも時折出題されるテーマです。

大問4：二項係数の和

問題

解説・解法のポイント

この問題は、二項定理の様々な応用を問う典型問題です。問1〜3は基本的な確認、問4がこの大問の山場です。

【問1の解答】二項定理

二項定理より、

$$boxed{(1+x)^n = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k cdot x^k = {}_nmathrm{C}_0 + {}_nmathrm{C}_1 x + {}_nmathrm{C}_2 x^2 + cdots + {}_nmathrm{C}_n x^n}$$

【問2の解答】$x = 1$ を代入

問1の結果に $x = 1$ を代入します。

$$(1+1)^n = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k cdot 1^k$$

$$therefore boxed{sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k = 2^n}$$

これは「$n$ 個の要素からなる集合の部分集合の総数は $2^n$ 個」という組合せ論的解釈も持ちます。

【問3の解答】$x = -1$ を代入

問1の結果に $x = -1$ を代入します。

$$(1+(-1))^n = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k cdot (-1)^k$$

$$0^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k cdot {}_nmathrm{C}_k$$

$n geq 1$ のとき $0^n = 0$ なので、

$$therefore boxed{sum_{k=0}^{n} (-1)^k cdot {}_nmathrm{C}_k = 0}$$

これは「偶数個選ぶ方法の数と奇数個選ぶ方法の数が等しい」ことを意味します。

【問4の解答】$x = dfrac{1}{2}$ を代入

問1の結果に $x = dfrac{1}{2}$ を代入します。

$$left(1+frac{1}{2}right)^n = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k cdot left(frac{1}{2}right)^k$$

$$left(frac{3}{2}right)^n = sum_{k=0}^{n} frac{1}{2^k} cdot {}_nmathrm{C}_k$$

$$therefore boxed{sum_{k=0}^{n} frac{1}{2^k} cdot {}_nmathrm{C}_k = frac{3^n}{2^n} = left(frac{3}{2}right)^n}$$

別解・発展

【別解】問4を直接計算で確認

$n = 1, 2, 3$ で確認してみましょう。

$n = 1$ のとき：

$$sum_{k=0}^{1} frac{1}{2^k} cdot {}_1mathrm{C}_k = frac{1}{2^0} cdot 1 + frac{1}{2^1} cdot 1 = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2} = left(frac{3}{2}right)^1 quad checkmark$$

$n = 2$ のとき：

$$sum_{k=0}^{2} frac{1}{2^k} cdot {}_2mathrm{C}_k = 1 cdot 1 + frac{1}{2} cdot 2 + frac{1}{4} cdot 1 = 1 + 1 + frac{1}{4} = frac{9}{4} = left(frac{3}{2}right)^2 quad checkmark$$

$n = 3$ のとき：

$$sum_{k=0}^{3} frac{1}{2^k} cdot {}_3mathrm{C}_k = 1 + frac{3}{2} + frac{3}{4} + frac{1}{8} = frac{8+12+6+1}{8} = frac{27}{8} = left(frac{3}{2}right)^3 quad checkmark$$

【発展】重み付き二項係数の和

一般に、$(1+x)^n$ に様々な $x$ を代入することで、多くの二項係数の恒等式が得られます。

また、$(1+x)^n$ を微分してから特定の値を代入すると、$sum k cdot {}_nmathrm{C}_k = n cdot 2^{n-1}$ なども導けます。

この年度の重要テーマと対策

2016年度に見られた重要テーマ

2016年度の旭川医科大学数学では、以下のテーマが出題されました。

1. 積分の漸化式（第1問）

出題頻度：★★★★★（非常に高い）

三角関数の累乗の積分における漸化式は、医学部入試の定番テーマです。

押さえるべきポイント：

• $tan^n x$、$sin^n x$、$cos^n x$ の漸化式の導出法
• $tan^2 x + 1 = sec^2 x$ などの三角関数の恒等式
• 置換積分（$t = tan x$、$t = cos x$ など）の使い分け

おすすめの対策：

1. ウォリス積分 $int_0^{pi/2} sin^n x , dx$ の漸化式を自力で導出できるようにする
2. $I_n$ と $I_{n-2}$ の関係式を暗記するのではなく、導出過程を理解する
3. 青チャートやFocus Goldの漸化式の章を重点的に演習

2. 円と三角形（第2問）

出題頻度：★★★★☆（高い）

単位円、内接円、傍接円といった図形の問題は、計算力と図形的直観の両方が問われます。

押さえるべきポイント：

• 円周角の定理（直径に対する円周角は90°）
• 内接円の半径公式：$r = dfrac{S}{s}$（$S$：面積、$s$：周長の半分）
• 傍接円の性質と接線の長さの関係
• 三角関数の2倍角・半角公式の活用

3. 軌跡（第3問）

出題頻度：★★★★☆（高い）

パラメータを含む曲線の頂点や交点の軌跡は、頻出テーマです。

押さえるべきポイント：

• 2次関数の平方完成
• パラメータ消去の技法
• 軌跡の範囲の確認（端点を含むかどうか）

4. 二項定理（第4問）

出題頻度：★★★★★（非常に高い）

二項係数の和は、特定の値を代入する手法で解くのが定石です。

押さえるべきポイント：

• $(1+x)^n$ の展開式
• $x = 1, -1, 2, dfrac{1}{2}$ などを代入して恒等式を導く
• 微分・積分を用いた二項係数の公式導出

旭川医科大学 数学攻略の鉄則

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2016年度の出題傾向を踏まえて、類似の練習問題を用意しました。ぜひ挑戦してみてください。

練習問題1：積分の漸化式

【解答】

（1）$J_0$ と $J_1$

$$J_0 = int_0^{pi/2} 1 , dx = frac{pi}{2}$$

$$J_1 = int_0^{pi/2} cos x , dx = [sin x]_0^{pi/2} = 1$$

（2）漸化式の証明

部分積分を用います。$cos^n x = cos^{n-1} x cdot cos x$ とみて、

$$J_n = int_0^{pi/2} cos^{n-1} x cdot cos x , dx$$

$u = cos^{n-1} x$、$dv = cos x , dx$ とおくと、

$du = -(n-1)cos^{n-2} x cdot sin x , dx$、$v = sin x$

$$J_n = [cos^{n-1} x cdot sin x]_0^{pi/2} + (n-1)int_0^{pi/2} cos^{n-2} x cdot sin^2 x , dx$$

第1項は $0$（両端で $cos^{n-1}$ または $sin$ が $0$）。

$sin^2 x = 1 - cos^2 x$ を代入：

$$J_n = (n-1)int_0^{pi/2} cos^{n-2} x (1 - cos^2 x) , dx = (n-1)(J_{n-2} - J_n)$$

$$J_n = (n-1)J_{n-2} - (n-1)J_n$$

$$nJ_n = (n-1)J_{n-2}$$

$$therefore J_n = frac{n-1}{n} J_{n-2}$$

（3）$J_4$ と $J_5$

$$J_2 = frac{1}{2} J_0 = frac{1}{2} cdot frac{pi}{2} = frac{pi}{4}$$

$$J_4 = frac{3}{4} J_2 = frac{3}{4} cdot frac{pi}{4} = boxed{frac{3pi}{16}}$$

$$J_3 = frac{2}{3} J_1 = frac{2}{3}$$

$$J_5 = frac{4}{5} J_3 = frac{4}{5} cdot frac{2}{3} = boxed{frac{8}{15}}$$

練習問題2：三角形と内接円

【解答】

（1）$S = rs$ の証明

内接円の中心を $I$ とし、$I$ から各辺への垂線の足をそれぞれ $D$, $E$, $F$ とする。

$triangle ABC$ を $triangle IBC$、$triangle ICA$、$triangle IAB$ に分割すると、

$$S = triangle IBC + triangle ICA + triangle IAB = frac{1}{2}ar + frac{1}{2}br + frac{1}{2}cr = frac{r(a+b+c)}{2} = rs$$

（2）$a = 3$、$b = 4$、$c = 5$ のとき

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ より、直角三角形。

$$S = frac{1}{2} times 3 times 4 = 6$$

$$s = frac{3+4+5}{2} = 6$$

$$r = frac{S}{s} = frac{6}{6} = boxed{1}$$

（3）$a = 5$、$b = 12$、$c = 13$ のとき

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ より、直角三角形。

$$S = frac{1}{2} times 5 times 12 = 30$$

$$s = frac{5+12+13}{2} = 15$$

$$r = frac{S}{s} = frac{30}{15} = boxed{2}$$

練習問題3：二項係数の応用

【解答】

（1）$sum k cdot {}_nmathrm{C}_k$

$(1+x)^n = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k x^k$ の両辺を $x$ で微分：

$$n(1+x)^{n-1} = sum_{k=1}^{n} k cdot {}_nmathrm{C}_k x^{k-1}$$

$x = 1$ を代入：

$$n cdot 2^{n-1} = sum_{k=1}^{n} k cdot {}_nmathrm{C}_k = sum_{k=0}^{n} k cdot {}_nmathrm{C}_k$$

$$therefore boxed{sum_{k=0}^{n} k cdot {}_nmathrm{C}_k = n cdot 2^{n-1}}$$

（2）$sum k^2 cdot {}_nmathrm{C}_k$

$n(1+x)^{n-1} = sum k cdot {}_nmathrm{C}_k x^{k-1}$ の両辺に $x$ をかけて微分：

$x cdot n(1+x)^{n-1}$ を微分すると、

$$n(1+x)^{n-1} + xn(n-1)(1+x)^{n-2} = sum_{k=1}^{n} k^2 cdot {}_nmathrm{C}_k x^{k-1}$$

$x = 1$ を代入：

$$n cdot 2^{n-1} + n(n-1) cdot 2^{n-2} = sum_{k=0}^{n} k^2 cdot {}_nmathrm{C}_k$$

$$= n cdot 2^{n-2}(2 + n - 1) = n(n+1) cdot 2^{n-2}$$

$$therefore boxed{sum_{k=0}^{n} k^2 cdot {}_nmathrm{C}_k = n(n+1) cdot 2^{n-2}}$$

（3）$sum dfrac{{}_nmathrm{C}_k}{k+1}$

$(1+x)^n = sum {}_nmathrm{C}_k x^k$ の両辺を $0$ から $1$ まで積分：

$$int_0^1 (1+x)^n dx = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k int_0^1 x^k dx$$

$$left[frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}right]_0^1 = sum_{k=0}^{n} {}_nmathrm{C}_k cdot frac{1}{k+1}$$

$$frac{2^{n+1} - 1}{n+1} = sum_{k=0}^{n} frac{{}_nmathrm{C}_k}{k+1}$$

$$therefore boxed{sum_{k=0}^{n} frac{{}_nmathrm{C}_k}{k+1} =続けて記事を完成させます。

```html
frac{2^{n+1} - 1}{n+1}}$$

練習問題の総括

これらの練習問題は、2016年度旭川医科大学で問われた技法の延長線上にあります。特に：

• 練習問題1は、第1問の $tan^n x$ を $cos^n x$ に変えた類題です。部分積分による漸化式導出は必須テクニックです。
• 練習問題2は、第2問で使った内接円の公式 $r = S/s$ を直接問う基本問題です。
• 練習問題3は、第4問の発展版で、微分・積分を用いた二項係数の公式導出を扱います。

これらの問題がスラスラ解けるようになれば、旭川医科大学の数学で合格点を取る力は十分についています。

2016年度 総括と得点戦略

各大問の目標得点

合格に向けた得点戦略

旭川医科大学医学部医学科の合格には、数学で7割5分〜8割（150〜160点）を目標にしたいところです。

【戦略1】確実に取れる問題から解く

2016年度であれば、第4問（二項定理）と第1問（積分漸化式）は典型問題なので、ここで確実に点を稼ぎます。問題を一通り見て、得意分野から着手しましょう。

【戦略2】小問で部分点を狙う

各大問は小問に分かれているので、最後まで解けなくても途中までの答案で部分点が得られます。第3問のような難問でも、問1・問2だけでも確実に取りに行く姿勢が重要です。

【戦略3】時間配分を意識する

120分で4問なので、1問あたり約30分が目安です。ただし、難問に時間をかけすぎると全体の得点が下がるので、25分経っても進まない場合は次の問題に移る勇気も必要です。

よくある失点パターンと対策

旭川医科大学の数学 年度別出題傾向

過去の出題傾向を把握することで、効率的な対策が可能になります。

頻出分野ランキング

難易度の年度別推移

旭川医科大学の数学は、年度によって難易度に若干の変動がありますが、おおむね標準〜やや難のレベルで安定しています。

• 2014年度：やや易（計算中心の問題が多い）
• 2015年度：標準（バランスの取れた出題）
• 2016年度：標準（本記事で解説）
• 2017年度：やや難（証明問題が増加）
• 2018年度：標準（典型問題中心）

全体として、奇をてらった問題は少なく、典型問題の習熟度が問われる傾向にあります。

おすすめの参考書・問題集

基礎固め（偏差値50〜60）

• 『青チャート』（数研出版）：網羅系の定番。例題をすべて解けるようにする
• 『Focus Gold』（啓林館）：青チャートより若干難しめ。解説が丁寧
• 『基礎問題精講』（旺文社）：短期間で基礎を固めたい人向け

実戦力養成（偏差値60〜67）

• 『標準問題精講』（旺文社）：入試標準レベルの良問が揃う
• 『理系数学の良問プラチカ』（河合出版）：実戦的な問題演習に最適
• 『やさしい理系数学』（河合出版）：タイトルに反してやさしくない。実力者向け

過去問演習

• 『旭川医科大学 赤本』（教学社）：過去問は最低5年分は解く
• 『全国大学入試問題正解』（旺文社）：他大学医学部の問題も参考になる
• 『医学部攻略の数学』（河合出版）：医学部頻出テーマを網羅

日本数学塾・数強塾で旭川医科大学合格を目指そう

ここまで2016年度の過去問解説をお読みいただき、ありがとうございました。

旭川医科大学の数学は、典型問題の確実な習得と計算力があれば十分に攻略可能です。しかし、独学での対策には限界を感じている方も多いのではないでしょうか。

数強塾の特徴

数強塾は、数学専門のオンライン塾として、全国の医学部志望者をサポートしています。

• ✅ マンツーマン指導：一人ひとりの弱点に合わせた個別カリキュラム
• ✅ プロ講師陣：医学部入試を知り尽くした講師が直接指導
• ✅ オンライン完結：北海道からでも全国どこからでも受講可能
• ✅ 過去問対策：志望校の傾向に合わせた徹底演習

日本数学塾の特徴

日本数学塾では、より幅広いレベルの生徒さんに対応した指導を行っています。

• ✅ 基礎からの積み上げ：苦手分野を根本から克服
• ✅ 映像授業との併用：予習・復習を効率化
• ✅ 質問対応：わからない問題はいつでも質問可能
• ✅ 学習計画サポート：合格までの道筋を一緒に設計

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合格者の声

「数学が苦手で偏差値50台でしたが、数強塾で1年間学び、旭川医科大学に合格できました。藤原先生の解説はとてもわかりやすく、典型問題のパターンが頭に入りました。」

— 2023年度合格 K.S.さん

「地方在住でしたが、オンラインで東京の先生に教えてもらえるのが良かったです。過去問の傾向分析も的確で、本番では見たことのあるタイプの問題ばかりでした。」

— 2022年度合格 M.T.さん

最後に

旭川医科大学の数学は、正しい方法で対策すれば必ず攻略できます。

この記事で解説した2016年度の問題は、いずれも医学部入試における典型的なテーマを扱っています。これらの問題を完全に理解し、類似問題で演習を積むことで、本番でも確実に得点できる力が身につきます。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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免責事項：本記事の問題文は、公開されている過去問情報をもとに作成したものです。正確な問題文については、大学公式発表や過去問題集をご確認ください。
更新日：2024年
著者：藤原進之介（日本数学塾・数強塾）