青山学院大学 2025年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！数強塾・日本数学塾の藤原進之介です。

今回は、青山学院大学 2025年度入試の数学を徹底解説していきます。MARCHの中でも人気の高い青山学院大学（通称：青学）の数学入試は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、時間配分や計算力が合否を分ける重要なポイントとなります。

この記事では、2025年度の全学部日程（理系）および個別学部日程（経済学部・理工学部）の数学について、実際の出題内容をもとに詳細な解説と攻略法をお伝えします。青学志望の受験生は、ぜひ最後まで読んで対策に役立ててください！

試験概要・難易度

2025年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

【全学部日程（文系学部）】

• 試験日：2月7日
• 試験時間：60分
• 配点：100点
• 出題範囲：数学Ⅰ・数学A・数学Ⅱ・数学B（数列）・数学C（ベクトル）
• 出題形式：マークシート式（空欄補充型）4題

【全学部日程（理系学部）】

• 試験日：2月7日
• 試験時間：80分
• 配点：150点
• 出題範囲：数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学B（数列）・数学C（ベクトル、平面上の曲線と複素数平面）
• 出題形式：マークシート式＋記述式 5題

【個別学部日程（理工学部）】

• 試験日：2月10日
• 試験時間：80分
• 配点：150点
• 出題範囲：数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学B（数列）・数学C（ベクトル、平面上の曲線と複素数平面）
• 出題形式：マークシート式＋記述式 5題

【個別学部日程（経済学部）】

• 試験日：2月18日・19日
• 試験時間：60分
• 配点：100点
• 出題範囲：数学Ⅰ・数学A・数学Ⅱ・数学B（数列）・数学C（ベクトル）
• 出題形式：マークシート式（空欄補充型）

2025年度の全体講評

2025年度の青山学院大学数学入試は、全体として「例年並み～やや易化」の難易度でした。特に以下の特徴が見られました：

1. 基礎・標準レベルの問題が中心：超難問は出題されず、教科書傍用問題集や標準的な問題集をしっかりやり込んでいれば対応できる問題が多かった
2. 計算量の多さ：一問一問の計算量が多く、正確な計算力と時間配分が合否を分けた
3. 新課程の影響：数学Cの「平面上の曲線と複素数平面」からの出題があり、新課程対応の準備が重要であった
4. 対数関数・微分積分の重要性：理系では対数関数を含む微分積分の問題が重点的に出題された

目標得点率としては、文系学部で75〜80%、理系学部で65〜75%を目指したいところです。

大問1：小問集合（整数・確率・式と計算）

問題

【2025年度 経済学部B方式 第1問より】

(1) ある正の整数を15で割ると8余り、8で割ると割り切れずにa余る。この数を120で割った余りを求めよ。

(2) 2次方程式 x² - 5x + 3 = 0 の2つの解をα、βとするとき、α³ + β³ の値を求めよ。

(3) 袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、3個とも異なる色である確率を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1) 整数問題の解法】

この問題は「中国の剰余定理」の考え方を使います。

Step 1：条件を数式で表す

求める正の整数をNとすると：

• N ≡ 8 (mod 15) より、N = 15k + 8（kは0以上の整数）
• Nを8で割ると割り切れずにa余る

Step 2：120 = 15 × 8 に着目

120 = 15 × 8 なので、N を120で割った余りを求めるには、Nを15で割った余り(=8)と8で割った余り(=a)の両方を考慮します。

Step 3：N = 15k + 8 を8で割る

N = 15k + 8 = 8k + 7k + 8 = 8(k + 1) + (7k - 8 + 8) = 8(k + 1) + 7k

7k を8で割った余りがaになります。

ただし、N が8で「割り切れない」という条件から、a ≠ 0 です。

Step 4：120で割った余りを求める

N = 15k + 8 において、k = 0, 1, 2, ..., 7 のとき、Nを120で割った余りは：

• k = 0: N = 8
• k = 1: N = 23
• k = 2: N = 38
• k = 3: N = 53
• k = 4: N = 68
• k = 5: N = 83
• k = 6: N = 98
• k = 7: N = 113

8で割った余りaに応じて、120で割った余りは 123 - 15a の形で表されます。

【(2) 対称式の計算】

Step 1：解と係数の関係を確認

2次方程式 x² - 5x + 3 = 0 の2つの解α、βについて：

• α + β = 5（解と係数の関係より）
• αβ = 3（解と係数の関係より）

Step 2：α³ + β³ を因数分解

α³ + β³ = (α + β)(α² - αβ + β²)

Step 3：α² + β² を求める

α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 25 - 6 = 19

Step 4：α² - αβ + β² を求める

α² - αβ + β² = (α² + β²) - αβ = 19 - 3 = 16

Step 5：最終計算

α³ + β³ = (α + β)(α² - αβ + β²) = 5 × 16 = 80

【(3) 確率の計算】

Step 1：全事象を求める

9個の玉から3個を取り出す組合せ：

₉C₃ = 9!/(3!×6!) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84通り

Step 2：3色とも異なる場合を求める

赤玉3個から1個、白玉4個から1個、青玉2個から1個を選ぶ：

₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24通り

Step 3：確率を計算

P = 24/84 = 2/7

別解・発展

【(2)の別解：直接計算】

2次方程式 x² - 5x + 3 = 0 の解を解の公式で求めると：

α = (5 + √13)/2, β = (5 - √13)/2

これらを代入してα³ + β³を計算することも可能ですが、計算が煩雑になるため、対称式を利用した方法が効率的です。

【発展：n乗和の公式】

より一般的に、αⁿ + βⁿ を求める場合は、漸化式を利用する方法があります：

Sₙ = αⁿ + βⁿ とすると、

Sₙ = (α + β)Sₙ₋₁ - αβSₙ₋₂

つまり、Sₙ = 5Sₙ₋₁ - 3Sₙ₋₂

大問2：三角関数と図形

問題

【2025年度 全学部日程より】

△ABCにおいて、AB = 5, BC = 7, CA = 8 とする。以下の問いに答えよ。

(1) cos∠BAC の値を求めよ。

(2) △ABCの面積Sを求めよ。

(3) △ABCの内接円の半径rを求めよ。

(4) 辺BC上に点Dをとり、AD⊥BCとなるようにする。このとき、BDの長さを求めよ。

解説・解法のポイント

【(1) 余弦定理の適用】

Step 1：余弦定理を使う

BC² = AB² + CA² - 2・AB・CA・cos∠BAC

49 = 25 + 64 - 2・5・8・cos∠BAC

49 = 89 - 80cos∠BAC

Step 2：cos∠BACを求める

80cos∠BAC = 89 - 49 = 40

cos∠BAC = 40/80 = 1/2

【(2) 三角形の面積】

Step 1：sin∠BACを求める

cos∠BAC = 1/2 より、∠BAC = 60°（0° < ∠BAC < 180°）

よって、sin∠BAC = √3/2

Step 2：面積公式を適用

S = (1/2)・AB・CA・sin∠BAC

S = (1/2)・5・8・(√3/2)

S = 10√3

【(3) 内接円の半径】

Step 1：内接円の半径の公式を使う

S = rs（sは三角形の周の長さの半分）

Step 2：sを計算

s = (5 + 7 + 8)/2 = 20/2 = 10

Step 3：rを求める

10√3 = r・10

r = √3

【(4) BDの長さ】

Step 1：cos∠ABCを余弦定理で求める

CA² = AB² + BC² - 2・AB・BC・cos∠ABC

64 = 25 + 49 - 2・5・7・cos∠ABC

64 = 74 - 70cos∠ABC

70cos∠ABC = 10

cos∠ABC = 1/7

Step 2：直角三角形ABDでBDを求める

BD = AB・cos∠ABC = 5・(1/7) = 5/7

別解・発展

【(2)の別解：ヘロンの公式】

s = (5 + 7 + 8)/2 = 10

S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}

S = √{10・3・5・2} = √300 = 10√3

【発展：座標を用いた解法】

Bを原点、BCをx軸上にとり、B(0, 0), C(7, 0)として座標計算する方法も有効です。

大問3：対数関数と微分

問題

【2025年度 全学部日程（理系）第5問より】

関数 f(x) = log((3x + 1)/(x² + 1))（x > -1/3）について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x)の導関数f'(x)を求めよ。

(2) f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

(3) 方程式 f(x) = 0 の解の個数を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1) 対数関数の微分】

Step 1：対数の性質を利用して変形

f(x) = log(3x + 1) - log(x² + 1)

Step 2：それぞれ微分

d/dx[log(3x + 1)] = 3/(3x + 1)

d/dx[log(x² + 1)] = 2x/(x² + 1)

Step 3：導関数を求める

f'(x) = 3/(3x + 1) - 2x/(x² + 1)

Step 4：通分して整理

f'(x) = {3(x² + 1) - 2x(3x + 1)}/{(3x + 1)(x² + 1)}

f'(x) = (3x² + 3 - 6x² - 2x)/{(3x + 1)(x² + 1)}

f'(x) = (-3x² - 2x + 3)/{(3x + 1)(x² + 1)}

【(2) 増減と極値】

Step 1：f'(x) = 0 となるxを求める

分子 = 0 より：-3x² - 2x + 3 = 0

3x² + 2x - 3 = 0

解の公式より：x = (-2 ± √(4 + 36))/6 = (-2 ± √40)/6 = (-1 ± √10)/3

Step 2：x > -1/3 の範囲で有効な解を選ぶ

x = (-1 + √10)/3 ≈ 0.72（これは x > -1/3 を満たす）

x = (-1 - √10)/3 ≈ -1.39（これは x > -1/3 を満たさない）

Step 3：増減表を作成

x	-1/3	...	(-1+√10)/3	...
f'(x)	−	+	0	−
f(x)	↘	↗	極大	↘

Step 4：極大値を計算

x = (-1 + √10)/3 のとき、

極大値 = f((-1 + √10)/3) = log{(3・(-1+√10)/3 + 1)/((-1+√10)²/9 + 1)}

= log{√10/((11 - 2√10)/9 + 1)}

= log{√10/((20 - 2√10)/9)}

= log{9√10/(20 - 2√10)}

【(3) f(x) = 0 の解の個数】

Step 1：f(x) = 0 の条件

log((3x + 1)/(x² + 1)) = 0

(3x + 1)/(x² + 1) = 1

3x + 1 = x² + 1

x² - 3x = 0

x(x - 3) = 0

Step 2：x > -1/3 の範囲で解を選ぶ

x = 0 または x = 3（ともに x > -1/3 を満たす）

よって、解の個数は2個

別解・発展

【商の微分公式を使う別解】

f(x) = log((3x + 1)/(x² + 1)) を直接微分する場合：

f'(x) = {(x² + 1)/(3x + 1)} × d/dx[(3x + 1)/(x² + 1)]

商の微分公式を適用して同じ結果が得られます。

【発展：グラフの概形】

x → -1/3⁺ のとき f(x) → -∞

x → +∞ のとき f(x) → -∞（分母のx²の増加速度が速いため）

これにより、x = 0 と x = 3 で f(x) = 0 となることが視覚的にも理解できます。

大問4：ベクトルと空間図形

問題

【2025年度 全学部日程より】

四面体OABCにおいて、OA = 3, OB = 4, OC = 5, ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° とする。

→OA = →a, →OB = →b, →OC = →c とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) →a・→b, →b・→c, →c・→a の値をそれぞれ求めよ。

(2) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

(3) 四面体OABCの体積Vを求めよ。

(4) 点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとするとき、OHの長さを求めよ。

解説・解法のポイント

【(1) 内積の計算】

∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° より、

→a・→b = |→a||→b|cos90° = 3・4・0 = 0

→b・→c = |→b||→c|cos90° = 4・5・0 = 0

→c・→a = |→c||→a|cos90° = 5・3・0 = 0

【(2) 三角形ABCの面積】

Step 1：→AB, →AC を求める

→AB = →b - →a

→AC = →c - →a

Step 2：|→AB|², |→AC|², →AB・→AC を計算

|→AB|² = |→b - →a|² = |→b|² - 2→a・→b + |→a|² = 16 - 0 + 9 = 25

よって |→AB| = 5

|→AC|² = |→c - →a|² = |→c|² - 2→a・→c + |→a|² = 25 - 0 + 9 = 34

よって |→AC| = √34

→AB・→AC = (→b - →a)・(→c - →a) = →b・→c - →b・→a - →a・→c + |→a|² = 0 - 0 - 0 + 9 = 9

Step 3：面積公式を適用

S = (1/2)√{|→AB|²|→AC|² - (→AB・→AC)²}

S = (1/2)√{25・34 - 81}

S = (1/2)√{850 - 81}

S = (1/2)√769

S = √769/2

【(3) 四面体の体積】

Step 1：OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA を利用

この条件から、O, A, B, C は直方体の頂点を形成していると考えられます。

Step 2：体積公式を適用

V = (1/6)|→a・(→b × →c)|

ベクトル→a, →b, →c が互いに直交しているので：

|→a・(→b × →c)| = |→a||→b||→c| = 3・4・5 = 60

よって V = (1/6)・60 = 10

【(4) OHの長さ】

Step 1：体積の2通りの表し方を利用

V = (1/3)・S・OH

10 = (1/3)・(√769/2)・OH

Step 2：OHを求める

OH = 10・6/√769 = 60/√769 = 60√769/769

別解・発展

【座標を用いた別解】

O を原点とし、A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 5) とおくと計算が楽になります。

【発展：直方体との関係】

この四面体は、3辺が3, 4, 5の直方体を対角線で切った場続きを作成します。

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この四面体は、3辺が3, 4, 5の直方体を対角線で切った形になっています。直方体の体積は 3×4×5 = 60 であり、四面体OABCはその1/6にあたるため、V = 10 となることが直感的にも理解できます。

【平面ABCの方程式を用いた別解】

座標系で A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 5) とすると、平面ABCの方程式は：

x/3 + y/4 + z/5 = 1

すなわち 20x + 15y + 12z = 60

点O(0, 0, 0)から平面までの距離は：

OH = |20・0 + 15・0 + 12・0 - 60|/√(20² + 15² + 12²)

OH = 60/√(400 + 225 + 144) = 60/√769

大問5：数列と漸化式

問題

【2025年度 全学部日程より】

数列{aₙ}が次の条件を満たすとする。

a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ - 2（n = 1, 2, 3, ...）

(1) 数列{aₙ - 1}は等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。

(2) 一般項aₙを求めよ。

(3) Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ を求めよ。

(4) Σ(k=1 to n) k・aₖ を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1) 等比数列であることの証明】

Step 1：bₙ = aₙ - 1 とおく

漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 2 の両辺から1を引くと：

aₙ₊₁ - 1 = 3aₙ - 2 - 1 = 3aₙ - 3 = 3(aₙ - 1)

Step 2：bₙの漸化式を確認

bₙ₊₁ = 3bₙ

これは公比3の等比数列の漸化式です。

Step 3：初項を求める

b₁ = a₁ - 1 = 2 - 1 = 1

よって、数列{aₙ - 1}は初項1、公比3の等比数列

【(2) 一般項】

Step 1：bₙの一般項

bₙ = 1・3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹

Step 2：aₙを求める

aₙ = bₙ + 1 = 3ⁿ⁻¹ + 1

【(3) Sₙの計算】

Step 1：Sₙを展開

Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ = Σ(k=1 to n) (3ᵏ⁻¹ + 1)

Sₙ = Σ(k=1 to n) 3ᵏ⁻¹ + Σ(k=1 to n) 1

Step 2：等比数列の和を計算

Σ(k=1 to n) 3ᵏ⁻¹ = (3ⁿ - 1)/(3 - 1) = (3ⁿ - 1)/2

Step 3：Sₙを求める

Sₙ = (3ⁿ - 1)/2 + n = (3ⁿ + 2n - 1)/2

【(4) Σk・aₖ の計算】

Step 1：Tₙ = Σ(k=1 to n) k・aₖ とおく

Tₙ = Σ(k=1 to n) k(3ᵏ⁻¹ + 1) = Σ(k=1 to n) k・3ᵏ⁻¹ + Σ(k=1 to n) k

Step 2：Σ(k=1 to n) k を計算

Σ(k=1 to n) k = n(n+1)/2

Step 3：Σ(k=1 to n) k・3ᵏ⁻¹ を計算（等差×等比型）

Uₙ = Σ(k=1 to n) k・3ᵏ⁻¹ = 1・1 + 2・3 + 3・9 + ... + n・3ⁿ⁻¹

3Uₙ = 1・3 + 2・9 + 3・27 + ... + n・3ⁿ

辺々引いて：

Uₙ - 3Uₙ = 1 + 3 + 9 + ... + 3ⁿ⁻¹ - n・3ⁿ

-2Uₙ = (3ⁿ - 1)/2 - n・3ⁿ

-2Uₙ = (3ⁿ - 1 - 2n・3ⁿ)/2

-2Uₙ = {(1 - 2n)・3ⁿ - 1}/2

Uₙ = {(2n - 1)・3ⁿ + 1}/4

Step 4：Tₙを求める

Tₙ = Uₙ + n(n+1)/2

Tₙ = {(2n - 1)・3ⁿ + 1}/4 + n(n+1)/2

Tₙ = {(2n - 1)・3ⁿ + 2n² + 2n + 1}/4

別解・発展

【漸化式の特性方程式を用いた解法】

aₙ₊₁ = 3aₙ - 2 の特性方程式は α = 3α - 2 より α = 1

よって aₙ₊₁ - 1 = 3(aₙ - 1) が導かれます。

【発展：3項間漸化式への応用】

このタイプの漸化式の解法は、より複雑な3項間漸化式を解く際の基礎となります。

大問6：微分積分（面積・体積）

問題

【2025年度 理工学部 個別日程より】

曲線 C: y = x³ - 3x と直線 l: y = kx（kは定数）について、以下の問いに答えよ。

(1) C と l が原点以外の2点で交わるための k の条件を求めよ。

(2) k = -2 のとき、C と l で囲まれた2つの部分の面積の和 S を求めよ。

(3) (2)で求めた図形を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1) 交点の条件】

Step 1：交点の方程式を立てる

x³ - 3x = kx

x³ - 3x - kx = 0

x³ - (3 + k)x = 0

x{x² - (3 + k)} = 0

Step 2：原点以外の2交点の条件

x = 0 は原点に対応。

x² = 3 + k より、x² - (3 + k) = 0 が異なる2つの実数解をもつ条件は：

3 + k > 0

よって k > -3

【(2) 面積の計算（k = -2）】

Step 1：交点を求める

k = -2 のとき、x² = 3 + (-2) = 1

x = ±1

よって交点は (-1, 2), (0, 0), (1, -2)

Step 2：C - l の符号を確認

y_C - y_l = x³ - 3x - (-2x) = x³ - x = x(x-1)(x+1)

• -1 < x 0（C が上）
• 0 < x < 1 のとき x³ - x < 0（l が上）

Step 3：面積を計算

S = ∫₋₁⁰ (x³ - x)dx + ∫₀¹ |x³ - x|dx

S = ∫₋₁⁰ (x³ - x)dx + ∫₀¹ (x - x³)dx

∫(x³ - x)dx = x⁴/4 - x²/2

S = [x⁴/4 - x²/2]₋₁⁰ + [x²/2 - x⁴/4]₀¹

S = (0 - 0) - (1/4 - 1/2) + (1/2 - 1/4) - 0

S = -(-1/4) + 1/4

S = 1/4 + 1/4 = 1/2

【(3) 回転体の体積】

Step 1：回転体の体積公式を適用

V = π∫₋₁¹ |y_C² - y_l²|dx

= π∫₋₁¹ |(x³ - 3x)² - (-2x)²|dx

= π∫₋₁¹ |x⁶ - 6x⁴ + 9x² - 4x²|dx

= π∫₋₁¹ |x⁶ - 6x⁴ + 5x²|dx

= π∫₋₁¹ x²|x⁴ - 6x² + 5|dx

= π∫₋₁¹ x²|(x² - 1)(x² - 5)|dx

Step 2：-1 ≤ x ≤ 1 での符号を確認

-1 ≤ x ≤ 1 のとき x² ≤ 1 なので：

• x² - 1 ≤ 0
• x² - 5 < 0

よって (x² - 1)(x² - 5) ≥ 0

Step 3：積分計算

V = π∫₋₁¹ x²(x⁴ - 6x² + 5)dx

= π∫₋₁¹ (x⁶ - 6x⁴ + 5x²)dx

= 2π∫₀¹ (x⁶ - 6x⁴ + 5x²)dx（偶関数なので）

= 2π[x⁷/7 - 6x⁵/5 + 5x³/3]₀¹

= 2π(1/7 - 6/5 + 5/3)

= 2π(15/105 - 126/105 + 175/105)

= 2π・64/105

= 128π/105

別解・発展

【面積の1/6公式を用いた別解】

3次関数と直線で囲まれた面積は、交点のx座標をα, βとすると：

S = (1/12)|a|(β - α)⁴（aは3次の係数）

この問題では -1 から 0、0 から 1 の2つの区間があり、それぞれに適用できます。

この年度の重要テーマと対策

2025年度入試で見られた重要テーマ

1. 整数問題（剰余・合同式）

経済学部B方式で出題された「120で割った余り」の問題のように、合同式の考え方が重要です。15と8の最小公倍数が120であることに気づく数学的センスが求められました。

対策：

• 「整数の性質」の分野を教科書レベルから確実に理解する
• 中国の剰余定理の基本的な考え方を押さえる
• 素因数分解、最大公約数・最小公倍数の関係を整理する

2. 対数関数と微分の融合

全学部日程（理系）で出題された対数関数の微分・増減表作成は、新課程での重点分野です。対数の性質を利用した式変形と、合成関数の微分を正確に行う力が必要でした。

対策：

• log(f(x)/g(x)) = log f(x) - log g(x) の変形を習慣化する
• 合成関数の微分 d/dx[log f(x)] = f'(x)/f(x) を確実にマスターする
• 増減表の作成から極値の計算まで、一連の流れを繰り返し練習する

3. 空間ベクトルと体積

直交条件を利用した四面体の問題は、ベクトルの内積がゼロになることを上手く活用する問題でした。座標計算とベクトル計算の両方ができると有利です。

対策：

• 空間座標とベクトルの両方のアプローチを練習する
• 四面体の体積公式 V = (1/6)|→a・(→b × →c)| を理解する
• 点から平面への距離の公式を使いこなせるようにする

4. 漸化式と数列の和

等差×等比型の数列の和（Σk・rᵏ型）は青学では頻出です。差をとる技法を確実に身につけましょう。

対策：

• 基本的な漸化式のパターン（等差型、等比型、階差型）を完璧にする
• 特性方程式を用いた解法を理解する
• Σk・rᵏ⁻¹ の計算を何度も練習する

5. 面積・体積の積分計算

3次関数と直線で囲まれた面積、回転体の体積は計算力勝負です。符号の判定を正確に行い、ミスなく最後まで計算する力が求められます。

対策：

• 1/6公式、1/12公式などの面積公式を覚えておく（検算用）
• 回転体の体積では、どちらの関数が外側かを正確に判断する
• 偶関数・奇関数の性質を利用した計算の簡略化

時間配分の目安

【全学部日程（文系）60分・4題】

• 大問1（小問集合）：15分
• 大問2：12分
• 大問3：12分
• 大問4：12分
• 見直し：9分

【全学部日程（理系）80分・5題】

• 大問1〜2（基礎〜標準）：25分
• 大問3〜4（標準）：30分
• 大問5（やや発展）：15分
• 見直し：10分

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：整数問題

【問題】

正の整数Nが次の条件を満たすとする。

• Nを7で割ると3余る
• Nを11で割ると5余る

このとき、Nを77で割った余りを求めよ。

【解答・解説】

Step 1：条件を式で表す

N ≡ 3 (mod 7) より N = 7k + 3（kは0以上の整数）

Step 2：N = 7k + 3 を11で割った余りを考える

7k + 3 ≡ 5 (mod 11)

7k ≡ 2 (mod 11)

Step 3：7の逆元を求める

7 × 8 = 56 = 55 + 1 ≡ 1 (mod 11)

よって7の逆元は8

Step 4：kを求める

k ≡ 2 × 8 ≡ 16 ≡ 5 (mod 11)

Step 5：Nを求める

k = 5 のとき N = 7 × 5 + 3 = 38

Step 6：検算

38 ÷ 7 = 5 余り 3 ✓

38 ÷ 11 = 3 余り 5 ✓

答え：38

練習問題2：対数関数の微分

【問題】

関数 f(x) = x log x - x（x > 0）について、以下の問いに答えよ。

(1) f'(x)を求めよ。

(2) f(x)の最小値を求めよ。

(3) 不等式 log x > 1 - 1/x（x > 0）を証明せよ。

【解答・解説】

(1) f'(x)の計算

f(x) = x log x - x

f'(x) = log x + x・(1/x) - 1 = log x + 1 - 1 = log x

(2) 最小値

f'(x) = log x = 0 のとき x = 1

x < 1 で f'(x) 1 で f'(x) > 0

よって x = 1 で最小値をとる

f(1) = 1・log 1 - 1 = 0 - 1 = -1

(3) 不等式の証明

g(x) = log x - 1 + 1/x とおく

g'(x) = 1/x - 1/x² = (x - 1)/x²

g'(x) = 0 のとき x = 1

x = 1 で g(x) は最小値 g(1) = 0 - 1 + 1 = 0 をとる

よって g(x) ≥ 0、すなわち log x ≥ 1 - 1/x

等号成立は x = 1 のときのみなので、x ≠ 1 では log x > 1 - 1/x

（証明終わり）

練習問題3：数列の和

【問題】

数列{aₙ}の一般項が aₙ = n・2ⁿ で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(1) Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ を求めよ。

(2) Σ(k=1 to n) aₖ/2ᵏ を求めよ。

【解答・解説】

(1) Sₙの計算

Sₙ = 1・2 + 2・4 + 3・8 + ... + n・2ⁿ

2Sₙ = 1・4 + 2・8 + 3・16 + ... + n・2ⁿ⁺¹

辺々引いて：

Sₙ - 2Sₙ = 2 + 4 + 8 + ... + 2ⁿ - n・2ⁿ⁺¹

-Sₙ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n・2ⁿ⁺¹

-Sₙ = 2ⁿ⁺¹ - 2 - n・2ⁿ⁺¹

-Sₙ = (1 - n)・2ⁿ⁺¹ - 2

Sₙ = (n - 1)・2ⁿ⁺¹ + 2

(2) Σ(k=1 to n) k の計算

Σ(k=1 to n) aₖ/2ᵏ = Σ(k=1 to n) k・2ᵏ/2ᵏ = Σ(k=1 to n) k = n(n+1)/2

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いかがでしたでしょうか？青山学院大学の数学入試は、基礎から標準レベルの問題を確実に解く力が求められます。決して超難問は出題されませんが、時間内に正確に計算を完遂する力、そして典型問題のパターンを身につけておくことが合格への近道です。

青学数学攻略のための5つのポイント

1. 教科書レベルの基礎を完璧に：公式の導出過程まで理解し、なぜそうなるかを説明できるようにしましょう
2. 計算力の強化：毎日の計算練習で、速く正確に計算する力を養いましょう
3. 典型問題のパターン習得：漸化式、微分積分、ベクトルの頻出パターンを繰り返し練習しましょう
4. 時間配分の練習：過去問を時間を計って解き、本番を想定した練習を重ねましょう
5. 新課程分野の対策：数学Cの「平面上の曲線と複素数平面」も忘れずに対策しましょう

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私たちは数学に特化した専門塾です。一般的な総合塾とは異なり、数学の本質的な理解と問題解決能力の向上にフォーカスした指導を行います。「なぜそうなるのか」を大切にした授業で、応用力のある数学力を身につけることができます。

【3. 志望校別の徹底対策】

青山学院大学の入試傾向を熟知した講師陣が、学部・日程ごとの特徴を踏まえた対策を行います。全学部日程と個別学部日程では出題傾向が異なるため、それぞれに合わせた戦略的な学習プランを提案します。

【4. 一人ひとりに合わせたカリキュラム】

現在の学力と目標に応じて、完全オーダーメイドのカリキュラムを作成します。苦手分野の克服から得意分野の更なる強化まで、あなたに最適な学習プランで合格へと導きます。

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青学志望者によくある悩みと解決策

悩み1：「計算ミスが多くて点数が安定しない」

→ 計算の「型」を身につける指導と、ミスしやすいポイントの徹底的な分析を行います。検算の習慣化や、効率的な計算テクニックもお伝えします。

悩み2：「時間内に全問解き終わらない」

→ 問題の見極め方、時間配分の戦略、解答の優先順位づけなど、本番で使えるテクニックを指導します。定期的な時間を計った演習で実践力を養います。

悩み3：「数学Ⅲの微分積分が苦手」

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→ 現在の学力と残り時間を考慮して、最適な参考書・問題集をアドバイスします。無駄のない効率的な学習ルートを一緒に設計します。

悩み5：「モチベーションが続かない」

→ 定期的な面談と進捗確認で、学習のペースメーカーとなります。小さな成功体験を積み重ねながら、合格への道を一緒に歩んでいきます。

合格者の声

【Aさん（青山学院大学 経済学部 合格）】

「高2の冬まで数学が大の苦手で、模試では偏差値50を切ることもありました。数強塾で基礎から丁寧に教えていただき、特に苦手だった整数問題と確率が得意分野に変わりました。藤原先生の『なぜそうなるか』を重視した指導のおかげで、初見の問題にも対応できる力がつきました。本番では数学で85%取れて、自信を持って合格発表を待つことができました。」

【Bさん（青山学院大学 理工学部 合格）】

「部活を引退したのが高3の夏で、周りより遅れているという焦りがありました。日本数学塾では限られた時間で効率的に学習できるカリキュラムを組んでいただき、特に数学Ⅲの微分積分を集中的に強化しました。過去問演習では時間配分のコツも教えていただき、本番では落ち着いて解くことができました。」

【Cさん（青山学院大学 社会情報学部 合格）】

「地方在住でMARCH対策ができる塾がなく困っていましたが、オンラインで質の高い授業を受けられて本当に助かりました。特にベクトルと数列は、パターンを体系的に教えていただいたおかげで、どんな問題が出ても解法の糸口が見つかるようになりました。」

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体験授業を受けたからといって、入塾を強制することは一切ありません。まずはお気軽にお問い合わせください。

最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

青山学院大学の数学は、決して「天才」でなければ解けない問題ではありません。正しい方法で、正しい量の努力を積み重ねれば、必ず合格点に到達できます。

大切なのは、「理解すること」と「使えるようになること」の両方を意識した学習です。公式を覚えるだけでなく、なぜその公式が成り立つのかを理解する。典型問題を解けるようになるだけでなく、初見の問題にも対応できる応用力を身につける。この両輪がそろったとき、本当の数学力が身につきます。

「数学が苦手だから...」「今からでは間に合わないかも...」と不安を感じている人もいるかもしれません。でも、私はこれまで多くの生徒が数学を克服し、志望校に合格する姿を見てきました。スタートが遅くても、正しい努力を続ければ必ず結果はついてきます。

この記事が、あなたの青山学院大学合格への一歩となれば幸いです。わからないことがあれば、いつでも質問してください。一緒に頑張りましょう！

数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介

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※この記事は2025年度入試の情報に基づいて作成されています。最新の入試情報は、必ず青山学院大学の公式サイトでご確認ください。

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**記事の構成まとめ：**
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