青山学院大学 2023年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は、受験生の皆さんからリクエストの多い青山学院大学 2023年度 数学入試について、徹底的に解説していきます！

青山学院大学（通称：青学）は、MARCHの一角として多くの受験生が志望する人気大学です。数学の入試問題は、基礎力を重視しながらも、思考力・計算力を問う良問が多いのが特徴。この記事を読めば、青学数学の攻略法がバッチリわかりますよ！

試験概要・難易度

2023年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

青山学院大学の数学入試は、学部・入試方式によって出題範囲や形式が異なります。ここでは、主要な入試方式について整理しておきましょう。

2023年度の全体講評

2023年度の青山学院大学数学入試は、例年並みの難易度でした。特徴としては以下の点が挙げられます：

• 計算量がやや多め：時間配分を意識した練習が必要
• 典型問題の出題：基礎をしっかり固めれば対応可能
• 融合問題の増加：複数の分野を横断する問題が出題
• 空欄補充形式と記述式の混合：両方の対策が必要

合格ラインは学部によって異なりますが、文系学部で60〜70%、理系学部で55〜65%程度が目安となります。確実に解ける問題を落とさず、部分点を積み上げることが合格への近道です！

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は、二次関数の最大・最小という青学頻出テーマです。軸の位置と定義域の関係を場合分けして考えることがポイントになります。

【(1)の解答】

f(x) = x² - 2ax + a + 2 を平方完成します。

f(x) = (x - a)² - a² + a + 2

したがって、頂点の座標は (a, -a² + a + 2) です。

【ポイント】平方完成は二次関数の基本中の基本！x² - 2ax の部分を (x - a)² - a² と変形することを確実にマスターしましょう。

【(2)の解答】

軸 x = a と定義域 0 ≤ x ≤ 2 の位置関係で場合分けします。

■ Case 1: a < 0 のとき

軸が定義域の左側にあるので、x = 0 で最小値をとります。

m(a) = f(0) = a + 2

※ただし、問題では a > 0 なので、この場合は考えません。

■ Case 2: 0 ≤ a ≤ 2 のとき

軸が定義域内にあるので、頂点で最小値をとります。

m(a) = -a² + a + 2

■ Case 3: a > 2 のとき

軸が定義域の右側にあるので、x = 2 で最小値をとります。

m(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = -3a + 6

【まとめ】

【(3)の解答】

各場合について最大値を調べます。

■ 0 < a ≤ 2 のとき：

m(a) = -a² + a + 2 = -(a - 1/2)² + 9/4

これは a = 1/2 で最大値 9/4 をとります。

■ a > 2 のとき：

m(a) = -3a + 6 は a について単調減少なので、a → 2⁺ で最大。

このとき m(a) → 0

■ 境界 a = 2 での確認：

m(2) = -4 + 2 + 2 = 0

以上より、m(a) は a = 1/2 のとき最大値 9/4 をとる。

別解・発展

【別解：グラフを利用した視覚的アプローチ】

二次関数の最小値問題では、以下の図をイメージすると理解しやすいです：

• 放物線が定義域の中を「通過」していくイメージ
• 軸の位置によって最小値をとる点が変わる
• 定義域の左端・中央・右端の3パターン

【発展】この問題の考え方は、センター試験・共通テストでも頻出です。軸のパラメータを含む二次関数の最大最小は、青学以外のMARCH各大学でも出題されるので、しっかりマスターしておきましょう！

大問2：場合の数と確率

問題

解説・解法のポイント

確率の問題は、「全事象の数」と「条件を満たす事象の数」を正確に数えることが基本です。

【準備：全事象の数】

9個から3個を選ぶ組合せの数：

₉C₃ = 9!/(3!×6!) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84 通り

【(1)の解答】

3個とも同じ色になるのは：

• 赤玉3個：₃C₃ = 1 通り
• 白玉3個：₄C₃ = 4 通り
• 青玉3個：₂C₃ = 0 通り（青玉は2個しかないので不可）

合計：1 + 4 + 0 = 5 通り

答：5/84

【(2)の解答】

赤・白・青から1個ずつ選ぶ：

₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24 通り

答：24/84 = 2/7

【(3)の解答】

【方法1：余事象を利用】

「少なくとも1個は赤玉」の余事象は「赤玉が0個」です。

赤玉が0個 ⟺ 白玉と青玉のみ（合計6個）から3個選ぶ

₆C₃ = 20 通り

したがって：

答：1 - 20/84 = 64/84 = 16/21

【(4)の解答】

赤玉1個、残り2個は白か青から選ぶ：

₃C₁ × ₆C₂ = 3 × 15 = 45 通り

答：45/84 = 15/28

別解・発展

【(3)の別解：直接計算】

赤玉が1個、2個、3個の場合を足し合わせる方法もあります：

• 赤1個：₃C₁ × ₆C₂ = 45
• 赤2個：₃C₂ × ₆C₁ = 18
• 赤3個：₃C₃ × ₆C₀ = 1

合計：45 + 18 + 1 = 64 → 64/84 = 16/21 ✓

【発展：条件付き確率への応用】

「赤玉が1個以上取り出されたとき、ちょうど2個が赤玉である確率」のような条件付き確率に発展させることもできます。これはP(赤2個)/P(赤1個以上) = (18/84)/(64/84) = 18/64 = 9/32 となります。

大問3：三角関数

問題

解説・解法のポイント

三角関数の方程式・不等式は、適切な変形で sinθ または cosθ の1種類に統一することがポイントです。

【(1)の解答】

sin2θ = 2sinθcosθ を代入：

2sinθcosθ + cosθ = 0
cosθ(2sinθ + 1) = 0

■ cosθ = 0 のとき： θ = π/2, 3π/2

■ sinθ = -1/2 のとき： θ = 7π/6, 11π/6

答：θ = π/2, 7π/6, 3π/2, 11π/6

【(2)の解答】

cos²θ = 1 - sin²θ を代入：

2(1 - sin²θ) - 3sinθ - 3 < 0
-2sin²θ - 3sinθ - 1 < 0
2sin²θ + 3sinθ + 1 > 0
(2sinθ + 1)(sinθ + 1) > 0

sinθ = t とおくと、-1 ≤ t ≤ 1 で (2t + 1)(t + 1) > 0

これを解くと：t -1/2

-1 ≤ t ≤ 1 との共通部分：-1/2 < t ≤ 1（t = -1 を除く）

sinθ > -1/2 かつ θ ≠ 3π/2 より：

答：0 ≤ θ < 7π/6, 11π/6 < θ < 2π

【(3)の解答】

cosθ ≠ 0 の場合、両辺を cos²θ で割ります：

tan²θ + tanθ - 2 = 0
(tanθ + 2)(tanθ - 1) = 0

■ tanθ = 1 のとき： θ = π/4, 5π/4

■ tanθ = -2 のとき： θ = π - arctan2, 2π - arctan2

cosθ = 0（θ = π/2, 3π/2）のとき、元の式に代入すると sin²θ = 0 となり不適。

答：θ = π/4, π - arctan2, 5π/4, 2π - arctan2

別解・発展

【(3)の別解：因数分解】

sin²θ + sinθcosθ - 2cos²θ を直接因数分解：

= (sinθ + 2cosθ)(sinθ - cosθ) = 0

この形から、sinθ = -2cosθ または sinθ = cosθ と解くこともできます。

大問4：数列

問題

解説・解法のポイント

この問題は「特性方程式の解で割る」タイプの漸化式です。aₙ₊₁ = paₙ + qⁿ の形に対して、qⁿ で割ることで等比数列に帰着させます。

【(1)の解答】

aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ の両辺を 2ⁿ⁺¹ で割ります：

aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = (3aₙ + 2ⁿ)/2ⁿ⁺¹
bₙ₊₁ = (3/2)·(aₙ/2ⁿ) + 1/2
bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

【(2)の解答】

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2 を変形します。

特性方程式：α = (3/2)α + 1/2 → α = -1

bₙ₊₁ - (-1) = (3/2)(bₙ - (-1))

bₙ₊₁ + 1 = (3/2)(bₙ + 1)

cₙ = bₙ + 1 とおくと、{cₙ} は公比 3/2 の等比数列：

c₁ = b₁ + 1 = a₁/2 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2

したがって：cₙ = (3/2)·(3/2)ⁿ⁻¹ = (3/2)ⁿ

bₙ = (3/2)ⁿ - 1 = (3ⁿ - 2ⁿ)/2ⁿ

【(3)の解答】

aₙ = bₙ · 2ⁿ より：

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】a₁ = 3 - 2 = 1 ✓, a₂ = 9 - 4 = 5, 実際に 3·1 + 2 = 5 ✓

【(4)の解答】

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ - 2ᵏ)

= Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ - Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ
= 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) - 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解：未定係数法】

aₙ = α·3ⁿ + β·2ⁿ の形を仮定し、漸化式と初期条件から係数を決定する方法もあります。

漸化式に代入：α·3ⁿ⁺¹ + β·2ⁿ⁺¹ = 3(α·3ⁿ + β·2ⁿ) + 2ⁿ

整理すると β = -1 が必要。初期条件 a₁ = 1 より α = 1。

よって aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

大問5：ベクトル

問題

解説・解法のポイント

ベクトル問題は、基底ベクトルを設定して座標的に扱うか、内積を活用して大きさ・角度を求めるかの方針が基本です。

【(1)の解答】

内積の定義より：

OA⃗·OB⃗ = |OA⃗||OB⃗|cos60° = 3 × 4 × (1/2) = 6

【(2)の解答】

点Pは辺ABを2:1に内分するので、内分点の公式より：

OP⃗ = (1·OA⃗ + 2·OB⃗)/(2+1) = (OA⃗ + 2OB⃗)/3

OP⃗ = (1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗

【(3)の解答】

|OP⃗|² を計算します：

|OP⃗|² = |(1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗|²
= (1/9)|OA⃗|² + 2·(1/3)·(2/3)·OA⃗·OB⃗ + (4/9)|OB⃗|²
= (1/9)·9 + (4/9)·6 + (4/9)·16
= 1 + 24/9 + 64/9
= 1 + 88/9 = 97/9

|OP⃗| = √(97/9) = √97/3

【(4)の解答】

Mは辺OAの中点なので、OM⃗ = (1/2)OA⃗

直線MP上の点は、実数tを用いて次のように表せます：

OR⃗ = (1-t)OM⃗ + tOP⃗
= (1-t)·(1/2)OA⃗ + t·{(1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗}
= {(1-t)/2 + t/3}OA⃗ + (2t/3)OB⃗
= {(3-3t+2t)/6}OA⃗ + (2t/3)OB⃗
= {(3-t)/6}OA⃗ + (2t/3)OB⃗

点Qは直線OB上にあるので、OA⃗の係数が0になります：

(3-t)/6 = 0 → t = 3

このとき：

OQ⃗ = (2·3/3)OB⃗ = 2OB⃗

別解・発展

【別解：メネラウスの定理】

△OABと直線MPQに対してメネラウスの定理を適用することもできます：

(AM/MO)·(OQ/QB)·(BP/PA) = 1
(1/1)·(OQ/QB)·(1/2) = 1
OQ/QB = 2

よって OQ:QB = 2:(-1) となり、Q は OB の延長上で OQ = 2OB

【発展：面積比への応用】

ベクトルを使うと、△OMP と △OAB の面積比なども求められます。これは青学の発展問題として出題される可能性があります。

大問6：微分・積分（理系向け）

問題

解説・解法のポイント

微分・積分の融合問題は青学理系で頻出です。増減表を正確に書くことと、積分計算を確実に行うことが得点のカギです。

【(1)の解答】

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 となるのは x = 0, 2

f(0) = 4, f(2) = 8 - 12 + 4 = 0

極大値：f(0) = 4、極小値：f(2) = 0

【(2)の解答】

f(x) = 0 を解きます。f(2) = 0 より、(x - 2) は因数です。

f(x) = x³ - 3x² + 4 = (x - 2)(x² - x - 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x - 2)²(x + 1)

x = -1, 2（x = 2 は重解）

【(3)の解答】

グラフの概形より、-1 ≤ x ≤ 2 で f(x) ≥ 0 です。

S = ∫₋₁² f(x)dx = ∫₋₁² (x - 2)²(x + 1)dx

【置換積分】 t = x - 2 とおくと、x = t + 2, dx = dt

x = -1 のとき t = -3、x = 2 のとき t = 0

S = ∫₋₃⁰ t²(t + 3)dt = ∫₋₃⁰ (t³ + 3t²)dt
= [t⁴/4 + t³]₋₃⁰
= 0 - (81/4 - 27)
= 0 - (81/4 - 108/4)
= 27/4

S = 27/4

【(4)の解答】

f'(1) = 3 - 6 = -3

点(1, 2)を通り、傾き-3の直線：

y - 2 = -3(x - 1)

y = -3x + 5

別解・発展

【(3)の別解：1/12公式の応用】

3次関数と接線で囲まれた面積には、有名な「1/12公式」があります。

y = f(x) = (x - α)²(x - β) と x軸で囲まれた面積は：

S = (1/12)|α - β|⁴

今回は α = 2, β = -1 なので：

S = (1/12)|2-(-1)|⁴ = (1/12)·81 = 27/4 ✓

【発展：回転体の体積】

この曲線をx軸の周りに回転させた立体の体積を求める問題も、青学理系では出題可能性があります。

この年度の重要テーマと対策

2023年度青山学院大学数学の出題傾向分析

2023年度の出題を分析すると、以下の傾向が見えてきます：

【頻出分野TOP5】

1. 二次関数（最大・最小、場合分け） - 毎年必出！
2. 確率・場合の数 - 基本的な組合せから条件付き確率まで
3. 三角関数 - 方程式・不等式、加法定理の応用
4. 数列 - 漸化式、Σ計算
5. ベクトル - 内積、位置ベクトル、図形への応用

【理系追加分野】

• 微分法 - 極値、接線、最大最小
• 積分法 - 面積、体積
• 複素数平面 - 極形式、ド・モアブルの定理

青学数学攻略のための具体的対策

【対策1：計算力の強化】

青学の数学は計算量が多いのが特徴です。特に：

• 分数・根号を含む計算
• 三角関数の値の計算
• 積分計算

これらは日頃からスピードと正確性を意識して練習しましょう。

【対策2：典型問題の完全マスター】

青学の問題は典型問題の組み合わせで構成されています。以下のパターンを確実に解けるようにしましょう：

• 軸が動く二次関数の最大・最小
• 漸化式の解法（等比型、特性方程式型）
• ベクトルの内積と大きさの計算
• 確率の余事象の利用

【対策3：時間配分の練習】

60分で大問3〜4題を解く場合、1題あたり15〜20分が目安です。模試や過去問演習で、時間を計りながら解く練習を積みましょう。

【対策4：部分点を狙う意識】

記述式の問題では、途中経過をしっかり書くことで部分点がもらえます。最終答案だけでなく、計算過程や場合分けの理由も丁寧に記述しましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2023年度青学数学の傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。実際に手を動かして解いてみてください！

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

g(x) = -(x - 2)² + 4 + a

軸 x = 2 は定義域 1 ≤ x ≤ 4 の内部にあるので、x = 2 で最大値をとります。

最大値 = g(2) = 4 + a = 7
a = 3

【確認】 g(1) = -1 + 4 + 3 = 6, g(4) = -16 + 16 + 3 = 3, g(2) = 7 ✓

【練習問題2】確率

【解答・解説】

【余事象を利用】

積が偶数 ⟺ 少なくとも1回は偶数の目が出る

余事象：3回とも奇数の目が出る

1回の試行で奇数（1, 3, 5）が出る確率 = 3/6 = 1/2

P(3回とも奇数) = (1/2)³ = 1/8

答：1 - 1/8 = 7/8

【練習問題3】数列

【解答・解説】

【(1)の解答】

特性方程式：α = 2α + 3 → α = -3

aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)

bₙ = aₙ + 3 とおくと、{bₙ} は初項 b₁ = 5、公比 2 の等比数列

bₙ = 5·2ⁿ⁻¹
aₙ = 5·2ⁿ⁻¹ - 3

【(2)の解答】

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (5·2ᵏ⁻¹ - 3)
= 5·(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - 3n
= 5·2ⁿ - 5 - 3n = 5·2ⁿ - 3n - 5

日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう

ここまで2023年度青山学院大学の数学入試について詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

青学の数学は、基礎をしっかり固めた上で、典型問題のパターンを身につけることが合格への近道です。しかし、独学では「自分の弱点がわからない」「効率的な勉強法がわからない」という壁にぶつかることも多いでしょう。

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最後に：藤原進之介からのメッセージ

青山学院大学の数学は、決して「難問奇問」ではありません。正しい方法で、十分な量の演習を積めば、必ず合格点に到達できます。

大切なのは：

1. 基礎を固める（教科書レベルの問題を完璧に）
2. 典型問題をマスター（青チャートなどで演習）
3. 過去問で傾向を掴む（時間配分も意識）
4. 弱点を分析・克服（できれば専門家のサポートを）

この4ステップを着実に実行すれば、青学合格は十分に射程圏内です！

皆さんの受験勉強を心から応援しています。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介