埼玉大学 1997年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！藤原進之介です。

今回は 埼玉大学 1997年度の数学過去問について、みっちり解説していきます。この大学の入試数学は「標準レベルで幅広い分野から出題される」というのが特徴。言い換えれば、各単元の基礎をしっかり理解していれば、確実に点が取れる問題ばかりということです。

この記事では、教育学部・経済学部（大問1）と理学部・工学部（大問2）の両方の問題を徹底解説。定距離関数、接線条件、ベクトルの対称性、確率、媒介変数、数列、放物線など、高校数学のほぼ全分野が網羅されています。

「どの単元が出ても大丈夫！」という自信を持って試験に臨めるよう、一緒に頑張っていきましょう！

埼玉大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度

埼玉大学の数学入試は、以下の特徴があります：

• 教育学部・経済学部：大問4〜5題（答案用紙4枚）
• 理学部・工学部：大問5題（答案用紙5枚）
• 難易度：標準レベル〜やや易
• 出題分野：代数、幾何、解析など、ほぼ全分野から満遍なく出題
• 特徴：計算力よりも「概念の理解」を重視

例え話で理解する「埼玉大学らしさ」

埼玉大学の数学は、ちょうど「レストランの新人シェフの実技試験」みたいなものです。難しい創作料理（超難問）ではなく、基本的な調理技法（定距離、接線、ベクトルなど）を正確にこなせるかが問われます。

「ハンバーグをきれいに焼けるか」「ソースの塩加減は正しいか」を見られているわけです。つまり、基礎を完璧にマスターした学生が有利なんです。

🧑 生徒：「埼玉大学の数学って、どんな難易度なんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！難易度としては『標準レベル』が基本。つまり、青チャート（チャート式 基礎からの数学）に載ってる基本例題や重要例題レベルの問題が、そのまま出るか、ちょっと組み合わされて出るんだ。難しい問題ではなく、『基礎が本当に理解できているか』を見られているんだよ。」

1997年度 全問題と解説

大問1（教育学部・経済学部）

【問題文】

[1] 平面上の2点 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ に対して，

とおく。このとき，

(1) $P_1 = (1, -2), P_2 = (2, 3)$ のとき，$d(P_1, P_2)$ を求めよ。

(2) $P = (1, 2)$ に対して，$d(P, Q) = 3$ となる点$Q$全体の集合を図示せよ。

[2] 2つの関数 $f(x) = 2x^2 + ax + b$ と $g(x) = 2ax + 1$ が与えられている
（$a, b$ は実数とする）。

この関数の曲線 $y = f(x)$ ……①と直線 $y = g(x)$ ……②が接しているとき，

(1) $b$ を $a$ の式で表せ。

(2) $a$ が $0 \leq a \leq 6$ の範囲で動くとき，①と②の接点が描く曲線を式で表し，その概形を図示せよ。

(3) 次の条件を満たすように $a$ の値を定めよ（ただし，$a \geq 0$）。
$$\int_0^a [f(x) - g(x)] \, dx = \frac{9}{4}$$

[3] 三角形$ABC$において，$\vec{AB} = \vec{b}，\vec{AC} = \vec{c}$ とおき，さらに $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積を $\vec{b} \cdot \vec{c} = m$， $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の大きさをそれぞれ $|\vec{b}| = b，|\vec{c}| = c$ とおく。

(1) 直線$AB$に関して，点$C$と対称な点を$D$とするとき，ベクトル $\vec{AD}$ をベクトル $\vec{b}，\vec{c}$ と実数 $m, b, c$ を用いて表せ。

(2) 直線$AC$に関して，点$B$と対称な点を$E$とするとき，ベクトル $\vec{DE}$ をベクトル $\vec{b}，\vec{c}$ と実数 $m, b, c$ を用いて表せ。

(3) ベクトル $\vec{DE}$ と $\vec{BC}$ が平行なとき，三角形$ABC$はどのような三角形か。

[4] 男女6名ずつ12名のサークルで，4名の委員をくじで選ぶことになった。このとき，

(1) 男女同数となる選び方は何通りか。

(2) 女子が少なくとも1人選ばれる確率を求めよ。

(3) 男子の方が多く選ばれる確率を求めよ。

(4) 委員のなかに，会長，副会長をおくこととする。会長，副会長は男女1名ずつが選ばれ（会長は男女どちらでもよい），残りの委員も男女同数になる確率を求めよ。

【解説】

問題[1] — 定距離関数の理解と図示

【解法ポイント】

• ステップ①： 定義をチェック。$x_1 \neq x_2$ か $x_1 = x_2$ かで場合分け
• ステップ②： (1)では公式に代入して計算
• ステップ③： (2)では$x = 1, x \neq 1$ で場合分けして軌跡を求める

【解説】

(1) $P_1 = (1, -2), P_2 = (2, 3)$ のとき，$d(P_1, P_2)$ を求める

$x_1 = 1, x_2 = 2$ だから $x_1 \neq x_2$ です。したがって定義の2番目の式を使います：

答え：$d(P_1, P_2) = 6$

🧑 生徒：「この定距離関数って、普通のユークリッド距離と違うんですね。」

👨‍🏫 藤原先生：「そうだね。これはマンハッタン距離（タクシー距離）の一種だよ。通常の距離公式 $d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$ じゃなくて、絶対値の和を使ってるんだ。格子状の街の中で、ビルを回り道して歩く距離をイメージするといいよ。」

(2) $P = (1, 2)$ に対して，$d(P, Q) = 3$ となる点$Q$全体の集合を図示する

$P = (1, 2)$ で、点 $Q = (x, y)$ とします。

場合1： $x = 1$ のとき

点 $(1, 5)$ と $(1, -1)$ が該当します。

場合2： $x \neq 1$ のとき

これはひし形（正方形を45°回転させた形）を描きます。絶対値の条件を展開すると：

• $x < 1, y \geq 0$ のとき：$(1-x) + y = 1 \Rightarrow y = x$
• $x > 1, y \geq 0$ のとき：$(x-1) + y = 1 \Rightarrow y = 2 - x$
• $x < 1, y < 0$ のとき：$(1-x) - y = 1 \Rightarrow y = -x$
• $x > 1, y < 0$ のとき：$(x-1) - y = 1 \Rightarrow y = x - 2$

図示すると、頂点が $(1, 1), (2, 0), (1, -1), (0, 0)$ のひし形と、垂直線分上の2点 $(1, 5), (1, -1)$。

問題[2] — 接線条件と積分計算

【解法ポイント】

• ステップ①： 接線条件⇒判別式 = 0
• ステップ②： 接点の座標を媒介変数で表現（曲線の媒介変数表示）
• ステップ③： 積分計算で $a$ を求める

【解説】

(1) $b$ を $a$ の式で表す

曲線 $y = f(x) = 2x^2 + ax + b$ と直線 $y = g(x) = 2ax + 1$ が接する条件は、方程式

が重解を持つことです。判別式 = 0：

(2) 接点が描く曲線を求める

接点の $x$ 座標は：
$$2x^2 - ax + (b-1) = 0 \text{の重解}$$

このとき接点の $y$ 座標は：
$$y = g(x) = 2ax + 1 = 2a \cdot \frac{a}{4} + 1 = \frac{a^2}{2} + 1$$

媒介変数 $a$ で表すと、接点は $\left(x, y\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a^2}{2} + 1\right)$

$x = \frac{a}{4}$ から $a = 4x$，これを $y$ に代入：

$0 \leq a \leq 6$ より，$0 \leq x \leq \frac{3}{2}$

答え：接点が描く曲線は $\boxed{y = 8x^2 + 1, \quad 0 \leq x \leq \frac{3}{2}}$ （上に凸な放物線）

(3) 積分条件から $a$ を求める

(1)から $b = \frac{a^2+8}{8}$ なので：

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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