北海道大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_admin北海道大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
はじめに：この記事で北海道大学数学を完全制覇しよう
北海道大学 2009年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。
北海道大学の数学は「標準レベル」と言われますが、それは決して「簡単」という意味ではありません。複素数・格子点・三角形の面積・空間図形・積分と極限…幅広い分野からバランスよく出題されるため、どの単元も穴なく仕上げる必要があります。
この記事では以下の3つの価値を提供します：
- ✅ 2009年度 全大問の完全解説（途中計算を一切省略しない）
- ✅ 北海道大学数学の出題傾向と効率的な対策法
- ✅ 合否を分けたポイントと頻出公式の総まとめ
藤原先生からのメッセージ：「北海道大学の数学は、基礎を丁寧に積み上げた人が必ず報われる試験です。焦らず、一問一問の意味を理解しながら進めていきましょう！」
【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像
試験形式・基本情報
| 項目 | 文系数学 | 理系数学 |
|---|---|---|
| 試験時間 | 100分 | 120分 |
| 大問数 | 4問 | 5問 |
| 解答形式 | 記述式（論述重視） | 記述式（論述重視） |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・A・B | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B |
北海道大学の数学で特筆すべきは「結果を導く過程を重視する」という採点方針です。試験問題の注意書きにも明記されているこの方針は、答えだけ書いても点がもらえないことを意味します。東大が抽象的な思考力を問う論述を重視するのに対し、北海道大学は計算過程の論理的な記述と丁寧な説明を重視します。
過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）
文系数学 頻出単元：
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分 | ほぼ毎年 |
| 2位 | 数列・漸化式 | ほぼ毎年 |
| 3位 | 確率 | 高頻度 |
| 4位 | 複素数・図形 | 高頻度 |
| 5位 | 格子点・整数問題 | 中頻度 |
理系数学 頻出単元：
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 積分（定積分・面積・体積） | ほぼ毎年 |
| 2位 | 数列・極限 | ほぼ毎年 |
| 3位 | 空間ベクトル・空間図形 | 高頻度 |
| 4位 | 複素数・図形と方程式 | 高頻度 |
| 5位 | 確率・漸化式 | 高頻度 |
他大学との違い
- 東大：抽象的な論述・思考力の深さを問う
- 京大：独創的な発想・難問が多い
- 北大：標準〜やや難レベル、幅広い分野から均等出題、計算の丁寧さと論述の明確さが鍵
👨🏫 藤原先生コメント
北海道大学の数学の本質は「バランス」にあります。一つの単元に偏った勉強では太刀打ちできません。どの分野も基礎から応用まで一通り完成させることが合格への王道です。
🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どの分野を最優先で勉強すればいいですか？」
👨🏫 藤原先生：「北大数学で絶対に落とせないのは 微分・積分 と 数列・漸化式 だよ。この2分野はほぼ毎年出るから、青チャートや1対1対応の演習でしっかり仕上げよう。それ以外の分野、例えば複素数や格子点、空間図形も穴なく対策することが大切。2009年度みたいに多彩な問題が出るから、全分野を70〜80点レベルに引き上げることを目指してね！」
【セクション3】2009年度 出題テーマ速報と分析
2009年度 出題テーマ一覧（大問別）
文系数学（大問1）：
| 大問 | テーマ | 単元 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| [1] | 複素数の因数分解と方程式の根 | 複素数・多項式 | ★★★★☆ |
| [2] | 放物線と線分で囲まれた領域の格子点 | 格子点・数列 | ★★★☆☆ |
| [3] | 3点が一直線上にある条件と三角形の面積最大化 | ベクトル・微分 | ★★★☆☆ |
| [4] | 三角錐の展開図から体積を求める | 空間図形・座標 | ★★★★☆ |
理系数学（大問2）：
| 大問 | テーマ | 単元 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| [1] | 三角錐の展開図から体積を求める | 空間図形・座標 | ★★★★☆ |
| [2] | 直角三角形の分点と二乗和の極限 | 数列・極限 | ★★★☆☆ |
| [3] | 放物線の接線の対称移動と最小弦長 | 直線・最大最小 | ★★★★☆ |
| [4] | 等距離点の座標と最小値 | 図形・三角関数 | ★★★★☆ |
| [5] | tan積分の漸化式とライプニッツ公式への応用 | 積分・数列・極限 | ★★★★★ |
難易度評価と合格ライン
2009年度の全体難易度はやや標準〜標準。文系は[1]の複素数と[4]の空間図形が難所、理系は[5]の積分と極限の応用が最大の山場でした。
合格に必要な得点目標：
- 文系：4問中 2〜3問完答 + 部分点で約65〜70%
- 理系：5問中 3問完答 + 部分点で約60〜65%
2009年度の前年（2008年度）と比べると、理系で積分の応用問題（[5]）が難化し、ライプニッツ級数との接続を問う高度な出題が見られました。複素数（文系[1]）も虚数の因数分解という点で受験生を選別する問題でした。
【セクション4】全大問 問題・解説
大問1（文系）[1]：複素数と多項式の因数分解（難易度★★★★☆）
【問題文】
$\gamma = 1 + \sqrt{3}\,i$（$i$ は虚数単位）とする。実数 $a, b$ に対して多項式 $P(x)$ を
で定める。
(1) $P(\gamma) = 0$ となるように $a$ と $b$ を定めよ。
(2) (1)で定めた $a$ と $b$ に対して、$P(x) = 0$ となる複素数 $x$ で $\gamma$ 以外のものをすべて求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 複素数の絶対値・共役 | $z = a + bi$ のとき $\bar{z} = a - bi$ |
| 多項式の割り算 | $P(x) = Q(x) \cdot f(x) + R(x)$ |
| 実数係数の方程式の性質 | $\alpha$ が解なら $\bar{\alpha}$ も解（虚数の場合） |
【解法ステップ】
ステップ① $\gamma$ が満たす最小多項式を求める
$\gamma = 1 + \sqrt{3}\,i$ より、
両辺を2乗すると：
よって $\gamma$ は $x^2 - 2x + 4 = 0$ の解である。
ステップ② $P(x)$ を $x^2 - 2x + 4$ で割り算する
ステップ③ $P(\gamma) = 0$ の条件を立てる
$\gamma^2 - 2\gamma + 4 = 0$ より、第1項は0になる。よって：
これが成り立つためには、$\gamma$ が虚数であることから、実部・虚部それぞれ0でなければならない。
もし $b - 4\sqrt{3} - 8 \neq 0$ であれば：
となり $\gamma$ が実数になることと矛盾する。よって：
さらに：
ステップ④ 連立方程式を解く
①より $b = 8 + 4\sqrt{3}$、これを②に代入：
ステップ⑤ (2) の因数分解と残りの根
$a = -2 - 2\sqrt{3},\, b = 8 + 4\sqrt{3}$ のとき：
$x^2 - 2x + 4 = 0$ の解：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ の解：
$\gamma = 1 + \sqrt{3}\,i$ 以外の解は：
【藤原先生の解説】
この問題のポイントは「$\gamma$ が満たす2次方程式を先に見つける」こと。料理に例えると、$P(x)$ という大きな肉の塊を、$\gamma$ の最小多項式 $x^2 - 2x + 4$ という「包丁」で切り分けるイメージです。その包丁の部分がきれいに0になってくれるから、余りの部分だけを考えればいい。実数・虚数の性質を使って係数を決める手法は、複素数問題の王道パターンです。
🧑 生徒：「$P(\gamma) = 0$ なのに、なぜ $\gamma^2 - 2\gamma + 4$ で割るんですか？」
👨🏫 藤原先生：「それが核心をついた良い質問だね！$\gamma = 1 + \sqrt{3}i$ が満たす最小多項式が $x^2 - 2x + 4 = 0$ なんだ。$(\gamma-1)^2 = -3$ から変形すると $\gamma^2 - 2\gamma + 4 = 0$ が出てくる。これを利用して $P(x) = (x^2-2x+4) \cdot Q(x) + R(x)$ と割り算すると、$P(\gamma) = 0 \cdot Q(\gamma) + R(\gamma) = R(\gamma)$ だから $R(\gamma) = 0$ の条件だけ考えればいい。余り $R(x)$ は1次式以下だから、$R(\gamma) = 0$ は実数係数の条件で連立方程式に帰着できるんだよ。」
【この大問で身につく力】
複素数を代入して係数決定する手法と、高次多項式の因数分解の戦略的アプローチが身につく。実数係数の方程式では虚数解が共役ペアで現れるという性質の理解も深まる。
大問1（文系）[2]：放物線と格子点（難易度★★★☆☆）
【問題文】
放物線 $C: y = 3x^2 - 6x$、自然数 $n$ に対して $C$ 上の点 $P(n, 3n^2 - 6n)$、原点 $O(0, 0)$。$C$ と線分 $OP$ で囲まれる図形 $D$（境界含む）について、$0 \leq k \leq n$ をみたす整数 $k$ に対し、直線 $x = k$ 上で $D$ に含まれる格子点の個数を $f(k)$ とする。
(1) $f(k)$ を求めよ。
(2) $D$ に含まれる格子点の総数を求めよ。
(3) $f(k)$ が最大になるような $k$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 格子点の個数 | 区間 $[m, M]$（整数端点）の整数の個数 $= M - m + 1$ |
| 等差数列の和 | $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ |
| 等差数列の二乗和 | $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ |
| 増減の判定 | $f(k+1) - f(k)$ の符号で単調性を判定 |
【解法ステップ】
ステップ① 直線 $OP$ の方程式を求める
$O(0,0)$、$P(n, 3n^2 - 6n)$ を通る直線の傾きは：
よって直線 $OP$：
ステップ② $x = k$ での交点を求める
- 直線 $OP$ との交点：$(k,\; (3n-6)k)$
- 放物線 $C$ との交点：$(k,\; 3k^2 - 6k)$
ステップ③ $f(k)$ を求める
直線 $OP$ の $y$ 座標が放物線 $C$ の $y$ 座標以上（$D$ が両者の間）なので、格子点の個数は：
ステップ④ (2) $D$ に含まれる格子点の総数
$k = 0$ から $k = n$ まで $f(k)$ を合計する：
ステップ⑤ (3) $f(k)$ が最大になる $k$
$f(k)$ は $k$ に関する下に凸な放物線（係数 $-3 < 0$ なので実は上に凸）なので、最大値は頂点付近で実現される。
差分を計算：
よって：
- $n$ が偶数のとき、$n = 2m$：$k \leq m - \frac{1}{2}$、つまり $k \leq m-1$ で増加、$k \geq m$ で減少（ただし $k=m-1$ と $k=m$ の比較を確認）
よって $k = m = \dfrac{n}{2}$ で最大。
- $n$ が奇数のとき、$n = 2m+1$：$k \leq m$ で $f(k+1) > f(k)$、$k \geq m+1$ で $f(k+1) < f(k)$
よって $k = m$ と $k = m+1$ で同じ最大値。
【藤原先生の解説】
格子点の問題はグラフで視覚化することが大切。「直線と放物線に挟まれた $x = k$ の縦棒に何個の整数点があるか」を数えているだけ。その個数が $f(k) = -3k^2 + 3nk + 1$ という上に凸な放物線になるから、最大はちょうど真ん中あたりに来る。$n$ の偶奇で場合分けが必要なのは、真ん中が整数か半整数かによって変わるからです。
🧑 生徒：「$f(k)$ の最大を求めるとき、なぜ差分 $f(k+1) - f(k)$ を使うんですか？微分ではダメですか？」
👨🏫 藤原先生：「鋭い！$k$ は整数しか動かないから、連続関数の微分は直接使えないんだ。そこで代わりに階差$f(k+1) - f(k)$ を使う。これが $\geq 0$ なら増加、$< 0$ なら減少、$= 0$ なら同じ値、という具合に判断できる。$k$ が整数の場合の増減分析の王道テクニックだよ。$f(k) = -3k^2 + 3nk + 1$ の場合、$f(k+1) - f(k) = -3(2k+1-n)$ となって、$2k+1-n$ の符号で判断できるんだ。」
【この大問で身につく力】
格子点カウントの基本（上下の整数範囲を求める）と、整数値関数の最大・最小を差分で分析する力が身につく。数列の和の公式の応用計算力も鍛えられる。
大問2（理系）[5]：積分の漸化式とライプニッツ公式（難易度★★★★★）
【問題文】
自然数 $n$ に対して
とおく。
(1) $a_1$ を求めよ。
(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表せ。
(3) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
(4) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| $\tan^2 x$ の変換 | $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ |
| 置換積分法 | $t = \tan x$ とおくと $dt = \frac{1}{\cos^2 x}dx$ |
| はさみうちの原理 | $a_n \leq b_n \leq c_n$ かつ $a_n, c_n \to L$ ならば $b_n \to L$ |
| ライプニッツ公式（グレゴリー・ライプニッツ公式） | $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$ |
【解法ステップ】
ステップ① (1) $a_1$ を計算する
ステップ② (2) 漸化式を求める
$a_n + a_{n+1}$ を計算する：
$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ を使うと：
置換積分：$t = \tan x$ とおくと $dt = \dfrac{1}{\cos^2 x}dx$
$x: 0 \to \dfrac{\pi}{4}$ のとき $t: 0 \to 1$
よって：
ステップ③ (3) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める
$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}$ では $0 \leq \tan x \leq 1$ なので：
積分しても不等号は保たれるので：
つまり $\{a_n\}$ は単調減少かつ正。また (2) より：
$a_{n+1} < a_n$ より：
また $a_{n+1} > 0$ だから、はさみうちの原理より：
$$0 < a_{n+1} < \frac{1}{
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
📲 **[プレゼント付き公式LINE（無料登録）](https://lin.ee/30k41AB)** — 無料授業・最新入試情報を配信中！
🎓 **[数強塾オンライン（sukyojuku.com）](https://sukyojuku.com)** — 藤原先生監修のマンツーマン指導
📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう
情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！
LINEに登録すると受け取れる特典 🎁
- ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
- ✅ 入試傾向の最新分析レポート
- ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
- ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから
数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！
🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう
藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！
