法政大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で得られる3つの価値
法政大学 1998年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、法政大学の数学を徹底的に攻略するための完全ガイドをお届けします。
- ✅ 1998年度の全大問を丁寧な解説付きで完全攻略できる
- ✅ 法政大学数学の出題傾向と頻出テーマが一目でわかる
- ✅ 合格に直結する学習ロードマップと参考書選びが手に入る
👨🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は、基礎をしっかり固めれば必ず解ける問題ばかりです。難しく見える問題も、一つひとつのステップを丁寧に踏めば、必ず突破口が開けます。一緒に楽しく、完全攻略していきましょう！」
セクション1：法政大学の数学 入試の全体像
法政大学 数学の試験形式と出題傾向
法政大学の数学は、学部によって試験形式が異なりますが、共通して「標準レベルの問題をしっかり解き切る力」が求められます。1998年度のデータからも明らかなように、60分という試験時間の中で、記述式・選択式の大問3問（うち1問は選択問題）という構成が多く見られます。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 60分 |
| 大問数 | 3問（うち1問は2択選択） |
| 解答形式 | 記述式・穴埋め式（学部による） |
| 難易度 | 標準レベル（偏差値55〜65相当） |
| 頻出単元 | 図形・確率・関数・ベクトル |
偏差値帯と求められる数学レベル
法政大学の偏差値帯は概ね55〜65程度で、「青チャート（チャート式 基礎からの数学）」の例題レベルをしっかり習得していれば、十分に対応可能です。奇をてらった超難問は少なく、標準的な解法を正確に実行する「丁寧さ」と「処理能力」が合否を分けます。
過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 確率・場合の数 | ★★★★★ |
| 2位 | 図形（座標幾何・ベクトル） | ★★★★☆ |
| 3位 | 関数・微積分 | ★★★★☆ |
| 4位 | 数列 | ★★★☆☆ |
| 5位 | 三角関数 | ★★★☆☆ |
他大学との違い・法政大学数学の特徴
東大や京大が「論述の精密さ・発想力」を重視するのに対し、法政大学は「標準解法の確実な実行力」を重視します。慶應義塾大学のように計算量が膨大なわけでもなく、早稲田大学のように発展的な題材が多いわけでもありません。「標準問題を確実に解く」という姿勢こそが法政大学数学攻略の核心です。
会話①
🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな問題が多く出るんですか？傾向を教えてください！」
👨🏫 藤原先生：「法政大学で特に多いのは確率・図形・関数の3本柱だよ。たとえば確率なら条件付き確率や漸化式を使った確率、図形なら円の方程式や領域の問題、関数なら積分を使った面積計算が頻出なんだ。いずれも『青チャート』の例題レベルを完璧にすることで、十分に対応できるよ。特に1998年度は四角形の面積最大化、領域問題、ランダムウォークの確率など、バラエティ豊かな出題だったね！」
法政大学数学の全体像を把握したら、次は1998年度の具体的な問題を見ていこう！
セクション2：1998年度 出題テーマ速報と分析
1998年度 法政大学 数学 出題テーマ一覧
1998年度の法政大学数学は、法学部・文学部・経済学部の3学部で異なる問題が出題されました。以下にまとめます。
| 大問 | 学部 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 大問1（法学部[Ⅰ]） | 法学部 | 四角形の面積最大化（対角線の条件付き最適化） | ★★★★☆ |
| 大問2（法学部[Ⅱ]） | 法学部 | 領域問題（絶対値・円の包含関係） | ★★★★☆ |
| 大問3（法学部[Ⅲ]） | 法学部 | 確率（ランダムウォーク）／関数の領域 | ★★★☆☆ |
| 大問4（文学部[Ⅰ]） | 文学部 | 三角形の形状（正弦定理・加法定理） | ★★★☆☆ |
| 大問5（文学部[Ⅱ]） | 文学部 | 領域と最大最小（x+yの最大・最小） | ★★★★☆ |
| 大問6（経済学部[I]） | 経済学部 | 小問集合（10問・幅広い単元） | ★★★☆☆ |
難易度評価と得点戦略
1998年度全体の印象として、法学部の問題は論証・記述力を、文学部は領域把握力を、経済学部は幅広い計算力を問う構成になっています。合格ラインは概ね6割〜7割程度と見られ、「得意な大問で確実に満点を取る」戦略が有効です。
1998年度の全体像を把握した上で、各大問の詳細解説に進もう！気合を入れていくよ！
セクション3：全大問 問題・解説
大問1（法学部[Ⅰ]）：四角形の面積最大化（難易度★★★★☆）
【問題文】
二つの対角線の長さの和が1となる四角形ABCDのうちで面積が最大となるのはどのような図形であるかを証明をつけて示せ。また面積の最大値を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 四角形の面積と対角線 | $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$（$d_1, d_2$は対角線の長さ、$\theta$は交角） |
| 相加相乗平均の不等式 | $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（$a, b > 0$）、等号は $a=b$ のとき |
【解法ステップ】
ステップ① 方針を立てる：
対角線の長さを $d_1$、$d_2$ とし、交わる角度を $\theta$ とおく。条件は $d_1 + d_2 = 1$（$d_1 > 0, d_2 > 0$）。
四角形ABCDの面積は、対角線が交点で作る三角形の面積の和として表せる。対角線が交点Oで交わる場合、
ステップ② $\sin\theta$ の最大化：
$\sin\theta \leq 1$ であり、等号は $\theta = 90°$ のとき。よって、
ステップ③ 相加相乗平均の適用：
$d_1 + d_2 = 1$ の条件のもとで、相加相乗平均の不等式より、
等号は $d_1 = d_2 = \frac{1}{2}$ のとき。
ステップ④ 面積の最大値：
等号成立条件は $\theta = 90°$ かつ $d_1 = d_2 = \frac{1}{2}$。
ステップ⑤ 図形の同定：
2本の対角線が等しく（各 $\frac{1}{2}$）、かつ直交し、さらに「面積最大の四角形」という条件を満たすためには、対角線が互いを二等分する必要があります（でなければさらに三角形の面積を大きくできる）。対角線が互いを二等分し、等長で、直交する四角形は正方形です。
この図形は正方形（対角線の長さがともに $\frac{1}{2}$ で直交する正方形）。
【藤原先生の解説】
この問題は「面積を最大にするには何を最適化すればよいか」を見抜くことが鍵です。料理のレシピに例えると、面積という「料理の完成度」は、$d_1 \times d_2$（材料の量）と $\sin\theta$（調理温度）の積で決まります。まずそれぞれを最大にして、最後に合わせる—という順番で考えることがポイントです。
対角線が交点で互いを二等分することについての証明補足：仮に対角線がOで交わり、AO = $p$、OC = $q$（$p \neq q$）としたとき、$p$、$q$ を変化させると $\triangle AOB + \triangle COB = \frac{1}{2}d_2(p+q)\sin\theta = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$ となり、AO:OCの比に関わらず同じ値になります。つまり対角線の交点の位置は面積に影響しないため、等長・直交という条件だけで十分です。
会話②
🧑 生徒：「対角線の長さと面積の関係式はどうやって導くんですか？」
👨🏫 藤原先生：「四角形の面積を対角線で表す公式は $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$ だよ。これは四角形を対角線で4つの三角形に分割して考えると導けるんだ。対角線が交点Oで作る4つの三角形のそれぞれの面積を足し合わせると、$S = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin\theta + \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin\theta + \cdots$ となって、整理すると $\frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$ になるよ。あとは $\sin\theta$ は最大1（$\theta = 90°$のとき）、$d_1 d_2$ は相加相乗平均で最大 $\frac{1}{4}$（$d_1 = d_2 = \frac{1}{2}$のとき）と組み合わせれば答えが出るね！」
【この大問で身につく力】
相加相乗平均の不等式と三角関数の最大値を組み合わせて「二段階最適化」を行う思考力。複数の変数を持つ最大化問題への対処法が身につきます。
最適化問題は「何を変数とし、何を最大化するか」を見定めることが全てのカギ！段階的に考えれば必ず解けるよ！
大問2（法学部[Ⅱ]）：領域問題・円と絶対値不等式（難易度★★★★☆）
【問題文】
$xy$ 平面において、不等式 $3|x| - 4y - 2 \leq 0$、$4x^2 + 4y^2 - 8ax + 3a^2 \leq 0$ の表す領域をそれぞれ $D$、$E(a)$ とおく。ただし $a$ は実数とする。
(1) $E(a)$ に含まれる任意の点が $D$ に含まれるような $a$ の範囲を求めよ。
(2) $E(a)$ と $D$ の共有点が存在するような $a$ の範囲を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 円の方程式（標準形） | $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ |
| 点と直線の距離公式 | $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ |
| 円が領域に含まれる条件 | 円の中心からすべての境界直線までの距離 $\geq r$ |
【解法ステップ】
ステップ① 各領域の整理：
領域 $D$（$3|x| - 4y - 2 \leq 0$）：
$x \geq 0$ のとき：$3x - 4y - 2 \leq 0 \Rightarrow y \geq \frac{3x-2}{4}$（直線 $y = \frac{3x-2}{4}$ の上側）
$x < 0$ のとき：$-3x - 4y - 2 \leq 0 \Rightarrow y \geq \frac{-3x-2}{4}$（直線 $y = \frac{-3x-2}{4}$ の上側）
これら2本の直線は傾きが $\pm\frac{3}{4}$ で、$y$ 切片が $-\frac{1}{2}$ の V字型領域の上側です。
領域 $E(a)$（$4x^2 + 4y^2 - 8ax + 3a^2 \leq 0$）の変形：
これは中心 $(a, 0)$、半径 $\frac{|a|}{2}$ の円（の内部）です。
ステップ② (1)：$E(a) \subseteq D$ となる条件：
円 $E(a)$ が領域 $D$ に完全に含まれるためには、円の中心から領域 $D$ の境界直線（2本）までの距離が半径 $\frac{|a|}{2}$ 以上であればよい。
$x \geq 0$ 側の境界直線：$3x - 4y - 2 = 0$
中心 $(a, 0)$ からの距離：
$x < 0$ 側の境界直線：$-3x - 4y - 2 = 0$（すなわち $3x + 4y + 2 = 0$）
中心 $(a, 0)$ からの距離：
$E(a) \subseteq D$ の条件（さらに、$D$ は「上側」なので円の中心も $D$ に含まれている必要があります）：
中心 $(a, 0)$ が $D$ に含まれる条件：$3|a| - 4(0) - 2 \leq 0 \Rightarrow |a| \leq \frac{2}{3}$
かつ距離条件：
$\frac{|3a-2|}{5} \geq \frac{|a|}{2}$ から：
よって $a \leq \frac{8}{22} = \frac{4}{11}$ または $a \geq \frac{88}{22} = 4$。
同様に $\frac{|3a+2|}{5} \geq \frac{|a|}{2}$ から：$a \leq -4$ または $a \geq -\frac{4}{11}$。
中心条件 $|a| \leq \frac{2}{3}$ と合わせると（$a=0$ のときは $E(0)$ が点になるので自明に含まれる）：
ステップ③ (2)：$E(a)$ と $D$ の共有点が存在する条件：
$E(a)$ と $D$ の共有点が存在する ⟺ $E(a)$ が空でない（$a \neq 0$）かつ $E(a)$ の円と $D$ の境界または内部に交点がある。
$a = 0$ のとき $E(0)$ は空集合（半径0の点）なので除外。
$D$ の補集合は $3|x| - 4y - 2 > 0$、すなわち V字型の「下側」です。$E(a)$ と $D$ が共有点を持つ ⟺ $E(a)$ が $D$ の補集合に完全に含まれない ⟺ 中心 $(a, 0)$ から2直線の距離のうち少なくとも1つが $\frac{|a|}{2}$ 未満。
これは(1)の否定ですが、$a=0$ のケースも除く必要があります。
整理すると：$E(a)$ と $D$ の共有点が存在する ⟺ $a \neq 0$（ただし $|a| \leq \frac{2}{3}$ の外側でも円が $D$ にかかる部分は存在する）。
より正確には、$E(a)$ が空でない（$a\neq 0$）かつ円が $D$ の外側に完全に出ていない条件を考えると、$d_1 \geq \frac{|a|}{2}$ かつ $d_2 \geq \frac{|a|}{2}$ の否定（または中心が $D$ の外側でも円が $D$ に接する）になります。完全に外になる条件は $d_{\min} < -\frac{|a|}{2}$ ですが、距離は正なので符号付き距離を使う必要があります。
この問題の本質は円が領域に対して「包含」か「交差」か「外側」かを符号付き距離で判定することです。
【藤原先生の解説】
領域問題は「境界線からの距離」で考えるのが鉄板の方針です。バスケットボールのコートに例えると、$D$ はコートの内側、$E(a)$ はボールの大きさ（円）です。「ボールがコート内に完全に収まるか」「ボールがコートにかかるか」という問いに答えているわけです。円の中心からコートの境界線までの距離とボールの半径を比較する—というシンプルなルールで解けます。
会話③
🧑 生徒：「$E(a) \subseteq D$ の条件を求めるとき、どの直線との距離を考えればいいんですか？」
👨🏫 藤原先生：「$D$ の境界は V字型の2本の直線 $3x - 4y - 2 = 0$（$x \geq 0$）と $-3x - 4y - 2 = 0$（$x < 0$）だよ。円 $E(a)$（中心$(a,0)$、半径$\frac{|a|}{2}$）がこの領域に完全に入るためには、点と直線の距離の公式 $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を使って、中心からこの2直線までの距離がそれぞれ半径以上であることを確認すればいいんだ。$d_1 = \frac{|3a-2|}{5} \geq \frac{|a|}{2}$ と $d_2 = \frac{|3a+2|}{5} \geq \frac{|a|}{2}$ の両方を同時に満たす $a$ の範囲を求めるのが(1)の核心だよ！」
【この大問で身につく力】
円と領域の包含・交差関係を「点と直線の距離」で定量化する力。複雑な領域問題を図形的に捉える思考力が鍛えられます。
領域問題は「円と直線の距離の比較」に帰着させることが鉄則！図を丁寧に描いて考えよう！
大問3（法学部[Ⅲ]-A）：ランダムウォーク確率（難易度★★★☆☆）
【問題文】
平面上の動点Pは、東西南北いずれかへの1メートルの移動をくりかえしておこなう。東、西、南、北に移動する確率は各回ともそれぞれ $\frac{1}{10}$、$\frac{1}{10}$、$\frac{4}{10}$、$\frac{2}{10}$ である。
(1) $P$ が $n$ 回の移動を終えたとき、最初と同じ位置にあったとするとき、$n$ は偶数であることを示せ。
(2) $P$ が 2 回、4 回目の移動を終えたとき、最初と同じ位置にある確率をそれぞれ求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| ランダムウォークの原点復帰条件 | 東西の移動回数が等しく、南北の移動回数が等しい |
| 多項定理 | $(a+b+c+d)^n$ の展開における各項の係数 |
【解法ステップ】
ステップ① (1)の証明：
東への移動回数を $e$、西を $w$、南を $s$、北を $n_0$ とする（合計 $n$ 回）。
元の位置に戻るためには：
- 東西方向：$e = w$
- 南北方向：$s = n_0$
$e + w + s + n_0 = n$ に代入すると、$2e + 2s = n$、すなわち $n = 2(e+s)$。
よって $n$ は偶数。$\square$
ステップ② (2)の確率計算（2回後）：
2回後に原点に戻るパターン：$(e, w, s, n_0)$ の値で $e=w$、$s=n_0$、$e+w+s+n_0=2$ を満たすもの。
- $(e, w, s, n_0) = (1, 1, 0, 0)$：確率 $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \binom{2}{1,1,0,0} = 2 \times \frac{1}{100} = \frac{2}{100}$
- $(e, w, s, n_0) = (0, 0, 1, 1)$：確率 $\frac{4}{10} \times \frac{2}{10} \times \binom{2}{0,0,1,1} = 2 \times \frac{8}{100} = \frac{16}{100}$
2回後の確率：
ステップ③ (2)の確率計算（4回後）：
4回後に原点に戻る $(e, w, s, n_0)$ の組み合わせ（$e=w$、$s=n_0$、$e+w+s+n_0=4$）：
- $(2,2,0,0)$：$\binom{4}{2,2,0,0} \times \left(\frac{1}{10}\right)^2 \times \left(\frac{1}{10}\right)^2 = 6 \times \frac{1
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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