横浜市立大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

横浜市立大学 2009年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、全4大問を基礎から丁寧に解説します。

この記事を読むと、次の3つが手に入ります：

• ✅ 2009年度の全大問を完全理解できる（ガウス積分・行列・四角形の計量・リッカチ方程式）
• ✅ 横浜市立大学の数学の出題傾向と対策が体系的にわかる
• ✅ 合否を分けた問題と部分点の取り方が具体的にわかる

👨‍🏫 藤原先生からのメッセージ：「横浜市立大学の数学は、パターン暗記ではなく『なぜそうなるのか』を理解していないと解けない問題が多い。でも大丈夫！この記事で一緒に本質から理解していこう！」

セクション2：横浜市立大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本スペック

横浜市立大学の数学は「空欄補充＋記述」のハイブリッド形式が特徴です。[I]は答えのみを記入する形式ですが、[II]〜[IV]は論述・証明問題が中心で、途中の論理展開を丁寧に書く必要があります。

偏差値帯と求められる数学レベル

一般学部（国際商学・理学・データサイエンスなど）は偏差値55〜60程度、医学部は65〜70以上が目安です。数学に求められるレベルは、「教科書の定理・公式を自在に使いこなし、大学数学の入り口に触れるような問題も楽しめる力」と言えます。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

横浜市立大学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

他大学との違い・特徴

東大や京大が「思考プロセスの記述」を重視するのに対し、横浜市立大学は「数学的概念の理解と計算力のバランス」を問う問題が特徴です。また、大学数学（線形代数・微分方程式）の「入り口」に触れるような問題（2009年の[IV]リッカチ方程式など）が出題されることがあり、知的好奇心を刺激する良問が多いです。

🧑 生徒：「横浜市立大学の数学って、どんな勉強をすれば得点できますか？証明問題が多くて不安です…」

👨‍🏫 藤原先生：「横浜市立大学の証明問題で大切なのは、論理の流れを日本語で丁寧に書くことだよ。たとえば行列の問題なら、$YX = A$ から $aa' + cy = 9$（ここで各成分が非負整数）という制約を立てて、矛盾を導く。まず『何を仮定して、何を結論にするか』を整理することが第一歩。背理法や成分比較という手法名を意識しながら解き進めよう！」

横浜市立大学の数学は「なぜ？」を大切にする入試です。一緒に本質から理解していこう！

セクション3：2009年度 出題テーマ速報と分析

2009年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と前年度との傾向変化

2009年度は全体としてやや難の年度です。特に[IV]のリッカチ方程式と複比の問題は、大学数学に踏み込んだ高度な問題で、受験生を大きく選別した可能性があります。[I]は空欄補充でも計算量が多く、ガウス積分の処理を正確にできるかが問われています。

合格ラインと得点戦略

• 目標得点：[I]で8〜9割、[II]〜[III]で各6〜7割、[IV]は(1)のみ確実に取る
• 時間配分：[I]に25分、[II]に30分、[III]に25分、[IV]に35分（[I]は空欄補充なので素早く処理）
• 部分点戦略：[II]〜[IV]は途中の論理を丁寧に書けば部分点が期待できる

2009年度の合否を分けたのは[II]の行列証明問題と[III]の最小値計算です。ここをどれだけ得点できたかが鍵です！

セクション4：全大問 完全解説

大問[I]（1）：指数関数の最大値とガウス積分（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a, b, c$ は定数で $a > 0$ とする。

(ア) 関数 $f(x) = e^{-ax^2 - bx - c}$ は、$x = $ [A] で最大となり、その値は [B] となる。

(イ) 公式 $\displaystyle\lim_{T \to \infty} \int_0^T e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を用いると、$\displaystyle\lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} f(x)\,dx$ の値は [C] となる。

【使う公式・定理】

【解法ステップ（ア）：最大値を求める】

ステップ① 方針を立てる：$e^u$ は単調増加なので、指数部 $g(x) = -ax^2 - bx - c$ が最大のとき $f(x)$ も最大になる。

ステップ② 指数部を平方完成する：

ステップ③ 最大値を確認する：$a > 0$ より、$g(x)$ は $x = -\dfrac{b}{2a}$ のとき最大値 $\dfrac{b^2}{4a} - c$ をとる。

ステップ④ $f(x)$ の最大値を求める：

【解法ステップ（イ）：広義積分を求める】

ステップ① 積分を変形する：$e^{-c}$ を外に出す。

ステップ② 指数部を平方完成してから置換する：

ステップ③ $u = \sqrt{a}\!\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)$ と置換する。$du = \sqrt{a}\,dx$ より $dx = \dfrac{du}{\sqrt{a}}$。$x: -\infty \to +\infty$ のとき $u: -\infty \to +\infty$。

ステップ④ $e^{-u^2}$ は偶関数なので：

ステップ⑤ 最終答えをまとめる：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「指数関数は単調増加」という基本性質と「置換積分によるガウス積分への帰着」の2つです。

ガウス積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ は物理・統計でも超重要な公式です。料理に例えると、「ガウス積分という基本のだし」を知っていれば、どんな「味変（パラメータ変化）」にも対応できる、という感じです。置換で $u = \sqrt{a}\left(x + \frac{b}{2a}\right)$ とおくことで、一般のガウス型積分を標準形に変換するテクニックを身につけよう！

🧑 生徒：「ガウス積分の公式は知っているんですが、$f(x) = e^{-ax^2 - bx - c}$ のように $x$ の一次の項がある場合はどう対処するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！そのときは平方完成と置換積分を組み合わせるんだよ。まず指数部を $-a\!\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{b^2}{4a} - c$ と平方完成して、$e^{\frac{b^2}{4a}-c}$ を定数として外に出す。そのあと $u = \sqrt{a}\!\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)$ と置換すると、$\dfrac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}\,du = \dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$ になる。最終的に $\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\cdot e^{\frac{b^2}{4a}-c}$ が答えだよ！」

ガウス積分は統計学・物理学の基礎にもなる大切な公式。確実にマスターしよう！

【この大問で身につく力】

「指数関数の構造を見抜いて平方完成・置換積分を組み合わせる力」と「広義積分を扱う際の $\pm\infty$ への置換テクニック」が身につきます。

大問[I]（2）：カードを引く確率と包除原理（難易度★★★☆☆）

【問題文】

箱の中にAと書かれたカード・Bと書かれたカード・Cと書かれたカードがそれぞれ4枚ずつ、計12枚入っている。男性6人、女性6人が1枚ずつカードを引く（引いたカードは戻さない）。

(ア) Aと書かれたカードを4枚とも男性が引く確率は [D] となる。

(イ) A・B・Cのうち、少なくとも一種類のカードを「4枚とも男性」または「4枚とも女性」が引く確率は [E] となる。

【使う公式・定理】

【解法ステップ（ア）】

ステップ① Aのカード4枚を引く順番を考える。12枚から順に引いていく。

ステップ② 1枚目のAが男性に引かれる確率：$\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

ステップ③ 2枚目のAが男性に引かれる確率（残り11枚中男性5人）：$\dfrac{5}{11}$

ステップ④ 3枚目・4枚目も同様：$\dfrac{4}{10}$、$\dfrac{3}{9}$

ステップ⑤ 全部掛ける：

別解として組み合わせを使う方法もあります：

【解法ステップ（イ）：包除原理の適用】

事象を定義する：
- $A_M$：Aのカード4枚を全て男性が引く
- $B_M$：Bのカード4枚を全て男性が引く
- $C_M$：Cのカード4枚を全て男性が引く
- $A_F, B_F, C_F$：同様に女性が全て引く

ステップ① 各事象の確率（対称性より同じ）：

ステップ② 「男性がいずれか一種類を全部引く」確率：

$A_M, B_M, C_M$ は互いに排反（男性6人でAを4枚全部引くと、Bも全部引くことはできない）なので：

同様に $P(A_F \cup B_F \cup C_F) = \dfrac{1}{11}$。

ステップ③ 「男性が一種類全部引き、かつ女性も別の一種類全部引く」確率（重複除去のため）：

例：$P(A_M \cap B_F)$ を計算する。Aの4枚全部男性・Bの4枚全部女性が引く確率。

待って、より丁寧に考えます。12人が順に引く場合に、Aの4枚を男性6人中4人が引き、Bの4枚を女性6人中4人が引く確率は：

同種の組み合わせは $(A_M, B_F), (A_M, C_F), (B_M, A_F), (B_M, C_F), (C_M, A_F), (C_M, B_F)$ の6通り。

また $(A_M, A_F)$ は不可能（Aのカードは4枚しかない）なので確率0。

よって重複部分の合計：$6 \times \dfrac{1}{154} = \dfrac{6}{154} = \dfrac{3}{77}$

ステップ④ 包除原理を適用：

【藤原先生の解説】

包除原理は「ダブルカウントを修正する」という考え方です。サッカーでいうと「男性チームと女性チームがそれぞれホームランを打った確率」を求めるとき、「同時に両チームがホームランを打った」部分を引き忘れると答えが大きくなってしまう、というイメージです。「足して、重複を引く」という手順を機械的に覚えるのではなく、「なぜ引くのか」を理解しておこう！

【この大問で身につく力】

条件付き確率の積の法則と包除原理を正しく組み合わせて使う力が身につきます。

大問[II]：非負整数行列の等式と証明（難易度★★★★☆）

【問題文】

$X, Y$ をそれぞれ成分が非負整数からなる $2 \times 2$ 行列とし、

とおく。$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

(1) $YX = A$ ならば $a \leq 9$ であることを示せ。特に $c = 0$ ならば $a$ は 1 または 3 であることを示せ。

(2) $BX = XA$ となるための必要十分条件は $a = 3b - 2c$、$d = 2b - 4c$ であることを示せ。

(3) $YX = A$、$XY = B$ を同時に満たす $X$ および $Y$ は存在しないことを示せ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

ステップ① $Y = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$（$p, q, r, s$ は非負整数）とおく。

ステップ② $YX = A$ の $(1,1)$ 成分を比較する：

ステップ③ $p, q, c \geq 0$ より $pa \leq pa + qc = 9$。さらに $p \geq 0$ なので：

もし $a \geq 10$ と仮定すると、$p \geq 1$ のとき $pa \geq 10 > 9$、$p = 0$ のとき $pa = 0$ で $qc = 9$ となる。そして $YX = A$ の $(2,1)$ 成分を比較すると $ra + sc = 3$ で、$r \geq 0, s \geq 0$ より $sc \leq 3$。$p = 0$ のとき $YX$ の $(1,2)$ 成分は $pb + qd = qd$ で、$YX$ の $(1,2)$ 成分は4なので $qd = 4$。

実は最もシンプルな論証は以下：$YX = A$ の $(1,1)$ 成分より $pa + qc = 9$。$p, q, a, c \geq 0$ かつ整数だから $a = 0$ ならば $qc = 9$ で $a = 0 \leq 9$ ✓。$a \geq 1$ ならば $a \cdot p \leq pa + qc = 9$ で、$p \geq 0$ だが $p = 0$ なら $qc = 9 \geq 0$ で問題ない。

もっと直接的に示す：$pa + qc = 9$ かつ $p, q \geq 0$ なので、$a \geq 1$ のとき $a \leq \frac{pa}{1} \leq pa + qc = 9$（$p \geq 1$ と仮定すると成立。$p = 0$ のときは $a$ の値は自由だが）。

正しい論証：$(1,1)$ 成分：$pa + qc = 9$。$q, c \geq 0$ より $qc \geq 0$、したがって $pa \leq 9$。$a \geq 1$ のとき $p \leq \frac{9}{a} \leq 9$。$a = 0$ のとき $a = 0 \leq 9$ ✓。

実は $a \leq pa$ とは言えないので、$(1,1)$ 成分だけでなく $Y$ の非負性を使う必要があります。$pa \leq pa + qc = 9$ より $pa \leq 9$、$p \geq 0$ かつ $p$ は整数。$a$ が10以上なら $p = 0$ しかないが、$YX$ の $(1,1)$ 成分が $qc = 9$、$(2,1)$ 成分が $rc + sc = 3$ より $sc = 3$。また $(1,1)$ 成分と $(2,1)$ 成分の $Y$ 列を比較すると矛盾する可能性を調べる。

より明確な証明：$YX = A$ の $(1,1)$ 成分：

ここで $p, q, a, c$ はすべて非負整数。まず $pa \leq pa + qc = 9$ より $pa \leq 9$。

• $a \geq 1$ かつ $p \geq 1$ なら $a \leq pa \leq 9$。✓
• $p = 0$ のとき、$(*)$ より $qc = 9$。$(1,2)$ 成分：$pb + qd = qd = 4$。$(2,1)$ 成分：$ra + sc = 3$。$(2,2)$ 成分：$rb + sd = 2$。$qc = 9, qd = 4$ より $q \geq 1$。$q$ は $\gcd(9,4) = 1$ の公約数なので $q = 1$。よって $c = 9, d = 4$。$(2,1)$：$ra + 9s = 3$ より $9s \leq 3$、$s = 0$（$s \geq 0$）。$ra = 3$。$(2,2)$：$rb = 2$。$r \geq 1$ として $r | 3$ かつ $r | 2$ より $r = 1$、$a = 3, b = 2$。$a = 3 \leq 9$ ✓。

$c = 0$ のとき $a = 1$ または $a = 3$：

$(*)$ より $pa = 9$。$p, a$ は非負整数で $pa = 9$。$(a, p) \in \{(1,9),(3,3),(9,1)\}$（$a \geq 1$ として）。

$(2,

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