法政大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で君の合格を掴もう！

法政大学 2011年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、法政大学の数学入試の全体像から、2011年度の全大問を徹底的に解き明かします。

この記事で得られる価値はこの3つです：

• ✅ 法政大学数学の出題傾向と攻略法がわかる
• ✅ 2011年度の全問題を丁寧なステップ解説で理解できる
• ✅ 合格につながる学習ロードマップと参考書選びがわかる

数強塾グループ代表の藤原進之介です。法政大学の数学は「標準レベル」と言われていますが、だからこそ基礎の完成度が合否を直接左右します。「難問を1問解けるより、標準問題を確実に全問取れる力」が求められるんです。一緒に丁寧に攻略していきましょう！

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セクション1：法政大学の数学入試の全体像

試験形式・基本データ

法政大学の数学入試は、学部によって試験形式が異なる点が大きな特徴です。

学部	試験時間	問題数	解答形式
法学部・経済学部（A方式）	60分	大問3題	記述式
文学部・経営学部・人間環境学部（A方式）	60分	大問3題	記述式（一部マーク）
社会学部・現代福祉学部	60分	大問3題	記述式

偏差値帯は55〜62程度（学部によって異なる）で、求められる数学力は「教科書の内容を完全習得し、入試標準問題を解ける」レベルです。センター試験（現・共通テスト）で7〜8割取れる実力があれば、しっかり対策すれば十分戦えます。

法政大学数学の頻出単元ランキング（過去10年）

順位	単元	出題頻度
1位	2次方程式・2次関数	★★★★★
2位	確率	★★★★★
3位	微分・積分	★★★★☆
4位	ベクトル	★★★★☆
5位	数列	★★★☆☆
6位	図形と方程式	★★★☆☆
7位	複素数・絶対値	★★★☆☆

他大学との比較

東大・京大のような難関国立大が「論述の完成度・独創的発想」を重視するのに対し、法政大学は「標準的な解法を確実に使いこなせるか」を重視しています。パターンを覚えるだけでなく、「なぜその公式・定理を使うのか」を理解していれば安定した高得点が取れます。

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🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな単元が特に大事ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「2次方程式と確率は毎年ほぼ必ず出るよ！たとえば2次方程式では判別式 $D = b^2 - 4ac$、解と係数の関係（$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$）、そしてグラフの概形で解の存在範囲を調べる手法が頻出なんだ。確率は場合分けの丁寧さと余事象の活用がカギだね。この2単元だけで総得点の40〜50%を占めることもあるから、必ずマスターしておこう！」

基礎を固めれば必ず得点できる──それが法政大学数学の最大の特徴です！

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セクション2：法政大学 2011年度 出題テーマ速報と分析

2011年度 大問別テーマ一覧

【試験区分1：法学部・経済学部等 A方式】

大問	テーマ	単元	難易度
【Ⅰ】	2次方程式の解の性質（証明問題含む）	2次方程式、グラフ	★★★☆☆
【Ⅱ】	垂線の足・図形と方程式	図形と方程式	★★★☆☆
【Ⅲ】	じゃんけんによる確率（数直線上の点の移動）	確率	★★★★☆

【試験区分2：法学部・文学部・経営学部 B方式】

大問	テーマ	単元	難易度
【Ⅰ】	2次方程式の実数解・複素数解・共通解	2次方程式、複素数	★★★☆☆
【Ⅱ】	じゃんけん階段ゲームの確率	確率	★★★★☆
【法・文Ⅲ】	絶対値を含む方程式・不等式と面積	絶対値、図形	★★★★☆
【経営Ⅲ】	正六角形のベクトル	ベクトル	★★★☆☆

【試験区分3：文学部・経営学部・人間環境学部 A方式】

大問	テーマ	単元	難易度
【Ⅰ】	平行四辺形と余弦定理・面積最大化	ベクトル・図形	★★★☆☆
【Ⅱ】	2次関数の判別式と頂点の軌跡（領域問題）	2次関数	★★★★☆
【文学Ⅲ】	組み合わせ（球の配分）	組み合わせ	★★★☆☆
【経営・人間環境Ⅲ】	3次関数の極値・放物線と面積	微分積分	★★★☆☆

2011年度の特徴と合否ラインの分析

2011年度は証明問題が複数出題されたことが特徴的でした。単に答えを出すだけでなく、「なぜそうなるのか」を説明する記述力が問われています。合格ラインは6〜7割程度と推定されます。

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セクション3：全大問 完全解説

大問Ⅰ（試験区分1）：2次方程式の解の性質【難易度★★★☆☆】

【問題文】

2次方程式 $x^2 - x - k = 0 \quad \cdots (*)$ について、次の問いに答えよ。ただし、$k$ は $k > 0$ を満たす実数の定数とする。

(1) $(*)$ は正と負の実数解をもつことを示せ。
(2) $\alpha$ を $(*)$ の負の実数解とする。$\alpha > -k$ を示せ。
(3) $\beta$ と $\alpha$ をそれぞれ $(*)$ の正と負の実数解とする。$(\beta - \alpha)^2 = \beta^3 - \alpha^3$ が成り立つような $k$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
グラフによる解の存在判定	$f(c) \cdot f(d) < 0$ ならば $c < x < d$ の範囲に実数根が存在
解と係数の関係	$\alpha + \beta = \frac{b}{a}$（の符号に注意）、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$
因数分解の公式	$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2)$

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【解法ステップ：(1)の証明】

ステップ① $f(x) = x^2 - x - k$ とおき、グラフ的に考える方針を立てる。

下に凸な放物線 $y = f(x)$ が「正と負の両方に実数根をもつ」ためには、$f(0) < 0$ であることが必要十分条件。

ステップ② $f(0)$ を計算する：

ステップ③ $k > 0$ の条件を使う：

これにより、放物線 $y = f(x)$ は $x = 0$ の左右に1つずつ実数根を持つことがわかる。（証明終）

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【解法ステップ：(2)の証明】

ステップ① $x = -k$ での値 $f(-k)$ を計算して、符号を調べる。

ステップ② $k > 0$ より：

ステップ③ (1) より $f(0) = -k < 0$ なので、$f(-k) > 0$ と $f(0) < 0$ から、中間値の定理より：

が成立。特に $\alpha > -k$ が示された。（証明終）

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【解法ステップ：(3) kの値の計算】

ステップ① 解と係数の関係を立てる：

ステップ② $(\beta - \alpha)^2$ を変形する：

ステップ③ $\beta^3 - \alpha^3$ を因数分解する：

また $\beta > \alpha$ より $\beta - \alpha = \sqrt{(\beta-\alpha)^2} = \sqrt{1+4k}$

よって：

ステップ④ 条件式 $(\beta - \alpha)^2 = \beta^3 - \alpha^3$ に代入：

$\sqrt{1+4k} > 0$ なので両辺を $\sqrt{1+4k}$ で割ると：

ステップ⑤ 両辺を2乗：

$k > 0$ より：

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【藤原先生の解説】

🧑 生徒：「(3)で $(\beta - \alpha)^2 = \beta^3 - \alpha^3$ が出てきたとき、どこから手をつければいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「これは解と係数の関係を使って $\alpha + \beta$, $\alpha\beta$ で全部表すのがポイントだよ。$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ という恒等式と、$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta-\alpha)[(\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta]$ という因数分解の公式を使って整理していくんだ。こうすると $\alpha$, $\beta$ の個別の値を求めなくても方程式が解けてしまう。これが解と係数の関係の強力なところだよ！」

この大問で身につく力：「グラフを使って解の存在範囲を論証する力」と「解と係数の関係を式変形に活用する計算力」が鍛えられます。

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大問Ⅱ（試験区分1）：垂線と図形【難易度★★★☆☆】

【問題文】

$xy$ 平面上の2点 $A(0, -4)$, $B(6, 3)$ から直線 $y = 2x + 1$ に下ろした垂線をそれぞれ $AC$, $BD$ とする。また点 $E$ は線分 $CD$ 上にある。

(1) $AE = 5$, $BE = 2\sqrt{10}$ のとき（参考：OCRに一部読み取り誤りあり、解答より逆算）
(2) $\angle AEB = 90°$ のとき、$E$ の座標を求めよ。
(3) $\angle AEC = \angle BED$ のとき、$E$ の座標を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
点と直線の距離	$d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
垂線の足の公式	点から直線への垂線の足は、連立方程式で求める
角の二等分線定理	$\angle AEC = \angle BED$ のとき、$E$ は $CD$ を $AC : BD$ に内分

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【解法ステップ：垂線の足Cの座標】

ステップ① 直線 $y = 2x + 1$ の傾きは $2$ なので、$A(0, -4)$ からの垂線 $AC$ の傾きは $-\dfrac{1}{2}$

ステップ② 直線 $AC$ の方程式：

ステップ③ $y = 2x + 1$ と $y = -\dfrac{1}{2}x - 4$ の連立：

よって $C(-2, -3)$

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【解法ステップ：垂線の足Dの座標】

ステップ① $B(6, 3)$ からの垂線 $BD$ の方程式：

ステップ② $y = 2x + 1$ と連立：

よって $D(2, 5)$

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【各辺の長さ確認】

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【解法ステップ：(2) $\angle AEB = 90°$ のとき】

ステップ① $E$ は線分 $CD$ 上にある。$C(-2,-3)$, $D(2,5)$ を結ぶ線分を $t : (1-t)$（$0 \leq t \leq 1$）で内分する点を $E$ とおく：

ステップ② $\angle AEB = 90°$ は $\vec{EA} \cdot \vec{EB} = 0$ と同値：

ステップ③ 内積を計算：

ステップ④ $0 \leq t \leq 1$ の確認：

$t = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx \dfrac{2 + 1.41}{4} \approx 0.85$ ✅

$t = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \approx \dfrac{2 - 1.41}{4} \approx 0.15$ ✅

ステップ⑤ 対応する座標：

$t = \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$ のとき：

$t = \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$ のとき：

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【解法ステップ：(3) $\angle AEC = \angle BED$ のとき】

ステップ① これは「$E$ が $AC$ と $BD$ のなす角を二等分する」という条件です。$E$ は線分 $CD$ の内分点なので、角の二等分線定理の逆より $E$ は $CD$ を $AC : BD = \sqrt{5} : 2\sqrt{5} = 1 : 2$ に内分します。

ステップ② $C(-2,-3)$, $D(2,5)$ を $1:2$ に内分する点：

この大問では、「垂線の足を正確に求める計算力」と「図形的な条件を座標で表す変換力」が身につきます。

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大問Ⅲ（試験区分1）：じゃんけんによる確率【難易度★★★★☆】

【問題文】

原点から出発し数直線上を動く点 $P$ は、甲乙の2人によるじゃんけんの結果に従って移動する。
- (i) 甲が勝ったとき：$+1$ 移動
- (ii) 乙が勝ったとき：$-1$ 移動
- (iii) あいこ：移動しない

じゃんけんの結果の確率：1回のじゃんけんで甲が勝つ確率・乙が勝つ確率・あいこになる確率は全て $\dfrac{1}{3}$

(1) 2回終了後、$P$ の座標が $1$ となる確率
(2) 4回終了後、$P$ が原点にある確率
(3) 6回終了後、$P$ の原点からの距離が $3$ 以下となる確率

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【使う公式・定理】

公式名	内容
多項式定理（3変数）	$n$ 回中 $x$ 回事象A、$y$ 回事象B、$z$ 回事象Cが起きる確率：$\dfrac{n!}{x!\,y!\,z!} p^x q^y r^z$
余事象	$P(\text{求めたい}) = 1 - P(\overline{\text{求めたい}})$

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【解法ステップ：(1)】

ステップ① 甲が勝った回数を $x$、乙が勝った回数を $y$、あいこの回数を $z$ とおく：

ステップ② 解く：

$x = y + 1$, $2y + 1 + z = 2$ より $2y + z = 1$

非負整数解：$(y, z) = (0, 1)$ → $(x, y, z) = (1, 0, 1)$ のみ

ステップ③ 確率を計算：

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【解法ステップ：(2)】

ステップ① 条件は：

ステップ② 非負整数解の列挙：

$x=y$	$z$
$0$	$4$
$1$	$2$
$2$	$0$

ステップ③ 各場合の確率を計算：

$(0,0,4)$：$\dfrac{4!}{0!\,0!\,4!} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 = 1 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{1}{81}$

$(1,1,2)$：$\dfrac{4!}{1!\,1!\,2!} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 = 12 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{12}{81}$

$(2,2,0)$：$\dfrac{4!}{2!\,2!\,0!} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{6}{81}$

ステップ④ 合計：

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【解法ステップ：(3) 余事象を使う】

ステップ① 余事象「距離が4以上」＝「$|x - y| \geq 4$」を満たす場合を数える：

ステップ② $x - y = k$（$k \geq 4$）の場合を列挙（$x - y = -k$ の場合は対称性より同数）：

$x - y = 4$：$x = y + 4$、$2y + 4 + z = 6$ → $2y + z = 2$

• $(y, z) = (0, 2)$：$(x,y,z) = (4,0,2)$、確率 $= \dfrac{6!}{4!\,0!\,2!}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6 = 15 \cdot \dfrac{1}{729} = \dfrac{15}{729}$
• $(y, z) = (1, 0)$：$(x,y,z) = (5,1,0)$、確率 $= \dfrac{6!}{5!\,1!\,0!}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6 = 6 \cdot \dfrac{1}{729} = \dfrac{6}{729}$

$x - y = 5$：$x = y + 5$、$2y + 5 + z = 6$ → $2y + z = 1$

• $(y, z) = (0, 1)$：$(x,y,z) = (5,0,1)$、確率 $= \dfrac{6!}{5!\,0!\,1!} \cdot \dfrac{1}{729} = 6 \cdot \dfrac{1}{729} = \dfrac{6}{729}$

$x - y = 6$：$x = y + 6$、$2y + 6 + z = 6$ → $2y + z = 0$

• $(y, z) = (

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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