横浜市立大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

横浜市立大学 2017年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、横浜市立大学の2017年度（平成29年度）数学を理学系・医学科の両方について、問題の背景・解法の考え方・答案の書き方まで、余すことなく丁寧に解説します。

この記事で得られる3つの価値はこちら：

• ✅ 横浜市立大学数学の出題傾向と合格戦略を完全把握できる
• ✅ 2017年度全大問の解法ステップを途中計算まで丁寧に追える
• ✅ よくある間違い・参考書ロードマップで今日から学習を始められる

横浜市立大学の数学は「標準〜やや難」の問題が揃っており、特に医学科は高い思考力が求められます。でも大丈夫！一緒に一歩ずつ攻略していこう！

セクション2：横浜市立大学の数学 — 入試の全体像

試験形式と基本情報

偏差値帯と求められる数学レベル

横浜市立大学の偏差値は学部によって異なりますが、国際教養・理学・データサイエンス学部では概ね60前後、医学科は70前後で、旧帝大に準じるレベルが求められます。数学では、公式の丸暗記では通用せず、「なぜその手法を使うのか」という本質的な理解が試されます。

過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

横浜市立大学の過去問を分析すると、以下の単元が繰り返し登場します：

他大学との違い・横浜市立大学数学の特徴

東京大学が「発想力と論述の美しさ」を重視するのに対して、横浜市立大学は「基礎〜標準の知識を組み合わせる実装力」を重視します。特に以下の点が特徴的です：

1. 誘導形式が多い：(1)→(2)→(3)と段階的に誘導されるため、前の小問の結果を次に使う構造になっている
2. 証明問題が必ず出る：論述力が試される
3. 応用・融合問題：2017年度IV番のように「微分方程式×実験データ」という理系らしい融合問題が出る
4. 医学科は計算量が多い：精密な計算力が要求される

🧑 生徒：「横浜市立大学の数学って、どんな勉強法が一番効果的ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「横浜市立大学の数学では、誘導形式の問題がとても多いんだ。だから、まず(1)を解いて、そこで得た結果を(2)に活かして…という流れを意識した読解力が大事なんだよ。たとえば2017年度の【II】は、(1)で得た和積公式の変形を(2)の望遠鏡式展開（テレスコーピング）に使い、さらに(3)の不等式証明に使う。まるでレゴブロックを積み上げるようにね！基礎公式をしっかり定着させてから、過去問演習で『つなぎ方』を鍛えよう。」

この大学の数学の本質は「基礎知識の精密な運用力」にあります。焦らず一緒に積み上げていこう！

セクション3：2017年度 出題テーマ速報と分析

2017年度 出題テーマ一覧

理学系 大問構成

医学科 大問構成

難易度評価と得点戦略

合格ラインの目安：理学系で70〜75%、医学科で80%以上が目標。

• 確実に取るべき問題：【I】全問、【II】(1)〜(2)、【IV】(1)(2)
• 差をつけられる問題：【II】(3)の不等式証明、【III】(4)(5)の極限
• 捨て問の判断：時間内で解けない場合は【III】(5)の詳細計算を後回しに

前年度との傾向変化：2017年度は「応用・融合問題」（【IV】の微分方程式）が充実しており、理系らしい出題。また【III】では確率と数列の極限が組み合わさっており、複合的な思考力が求められた年度です。

セクション4：全大問 問題・解説

大問1（理学系・医学科共通）【I】小問集合（難易度★★★☆☆）

【I】(1) 約分問題 — ユークリッドの互除法

【問題文】

を約分して、既約分数にせよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

• ステップ① 大きい方を小さい方で割って余りを求める：

• ステップ② さらに互除法を適用する：

• ステップ③ 余りが0になったので、$\gcd(298767, 148953) = 861$

• ステップ④ 各数を861で割る：

【藤原先生の解説】

ユークリッドの互除法は「料理のレシピ切り捨て法」みたいなものだよ。大きなパンを小さなパンで割って余りを出し、その余りでまた割って…を繰り返すことで、「二つのパンに共通する最大の単位（最大公約数）」を見つけるんだ。148953も298767もどちらも861で割り切れる、という事実がこの計算で明らかになるよ。

🧑 生徒：「ユークリッドの互除法って、どの順番で計算すればいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「必ず大きい数÷小さい数の順でやるんだ。$\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$（$r = a \bmod b$）というユークリッドの互除法の等式を繰り返し使う。具体的には、$298767 = 2 \times 148953 + 861$、$148953 = 173 \times 861 + 0$の2ステップで完了だよ。余りが0になった時点の除数、つまり861が最大公約数になる！」

【この小問で身につく力】 大きな整数の最大公約数を素因数分解に頼らず効率的に求める計算力と、アルゴリズム的思考力。

【I】(2) 定積分 — 置換積分法

【問題文】

理学系：$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \frac{\sin x}{\cos 2x}\,dx$

医学科：$\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\cos 2x}\,dx$

【使う公式・定理】

【解法ステップ（理学系）】

• ステップ① 倍角公式で分母を変形する：

よって被積分関数は：

• ステップ② $t = \sin x$ と置換する。$dt = \cos x\,dx$ だが、分子に $\cos x$ がない…

実は $dt = \cos x \,dx$ なので $dx = \frac{dt}{\cos x}$。ここで分子の $\sin x$ に注目。

$x: 0 \to \pi/4$ のとき $t: 0 \to \frac{1}{\sqrt{2}}$

…これは複雑になる。別の置換を考えよう。

• ステップ③ より自然な方法：$u = \cos x$、$du = -\sin x\,dx$

• ステップ④ 部分分数分解を行う：

整理すると：

• ステップ⑤ 上端（$u=1$）と下端（$u = \frac{1}{\sqrt{2}}$）を代入：

上端：$\log|\sqrt{2}-1| - \log|\sqrt{2}+1|$

下端：$\log|1-1| - \log|1+1| = \log 0 - \log 2$

$u = 1/\sqrt{2}$ を代入すると $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 = 0$ となり $\log 0$ が発散するため、この積分は発散する（広義積分）か、問題の設定を再確認する必要がある。

実際、$\cos 2x = 0$ となる $x = \pi/4$ は分母がゼロになる点なので、理学系の $\int_0^{\pi/4}$ は 広義積分 となる。

• ステップ⑥ 計算を整理する：

上端 $u=1$：$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{1} = 3-2\sqrt{2}$

下端 $u \to \frac{1}{\sqrt{2}}^-$：$\sqrt{2}u \to 1^-$ なので $\sqrt{2}u-1 \to 0^-$、$\sqrt{2}u+1 \to 2$

よって $\log\left|\frac{\sqrt{2}u-1}{\sqrt{2}u+1}\right| \to -\infty$

この広義積分は発散します。ただし問題の意図として有限値を求める場合は、積分区間や被積分関数の解釈を確認してください。

医学科の場合（$\pi/3$ から $\pi/2$）：

$u = \cos x$、$u: \cos(\pi/3) = 1/2$ から $\cos(\pi/2) = 0$

$0 < u < 1/\sqrt{2}$ の範囲では $2u^2 - 1 < 0$ なので：

• $u = 1/2$：$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2} = \frac{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-2)}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)} = \frac{(2-\sqrt{2})^2}{-2}$（符号注意）

実際に数値計算すると：

（これは負の値。$\log$内が1未満のため）

【この小問で身につく力】 置換積分と部分分数分解の組み合わせ、広義積分の扱いに対する感覚。

【I】(3) 4点を通る球の半径（難易度★★★★☆）

【問題文】

空間上の4点 $A, B, C, D$ が $AB=1,\ AC=\sqrt{2},\ AD=2\sqrt{2},\ \angle BAC=45°,\ \angle CAD=60°,\ \angle DAB=90°$ をみたす。この4点を通る球の半径を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

• ステップ① 内積を計算する：

• ステップ② 球の中心 $O$ を $\overrightarrow{AO} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} + u\overrightarrow{AD}$ と表す。

$O$ は4点を通る球の中心なので $|OA|=|OB|=|OC|=|OD|$。

これより：

• ステップ③ 連立方程式を立てる。$\overrightarrow{AO} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} + u\overrightarrow{AD}$ を代入：

• ステップ④ 連立方程式を解く：

第1式：$s + t = \frac{1}{2}$ …(i)

第2式：$s + 2t + 2u = 1$ …(ii)

第3式：$2t + 8u = 4$ すなわち $t + 4u = 2$ …(iii)

(ii)-(i)：$t + 2u = \frac{1}{2}$ …(iv)

(iii)-(iv)：$2u = \frac{3}{2}$、よって $u = \frac{3}{4}$

(iv)より：$t = \frac{1}{2} - 2\cdot\frac{3}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$

(i)より：$s = \frac{1}{2} - t = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

• ステップ⑤ $|\overrightarrow{AO}|^2$ を計算して半径 $R = |OA|$ を求める：

【この小問で身につく力】 空間ベクトルを用いた球の中心決定の手法。内積の連立方程式を解く計算力。

【I】(4) シグモイド関数の微分と最大値（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

の導関数 $f'(x)$ の最大値を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

• ステップ① $f(x)$ を微分する：

• ステップ② $t = e^{-x}$ と置くと、$t > 0$（全実数 $x$ に対して）。

• ステップ③ $h(t) = \frac{t}{(1+t)^2}$ の最大値を求める：

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