法政大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で得られること

法政大学 2019年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾グループ代表の藤原進之介が、法政大学2019年度の数学全問題を丁寧・完全に解説します。

この記事を読めば、以下の3つの価値を得られます：

• ✅ 全大問の解法を完全理解：なぜその公式を使うのか、背景の考え方まで徹底解説
• ✅ 法政大学数学の傾向と対策：頻出単元・難易度・合否を分けるポイントが丸わかり
• ✅ 合格に直結する学習ロードマップ：今日から使える参考書・勉強法を時期別に紹介

👨‍🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は、基礎をしっかり積み上げた受験生が確実に点を取れる試験です。難問で焦る必要はない！まずはこの解説で、一問一問を一緒に丁寧に攻略していきましょう。絶対大丈夫、一緒にやっていこう！」

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【セクション2】法政大学の数学：入試の全体像

試験形式・基本データ

項目	内容
試験時間	60分
大問数	マークシート形式・大問複数
解答形式	マークシート（空欄補充）
出題範囲	数学ⅠAⅡB（理系は数Ⅲも含む学部あり）
難易度帯	標準レベル（偏差値55〜60程度）

法政大学の数学はマークシート形式が基本です。論述・記述が不要なぶん「答えが合っているかどうか」がすべて。逆に言えば、計算ミス一発で失点してしまう怖さもあります。だからこそ、丁寧な計算力が命です！

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の偏差値は学部によって異なりますが、おおよそ55〜63程度。数学のレベルとしては、

• 教科書の例題〜練習問題レベルを完全習得
• 青チャート（チャート式 基礎からの数学） のコンパス3〜4程度の問題が解ける
• 典型的な解法パターンを20〜30個程度マスターしている

この水準に達していれば、十分合格圏内に入れます。

過去5〜10年の出題傾向まとめ：頻出単元ランキング

法政大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

順位	単元	出題頻度
1位	確率・場合の数	★★★★★
2位	図形と方程式（円・直線）	★★★★☆
3位	数列・漸化式	★★★★☆
4位	ベクトル	★★★★☆
5位	対数・指数関数	★★★☆☆
6位	二次関数・放物線	★★★☆☆
7位	集合と論理	★★★☆☆
8位	整数問題・n進法	★★★☆☆

この傾向を踏まえると、確率と図形は必ず得点源にすることが合格への近道です。

他大学との違い・法政大学数学の特徴

東大・京大・早慶は論述・証明問題が主体で、発想力や論理展開力が問われます。一方、法政大学はマークシート形式で典型問題が中心。「覚えた公式をきちんと使いこなせるか」が勝負です。MARCHの中でも法政大学は比較的オーソドックスな出題が多く、基礎力重視の傾向があります。

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🧑 生徒：「法政大学の数学って、どのレベルの問題が多く出るんですか？難しい発想が必要な問題はありますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学は典型問題パターンが中心だよ。たとえば確率なら『余事象の確率：$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$』、図形なら『点と直線の距離の公式：$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$』、ベクトルなら内分点の公式など、教科書に載っている基本定理を確実に使いこなせれば十分戦えるよ！突飛な発想より、基礎の完成度が合否を分けるんだ。」

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【セクション3】2019年度 出題テーマ速報と分析

2019年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	難易度
[1]	対称式・代数計算	★★☆☆☆
[2]	確率（余事象）	★★★☆☆
[3]	図形と方程式（円と直線）	★★★☆☆
大問2 Ⅰ	集合（2桁の偶数）	★★☆☆☆
大問2 Ⅰ	n進法（二進法・五進法）	★★★☆☆
大問2 Ⅰ	ベクトル（内積・内分点）	★★★☆☆
大問2 [Ⅱ]	放物線への共通接線	★★★★☆
大問3 [Ⅰ]	放物線の接線と交点	★★★☆☆
大問3 [Ⅱ]	さいころ確率（得点問題）	★★★★☆
大問3 [Ⅲ]	ベクトル（交点・面積）	★★★★☆

難易度評価と得点戦略

2019年度は全体的に標準レベル〜やや標準上の問題構成でした。確実に得点すべき問題（★★☆☆☆〜★★★☆☆）が大半を占めており、対称式・集合・基本確率・ベクトル内分点はほぼ必答問題です。

合格ラインとしては、全体の65〜70%程度の得点が目安。難易度の高い大問3[Ⅱ][Ⅲ]で迷ったとしても、基本問題で確実に点を積み上げることが最重要戦略です。

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【セクション4】全大問 問題・解説

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大問[1]：対称式と代数計算（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ とする。

(1) $x + y = 4$ のとき、$x^2 + y^2$ を求めよ。

(2) $x^2 + y^2 = 4$ のとき、$x + y$ を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
対称式の基本変形	$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
分数の通分	$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$

【解法ステップ（1）】

• ステップ① 条件式を変形する：

• ステップ② $x + y = 4$ を代入して $xy$ を求める：

• ステップ③ 対称式の公式に代入：

【解法ステップ（2）】

• ステップ① $x + y = k$ とおく。条件 $\frac{x+y}{xy} = 2$ より：

• ステップ② $x^2 + y^2 = 4$ に対称式の公式を使う：

• ステップ③ $k^2 - k = 4$ を解く：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「直接計算しない」こと。$x$ と $y$ をバラバラに求めようとすると大変ですが、$x+y$ と $xy$ という「まとまり」で考えると一気にシンプルになります。これは料理で言えば「素材をバラバラに扱うより、まとめて鍋に入れる」感覚。対称式は $(x+y)$ と $xy$ のセットで処理するというのが鉄則です！

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🧑 生徒：「(2)で $x^2 + y^2 = 4$ から $x+y$ を求めるとき、どうして $k$ を置いて変形するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「それはね、対称式の基本定理を使うためだよ。$x+y = k$、$xy = \frac{k}{2}$（条件から導出）と置くと、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = k^2 - k$ という式に変換できる。これが等しい4になるから $k^2 - k - 4 = 0$ という二次方程式が出てくるんだ。二次方程式の解の公式 $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使うと $k = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ が得られるよ！」

【この大問で身につく力】
対称式の変形力と、「まとまりで考える」代数的思考力。この力は数ⅡBの整式・方程式全体に活きてくる。

💪 対称式の変形は受験数学の基本中の基本！ここをマスターすれば連立方程式系の問題が全部楽になるよ！

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大問[2]：確率（余事象・色分け問題）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

袋の中に赤球3個、白球2個、黒球4個の計9個の球が入っている。

(1) 同時に2個取り出すとき、2種類の色が出る確率を求めよ。

(2) 同時に3個取り出すとき、2種類の色が出る確率を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
組合せ	$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
余事象の確率	$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

【解法ステップ（1）】

• ステップ① 全事象の数：

• ステップ② 「1種類のみ」＝余事象を計算：

• ステップ③ 余事象から2種類の確率を求める：

【解法ステップ（2）】

• ステップ① 全事象の数：

• ステップ② 「1種類のみ」の確率：

• ステップ③ 「3種類すべて含む」の確率：

• ステップ④ 2種類の確率を余事象から求める：

【藤原先生の解説】

確率の問題で「2種類」を直接数えようとすると、「赤と白」「赤と黒」「白と黒」の3パターンを全部計算しないといけなくて大変！でもここで「余事象」という逆転の発想を使うと、「1種類のみ」「3種類すべて」だけ数えれば済む。これはスポーツで言えば「攻めで点を取るより、相手の失点を数える守備的戦略」。余事象を使うのは、直接数えるより楽なときというのが判断の基準です！

【この大問で身につく力】
余事象の発想力と、場合の数の丁寧な列挙力。確率の問題では「どの事象を余事象にするか」の判断が最重要。

💪 余事象は確率問題の「最強の武器」！「2種類」「ちょうど〇個」系の問題では必ず使えるか確認しよう！

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大問[3]：図形と方程式（円と直線）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

円 $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 9 = 0$ と直線 $y = \frac{3}{4}x + 2$ の2つの交点をA、Bとおく。

(1) $AB$ の長さを求めよ。

(2) $AP \leq 2\sqrt{5}$ かつ $BP \leq 2\sqrt{5}$ を満たす点P全体からなる領域の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
円の標準形	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
点と直線の距離	$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
弦の長さ	$AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

【解法ステップ（1）】

• ステップ① 円を標準形に変換：

中心 $C(2, 1)$、半径 $r = \sqrt{14}$

• ステップ② 直線を標準形に変換：

• ステップ③ 中心Cから直線までの距離を計算（点と直線の距離の公式）：

• ステップ④ 弦の長さを求める：

【解法ステップ（2）】

• ステップ① 条件 $AP \leq 2\sqrt{5}$ かつ $BP \leq 2\sqrt{5}$ は「点Aを中心とする半径 $2\sqrt{5}$ の円」と「点Bを中心とする半径 $2\sqrt{5}$ の円」の共通部分（交わりの領域）を表す。

• ステップ② $AB = 2\sqrt{10}$ であり、各円の半径は $2\sqrt{5}$ である。A、Bを結ぶ線分の中点をMとすると $AM = \sqrt{10}$。

各円の中心A、Bから交点までの距離を求める。円Aと円Bの交点をQ、Q'とすると、$AQ = 2\sqrt{5}$、$AB = 2\sqrt{10}$。

• ステップ③ $\angle QAB$（または弧に対する中心角）を求める：

よって $\angle QAM = 45°$、$\angle QAQ' = 90°$（中心角）

• ステップ④ 扇形と三角形の面積計算：

円Aの扇形QAQ'の面積（中心角 $90° = \frac{\pi}{2}$）：

三角形QAQ'の面積：$QQ' = 2\sqrt{10}$、高さ $AM' = AM = \sqrt{10}$

• ステップ⑤ 2つの円の共通部分の面積（対称性を使う）：

【藤原先生の解説】

(1)は「弦の長さ＝$2\sqrt{r^2 - d^2}$」という公式を使う典型問題。(2)は「2つの円の交わる領域の面積」を扇形と三角形で求める発展問題。2つの円が対称的に交わっているので、片方の円の「おうぎ形−三角形」を2倍するというのが定石です。レンズ型の面積問題とも呼ばれる典型パターンをしっかりマスターしよう！

【この大問で身につく力】
円の標準形への変換・点と直線の距離・弦の長さ・2円の交わりの面積を一連の流れで処理する総合的な図形力。

💪 円の問題は「まず標準形に直す！」これが合言葉。標準形にすれば中心と半径が一目でわかるよ！

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大問2Ⅰ：集合（2桁の偶数・6の倍数・11の倍数）（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

$U$を2桁の正の偶数全体の集合とする。$U$の要素のうち6の倍数全体の集合を$V$、11の倍数全体の集合を$W$とする。

$n(U)$、$n(W)$、$n(\overline{V \cup W})$（$V \cup W$ の補集合の要素数）を求めよ。

【解法ステップ】

• ステップ① $n(U)$ を求める：

2桁の正の偶数：$10, 12, 14, \ldots, 98$

• ステップ② $n(V)$（Uの要素のうち6の倍数）を求める：

2桁の6の倍数：$12, 18, 24, \ldots, 96$

• ステップ③ $n(W)$（Uの要素のうち11の倍数）を求める：

2桁の偶数かつ11の倍数 $\Rightarrow$ 22の倍数：$22, 44, 66, 88$

• ステップ④ $n(V \cap W)$（6かつ11の倍数の偶数 $=$ 66の倍数）：

• ステップ⑤ 包除原理で $n(V \cup W)$ を求める：

• ステップ⑥ 補集合の要素数：

【藤原先生の解説】

集合の問題は「数を一個ずつ丁寧に数える」か「公式（包除原理）を使う」かの2択。「6の倍数かつ11の倍数」＝「66の倍数」という視点が大切！これは整数の最小公倍数 $\text{lcm}(6, 11) = 66$ を使います。

【この大問で身につく力】
集合の要素数の数え方（包除原理）と、倍数の個数を等差数列で数える方法。

💪 集合問題は「ベン図」を書いて視覚化すると間違いが激減するよ！試験でも必ず図を描こう！

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大問2Ⅰ：n進法（二進法・五進法）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$11100_{(2)}$ を五進法で表せ。また、$2143_{(5)} + 1343_{(5)}$ を計算せよ。

【解法ステップ】

• ステップ① $11100_{(2)}$ を十進法に変換：

• ステップ② 28を五進法に変換（28を5で割り続ける）：

余りを下から読むと：$\boxed{103_{(5)}}$

• ステップ③ 五進法の足し算：$2143_{(5)} + 1343_{(5)}$

一の位：$3 + 3 = 6 = 1 \times 5 + 1$ → 1を書き、1を繰り上げ

五の位：$4 + 4 + 1(\text{繰り上がり}) = 9 = 1 \times 5 + 4$ → 4を書き、1を繰り上げ

$5^2$の位：$1 + 3 + 1 = 5 = 1 \times 5 + 0$ → 0を書き、1を繰り上げ

$5^3$の位：$2 + 1 + 1 = 4$ → 4を書く

【藤原先生の解説】

$n$進法は「一旦十進法に戻す」か「$n$進法の

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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