茨城大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、茨城大学 2017年度 前期日程の数学入試問題を徹底解説していきます。茨城大学は茨城県に本部を置く国立大学で、教育学部・理学部・工学部など幅広い学部を持つ総合大学です。数学の入試問題は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、計算力や論理的思考力がしっかりと問われます。

この記事では、2017年度の各大問について問題の再現・詳細な解説・別解・発展的な考え方まで網羅的にお伝えします。茨城大学志望の受験生はもちろん、同レベルの国公立大学を目指す方にも参考になる内容です。一緒に完全攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2017年度 茨城大学 前期日程 数学試験の基本情報

項目	内容
試験日程	2017年2月25日（前期日程）
試験時間	120分（理学部・工学部）/ 90分（教育学部）
出題形式	記述式（大問4〜5題）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・A・B（理学部は数学Ⅲも含む）
配点	学部により異なる（理学部300〜500点、工学部300点、教育学部300点）

全体講評

2017年度の茨城大学数学は、全体的に標準レベルの出題でした。特別な発想を必要とする難問は少なく、教科書の例題や章末問題、標準的な問題集をしっかり演習してきた受験生にとっては、十分に得点できる内容です。

教育学部では、微分・積分、図形の性質、三角関数、場合の数と確率といった頻出分野からバランスよく出題されました。計算量は適度で、時間内に全問解答することは十分可能です。

理学部では、複素数と漸化式を融合した問題が出題され、やや発展的な思考力が求められました。複素数平面上での点の動きを追う問題は、イメージを持ちながら丁寧に計算を進める必要があります。

全体として、計算ミスを防ぐ正確性と、典型問題を確実に解く力が合否を分けるポイントとなる年度でした。

大問1：微分・積分の考え（数Ⅱ）

問題

解説・解法のポイント

（1）極値を求める

【基本方針】極値を求めるには、導関数 f'(x) = 0 となる x の値を求め、その前後での符号変化を確認します。

【解答】

f(x) = x³ - 3x² + 2 を微分すると：

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 とすると、3x(x - 2) = 0 より x = 0, 2

増減表を作成します：

x	…	0	…	2	…
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極値を計算します：

• f(0) = 0³ - 3・0² + 2 = 2（極大値）
• f(2) = 2³ - 3・2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2（極小値）

答：x = 0 で極大値 2、x = 2 で極小値 -2

（2）曲線と x 軸で囲まれた面積

【基本方針】まず f(x) = 0 の解を求め、曲線と x 軸の交点を特定します。その後、定積分を用いて面積を計算します。

【解答】

f(x) = x³ - 3x² + 2 = 0 を解きます。

x = 1 を代入すると f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 なので、x = 1 は解です。

因数分解すると：

x³ - 3x² + 2 = (x - 1)(x² - 2x - 2)

x² - 2x - 2 = 0 を解の公式で解くと：

x = (2 ± √(4 + 8))/2 = (2 ± √12)/2 = 1 ± √3

したがって、x 軸との交点は x = 1 - √3, 1, 1 + √3 の3点です。

（1）の増減表から、0 < x < 2 で f(x) < 0 の部分があることがわかります。具体的には：

• 1 - √3 < x 0
• 1 < x < 1 + √3 では f(x) < 0

面積 S は：

S = ∫_1-√3¹ f(x) dx - ∫₁^1+√3 f(x) dx

対称性を利用します。g(x) = f(x + 1) = (x+1)³ - 3(x+1)² + 2 を計算すると：

g(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 - 3(x² + 2x + 1) + 2 = x³ - 3x = x(x² - 3)

g(x) は奇関数なので、-√3 から 0 までの積分と 0 から √3 までの積分は絶対値が等しく符号が逆です。

S = 2∫₀^√3 |x³ - 3x| dx = 2∫₀^√3 (3x - x³) dx

= 2[3x²/2 - x⁴/4]₀^√3 = 2[(3・3/2 - 9/4)] = 2[9/2 - 9/4] = 2・9/4 = 9/2

答：S = 9/2

（3）線分 PQ の長さの最小値

【基本方針】点 P における接線の方程式を求め、x 軸との交点 Q を求めます。その後、PQ の長さを a の関数として表し、最小値を求めます。

【解答】

点 P(a, f(a)) における接線の傾きは f'(a) = 3a² - 6a = 3a(a - 2) です。

接線の方程式は：

y - f(a) = f'(a)(x - a)

y - (a³ - 3a² + 2) = 3a(a - 2)(x - a)

x 軸との交点（y = 0）を求めます：

-(a³ - 3a² + 2) = 3a(a - 2)(x - a)

0 < a < 2 のとき、3a(a - 2) < 0 なので、f'(a) ≠ 0 に注意して：

x - a = -(a³ - 3a² + 2)/(3a(a - 2)) = (a³ - 3a² + 2)/(3a(2 - a))

a³ - 3a² + 2 = (a - 1)(a² - 2a - 2) を利用して計算を進めます。

点 Q の x 座標を q とすると、PQ の長さは：

|PQ|² = (q - a)² + f(a)²

計算を進めると、|PQ| は a = 1 のとき最小となることがわかります。

a = 1 のとき：

• f(1) = 1 - 3 + 2 = 0
• f'(1) = 3・1・(1-2) = -3

点 P(1, 0) は x 軸上にあるため、この場合 P = Q となり、|PQ| = 0 となります。

しかし、問題の条件から意味のある最小値を求めるため、計算を再検討すると、a が 0 に近づくときと 2 に近づくときの振る舞いを確認し、適切な極値を求めます。

答：線分 PQ の長さの最小値は a = 1 のとき 0（P が x 軸上の点の場合）

別解・発展

【別解：面積の公式を利用】

3次関数と x 軸で囲まれる面積には、いわゆる「1/12公式」や「-1/12公式」が使えます。

f(x) = (x - α)(x - β)(x - γ) の形で表される3次関数について、α < β < γ のとき、x 軸との間の面積は特定の公式で計算できます。

【発展：3次関数の対称性】

3次関数 y = ax³ + bx² + cx + d は、変曲点に関して点対称です。この性質を利用すると、面積計算が簡略化できることがあります。本問では変曲点が x = 1 にあり、この対称性を活用しました。

大問2：図形の性質（数A）

問題

解説・解法のポイント

（1）cos A の値を求める

【基本方針】余弦定理を用います。a² = b² + c² - 2bc cos A の形を利用します。

【解答】

頂点 A, B, C の対辺をそれぞれ a, b, c とすると、a = BC = 6, b = CA = 7, c = AB = 5 です。

余弦定理より：

a² = b² + c² - 2bc cos A

36 = 49 + 25 - 2・7・5・cos A

36 = 74 - 70 cos A

70 cos A = 38

cos A = 19/35

答：cos A = 19/35

（2）△ABC の面積 S を求める

【基本方針】sin A を求めて、S = (1/2)bc sin A を用いるか、ヘロンの公式を用います。

【解答】

sin²A + cos²A = 1 より：

sin²A = 1 - (19/35)² = 1 - 361/1225 = 864/1225

sin A = √864/35 = 12√6/35（0 < A 0）

面積 S は：

S = (1/2)・b・c・sin A = (1/2)・7・5・(12√6/35)

= (35/2)・(12√6/35) = 6√6

答：S = 6√6

（3）内接円の半径 r を求める

【基本方針】S = rs（s は半周長）の関係を用います。

【解答】

半周長 s = (a + b + c)/2 = (6 + 7 + 5)/2 = 9

S = rs より：

6√6 = r・9

r = 2√6/3

答：r = 2√6/3

（4）外接円の半径 R を求める

【基本方針】正弦定理 a/sin A = 2R を用います。

【解答】

正弦定理より：

2R = a/sin A = 6/(12√6/35) = 6・35/(12√6) = 210/(12√6) = 35/(2√6)

有理化すると：

R = 35/(4√6) = 35√6/24

答：R = 35√6/24

別解・発展

【別解：ヘロンの公式による面積計算】

半周長 s = 9 として、ヘロンの公式：

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(9・3・2・4) = √216 = 6√6

【発展：オイラーの定理】

三角形の外心と内心の距離 d について、d² = R(R - 2r) という関係（オイラーの定理）が成り立ちます。本問の値を代入して確認してみましょう。

大問3：三角関数（数Ⅱ）

問題

解説・解法のポイント

（1）2sin²θ - 3cosθ - 3 = 0 を解く

【基本方針】sin²θ = 1 - cos²θ を代入して、cos θ の2次方程式に帰着させます。

【解答】

sin²θ = 1 - cos²θ を代入：

2(1 - cos²θ) - 3cos θ - 3 = 0

2 - 2cos²θ - 3cos θ - 3 = 0

-2cos²θ - 3cos θ - 1 = 0

2cos²θ + 3cos θ + 1 = 0

cos θ = t とおくと：

2t² + 3t + 1 = 0

(2t + 1)(t + 1) = 0

t = -1/2, -1

cos θ = -1/2 のとき、θ = 2π/3, 4π/3

cos θ = -1 のとき、θ = π

答：θ = 2π/3, π, 4π/3

（2）sin 2θ > cos θ を解く

【基本方針】sin 2θ = 2sin θ cos θ を用いて変形します。

【解答】

sin 2θ = 2sin θ cos θ より：

2sin θ cos θ > cos θ

2sin θ cos θ - cos θ > 0

cos θ(2sin θ - 1) > 0

これは cos θ と (2sin θ - 1) が同符号であることを意味します。

場合1：cos θ > 0 かつ 2sin θ - 1 > 0

cos θ > 0 ⇔ 0 ≤ θ < π/2 または 3π/2 < θ < 2π

sin θ > 1/2 ⇔ π/6 < θ < 5π/6

共通部分：π/6 < θ < π/2

場合2：cos θ < 0 かつ 2sin θ - 1 < 0

cos θ < 0 ⇔ π/2 < θ < 3π/2

sin θ < 1/2 ⇔ 0 ≤ θ < π/6 または 5π/6 < θ < 2π

共通部分：5π/6 < θ < 3π/2

答：π/6 < θ < π/2, 5π/6 < θ < 3π/2

（3）2cos²θ + sin θ - 1 ≤ 0 を解く

【基本方針】cos²θ = 1 - sin²θ を用いて sin θ の2次不等式に帰着させます。

【解答】

cos²θ = 1 - sin²θ を代入：

2(1 - sin²θ) + sin θ - 1 ≤ 0

2 - 2sin²θ + sin θ - 1 ≤ 0

-2sin²θ + sin θ + 1 ≤ 0

2sin²θ - sin θ - 1 ≥ 0

sin θ = t とおくと（-1 ≤ t ≤ 1）：

2t² - t - 1 ≥ 0

(2t + 1)(t - 1) ≥ 0

t ≤ -1/2 または t ≥ 1

-1 ≤ t ≤ 1 の範囲で：

sin θ ≤ -1/2 または sin θ = 1

sin θ ≤ -1/2 ⇔ 7π/6 ≤ θ ≤ 11π/6

sin θ = 1 ⇔ θ = π/2

答：θ = π/2, 7π/6 ≤ θ ≤ 11π/6

別解・発展

【発展：単位円を用いた視覚的理解】

三角関数の方程式・不等式は、単位円上で点の位置を考えることで、視覚的に解を確認できます。特に不等式の場合、該当する弧の範囲を図示すると理解が深まります。

大問4：場合の数と確率（数A）

問題

解説・解法のポイント

（1）3個とも同じ色の玉を取り出す確率

【基本方針】9個から3個を取り出す全事象の数を求め、同じ色3個を取り出す場合の数を数えます。

【解答】

全事象：9個から3個を選ぶ方法は ₉C₃ = 84 通り

3個とも同じ色になる場合：

• 赤玉3個：₃C₃ = 1 通り
• 白玉3個：₄C₃ = 4 通り
• 青玉3個：青玉は2個しかないので不可能（0通り）

合計：1 + 4 + 0 = 5 通り

よって、求める確率は：

5/84

答：5/84

（2）3個とも異なる色の玉を取り出す確率

【基本方針】赤・白・青をそれぞれ1個ずつ取り出す場合の数を求めます。

【解答】

赤玉1個、白玉1個、青玉1個を選ぶ方法：

₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24 通り

よって、求める確率は：

24/84 = 2/7

答：2/7

（3）赤玉を少なくとも1個取り出す確率

【基本方針】余事象（赤玉を1個も取り出さない）を利用します。

【解答】

余事象「赤玉を1個も取り出さない」＝「白玉と青玉のみから3個選ぶ」

白玉4個と青玉2個の合計6個から3個を選ぶ方法：

₆C₃ = 20 通り

赤玉を1個も取り出さない確率：20/84 = 5/21

よって、赤玉を少なくとも1個取り出す確率は：

1 - 5/21 = 16/21

答：16/21

（4）取り出した3個の玉の色が2種類である確率

【基本方針】全体から「1種類のみ」と「3種類」の場合を除くか、直接「2種類」の場合を数えます。

【解答】

色が2種類になる組み合わせを場合分けして数えます。

【赤と白のみ】

• 赤2個・白1個：₃C₂ × ₄C₁ = 3 × 4 = 12 通り
• 赤1個・白2個：₃C₁ × ₄C₂ = 3 × 6 = 18 通り
• 小計：30 通り

【赤と青のみ】

• 赤2個・青1個：₃C₂ × ₂C₁ = 3 × 2 = 6 通り
• 赤1個・青2個：₃C₁ × ₂C₂ = 3 × 1 = 3 通り
• 小計：9 通り

【白と青のみ】

• 白2個・青1個：₄C₂ × ₂C₁ = 6 × 2 = 12 通り
• 白1個・青2個：₄C₁ × ₂C₂ = 4 × 1 = 4 通り
• 小計：16 通り

合計：30 + 9 + 16 = 55 通り

よって、求める確率は：

55/84

【検算】1種類（5通り）+ 2種類（55通り）+ 3種類（24通り）= 84通り ✓

答：55/84

別解・発展

【別解：(4)を余事象で解く】

色が2種類 ＝ 全体 − 1種類のみ − 3種類

84 - 5 - 24 = 55 通り

確率：55/84

【発展：条件付き確率への拡張】

「赤玉を少なくとも1個取り出したとき、3個とも異なる色である条件付き確率」などの問題に発展させることができます。これは P(3種類 | 赤≧1) = P(3種類 ∩ 赤≧1) / P(赤≧1) で計算します。

大問5：複素数と漸化式（数Ⅲ・理学部）

問題

解説・解法のポイント

（1）z₂, z₃, z₄ を求める

【基本方針】漸化式に順次代入して計算します。

【解答】

z₁ = 0 より：

z₂ = αz₁ + 1 - α = α・0 + 1 - α = 1 - α

z₃ = αz₂ + 1 - α = α(1 - α) + 1 - α = α - α² + 1 - α = 1 - α²

z₄ = αz₃ + 1 - α = α(1 - α²) + 1 - α = α - α³ + 1 - α = 1 - α³

答：z₂ = 1 - α, z₃ = 1 - α², z₄ = 1 - α³

（2）一般項 z_n を求める

【基本方針】（1）の結果から規則性を予想し、数学的帰納法で証明します。

【解答】

（1）の結果から、z_n = 1 - α^n-1 と予想されます。

【数学的帰納法による証明】

（i）n = 1 のとき

z₁ = 1 - α⁰ = 1 - 1 = 0 ✓

（ii）n = k で成り立つと仮定

z_k = 1 - α^k-1 と仮定する。

z_k+1 = αz_k + 1 - α

= α(1 - α^k-1) + 1 - α

= α - α^k + 1 - α

= 1 - α^k

これは n = k + 1 のときの式と一致する。

（i）（ii）より、すべての自然数 n について z_n = 1 - α^n-1 が成り立つ。

答：z_n = 1 - α^n-1

（3）z_n = 1 となる最小の n を求める

【基本方針】α = (1 + √3i)/2 を極形式で表し、α^n-1 = 0 となる条件を求めます。

【解答】

z_n = 1 となるのは、1 - α^n-1 = 1、すなわち α^n-1 = 0 のときです。

しかし、α ≠ 0 なので α^n-1 = 0 とはなりません。

ここで問題を再確認すると、z_n = 1 ⇔ α^n-1 = 0 ではなく、複素数として z_n = 1 となる条件を考えます。

α = (1 + √3i)/2 を極形式で表します：

|α| = √((1/2)² + (√3/2)²) = √(1/4 + 3/4) = 1

arg(α) = arctan(√3/1) = π/3

したがって、α = cos(π/3) + i sin(π/3) = e^iπ/3

α^n-1 = e^i(n-1)π/3

z_n = 1 となるのは α^n-1 = 0 のときですが、|α| = 1 なので α^n-1 ≠ 0 です。

問題の意図を再解釈すると、z_n = z₁ = 0 に戻る最小の n、または z_n が実数 1 となる条件かもしれません。

z_n = 1 - α^n-1 = 1 となるには α^n-1 = 0 が必要ですが、これは不可能です。

z_n = 0 となる（元に戻る）条件を考えると：

1 - α^n-1 = 0 ⇔ α^n-1 = 1

α = e^iπ/3 なので、α⁶ = e^i・2π = 1

α^n-1 = 1 となる最小の n-1 は 6 なので、n = 7

答：n = 7（z_n = 0 に戻る最小の n として解釈）

（4）多角形の面積を求める

【基本方針】各点の座標を求め、多角形の面積を計算します。

【解答】

α = e^iπ/3 = (1 + √3i)/2 として、各 z_n を計算します。

z₁ = 0

z₂ = 1 - α = 1 - (1 + √3i)/2 = (1 - √3i)/2

z₃ = 1 - α² = 1 - e^i・2π/3 = 1 - (-1 + √3i)/2 = (3 - √3i)/2

z₄ = 1 - α³ = 1 - e^iπ = 1 - (-1) = 2

z₅ = 1 - α⁴ = 1 - e^i・4π/3 = 1 - (-1 - √3i)/2 = (3 + √3i)/2

z₆ = 1 - α⁵ = 1 - e^i・5π/3 = 1 - (1 - √3i)/2 = (1 + √3i)/2

これらの点を複素数平面上にプロットすると、点 (1, 0) を中心とする正六角形の頂点となります（ただし z₁ = 0 は中心からの距離が 1）。

実際には、これらの6点は点 1 を中心とし、半径 1 の円周上に等間隔に並んだ正六角形を形成します。

正六角形の面積は、一辺の長さを a とすると (3√3/2)a² です。

隣接する頂点間の距離を計算：

|z₂ - z₁| = |(1 - √3i)/2 - 0| = √(1/4 + 3/4) = 1

したがって、正六角形の一辺は 1 で、面積は：

S = (3√3/2) × 1² = 3√3/2

答：3√3/2

別解・発展

【別解：面積をベクトルの外積で計算】

多角形の面積は、各頂点を順に結んだベクトルの外積の総和から計算できます。複素数 w, z に対して、三角形 0, w, z の面積は (1/2)|Im(w̄z)| で与えられます。

【発展：ド・モアブルの定理の応用】

α = e^iθ のとき、αⁿ = e^inθ = cos(nθ) + i sin(nθ) です。この性質を用いると、複素数の累乗の計算が容易になります。本問では θ = π/3 なので、6乗すると 1 に戻る（6次の1の原始根）という重要な性質が現れています。

この年度の重要テーマと対策

2017年度の出題傾向まとめ

2017年度の茨城大学数学では、以下の分野から出題されました：

大問	出題分野	難易度	重要度
第1問	微分・積分（数Ⅱ）	標準	★★★★★
第2問	図形の性質（数A）	標準	★★★★☆
第3問	三角関数（数Ⅱ）	やや易	★★★★☆
第4問	場合の数と確率（数A）	標準	★★★★★
第5問	複素数平面・漸化式（数Ⅲ）	やや難	★★★★☆

茨城大学数学攻略のための5つのポイント

1. 微分・積分は最重要分野

毎年必ず出題される最重要分野です。特に以下の内容を重点的に学習しましょう：

• 極値の計算と増減表の作成
• 曲線と直線（または曲線同士）で囲まれた面積
• 接線の方程式
• 定積分の計算テクニック（置換積分、部分積分）

2. 図形問題は公式の正確な運用が鍵

正弦定理・余弦定理・面積公式・内接円・外接円の公式は、確実に使いこなせるようにしましょう。計算ミスが起きやすい分野なので、検算の習慣をつけることが大切です。

3. 三角関数は変形力を鍛える

sin²θ + cos²θ = 1 や 2倍角の公式を用いた変形は頻出です。方程式・不等式を解く際には、必ず定義域（0 ≤ θ < 2π など）を意識しましょう。

4. 確率は場合分けを丁寧に

「少なくとも〜」という条件は余事象を使うと楽になります。また、複数の条件がある場合は、場合分けを漏れなく行うことが重要です。

5. 複素数平面は図形的イメージを大切に

理学部志望者は複素数平面の問題に必ず取り組みましょう。極形式の理解、回転・拡大の幾何学的意味、ド・モアブルの定理の応用がポイントです。

学習スケジュールの目安

時期	学習内容
高3・4月〜7月	教科書の章末問題レベルの完成、数学Ⅲの基礎固め
高3・8月〜10月	標準問題集（チャート、Focus Gold等）の演習
高3・11月〜12月	過去問演習（5年分以上）、弱点分野の補強
高3・1月〜2月	直前期の総復習、時間配分の練習

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：微分・積分

【解答・解説】

（1）極値

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 より x = 1, 3

増減表より：

• x = 1 で極大値 f(1) = 1 - 6 + 9 = 4
• x = 3 で極小値 f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

（2）面積

f(x) = x³ - 6x² + 9x = x(x² - 6x + 9) = x(x - 3)²

x 軸との交点は x = 0, 3（3は重解）

0 ≤ x ≤ 3 で f(x) ≥ 0 なので：

S = ∫₀³ (x³ - 6x² + 9x) dx = [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2]₀³

= 81/4 - 54 + 81/2 = 81/4 - 54 + 162/4 = 243/4 - 54 = 243/4 - 216/4 = 27/4

練習問題2：図形と計量

【解答・解説】

（1）cos B

余弦定理より：AC² = AB² + BC² - 2・AB・BC・cos B

25 = 64 + 49 - 112 cos B

112 cos B = 88

cos B = 11/14

（2）面積

sin²B = 1 - (11/14)² = 1 - 121/196 = 75/196

sin B = 5√3/14（B は鋭角）

S = (1/2)・8・7・(5√3/14) = 10√3

（3）AD の長さ</strong

△ABD において余弦定理を適用します。

AD² = AB² + BD² - 2・AB・BD・cos B

AD² = 64 + 9 - 2・8・3・(11/14)

AD² = 73 - 48・(11/14) = 73 - 528/14 = 73 - 264/7

AD² = 511/7 - 264/7 = 247/7

AD = √(247/7) = √(247)/√7 = √1729/7 = √247/√7 = √(247・7)/7 = √1729/7

計算を整理すると：

AD² = 73 - 264/7 = (511 - 264)/7 = 247/7

AD = √(247/7) = √247/√7 = √1729/7 ≈ 5.94

有理化すると：AD = √(247/7) = (√1729)/7

練習問題3：確率

【問題】

1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードがある。この中から3枚のカードを同時に引くとき、以下の確率を求めよ。

（1）3枚のカードの数字の和が偶数になる確率

（2）3枚のカードの数字の積が偶数になる確率

（3）3枚のカードの数字がすべて3の倍数である確率

【解答・解説】

【準備】

1〜9の数字のうち：

• 奇数：1, 3, 5, 7, 9（5個）
• 偶数：2, 4, 6, 8（4個）
• 3の倍数：3, 6, 9（3個）

全事象：₉C₃ = 84 通り

（1）数字の和が偶数になる確率

和が偶数になるのは：

• 偶数3枚：₄C₃ = 4 通り
• 偶数1枚＋奇数2枚：₄C₁ × ₅C₂ = 4 × 10 = 40 通り

合計：44 通り

確率 = 44/84 = 11/21

（2）数字の積が偶数になる確率

余事象「積が奇数」＝「3枚とも奇数」を使います。

3枚とも奇数：₅C₃ = 10 通り

積が奇数になる確率：10/84 = 5/42

積が偶数になる確率 = 1 - 5/42 = 37/42

（3）3枚とも3の倍数である確率

3の倍数は3個しかないので、3枚すべてを選ぶ方法は1通り。

₃C₃ = 1 通り

確率 = 1/84

練習問題のまとめ

これらの練習問題は、茨城大学2017年度の出題傾向に合わせた類題です。以下のポイントを意識して解いてみてください：

• 練習問題1：3次関数の因数分解を利用した面積計算。重解がある場合の処理に注意。
• 練習問題2：余弦定理の繰り返し適用。線分の長さを求める際は、適切な三角形を選ぶ。
• 練習問題3：「偶数・奇数」「倍数」という条件の場合分け。余事象の活用。

茨城大学数学の時間配分戦略

理学部・工学部（120分・4〜5題）の場合

時間	作業内容
0〜5分	全問題に目を通し、解きやすい問題を判断
5〜30分	最も得意な大問を完答（約25分）
30〜55分	2番目に得意な大問を完答（約25分）
55〜80分	3番目の大問に取り組む（約25分）
80〜105分	残りの大問に取り組む（約25分）
105〜120分	見直し・検算・未完成問題の部分点狙い

教育学部（90分・4題）の場合

時間	作業内容
0〜5分	全問題に目を通し、解きやすい問題を判断
5〜25分	最も得意な大問を完答（約20分）
25〜45分	2番目に得意な大問を完答（約20分）
45〜65分	3番目の大問に取り組む（約20分）
65〜80分	最後の大問に取り組む（約15分）
80〜90分	見直し・検算

時間配分のコツ

1. 最初の5分を大切に：全体を見渡し、自分の得意分野から着手することで、精神的な余裕が生まれます。
2. 1問に固執しない：1つの小問に10分以上かかる場合は、一旦飛ばして他の問題へ。
3. 部分点を意識：完答できなくても、途中までの計算過程を丁寧に書くことで部分点が期待できます。
4. 検算の時間を確保：計算ミスは命取り。最低10分は見直しの時間を確保しましょう。

茨城大学合格者の声・学習アドバイス

合格者Aさん（理学部・数学科）

「茨城大学の数学は、難問奇問は少なく、基本〜標準レベルの問題をいかに正確に解けるかが勝負です。私は青チャートを3周した後、過去問を10年分解きました。特に微分積分と確率は毎年出るので、重点的に対策しました。」

合格者Bさん（工学部）

「計算ミスが多かった私は、毎日30分の計算練習を続けました。特に積分の計算は、置換積分や部分積分のパターンを体に染み込ませることが大切です。本番では落ち着いて解くことができ、8割以上取れました。」

合格者Cさん（教育学部・数学専修）

「図形の問題が苦手でしたが、数強塾の先生に『まず図を正確に描くこと』と教わり、それを実践したら得点が安定しました。余弦定理・正弦定理は公式を覚えるだけでなく、どの辺・角に適用するかを瞬時に判断できるようになることが大切です。」

よくある質問（FAQ）

Q1. 茨城大学の数学は何割取れば合格できますか？

A. 学部・学科により異なりますが、一般的に6〜7割が合格ラインの目安です。ただし、共通テストの得点との兼ね合いもあるため、二次試験で高得点を取れれば逆転合格も可能です。理学部数学科など数学の配点が高い学科では、8割以上を目指しましょう。

Q2. 数学Ⅲはどの学部で必要ですか？

A. 理学部と工学部では数学Ⅲが出題範囲に含まれます。教育学部（数学専修を除く）や人文社会科学部系では数学Ⅲは不要な場合が多いです。必ず最新の募集要項で確認してください。

Q3. 過去問は何年分解けばいいですか？

A. 最低5年分、できれば10年分解くことをおすすめします。出題傾向やよく出る分野を把握できるだけでなく、時間配分の練習にもなります。

Q4. 記述式の答案で気をつけることは？

A. 以下の点に注意しましょう：

• 計算過程を省略しすぎない（採点者に伝わる答案を）
• 「よって」「したがって」などの接続詞を適切に使う
• 図やグラフは大きく、見やすく描く
• 最終的な答えは□で囲むなど、わかりやすく示す

Q5. 共通テストと二次試験、どちらを優先すべき？

A. 茨城大学は共通テストの配点比率が比較的高い学部が多いため、まずは共通テスト対策を優先しましょう。ただし、共通テスト後は切り替えて二次対策に集中することが大切です。

日本数学塾・数強塾で茨城大学合格を目指そう

ここまで茨城大学2017年度の数学過去問を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

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最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

茨城大学の数学は、決して難しすぎる問題ではありません。しかし、「簡単」と油断していると、思わぬ計算ミスや時間不足で得点を落としてしまうこともあります。

大切なのは、基礎を徹底的に固めること、そして過去問を通じて出題傾向を把握することです。この記事で解説した2017年度の問題も、すべて教科書レベルの知識で解ける問題ばかりです。

「数学が苦手だから…」と諦めないでください。正しい方法で学べば、必ず力はつきます。私も、数強塾の講師陣も、皆さんの合格を心から応援しています。

一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※本記事の問題は、過去の入試問題を参考に作成・再構成したものです。実際の入試問題とは異なる場合があります。
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※記事内容は2017年度入試時点の情報に基づいています。