関西大学 総合情報学部 合格体験記｜数強塾グループ

【解説】

まず、与えられた二次関数を標準形に変換します。

f(x) = -x² + 4x + 5

= -(x² - 4x) + 5

= -(x² - 4x + 4 - 4) + 5

= -(x - 2)² + 4 + 5

= -(x - 2)² + 9

よって、頂点は (2, 9) であり、x² の係数が負なので上に凸のグラフです。

定義域 0 ≤ x ≤ 3 において：

• 頂点の x 座標 x = 2 は定義域内にある
• x = 0 のとき：f(0) = 5
• x = 2 のとき：f(2) = 9（頂点）
• x = 3 のとき：f(3) = -9 + 12 + 5 = 8

上に凸のグラフなので、頂点で最大値、端点のどちらかで最小値をとります。

【解答】

最大値：9（x = 2 のとき）

最小値：5（x = 0 のとき）

【解説】

三角比の相互関係 sin²θ + cos²θ = 1 を使います。

sin²θ + cos²θ = 1 より

(3/5)² + cos²θ = 1

9/25 + cos²θ = 1

cos²θ = 1 - 9/25 = 16/25

cosθ = ±4/5

0° < θ 0

よって cosθ = 4/5

tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/(4/5) = 3/4

【解答】

cosθ = 4/5、tanθ = 3/4

【解説】

A と B が隣り合う場合を考えます。

【方法1】A と B を1つのかたまりとして考える

A と B をまとめて1人と考えると、「AB」「C」「D」「E」の4つを並べることになります。

4つの並べ方：4! = 24 通り

ただし、「AB」のかたまりの中で、A と B の順番は入れ替えられます。

AB の並べ方：2! = 2 通り

したがって、求める場合の数は

4! × 2! = 24 × 2 = 48 通り

【解答】

48 通り

【解説】

全事象の数を求めます。

1回目：6通り、2回目：6通り

全事象：6 × 6 = 36 通り

和が7になる場合を列挙します。

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) の6通り

よって、求める確率は

P = 6/36 = 1/6

【解答】

1/6

【解説】

等差数列の和の公式を使います。

Sₙ = n{2a₁ + (n-1)d}/2

ここで、a₁ = 3、d = 4、n = 10 なので

S₁₀ = 10{2×3 + (10-1)×4}/2

= 10{6 + 36}/2

= 10 × 42/2

= 10 × 21

= 210

【別解】一般項を求めてから計算

aₙ = 3 + (n-1)×4 = 4n - 1

a₁₀ = 39

S₁₀ = 10(3 + 39)/2 = 10 × 21 = 210

【解答】

210

【解説】

成分による内積の公式を使います。

→a・→b = 3×2 + 4×(-1) = 6 - 4 = 2

なす角を求めるため、各ベクトルの大きさを計算します。

|→a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

|→b| = √(2² + (-1)²) = √(4 + 1) = √5

内積の定義より

→a・→b = |→a||→b|cosθ

2 = 5 × √5 × cosθ

cosθ = 2/(5√5) = 2√5/25

【解答】

→a・→b = 2

cosθ = 2√5/25（θ = arccos(2√5/25)）

【解説】

f(x) を微分します。

f'(x) = 3x² - 12x + 9

= 3(x² - 4x + 3)

= 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 となる x を求めます。

x = 1 または x = 3

増減表を作成します：

x	… 1 … 3 …
f'(x)	+ 0 - 0 +
f(x)	↗ 極大 ↘ 極小 ↗

極値を計算します。

f(1) = 1 - 6 + 9もちろん、続きを作成いたします。

```html

f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2（極小値）

【解答】

極大値：6（x = 1 のとき）

極小値：2（x = 3 のとき）

【解説】

不定積分を求めてから、定積分を計算します。

∫(3x² - 2x + 1)dx = x³ - x² + x + C

定積分を計算します。

∫₀² (3x² - 2x + 1) dx = [x³ - x² + x]₀²

= (8 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0)

= 6 - 0

= 6

【解答】

6

【解説】

対数の性質を使って計算します。

log₂8 = log₂2³ = 3

log₂4 = log₂2² = 2

log₂2 = 1

よって

log₂8 + log₂4 - log₂2 = 3 + 2 - 1 = 4

【別解】対数の性質 logₐMN = logₐM + logₐN、logₐ(M/N) = logₐM - logₐN を使用

log₂8 + log₂4 - log₂2 = log₂(8×4÷2) = log₂16 = log₂2⁴ = 4

【解答】

4

【解説】

二次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 D > 0 です。

ax² + bx + c = 0 の判別式は D = b² - 4ac

与えられた方程式 x² - 4x + k = 0 において

a = 1、b = -4、c = k

D = (-4)² - 4×1×k = 16 - 4k

D > 0 より

16 - 4k > 0

-4k > -16

k < 4

【解答】

k < 4

【解説】

まず、f(x) を標準形に変換します。

f(x) = x² - 2ax + 3

= (x - a)² - a² + 3

頂点は (a, -a² + 3) で、下に凸のグラフです。

軸は x = a です。

定義域 0 ≤ x ≤ 2 に対する軸の位置で場合分けします。

【場合1】a < 0 のとき（軸が定義域の左側）

最小値は x = 0 でとり、m(a) = f(0) = 3

【場合2】0 ≤ a ≤ 2 のとき（軸が定義域内）

最小値は x = a でとり、m(a) = f(a) = -a² + 3

【場合3】a > 2 のとき（軸が定義域の右側）

最小値は x = 2 でとり、m(a) = f(2) = 4 - 4a + 3 = -4a + 7

【解答】

m(a) =

• 3 （a < 0 のとき）
• -a² + 3 （0 ≤ a ≤ 2 のとき）
• -4a + 7 （a > 2 のとき）

【解説】

sinθ = t とおくと、方程式は

2t² - 3t + 1 = 0

(2t - 1)(t - 1) = 0

t = 1/2 または t = 1

すなわち、sinθ = 1/2 または sinθ = 1

sinθ = 1/2 のとき

0 ≤ θ < 2π で sinθ = 1/2 となるのは

θ = π/6, 5π/6

sinθ = 1 のとき

0 ≤ θ < 2π で sinθ = 1 となるのは

θ = π/2

【解答】

θ = π/6, π/2, 5π/6

【解説】

条件付き確率の問題です。

事象A：2回とも同じ色が出る

事象B：2回とも赤玉が出る

求める確率は P_A(B) = P(A∩B)/P(A) です。

P(B)（2回とも赤玉）を計算：

P(B) = (3/5) × (3/5) = 9/25

2回とも白玉が出る確率を計算：

P(白白) = (2/5) × (2/5) = 4/25

P(A)（2回とも同じ色）を計算：

P(A) = P(B) + P(白白) = 9/25 + 4/25 = 13/25

P(A∩B) を計算：

A∩B = B（2回とも赤玉ならば、当然同じ色）

P(A∩B) = P(B) = 9/25

条件付き確率を計算：

P_A(B) = (9/25)/(13/25) = 9/13

【解答】

9/13

【解説】

特性方程式を用いて解きます。

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 に対して、特性方程式は

α = 2α + 3

-α = 3

α = -3

漸化式を変形します。

aₙ₊₁ - (-3) = 2(aₙ - (-3))

aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)

bₙ = aₙ + 3 とおくと

bₙ₊₁ = 2bₙ

これは公比2の等比数列で、b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

よって bₙ = 4 × 2ⁿ⁻¹ = 2² × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

aₙ = bₙ - 3 = 2ⁿ⁺¹ - 3

【解答】

aₙ = 2ⁿ⁺¹ - 3

【解説】

→AB = →b、→AC = →c とおきます。

点 D の位置ベクトル：

D は BC を 2:1 に内分するので

→AD = (1×→AB + 2×→AC)/(2+1) = (→b + 2→c)/3

点 E の位置ベクトル：

E は AC を 1:2 に内分するので

→AE = (2×→AA + 1×→AC)/(1+2) = →c/3

点 P の表し方（2通り）：

P は AD 上にあるので、→AP = s→AD = s(→b + 2→c)/3（0 < s < 1）

P は BE 上にあるので、→AP = →AB + t(→AE - →AB) = (1-t)→b + t→c/3（0 < t < 1）

係数比較：

→b の係数：s/3 = 1 - t ・・・①

→c の係数：2s/3 = t/3 ・・・②

②より 2s = t

①に代入：s/3 = 1 - 2s

s/3 + 2s = 1

s + 6s = 3

7s = 3

s = 3/7

よって

→AP = (3/7) × (→b + 2→c)/3 = (→b + 2→c)/7

= (1/7)→AB + (2/7)→AC

【解答】

→AP = (1/7)→AB + (2/7)→AC

【解説】

曲線 y = x² 上の点 (a, a²) における接線を考えます。

y' = 2x より、点 (a, a²) における接線の傾きは 2a

接線の方程式は

y - a² = 2a(x - a)

y = 2ax - 2a² + a²

y = 2ax - a²

この接線が点 (0, -1) を通るので

-1 = 2a × 0 - a²

-1 = -a²

a² = 1

a = ±1

a = 1 のとき： y = 2x - 1

a = -1 のとき： y = -2x - 1

【解答】

y = 2x - 1 および y = -2x - 1

【解説】

まず、放物線と x 軸の交点を求めます。

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0 または x = 2

0 ≤ x ≤ 2 において、y = x² - 2x = x(x - 2) ≤ 0

（放物線は x 軸より下にある）

面積を計算します。

S = ∫₀² |x² - 2x| dx = ∫₀² (-(x² - 2x)) dx = ∫₀² (-x² + 2x) dx

= [-x³/3 + x²]₀²

= (-8/3 + 4) - (0)

= -8/3 + 12/3

= 4/3

【解答】

4/3

【解説】

4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)² なので、2ˣ = t（t > 0）とおきます。

方程式は

t² - 3t - 4 = 0

(t - 4)(t + 1) = 0

t = 4 または t = -1

t > 0 より t = 4

2ˣ = 4 = 2² より x = 2

【解答】

x = 2

【解説】

円の中心 (0, 0) と直線 y = x + k（すなわち x - y + k = 0）の距離 d を求めます。

点と直線の距離の公式より

d = |0 - 0 + k|/√(1² + (-1)²) = |k|/√2

円の半径は r = √5

円と直線が異なる2点で交わる条件は d < r より

|k|/√2 < √5

|k| < √10

-√10 < k < √10

【解答】

-√10 < k < √10

【解説】

正の整数 n を 3 で割った余りで場合分けします。

【場合1】n = 3k（3で割り切れる）のとき

n² = 9k² = 3 × 3k²

よって n² を 3 で割った余りは 0

【場合2】n = 3k + 1（3で割ると1余る）のとき

n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1

よって n² を 3 で割った余りは 1

【場合3】n = 3k + 2（3で割ると2余る）のとき

n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 9k² + 12k + 3 + 1 = 3(3k² + 4k + 1) + 1

よって n² を 3 で割った余りは 1

以上より、n² を 3 で割った余りは 0 または 1 である。

【解答】

（証明終わり）

【解説】

条件を連立方程式として解きます。

f(1) = a + b + c = 2 ・・・①

f(-1) = a - b + c = 4 ・・・②

f(2) = 4a + 2b + c = 5 ・・・③

① - ②より：2b = -2、b = -1

① + ②より：2a + 2c = 6、a + c = 3 ・・・④

③に b = -1 を代入：4a - 2 + c = 5、4a + c = 7 ・・・⑤

⑤ - ④より：3a = 4、a = 4/3

④より：c = 3 - 4/3 = 5/3

よって f(x) = (4/3)x² - x + 5/3

標準形に変換します。

f(x) = (4/3)(x² - (3/4)x) + 5/3

= (4/3)(x - 3/8)² - (4/3)(9/64) + 5/3

= (4/3)(x - 3/8)² - 3/16 + 5/3

= (4/3)(x - 3/8)² + 77/48

頂点は (3/8, 77/48)、下に凸のグラフです。

定義域 -1 ≤ x ≤ 2 において

f(-1) = 4/3 + 1 + 5/3 = 4

f(3/8) = 77/48 ≈ 1.60

f(2) = 16/3 - 2 + 5/3 = 21/3 - 2 = 5

【解答】

a = 4/3、b = -1、c = 5/3

最大値：5（x = 2 のとき）

最小値：77/48（x = 3/8 のとき）

【解説】

三角関数の合成を行います。

f(θ) = sinθ + √3 cosθ

= 2(1/2 sinθ + √3/2 cosθ)

= 2(sinθ cos(π/3) + cosθ sin(π/3))

= 2 sin(θ + π/3)

0 ≤ θ ≤ π より π/3 ≤ θ + π/3 ≤ 4π/3

この範囲で sin(θ + π/3) の値を考えます。

・θ + π/3 = π/2 のとき sin = 1（最大）

・θ + π/3 = 4π/3 のとき sin = -√3/2（最小）

最大値のとき：

θ + π/3 = π/2、θ = π/6

f(続きを作成いたします。

```html

最大値のとき：

θ + π/3 = π/2、θ = π/6

f(π/6) = 2 sin(π/2) = 2 × 1 = 2

最小値のとき：

θ + π/3 = 4π/3、θ = π

f(π) = 2 sin(4π/3) = 2 × (-√3/2) = -√3

【解答】

最大値：2（θ = π/6 のとき）

最小値：-√3（θ = π のとき）

【解説】

「最大値が4」= 「すべて4以下」かつ「少なくとも1回は4が出る」

これは、「すべて4以下」から「すべて3以下」を引いたものです。

すべて4以下である確率：

1回の試行で4以下が出る確率 = 4/6 = 2/3

3回とも4以下：(2/3)³ = 8/27

すべて3以下である確率：

1回の試行で3以下が出る確率 = 3/6 = 1/2

3回とも3以下：(1/2)³ = 1/8

最大値が4である確率：

P = 8/27 - 1/8 = 64/216 - 27/216 = 37/216

【解答】

37/216

【解説】

【一般項を求める】

n ≥ 2 のとき

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

= (n² + 3n) - {(n-1)² + 3(n-1)}

= n² + 3n - (n² - 2n + 1 + 3n - 3)

= n² + 3n - n² - n + 2

= 2n + 2

n = 1 のとき

a₁ = S₁ = 1 + 3 = 4 = 2(1) + 2

これは aₙ = 2n + 2 に n = 1 を代入した値と一致します。

よって aₙ = 2n + 2 = 2(n + 1)

【和を求める】

aₖ = 2(k + 1)、aₖ₊₁ = 2(k + 2) より

1/(aₖaₖ₊₁) = 1/{4(k + 1)(k + 2)}

部分分数分解を行います。

1/{(k + 1)(k + 2)} = 1/(k + 1) - 1/(k + 2)

よって

1/(aₖaₖ₊₁) = (1/4){1/(k + 1) - 1/(k + 2)}

Σ(k=1 to n) 1/(aₖaₖ₊₁)

= (1/4) Σ(k=1 to n) {1/(k + 1) - 1/(k + 2)}

= (1/4){(1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/(n+1) - 1/(n+2))}

= (1/4){1/2 - 1/(n + 2)}

= (1/4) × {(n + 2 - 2)}/{2(n + 2)}

= (1/4) × n/{2(n + 2)}

= n/{8(n + 2)}

【解答】

aₙ = 2(n + 1)

Σ(k=1 to n) 1/(aₖaₖ₊₁) = n/{8(n + 2)}

【解説】

【平面の方程式を求める】

平面上の2つのベクトルを求めます。

→AB = (-1, 2, 0)

→AC = (-1, 0, 3)

平面の法線ベクトル →n は →AB と →AC に垂直なので、外積で求められます。

→n = →AB × →AC

= (2×3 - 0×0, 0×(-1) - (-1)×3, (-1)×0 - 2×(-1))

= (6, 3, 2)

平面の方程式は 6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

6x - 6 + 3y + 2z = 0

6x + 3y + 2z = 6

【別解】切片形式で考えると

x/1 + y/2 + z/3 = 1

両辺に6を掛けて：6x + 3y + 2z = 6

【原点からの距離を求める】

点と平面の距離の公式を使います。

平面 ax + by + cz + d = 0 と点 (x₀, y₀, z₀) の距離は

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²)

平面 6x + 3y + 2z - 6 = 0 と原点 (0, 0, 0) の距離は

d = |6×0 + 3×0 + 2×0 - 6|/√(36 + 9 + 4)

= |-6|/√49

= 6/7

【解答】

平面の方程式：6x + 3y + 2z = 6

原点からの距離：6/7

【解説】

f(x) を微分します。

f'(x) = 3x² - 6ax = 3x(x - 2a)

f'(x) = 0 となる x は x = 0 または x = 2a

a > 0 より 2a > 0 なので、増減表は

x	… 0 … 2a …
f'(x)	+ 0 - 0 +
f(x)	↗ 極大 ↘ 極小 ↗

極大値：f(0) = 0

極小値：f(2a) = (2a)³ - 3a(2a)² = 8a³ - 12a³ = -4a³

極大値と極小値の差が32より

0 - (-4a³) = 32

4a³ = 32

a³ = 8

a = 2

【解答】

a = 2

【解説】

まず、交点を求めます。

x² = x + 2

x² - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

x = -1 または x = 2

-1 ≤ x ≤ 2 において、直線 y = x + 2 が放物線 y = x² より上にあります。

面積を計算します。

S = ∫₋₁² {(x + 2) - x²} dx

= ∫₋₁² (-x² + x + 2) dx

= [-x³/3 + x²/2 + 2x]₋₁²

= (-8/3 + 2 + 4) - (1/3 + 1/2 - 2)

= (-8/3 + 6) - (1/3 + 1/2 - 2)

= 10/3 - (-7/6)

= 10/3 + 7/6

= 20/6 + 7/6

= 27/6

= 9/2

【公式を使った別解】

放物線と直線で囲まれた面積の公式：S = |a|/6 × (β - α)³

（y = ax² + bx + c と y = mx + n の交点の x 座標が α, β のとき）

ここでは α = -1、β = 2、a = 1（x² の係数）

S = 1/6 × (2 - (-1))³ = 1/6 × 27 = 9/2

【解答】

9/2

【解説】

真数条件を確認します。

x + 3 > 0 かつ x - 1 > 0

x > -3 かつ x > 1

よって x > 1 ・・・（真数条件）

方程式を変形します。

log₂(x + 3) + log₂(x - 1) = 3

log₂{(x + 3)(x - 1)} = 3

(x + 3)(x - 1) = 2³ = 8

x² + 2x - 3 = 8

x² + 2x - 11 = 0

解の公式より

x = (-2 ± √(4 + 44))/2 = (-2 ± √48)/2 = (-2 ± 4√3)/2 = -1 ± 2√3

真数条件 x > 1 より

x = -1 + 2√3（≈ 2.46 > 1 なので適する）

x = -1 - 2√3（< 0 なので不適）

【解答】

x = -1 + 2√3

【解説】

まず、点 P が円上にあることを確認します。

1² + (2√2)² = 1 + 8 = 9 ✓

【接線の方程式を求める】

円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線の方程式は

x₁x + y₁y = r²

よって、点 P(1, 2√2) における接線は

1・x + 2√2・y = 9

x + 2√2y = 9

【三角形の面積を求める】

接線と x 軸の交点（y = 0 のとき）：x = 9、つまり (9, 0)

接線と y 軸の交点（x = 0 のとき）：2√2y = 9、y = 9/(2√2) = 9√2/4、つまり (0, 9√2/4)

三角形の面積は

S = (1/2) × 9 × 9√2/4 = 81√2/8

【解答】

接線の方程式：x + 2√2y = 9

三角形の面積：81√2/8

【解説】

この漸化式は aₙ₊₁ = paₙ + f(n) の形なので、まず特殊解を見つけます。

特殊解として aₙ = αn + β の形を仮定します。

α(n+1) + β = 2(αn + β) + n

αn + α + β = 2αn + 2β + n

αn + α + β = (2α + 1)n + 2β

係数比較して

α = 2α + 1 より α = -1

α + β = 2β より -1 + β = 2β、β = -1

特殊解は -n - 1

bₙ = aₙ - (-n - 1) = aₙ + n + 1 とおくと

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + (n + 1) + 1 = aₙ₊₁ + n + 2

= (2aₙ + n) + n + 2

= 2aₙ + 2n + 2

= 2(aₙ + n + 1)

= 2bₙ

よって {bₙ} は公比2の等比数列で

b₁ = a₁ + 1 + 1 = 1 + 2 = 3

bₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹

したがって

aₙ = bₙ - n - 1 = 3 × 2ⁿ⁻¹ - n - 1

【検算】

a₁ = 3 × 1 - 1 - 1 = 1 ✓

a₂ = 3 × 2 - 2 - 1 = 3

漸化式で確認：a₂ = 2a₁ + 1 = 2 × 1 + 1 = 3 ✓

【解答】

aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹ - n - 1