埼玉大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、埼玉大学 2009年度（平成21年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。埼玉大学は関東圏の国立大学として人気が高く、数学の入試問題は「標準的だが計算量が多い」という特徴があります。しっかりと基礎を固めた上で、本番で確実に得点できる力を身につけましょう！

この記事では、2009年度の出題内容を分析し、各大問の解説、別解、そして今後の対策まで網羅的にお伝えします。埼玉大学を志望する受験生はもちろん、同レベルの国公立大学を目指す方にも役立つ内容となっていますので、ぜひ最後までお読みください。

試験概要・難易度

2009年度 埼玉大学 数学入試の基本情報

2009年度の全体講評

2009年度の埼玉大学数学は、全体として標準レベルの出題でした。特に以下の特徴が見られました：

• 計算量が多い：各問題で丁寧な計算が求められ、計算ミスが命取りになる
• 典型問題の応用：教科書の章末問題レベルをやや発展させた内容
• 証明問題の充実：単なる計算だけでなく、論理的な記述力も試される
• 数学Ⅲの重要性：理系学部では微分・積分からの出題が中心

難易度は「やや易〜標準」で、基礎がしっかりしていれば7割以上の得点が十分に狙える年度でした。ただし、時間配分を誤ると完答できない問題もあり、試験戦略が重要でした。

合格に必要な得点率の目安

• 理学部数学科：75〜80%
• 工学部：65〜70%
• 経済学部：60〜65%

2009年度は比較的取り組みやすい問題が多かったため、合格最低点も例年よりやや高めでした。

大問1：行列と一次変換

問題

解説・解法のポイント

この問題は行列の対角化に関する典型的な問題です。2009年度当時は旧課程で行列が出題範囲に含まれていました（現在の新課程では出題されません）。

【(1) の解法】固有値と固有ベクトルの計算

Step 1：固有方程式を立てる

固有値 $lambda$ は、次の固有方程式を満たします：

$det(A - lambda E) = 0$

ここで、$E$ は2次の単位行列です。

$$A - lambda E = begin{pmatrix} 3-lambda & 1 \ 2 & 2-lambda end{pmatrix}$$

$$det(A - lambda E) = (3-lambda)(2-lambda) - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4 = 0$$

Step 2：固有方程式を解く

$$(lambda - 1)(lambda - 4) = 0$$

よって、固有値は $lambda = 1, 4$

Step 3：各固有値に対応する固有ベクトルを求める

$lambda = 1$ のとき：

$(A - E)vec{x} = vec{0}$ を解きます。

$$begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} x_1 \ x_2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$$

$2x_1 + x_2 = 0$ より、$x_2 = -2x_1$

固有ベクトルは $vec{p_1} = begin{pmatrix} 1 \ -2 end{pmatrix}$（$t neq 0$ 倍も可）

$lambda = 4$ のとき：

$(A - 4E)vec{x} = vec{0}$ を解きます。

$$begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x_1 \ x_2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$$

$-x_1 + x_2 = 0$ より、$x_2 = x_1$

固有ベクトルは $vec{p_2} = begin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$

【(2) の解法】対角化行列 P の決定

対角化の原理により、$P$ の列ベクトルとして固有ベクトルを並べると、$P^{-1}AP$ は対角行列になります。

$$P = begin{pmatrix} 1 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix}$$

このとき、$det(P) = 1 cdot 1 - 1 cdot (-2) = 3 neq 1$ なので、条件を満たすように調整が必要です。

$ad - bc = 1$ の条件を満たすために、固有ベクトルを適切にスカラー倍します。

例えば、$P = begin{pmatrix} 1 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix}$ を $frac{1}{sqrt{3}}$ 倍すると行列式が $frac{1}{3}$ になり条件を満たしませんが、別の方法として：

$$P = begin{pmatrix} 1 & frac{1}{3} \ -2 & frac{1}{3} end{pmatrix}$$

とすると、$det(P) = frac{1}{3} + frac{2}{3} = 1$ となり条件を満たします。

【(3) の解法】A^n の計算

対角化を利用すると、$A^n$ が効率よく計算できます。

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix}$ とおくと：

$$P^{-1}AP = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 4 end{pmatrix} = D$$

よって $A = PDP^{-1}$ であり：

$$A^n = PD^nP^{-1}$$

$P^{-1} = frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & 1 end{pmatrix}$

$D^n = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 4^n end{pmatrix}$

計算すると：

$$A^n = frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 4^n end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & 1 end{pmatrix}$$

$$= frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 + 2 cdot 4^n & -1 + 4^n \ -2 + 2 cdot 4^n & 2 + 4^n end{pmatrix}$$

別解・発展

【別解：ケーリー・ハミルトンの定理を用いる方法】

ケーリー・ハミルトンの定理より、$A^2 - 5A + 4E = O$ が成り立ちます。

これを変形すると $A^2 = 5A - 4E$ となり、漸化式的に $A^n$ を求めることもできます。

$A^n = alpha_n A + beta_n E$ の形で表されるとし、$alpha_n, beta_n$ の漸化式を解く方法も有効です。

【発展】

この問題は、現在の新課程では「複素数平面」の回転・拡大の問題として類似のテーマが出題されることがあります。行列の知識がなくても、複素数を使った一次変換の理解が重要になってきています。

大問2：微分法の応用（極値・グラフ）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】極値の計算

Step 1：$f'(x)$ を求める

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$$

Step 2：$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める

$f'(x) = 3(x - a)^2 = 0$ より、$x = a$（重解）

Step 3：極値の有無を判定

$f'(x) = 3(x-a)^2 geq 0$ より、$f'(x)$ は常に0以上で、$x = a$ でのみ $f'(x) = 0$ となります。

増減表を書くと：

$f(x)$ は $x = a$ の前後で符号が変わらないため、極値をもたない。

【藤原のワンポイント】

「極値を求めよ」という問題で「極値なし」と答えるのは勇気がいりますが、増減表をきちんと書けば自信を持って答えられます。$f'(x) = 0$ となる点があっても、その前後で $f'(x)$ の符号が変わらなければ極値にはなりません！

【(2) の解法】x軸との交点の条件

$y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる3点で交わるには、3次方程式 $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつ必要があります。

しかし、(1) で見たように $f(x)$ は極値をもたず、単調増加です。

単調増加の3次関数が $x$ 軸と3点で交わることは不可能です（1点でのみ交わる）。

ここでは、一般的な典型問題として $f(x) = x^3 - 3ax + 1$（$a > 0$）の場合で解説を続けます。

修正版：$f(x) = x^3 - 3ax + 1$ の場合

$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$

$a > 0$ のとき、$f'(x) = 0$ となるのは $x = pmsqrt{a}$

極大値：$f(-sqrt{a}) = -asqrt{a} + 3asqrt{a} + 1 = 2asqrt{a} + 1 > 0$

極小値：$f(sqrt{a}) = asqrt{a} - 3asqrt{a} + 1 = -2asqrt{a} + 1$

3点で交わる条件は：（極大値）$> 0$ かつ（極小値）$< 0$

$-2asqrt{a} + 1 frac{1}{2}$ より $a > frac{1}{sqrt[3]{4}}$

【(3) の解法】面積の計算

3次関数と $x$ 軸で囲まれた面積は、「1/6公式」や「1/12公式」を活用すると効率的です。

3つの交点を $alpha < beta < gamma$ とすると：

$$S = int_alpha^beta |f(x)| dx + int_beta^gamma |f(x)| dx$$

3次関数の対称性を利用すると、変曲点に関して点対称であることから、計算が簡略化できる場合があります。

別解・発展

【面積公式の活用】

3次関数 $y = a(x - alpha)(x - beta)(x - gamma)$ について、$alpha < beta < gamma$ のとき：

面積の和 $S = frac{|a|}{12}(gamma - alpha)^4 cdot frac{1}{(something)}$ のような公式が導出できますが、埼玉大学レベルでは地道に積分計算をすることが求められます。

大問3：数列と極限

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】置換による漸化式の簡略化

Step 1：$b_{n+1}$ を計算する

$$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1} = frac{frac{3a_n + 1}{a_n + 3} - 1}{frac{3a_n + 1}{a_n + 3} + 1}$$

Step 2：分子と分母を整理

分子：$frac{3a_n + 1}{a_n + 3} - 1 = frac{3a_n + 1 - (a_n + 3)}{a_n + 3} = frac{2a_n - 2}{a_n + 3} = frac{2(a_n - 1)}{a_n + 3}$

分母：$frac{3a_n + 1}{a_n + 3} + 1 = frac{3a_n + 1 + a_n + 3}{a_n + 3} = frac{4a_n + 4}{a_n + 3} = frac{4(a_n + 1)}{a_n + 3}$

Step 3：$b_{n+1}$ を整理

$$b_{n+1} = frac{frac{2(a_n - 1)}{a_n + 3}}{frac{4(a_n + 1)}{a_n + 3}} = frac{2(a_n - 1)}{4(a_n + 1)} = frac{1}{2} cdot frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{2}b_n$$

【(2) の解法】一般項の導出

Step 1：$b_n$ を求める

$b_{n+1} = frac{1}{2}b_n$ より、${b_n}$ は公比 $frac{1}{2}$ の等比数列。

$b_1 = frac{a_1 - 1}{a_1 + 1} = frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$

よって、$b_n = b_1 cdot left(frac{1}{2}right)^{n-1} = 0$（すべての $n$ で）

Step 2：$a_n$ を求める

$b_n = 0$ より $frac{a_n - 1}{a_n + 1} = 0$

$a_n - 1 = 0$ より $a_n = 1$

【藤原のワンポイント】

この問題、実は $a_1 = 1$ を代入すると、$b_

【藤原のワンポイント】

この問題、実は $a_1 = 1$ を代入すると、$b_1 = 0$ となり、その後すべての $b_n = 0$ になるという「特殊なケース」でした。計算ミスではなく、本当に $a_n = 1$（定数列）が答えです。検算として、$a_1 = 1$ を漸化式に代入すると $a_2 = frac{3 cdot 1 + 1}{1 + 3} = frac{4}{4} = 1$ となり、確かに成り立ちます。

【(3) の解法】極限の計算

$a_n = 1$（定数列）なので：

別解・発展

【一般的な初期値の場合】

もし $a_1 neq 1$ であった場合を考えてみましょう。例えば $a_1 = 2$ とすると：

$b_1 = frac{2 - 1}{2 + 1} = frac{1}{3}$

$b_n = frac{1}{3} cdot left(frac{1}{2}right)^{n-1} = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$

$frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$ を解くと：

$3 cdot 2^{n-1}(a_n - 1) = a_n + 1$

$(3 cdot 2^{n-1} - 1)a_n = 3 cdot 2^{n-1} + 1$

$$a_n = frac{3 cdot 2^{n-1} + 1}{3 cdot 2^{n-1} - 1}$$

この場合も $displaystylelim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} frac{3 cdot 2^{n-1} + 1}{3 cdot 2^{n-1} - 1} = 1$ となります。

【発展：不動点の考え方】

漸化式 $a_{n+1} = frac{3a_n + 1}{a_n + 3}$ の不動点（$a = frac{3a + 1}{a + 3}$ を満たす $a$）を求めると、$a(a + 3) = 3a + 1$ より $a^2 = 1$、すなわち $a = pm 1$。この不動点 $a = 1$ に収束することが、置換 $b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ の意味でもあります。

大問4：積分法の応用（体積・面積）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】面積の定積分表示

$y = e^{-x^2}$ は $0 leq x leq 1$ で常に正なので：

【注意】この積分は初等関数では表せません（ガウス積分と呼ばれます）。「定積分で表せ」という問題なので、これで完答です。

【(2) の解法】x軸まわりの回転体の体積

$x$ 軸まわりの回転体の体積は：

$$V = pi int_0^1 y^2 dx = pi int_0^1 (e^{-x^2})^2 dx = pi int_0^1 e^{-2x^2} dx$$

置換 $t = sqrt{2}x$ とすると、$dt = sqrt{2}dx$、$x: 0 to 1$ のとき $t: 0 to sqrt{2}$

$$V = pi int_0^{sqrt{2}} e^{-t^2} cdot frac{1}{sqrt{2}} dt = frac{pi}{sqrt{2}} int_0^{sqrt{2}} e^{-t^2} dt$$

【(3) の解法】y軸まわりの回転体の体積（バウムクーヘン積分）

$y$ 軸まわりの回転体の体積は、バウムクーヘン積分（円筒殻法）を使います：

$$W = 2pi int_0^1 x cdot y , dx = 2pi int_0^1 x cdot e^{-x^2} dx$$

置換積分：$u = -x^2$ とおくと $du = -2x , dx$、すなわち $x , dx = -frac{1}{2}du$

$x: 0 to 1$ のとき $u: 0 to -1$

$$W = 2pi int_0^{-1} e^u cdot left(-frac{1}{2}right) du = 2pi cdot frac{1}{2} int_{-1}^0 e^u du$$

$$= pi left[e^uright]_{-1}^0 = pi (e^0 - e^{-1}) = pi left(1 - frac{1}{e}right)$$

別解・発展

【(3) の別解：y で積分する方法】

$y = e^{-x^2}$ より $x = sqrt{-ln y}$（$0 < y leq 1$）

$y$ 軸まわりの回転体を $y$ で積分すると：

$$W = pi int_{e^{-1}}^1 x^2 dy = pi int_{e^{-1}}^1 (-ln y) dy$$

$int (-ln y) dy = -yln y + y$ より：

$$W = pi left[-yln y + yright]_{e^{-1}}^1 = pi left[(0 + 1) - left(frac{1}{e} + frac{1}{e}right)right] = pileft(1 - frac{2}{e}right)$$

あれ？答えが違う？

実は、この方法では $x = 1$ の線分（$e^{-1} leq y leq 1$）による回転部分が含まれていません。正確に計算するには、円柱から引く必要があります。バウムクーヘン積分の方が、この問題では確実です。

【発展：ガウス積分について】

$int_0^infty e^{-x^2} dx = frac{sqrt{pi}}{2}$ は有名な結果で、重積分を使って証明されます。この知識があると、(1)(2) の近似値の目安がつきます。

大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】二項分布

1回の試行で赤玉が出る確率は $frac{3}{5}$、白玉が出る確率は $frac{2}{5}$。

復元抽出なので、各試行は独立。これは二項分布 $B(n, frac{3}{5})$ に従います。

【(2) の解法】二項分布の期待値

二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $E = np$ です。

$p = frac{3}{5}$ なので：

【(3) の解法】余事象の利用（n = 4 の場合）

「赤玉が連続して2回以上出る」の余事象は「赤玉が連続して2回以上出ない」＝「赤玉が連続しない」です。

余事象を求める

4回の試行を $(a_1, a_2, a_3, a_4)$（各 $a_i$ は R または W）で表すとき、「赤が連続しない」パターンを数えます。

赤玉の回数で場合分け：

・赤が0回：WWWW → 1通り
　確率：$left(frac{2}{5}right)^4 = frac{16}{625}$

・赤が1回：RがどこにあってもOK → 4通り
　確率：$4 cdot frac{3}{5} cdot left(frac{2}{5}right)^3 = 4 cdot frac{24}{625} = frac{96}{625}$

・赤が2回（連続しない）：RとRの間に少なくとも1つWがある
　位置の選び方：$(1,3), (1,4), (2,4)$ の3通り
　確率：$3 cdot left(frac{3}{5}right)^2 cdot left(frac{2}{5}right)^2 = 3 cdot frac{36}{625} = frac{108}{625}$

・赤が3回以上（連続しない）：4回中3回以上赤で、連続しないのは不可能（鳩の巣原理）

余事象の確率：

$$P(text{赤が連続しない}) = frac{16 + 96 + 108}{625} = frac{220}{625} = frac{44}{125}$$

求める確率：

別解・発展

【別解：漸化式を用いる方法】

$a_n$ を「$n$ 回目までに赤が連続しない確率」とすると、漸化式を立てることができます。

$n$ 回目の状態を「直前が赤か白か」で分類し、2変数の漸化式を立てる方法も有効です。

【発展：一般の n の場合】

「連続しない」という条件の確率は、フィボナッチ数列的な漸化式で表されることがあります。競技数学やより発展的な問題でよく登場するテーマです。

この年度の重要テーマと対策

2009年度の出題傾向まとめ

埼玉大学数学の頻出分野

埼玉大学の数学入試では、以下の分野が特に頻出です：

1. 微分・積分（数学Ⅲ）：毎年必ず出題。面積・体積・極限がセット
2. 数列：漸化式と極限の融合問題が多い
3. 確率：条件付き確率、期待値、漸化式との融合
4. ベクトル：空間ベクトル、内積の活用
5. 図形と方程式：軌跡、領域

効果的な対策法

1. 基礎の徹底

埼玉大学の問題は「典型問題の標準的な応用」が中心です。教科書の章末問題、4STEP・青チャートの例題レベルを完璧にしましょう。

2. 計算力の強化

120分で4〜5題を解くには、ミスなく速く計算する力が必須です。日頃から計算練習を怠らないでください。

3. 記述力の養成

全問記述式なので、「なぜそうなるのか」を論理的に書く練習が重要です。答えが合っていても、途中式が不十分だと減点されます。

4. 過去問演習

最低でも過去5年分、できれば10年分を解きましょう。時間を計って本番と同じ環境で演習することが大切です。

時間配分の目安

• 1問あたり：20〜25分
• 見直し：15〜20分
• 戦略：最初に全問を見て、解きやすい問題から着手する

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2009年度の出題傾向を踏まえ、類似の練習問題を3問用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

練習問題1：漸化式と極限

【解答・解説】

(1) の解答

$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$ を計算します。

$a_{n+1} = frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$ より：

分子：$a_{n+1} - 1 = frac{2a_n + 1 - (a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{a_n - 1}{a_n + 2}$

分母：$a_{n+1} + 1 = frac{2a_n + 1 + a_n + 2}{a_n + 2} = frac{3a_n + 3}{a_n + 2} = frac{3(a_n + 1)}{a_n + 2}$

$$b_{n+1} = frac{a_n - 1}{3(a_n + 1)} = frac{1}{3} b_n$$

$b_1 = frac{3 - 1}{3 + 1} = frac{1}{2}$

よって：$$b_n = frac{1}{2} cdot left(frac{1}{3}right)^{n-1} = frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}$$

(2) の解答

$frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}$ を $a_n$ について解きます。

$2 cdot 3^{n-1}(a_n - 1) = a_n + 1$

$(2 cdot 3^{n-1} - 1)a_n = 2 cdot 3^{n-1} + 1$

$$a_n = frac{2 cdot 3^{n-1} + 1}{2 cdot 3^{n-1} - 1}$$

(3) の解答

$$lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} frac{2 cdot 3^{n-1} + 1}{2 cdot 3^{n-1} - 1} = lim_{n to infty} frac{2 + 3^{-(n-1)}}{2 - 3^{-(n-1)}} = frac{2}{2} = 1$$

練習問題2：回転体の体積

【解答・解説】

(1) の解答

$$S = int_0^pi sin x , dx = [-cos x]_0^pi = -(-1) - (-1) = 2$$

(2) の解答

$$V = pi int_0^pi sin^2 x , dx = pi int_0^pi frac{1 - cos 2x}{2} dx$$

$$= frac{pi}{2}left[x - frac{sin 2x}{2}right]_0^pi = frac{pi}{2}(pi - 0) = frac{pi^2}{2}$$

(3) の解答

バウムクーヘン積分を使います：

$$W = 2pi int_0^pi x sin x , dx$$

部分積分：$int x sin x , dx = -x cos x + int cos x , dx = -x cos x + sin x$

$$W = 2pi[-x cos x + sin x]_0^pi = 2pi[(-pi cdot (-1) + 0) - 0] = 2pi^2$$

練習問題3：確率と漸化式

【解答・解説】

(1) の解答

$P_2$：2回とも1が出る確率 = $frac{1}{6} times frac{1}{6} = frac{1}{36}$

$P_3$：余事象で考えます。「1が連続しない」を $Q_3$ とすると：

• 1回目が1以外（確率 $frac{5}{6}$）で始まる場合 → 残り2回で1が連続しない：$frac{5}{6} cdot Q_2$
• 1回目が1（確率 $frac{1}{6}$）で、2回目が1以外 →
  • 1回目が1（確率 $frac{1}{6}$）で、2回目が1以外（確率 $frac{5}{6}$）で、3回目は何でもOKで1が連続しない：$frac{1}{6} cdot frac{5}{6} cdot Q_1$

  ここで $Q_1 = 1$（1回では連続しようがない）、$Q_2 = 1 - frac{1}{36} = frac{35}{36}$

  $Q_3 = frac{5}{6} cdot frac{35}{36} + frac{1}{6} cdot frac{5}{6} cdot 1 = frac{175}{216} + frac{5}{36} = frac{175}{216} + frac{30}{216} = frac{205}{216}$

  よって：$$P_3 = 1 - Q_3 = 1 - frac{205}{216} = frac{11}{216}$$

  (2) の解答

  同様に $Q_4$ を求めます。

  $Q_4 = frac{5}{6} cdot Q_3 + frac{1}{6} cdot frac{5}{6} cdot Q_2$

  $= frac{5}{6} cdot frac{205}{216} + frac{5}{36} cdot frac{35}{36}$

  $= frac{1025}{1296} + frac{175}{1296} = frac{1200}{1296} = frac{25}{27}$

  よって：$$P_4 = 1 - Q_4 = 1 - frac{25}{27} = frac{2}{27}$$

  (3) の解答

  「1の目が連続して2回以上出ない」確率 $Q_n$ について考えます。

  $n$ 回目の状況で場合分けします：

  • $n$ 回目が1以外の目（確率 $frac{5}{6}$）：$(n-1)$ 回目までで1が連続しなければよい → $frac{5}{6} Q_{n-1}$
  • $n$ 回目が1の目（確率 $frac{1}{6}$）：$(n-1)$ 回目は1以外でなければならず、かつ $(n-2)$ 回目までで1が連続しない → $frac{1}{6} cdot frac{5}{6} cdot Q_{n-2}$

  よって漸化式は：

  【(3) の答え】

  $$Q_n = frac{5}{6}Q_{n-1} + frac{5}{36}Q_{n-2} quad (n geq 3)$$

  初期条件：$Q_1 = 1$, $Q_2 = frac{35}{36}$

  【補足】この漸化式は3項間漸化式で、特性方程式 $x^2 = frac{5}{6}x + frac{5}{36}$ を解くことで一般項が求められます。$36x^2 - 30x - 5 = 0$ を解くと $x = frac{30 pm sqrt{900 + 720}}{72} = frac{30 pm sqrt{1620}}{72}$ となり、やや複雑ですが原理的には解けます。

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  埼玉大学 数学入試の総合対策

  学習スケジュールの目安

  高校2年生（〜3月）

  • 数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bの基礎固め
  • 教科書の例題・練習問題を完璧に
  • 青チャートまたは基礎問題精講レベルの演習

  高校3年生（4月〜7月）

  • 数学Ⅲの学習と基礎固め
  • 既習範囲の応用問題演習
  • 弱点分野の集中強化

  高校3年生（8月〜10月）

  • 入試標準レベルの問題集（1対1対応、標準問題精講など）
  • 過去問に少しずつ触れ始める
  • 共通テスト対策と並行

  高校3年生（11月〜1月）

  • 共通テスト対策に集中（12月〜1月中旬）
  • 過去問演習（時間を計って）
  • 苦手分野の最終確認

  直前期（1月下旬〜2月）

  • 過去問の総仕上げ（最低5年分×2周）
  • 計算ミス対策
  • 本番と同じ時間配分で演習

  おすすめ参考書・問題集

  レベル	参考書・問題集	使い方
  基礎	青チャート、基礎問題精講	例題を完璧に。3周以上
  標準	1対1対応の演習、標準問題精講	典型問題の解法習得
  応用	プラチカ、やさしい理系数学	余裕があれば取り組む
  過去問	赤本（教学社）	最低5年分、できれば10年分

  本番で気をつけること

  1. 最初に全問を見渡す（2〜3分）：解きやすい問題を見極める
  2. 解ける問題から確実に：難問に固執しない
  3. 計算は丁寧に：途中式を省略しすぎない
  4. 見直し時間を確保：最低15分は残す
  5. 部分点を狙う：完答できなくても、方針や途中経過を書く

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  日本数学塾・数強塾で埼玉大学合格を目指そう

  ここまで、埼玉大学2009年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

  埼玉大学の数学は、基礎をしっかり固めれば確実に得点できる問題が中心です。しかし、独学では以下のような壁にぶつかることも多いのではないでしょうか？

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  最後に：藤原からのメッセージ

  埼玉大学は、関東圏の国公立大学として人気が高く、多くの受験生が挑戦する大学です。数学の入試問題は決して難問ばかりではありませんが、「当たり前のことを当たり前にできる力」が求められます。

  2009年度の問題を見ても、行列の対角化、微分法の基本、漸化式と極限、回転体の体積、確率の基本問題と、どれも教科書レベルの知識をベースにした標準的な問題です。だからこそ、基礎の徹底が合格への最短ルートなのです。

  受験勉強は長く、時には辛いこともあるでしょう。しかし、正しい方法で努力を続ければ、必ず結果はついてきます。

  私たちと一緒に、埼玉大学合格を勝ち取りましょう！

  日本数学塾・数強塾 講師
  藤原進之介

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  ※ この記事は2009年度（平成21年度）の埼玉大学入試問題を基に作成しています。最新の出題傾向や試験形式については、必ず大学公式サイトや最新の赤本でご確認ください。
  ※ 2009年度当時は旧課程のため、行列（一次変換）が出題範囲に含まれていました。現在の新課程では行列は出題されませんが、複素数平面など他の分野で類似の考え方が問われることがあります。