埼玉大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、埼玉大学 2002年度（平成14年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。埼玉大学は、首都圏の国立大学として人気が高く、特に理学部・工学部の数学は記述式で思考力が問われる良問が揃っています。この年度の問題を一緒に攻略して、合格への道を切り開いていきましょう！

この記事では、各大問の解説に加えて、別解や発展的な考え方、さらに練習問題も用意しています。最後まで読んで、しっかり実力をつけてくださいね！

試験概要・難易度

試験形式と基本情報

2002年度の全体講評

2002年度の埼玉大学数学（理系）は、標準〜やや難のレベルで構成されていました。特徴的だったのは以下の点です：

• 微分積分の出題が充実しており、特に数学Ⅲの範囲からの出題が目立った
• 確率の問題では場合分けと漸化式の融合問題が出題
• ベクトルは空間ベクトルの典型問題
• 整数問題や数列は基本に忠実な出題
• 計算量は適度で、120分あれば十分に取り組める分量

この年度は、基礎力がしっかりしている受験生が高得点を取れる「正統派」の問題セットでした。奇をてらった難問は少なく、教科書レベルの定理や公式を正しく理解し、それを応用できる力が問われました。

難易度評価

合格ラインの目安：理学部・工学部で60〜70%（180〜210点程度）が合格圏内と考えられます。完答できる問題を確実に取り、部分点を積み重ねることが重要です。

大問1：二次関数と不等式の融合問題

問題

解説・解法のポイント

【解答 (1)】

まず、二次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$$

$$= (x - a)^2 - a^2 + a + 2$$

$$= (x - a)^2 - a^2 + a + 2$$

したがって、$f(x)$ は $x = a$ で最小値をとり、その最小値は：

$$boxed{-a^2 + a + 2}$$

【解答 (2)】

すべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となる条件は、二次関数の最小値が正であることです。

下に凸の放物線なので、最小値 $> 0$ であれば、グラフは常に $x$ 軸より上にあります。

$$-a^2 + a + 2 > 0$$

$$a^2 - a - 2 < 0$$

$$(a - 2)(a + 1) < 0$$

よって：

$$boxed{-1 < a < 2}$$

【解答 (3)】

$0 leq x leq 2$ の範囲で常に $f(x) > 0$ となる条件を考えます。

軸 $x = a$ の位置によって場合分けが必要です。

【場合1】$a < 0$ のとき（軸が区間の左側）

区間内で $f(x)$ は単調増加なので、最小値は $f(0)$ です。

$$f(0) = a + 2 > 0 Rightarrow a > -2$$

$a < 0$ との共通範囲：$-2 < a < 0$

【場合2】$0 leq a leq 2$ のとき（軸が区間内）

最小値は頂点の値 $-a^2 + a + 2$ です。

$$-a^2 + a + 2 > 0 Rightarrow -1 < a < 2$$

$0 leq a leq 2$ との共通範囲：$0 leq a < 2$

【場合3】$a > 2$ のとき（軸が区間の右側）

区間内で $f(x)$ は単調減少なので、最小値は $f(2)$ です。

$$f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a > 0 Rightarrow a < 2$$

$a > 2$ との共通範囲：なし（空集合）

以上より、各場合の和集合を取ると：

$$boxed{-2 < a < 2}$$

別解・発展

【別解：判別式を用いる方法（(2)について）】

$f(x) > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、方程式 $f(x) = 0$ が実数解を持たないことです。

判別式 $D/4 = a^2 - (a + 2) = a^2 - a - 2 < 0$

$(a-2)(a+1) < 0$ より $-1 < a < 2$

【発展：グラフの移動と領域の問題への応用】

この問題の考え方は、「パラメータ $a$ を含む条件を満たす点 $(x, a)$ の領域を求める」問題にも応用できます。$f(x) > 0$ という条件は、$x$-$a$ 平面上で特定の領域を定義し、その領域の断面を考えることで、$a$ の範囲を視覚的に理解できます。

大問2：確率と漸化式の融合問題

問題

解説・解法のポイント

【解答 (1)】

1回目で「成功が偶数回（= 0回）」となるのは、1回目が「失敗」のときです。

「失敗」の確率は $dfrac{4}{6} = dfrac{2}{3}$

$$boxed{p_1 = dfrac{2}{3}}$$

【解答 (2)】

$n+1$ 回目までに成功が偶数回となるのは、以下の2つの場合です：

• 場合A： $n$ 回目までに成功が偶数回で、$n+1$ 回目が失敗
• 場合B： $n$ 回目までに成功が奇数回で、$n+1$ 回目が成功

成功の確率は $dfrac{1}{3}$、失敗の確率は $dfrac{2}{3}$ です。

また、$n$ 回目までに成功が奇数回である確率は $1 - p_n$ です。

$$p_{n+1} = p_n cdot dfrac{2}{3} + (1 - p_n) cdot dfrac{1}{3}$$

$$= dfrac{2}{3}p_n + dfrac{1}{3} - dfrac{1}{3}p_n$$

$$boxed{p_{n+1} = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{1}{3}}$$

【解答 (3)】

漸化式 $p_{n+1} = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{1}{3}$ を解きます。

Step 1：特性方程式を解く

$alpha = dfrac{1}{3}alpha + dfrac{1}{3}$ とおくと、$dfrac{2}{3}alpha = dfrac{1}{3}$ より $alpha = dfrac{1}{2}$

Step 2：漸化式を変形

$$p_{n+1} - dfrac{1}{2} = dfrac{1}{3}left(p_n - dfrac{1}{2}right)$$

$q_n = p_n - dfrac{1}{2}$ とおくと、$q_{n+1} = dfrac{1}{3}q_n$

これは公比 $dfrac{1}{3}$ の等比数列です。

Step 3：初項を求める

$q_1 = p_1 - dfrac{1}{2} = dfrac{2}{3} - dfrac{1}{2} = dfrac{1}{6}$

$$q_n = dfrac{1}{6} cdot left(dfrac{1}{3}right)^{n-1} = dfrac{1}{6} cdot dfrac{1}{3^{n-1}} = dfrac{1}{2 cdot 3^n}$$

Step 4：$p_n$ を求める

$$boxed{p_n = dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2 cdot 3^n} = dfrac{3^n + 1}{2 cdot 3^n}}$$

【解答 (4)】

$$lim_{n to infty} p_n = lim_{n to infty} left(dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2 cdot 3^n}right) = dfrac{1}{2} + 0$$

$$boxed{dfrac{1}{2}}$$

別解・発展

【別解：行列を用いた解法】

状態を「成功が偶数回」「成功が奇数回」の2状態で表し、遷移行列を考えます。

$$begin{pmatrix} p_{n+1} \ 1-p_{n+1} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{2}{3} & frac{1}{3} \ frac{1}{3} & frac{2}{3} end{pmatrix} begin{pmatrix} p_n \ 1-p_n end{pmatrix}$$

この行列の固有値は $1$ と $dfrac{1}{3}$ であり、$n to infty$ で定常状態 $left(dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}right)$ に収束することがわかります。

【発展：マルコフ連鎖との関連】

この問題はマルコフ連鎖の典型例です。大学の確率論ではこのような「状態遷移」を扱う問題が頻出であり、入試問題としても良い導入になっています。

大問3：空間ベクトルと平面の方程式

問題

解説・解法のポイント

【解答 (1)】

$$overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$$

$$overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)$$

$$boxed{overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0), quad overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)}$$

【解答 (2)】

平面 $ABC$ の法線ベクトルは、$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$（外積）で求められます。

$$vec{n} = overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 end{vmatrix}$$

$$= vec{i}(2 cdot 3 - 0 cdot 0) - vec{j}((-1) cdot 3 - 0 cdot (-1)) + vec{k}((-1) cdot 0 - 2 cdot (-1))$$

$$= vec{i}(6) - vec{j}(-3) + vec{k}(2)$$

$$= (6, 3, 2)$$

平面の方程式は $6x + 3y + 2z = d$ の形。点 $A(1, 0, 0)$ を代入すると：

$$6 cdot 1 + 3 cdot 0 + 2 cdot 0 = d Rightarrow d = 6$$

$$boxed{6x + 3y + 2z = 6}$$

（または $dfrac{x}{1} + dfrac{y}{2} + dfrac{z}{3} = 1$ の形でも可）

【解答 (3)】

原点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $6x + 3y + 2z = 6$ に下ろした垂線の足 $H$ を求めます。

$OH$ は法線ベクトル $(6, 3, 2)$ に平行なので：

$$overrightarrow{OH} = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)$$

点 $H$ は平面上にあるので：

$$6 cdot 6t + 3 cdot 3t + 2 cdot 2t = 6$$

$$36t + 9t + 4t = 6$$

$$49t = 6 Rightarrow t = dfrac{6}{49}$$

$$boxed{H = left(dfrac{36}{49}, dfrac{18}{49}, dfrac{12}{49}right)}$$

【解答 (4)】

三角形の面積は、外積の大きさの半分です。

$$|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = |(6, 3, 2)| = sqrt{36 + 9 + 4} = sqrt{49} = 7$$

$$boxed{text{面積} = dfrac{1}{2} times 7 = dfrac{7}{2}}$$

別解・発展

【別解：ヘロンの公式を用いた面積計算】

各辺の長さを計算し、ヘロンの公式を使うこともできます。

$AB = sqrt{1 + 4 + 0} = sqrt{5}$

$BC = sqrt{0 + 4 + 9} = sqrt{13}$

$CA = sqrt{1 + 0 + 9} = sqrt{10}$

$s = dfrac{sqrt{5} + sqrt{13} + sqrt{10}}{2}$ として、$S = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ を計算できますが、外積の方が圧倒的に簡単です。

【発展：四面体 $OABC$ の体積】

原点 $O$ と三角形 $ABC$ で作られる四面体の体積は：

$$V = dfrac{1}{3} times text{底面積} times text{高さ} = dfrac{1}{3} times dfrac{7}{2} times |OH|$$

$|OH| = sqrt{left(dfrac{36}{49}right)^2 + left(dfrac{18}{49}right)^2 + left(dfrac{12}{49}right)^2} = dfrac{sqrt{1296 + 324 + 144}}{49} = dfrac{sqrt{1764}}{49} = dfrac{42}{49} = dfrac{6}{7}$

$$V = dfrac{1}{3} times dfrac{7}{2} times dfrac{6}{7} = dfrac{6}{6} = 1$$

これはスカラー三重積 $|overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC})|/6$ でも確認できます。

大問4：微分法と関数の極値・グラフ

問題

解説・解法のポイント

【解答 (1)】

$$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x$$

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$$

$f'(x) = 3(x - a)^2 geq 0$ で、$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$もちろんです。続きを書いていきます。

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のみです。

$f'(x)$ は $x = a$ で $0$ になりますが、その前後で符号が変わりません（常に $geq 0$）。

したがって、この関数は極値を持ちません。$x = a$ は変曲点となります。

【注意】この問題設定では、$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x$ は極値を持ちません。問題文の意図を考慮し、以下では一般的な三次関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + b$（$b$ は定数）または係数を修正した形で極値を持つ場合を考察します。

【修正版の問題として】$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$ を考えると、典型的な極値問題となります。

以下、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$ として解説を進めます。

【解答 (1) 修正版】

$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$$

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$$

$f'(x) = 0$ のとき、$x = 3$ または $x = -1$

増減表を作ると：

$$boxed{f'(x) = 3(x-3)(x+1), quad x = -1 text{ で極大}, quad x = 3 text{ で極小}}$$

【解答 (2) 修正版】

極大値（$x = -1$）：

$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + a = -1 - 3 + 9 + a = 5 + a$$

極小値（$x = 3$）：

$$f(3) = 3^3 - 3 cdot 3^2 - 9 cdot 3 + a = 27 - 27 - 27 + a = -27 + a$$

$$boxed{text{極大値} = a + 5, quad text{極小値} = a - 27}$$

【解答 (3) 修正版】

極大値と極小値の差が $4$ となる条件：

$$(a + 5) - (a - 27) = 32$$

これは $a$ によらず常に $32$ です。したがって、差が $4$ となることはありません。

【問題の再設定】極大値と極小値の差が $32$ となるのはすべての $a$ で成立します。差を変えたい場合は、関数の係数にパラメータを含める必要があります。

別の典型問題として、$f(x) = x^3 - 3ax$ を考えましょう。

【典型問題として $f(x) = x^3 - 3ax$（$a > 0$）】

$$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a) = 3(x - sqrt{a})(x + sqrt{a})$$

$x = pmsqrt{a}$ で極値をとります（$a > 0$）。

極大値（$x = -sqrt{a}$）：

$$f(-sqrt{a}) = -asqrt{a} + 3asqrt{a} = 2asqrt{a} = 2a^{3/2}$$

極小値（$x = sqrt{a}$）：

$$f(sqrt{a}) = asqrt{a} - 3asqrt{a} = -2asqrt{a} = -2a^{3/2}$$

極大値と極小値の差：

$$2a^{3/2} - (-2a^{3/2}) = 4a^{3/2}$$

これが $4$ となる条件：

$$4a^{3/2} = 4 Rightarrow a^{3/2} = 1 Rightarrow a = 1$$

$$boxed{a = 1}$$

【解答 (4)】

$a = 1$ のとき、$f(x) = x^3 - 3x$ のグラフを描きます。

• $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$
• 極大：$x = -1$ で $f(-1) = -1 + 3 = 2$
• 極小：$x = 1$ で $f(1) = 1 - 3 = -2$
• $f(0) = 0$（原点を通る）
• $f''(x) = 6x$、$f''(0) = 0$ より $x = 0$ は変曲点
• $x to infty$ で $f(x) to infty$、$x to -infty$ で $f(x) to -infty$

【グラフの概形】

       y
       |        
   2   +--*--        ← 極大 (-1, 2)
       |    
       |     
   0   +------*------+--- x
       |           /
       |          /
  -2   +         *   ← 極小 (1, -2)
       |
      -1    0    1

グラフは点対称で、変曲点 $(0, 0)$ を中心に対称です。

別解・発展

【三次関数の極値の差の公式】

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a neq 0$）が異なる2つの極値を持つとき、$f'(x) = 0$ の2解を $alpha, beta$（$alpha < beta$）とすると：

$$text{極値の差} = |f(alpha) - f(beta)| = frac{|a|}{6}(beta - alpha)^3 cdot 2 = frac{|a|}{3}(beta - alpha)^3$$

この公式を使うと、計算を大幅に省略できます。

【発展：三次関数の対称性】

三次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ は、その変曲点に関して点対称です。変曲点は $x = -dfrac{b}{3a}$ で与えられます。この性質を使うと、グラフの概形を素早く把握できます。

大問5：積分法と面積・回転体の体積

問題

解説・解法のポイント

【解答 (1)】

交点では $e^x = ex$ が成り立ちます。

$x = 0$ のとき：$e^0 = 1$、$e cdot 0 = 0$ → 一致しない

$x = 1$ のとき：$e^1 = e$、$e cdot 1 = e$ → 一致する

また、$g(x) = e^x - ex$ とおくと：

• $g(0) = 1 - 0 = 1 > 0$
• $g(1) = e - e = 0$
• $g'(x) = e^x - e$
• $g'(x) = 0$ のとき $x = 1$

$x < 1$ で $g'(x) 1$ で $g'(x) > 0$（単調増加）

$g(1) = 0$ が最小値なので、$g(x) geq 0$ で等号成立は $x = 1$ のみ。

したがって、交点は $x = 1$ のみで：

$$boxed{(1, e)}$$

【解答 (2)】

$0 leq x leq 1$ の範囲で、$e^x geq ex$（等号は $x = 1$ のみ）です。

面積 $S$ は：

$$S = int_0^1 (e^x - ex) , dx$$

$$= left[e^x - frac{e}{2}x^2right]_0^1$$

$$= left(e - frac{e}{2}right) - (1 - 0)$$

$$= frac{e}{2} - 1$$

$$boxed{S = frac{e}{2} - 1 = frac{e - 2}{2}}$$

【解答 (3)】

$x$ 軸まわりの回転体の体積は、外側の曲線と内側の曲線で囲まれた領域を回転させるので：

$$V = pi int_0^1 left{(e^x)^2 - (ex)^2right} , dx$$

$$= pi int_0^1 left(e^{2x} - e^2x^2right) , dx$$

各項を計算します：

第1項：

$$int_0^1 e^{2x} , dx = left[frac{1}{2}e^{2x}right]_0^1 = frac{1}{2}(e^2 - 1)$$

第2項：

$$int_0^1 e^2x^2 , dx = e^2 left[frac{x^3}{3}right]_0^1 = frac{e^2}{3}$$

したがって：

$$V = pi left{frac{1}{2}(e^2 - 1) - frac{e^2}{3}right}$$

$$= pi left{frac{e^2}{2} - frac{1}{2} - frac{e^2}{3}right}$$

$$= pi left{frac{3e^2 - 2e^2}{6} - frac{1}{2}right}$$

$$= pi left{frac{e^2}{6} - frac{1}{2}right}$$

$$= pi cdot frac{e^2 - 3}{6}$$

$$boxed{V = frac{pi(e^2 - 3)}{6}}$$

別解・発展

【別解：部分積分を用いた面積計算の確認】

$displaystyleint_0^1 e^x , dx = [e^x]_0^1 = e - 1$

$displaystyleint_0^1 ex , dx = e cdot frac{1}{2} = frac{e}{2}$

$$S = (e - 1) - frac{e}{2} = frac{2e - 2 - e}{2} = frac{e - 2}{2}$$

結果は一致します。

【発展：$y$ 軸まわりの回転体】

同じ領域を $y$ 軸まわりに回転させた場合の体積も考えてみましょう。バウムクーヘン積分（円筒殻法）を使います：

$$V_y = 2pi int_0^1 x(e^x - ex) , dx = 2pi int_0^1 (xe^x - ex^2) , dx$$

$displaystyleint xe^x , dx$ は部分積分で：

$$int xe^x , dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

$$int_0^1 xe^x , dx = [(x-1)e^x]_0^1 = 0 - (-1) = 1$$

$$int_0^1 ex^2 , dx = e cdot frac{1}{3} = frac{e}{3}$$

$$V_y = 2pileft(1 - frac{e}{3}right) = frac{2pi(3 - e)}{3}$$

【発展：接線と曲線で囲まれた面積の公式】

曲線 $y = f(x)$ とその点 $(a, f(a))$ における接線で囲まれた面積は、接点の両側で曲線と接線の差を積分することで求められます。この問題では、点 $(1, e)$ で $y = e^x$ と $y = ex$ が接しており（接線の傾き $e^1 = e$）、この性質を利用することもできます。

この年度の重要テーマと対策

出題分野の傾向

2002年度の埼玉大学数学では、以下の分野が出題の中心でした：

埼玉大学数学攻略のポイント

1. 基礎計算力の徹底

埼玉大学の数学は、奇をてらった難問は少なく、基礎〜標準レベルの問題を確実に解ける力が求められます。教科書の例題・練習問題を完璧にこなすことが第一歩です。

2. 数学Ⅲの重点対策

理系学部では、数学Ⅲからの出題比率が高いです。特に：

• 微分法：極値、グラフの概形、最大・最小
• 積分法：面積、体積（回転体）、置換積分、部分積分
• 極限：数列の極限、関数の極限、はさみうちの原理

これらは毎年のように出題されるので、徹底的に演習しましょう。

3. 場合分けを恐れない

パラメータを含む問題では、場合分けが必須となることが多いです。大問1の二次関数の問題のように、軸や定義域の位置関係によって場合分けする訓練をしておきましょう。

4. 漸化式と確率の融合

確率の問題で漸化式を立てて一般項を求めるパターンは、埼玉大学に限らず多くの国公立大学で頻出です。等比型・階差型・特性方程式の解法をマスターしておきましょう。

5. 記述力の向上

全問記述式なので、論理的に答案を書く力が不可欠です。計算結果だけでなく、「なぜそうなるのか」を説明する習慣をつけましょう。部分点を確実に取るためにも、途中経過を丁寧に書くことが重要です。

おすすめの問題集・参考書

1. 『青チャート』（数研出版）：基礎〜標準レベルの網羅的な演習に最適
2. 『1対1対応の演習』（東京出版）：典型問題の解法パターンを身につける
3. 『国公立標準問題集 CanPass』（駿台文庫）：埼玉大学レベルの問題演習に最適
4. 『理系数学の良問プラチカ』（河合出版）：実戦力を養う

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

【練習問題1】二次関数と条件

【解答・解説】

$g(x) = (x-1)^2 + a - 1$

頂点は $(1, a-1)$ で、軸 $x = 1$ は区間 $[-1, 3]$ の内部にあります。

区間内での最小値は頂点の $y$ 座標、すなわち $a - 1$ です。

$g(x) > 0$ が常に成り立つ条件：

$$a - 1 > 0 Rightarrow a > 1$$

答：$a > 1$

【練習問題2】確率と漸化式

【解答・解説】

$n$ 回後に原点にいるためには、$+1$ の回数と $-1$ の回数が等しい必要があります。

したがって、$n$ が奇数のときは $p_n = 0$。

$p_2$ の計算：

2回中、$+1$ が1回、$-1$ が1回の場合の数：$binom{2}{1} = 2$

$$p_2 = 2 times left(frac{1}{2}right)^2 = frac{2}{4} = frac{1}{2}$$

$p_4$ の計算：

4回中、$+1$ が2回、$-1$ が2回の場合の数：$binom{4}{2} = 6$

$$p_4 = 6 times left(frac{1}{2}right)^4 = frac{6}{16} = frac{3}{8}$$

答：$p_2 = dfrac{1}{2}$、$p_4 = dfrac{3}{8}$

【練習問題3】積分と面積

【解答・解説】

まず、交点を確認します。$ln x = x - 1$ を満たす $x$ を求めます。

$h(x) = ln x - (x - 1) = ln x - x + 1$ とおくと：

• $h'(x) = dfrac{1}{x} - 1 = dfrac{1-x}{x}$
• $h'(x) = 0$ のとき $x = 1$
• $x 0$、$x > 1$ で $h'(x) < 0$

$h(1) = 0 - 1 + 1 = 0$ が最大値なので、$h(x) leq 0$ で等号は $x = 1$ のみ。

つまり $ln x leq x - 1$（等号は $x = 1$）であり、2曲線は $x = 1$ で接する。

面積を求めるには、適当な区間を設定する必要があります。ここでは $0 < x leq 1$ の範囲で考えると、$ln x leq x - 1$ なので：

$$S = int_a^1 {(x-1) - ln x} , dx$$

ただし、$ln x to -infty$ as $x to 0^+$ なので、有限の面積を持つためには下限を適切に設定する必要があります。

【もちろんです。続きを書いていきます。

別の設定として】

問題を「曲線 $y = ln x$、直線 $y = x - 1$、および直線 $x = e$ で囲まれた部分の面積」と解釈して解きます。

$1 leq x leq e$ の範囲では、$(x - 1) geq ln x$ です（等号は $x = 1$）。

$$S = int_1^e {(x - 1) - ln x} , dx$$

$$= int_1^e (x - 1) , dx - int_1^e ln x , dx$$

第1項：

$$int_1^e (x - 1) , dx = left[frac{x^2}{2} - xright]_1^e = left(frac{e^2}{2} - eright) - left(frac{1}{2} - 1right) = frac{e^2}{2} - e + frac{1}{2}$$

第2項：

$displaystyleint ln x , dx$ は部分積分を用います。

$$int ln x , dx = x ln x - int x cdot frac{1}{x} , dx = x ln x - x + C$$

$$int_1^e ln x , dx = [x ln x - x]_1^e = (e cdot 1 - e) - (1 cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$$

したがって：

$$S = left(frac{e^2}{2} - e + frac{1}{2}right) - 1 = frac{e^2}{2} - e - frac{1}{2} = frac{e^2 - 2e - 1}{2}$$

答：$S = dfrac{e^2 - 2e - 1}{2}$

【補足：接線と曲線で囲まれた面積の一般論】

曲線 $y = f(x)$ とその点 $(a, f(a))$ における接線 $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ で囲まれた面積を求める問題は頻出です。接点では曲線と接線が一致するため、「囲まれた部分」を正しく特定することが重要です。多くの場合、もう一つの境界線（直線 $x = b$ など）が与えられます。

2002年度 埼玉大学数学のまとめ

各大問の振り返り

合格に向けたアドバイス

学習スケジュールの目安

日本数学塾・数強塾で埼玉大学合格を目指そう

おわりに

いかがでしたか？2002年度の埼玉大学数学を詳しく解説してきました。

この年度の問題は、基礎力と典型問題の習熟度が試される良問揃いでした。特に：

• 二次関数の場合分け（大問1）
• 確率と漸化式の融合（大問2）
• 空間ベクトルと平面の方程式（大問3）
• 三次関数の極値とグラフ（大問4）
• 積分による面積・体積計算（大問5）

これらは埼玉大学に限らず、多くの国公立大学で頻出のテーマです。この記事で学んだ解法やポイントを、ぜひ他の問題にも応用してみてください。

数学の力は、正しい方法で継続的に努力すれば必ず伸びます。一問一問を大切に、粘り強く取り組んでいきましょう。皆さんの合格を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※本記事は2002年度の埼玉大学入試問題の傾向に基づいて作成した解説記事です。実際の入試問題とは一部異なる場合があります。最新の入試情報は埼玉大学公式サイトでご確認ください。