佐賀大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

同様に、$c < d$ となる確率も $frac{1}{2}$ です。

$(a, b)$ と $(c, d)$ の大小関係は独立なので：

$P(a < b text{ かつ } c < d) = frac{1}{2} times frac{1}{2} = frac{1}{4}$

よって、場合の数は $120 times frac{1}{4} = 30$ 通り。

【発展】一般化

$n$ 枚のカードから $2k$ 枚を選んで並べ、$k$ 組の隣接ペアを作り、各ペアが昇順になる確率は $left(frac{1}{2}right)^k$ となります。このような対称性を利用した考え方は、様々な確率問題で有効です。

大問4：微分積分（関数の最大最小と面積）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】$f(x)$ の極値を求める

Step 1：$f(x)$ を微分する

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

Step 2：$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める

$3x(x - 2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 2$

Step 3：増減表を作成する

Step 4：極値を計算する

極大値：$f(0) = 0^3 - 3 times 0^2 + 4 = 4$

極小値：$f(2) = 2^3 - 3 times 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

答：$x = 0$ で極大値 $4$、$x = 2$ で極小値 $0$

【(2) の解説】曲線と $x$ 軸との共有点

Step 1：$f(x) = 0$ を解く

$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

(1)より、$f(2) = 0$ なので、$x = 2$ は解の1つです。

Step 2：因数分解する

$f(x)$ を $(x - 2)$ で割ります：

$x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x - 2)^2(x + 1)$

【確認】$(x - 2)(x^2 - x - 2)$ の展開：

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ より

$f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$

Step 3：解を求める

$(x - 2)^2(x + 1) = 0$ より、$x = 2$（重解）または $x = -1$

答：$(-1, 0)$、$(2, 0)$

【(3) の解説】曲線と $x$ 軸で囲まれた面積

Step 1：グラフの概形を把握する

$f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$ より：

• $x < -1$ のとき：$f(x) < 0$
• $-1 < x 0$
• $x > 2$ のとき：$f(x) > 0$

したがって、曲線は $x = -1$ で $x$ 軸と交わり、$x = 2$ で $x$ 軸に接します。

囲まれた部分は $-1 leq x leq 2$ の範囲で、曲線が $x$ 軸より上にある部分です。

Step 2：面積を計算する

$S = int_{-1}^{2} f(x) , dx = int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4) , dx$

$= left[frac{x^4}{4} - x^3 + 4xright]_{-1}^{2}$

Step 3：定積分を計算する

$x = 2$ のとき：

$frac{2^4}{4} - 2^3 + 4 times 2 = frac{16}{4} - 8 + 8 = 4$

$x = -1$ のとき：

$frac{(-1)^4}{4} - (-1)^3 + 4 times (-1) = frac{1}{4} + 1 - 4 = frac{1}{4} - 3 = -frac{11}{4}$

$S = 4 - left(-frac{11}{4}right) = 4 + frac{11}{4} = frac{16 + 11}{4} = frac{27}{4}$

答：$S = frac{27}{4}$

別解・発展

【別解】$frac{1}{12}$ 公式を用いた面積計算

曲線 $y = (x - alpha)^2(x - beta)$（$alpha > beta$）と $x$ 軸で囲まれた面積は：

$S = frac{1}{12}(alpha - beta)^4$

本問では $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$ で、$alpha = 2$、$beta = -1$ なので：

$S = frac{1}{12}(2 - (-1))^4 = frac{1}{12} times 3^4 = frac{81}{12} = frac{27}{4}$

この公式は時間短縮に有効ですが、導出過程を理解していることが前提です。

【発展】$frac{1}{12}$ 公式の導出

$y = (x - alpha)^2(x - beta)$ と $x$ 軸で囲まれた面積を計算すると：

$S = left|int_{beta}^{alpha} (x - alpha)^2(x - beta) , dxright|$

$t = x - alpha$ と置換すると $x - beta = t + (alpha - beta)$、$dx = dt$ より：

$S = left|int_{-(α-β)}^{0} t^2(t + (alpha - beta)) , dtright|$

計算を進めると $frac{1}{12}(alpha - beta)^4$ が得られます。

この年度の重要テーマと対策

2016年度の出題傾向まとめ

2016年度の佐賀大学数学を振り返ると、以下のような特徴が見られました：

佐賀大学合格のための重要ポイント

1. 漸化式の解法をマスターしよう

佐賀大学では数列が頻出です。特に以下の漸化式のパターンは必ず解けるようにしておきましょう：

• 等差型：$a_{n+1} = a_n + d$
• 等比型：$a_{n+1} = ra_n$
• 特性方程式型：$a_{n+1} = pa_n + q$
• 指数型：$a_{n+1} = pa_n + q cdot r^n$（今回出題）
• 階差数列型：$b_n = a_{n+1} - a_n$ を利用

2. ベクトルの計算力を鍛えよう

ベクトルの問題では、内積の計算と大きさの2乗を正確に求められることが重要です。

• 内積の定義：$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$
• 大きさの2乗：$|vec{a}|^2 = vec{a} cdot vec{a}$
• 分配法則：$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$

3. 場合の数と確率は丁寧に数えよう

確率の問題では、条件を正確に把握し、ダブりなく漏れなく数えることが大切です。

• 全体の場合の数を最初に確認する
• 「同様に確からしい」かどうかを確認する
• 条件付き確率の問題では、分母と分子を明確にする

4. 微積分は基本公式を徹底しよう

微分積分は計算量が多いため、計算ミスをしないことが重要です。

• 導関数の計算を素早く正確に
• 増減表は丁寧に作成する
• 因数分解で解を見つける技術
• 定積分の計算は置換や公式を適切に使う

時間配分の目安

120分で4題を解く場合の目安：

• 第1問（数列）：20〜25分
• 第2問（ベクトル）：25〜30分
• 第3問（確率）：25〜30分
• 第4問（微積分）：25〜30分
• 見直し：10〜15分

ポイント：難しいと感じた問題で時間を使いすぎないこと。確実に解ける問題から解いていき、残った時間で難問に挑戦しましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2016年度の出題傾向に合わせた練習問題を3問出題します。実際に解いて、力をつけていきましょう！

【練習問題1】数列と漸化式

【解答・解説】

Step 1：両辺を $3^{n+1}$ で割る

$frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = frac{a_n}{3^n} + frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}$

$b_n = frac{a_n}{3^n}$ とおくと：

$b_{n+1} = b_n + frac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^n$

Step 2：階差数列として和を求める

$b_1 = frac{a_1}{3} = frac{2}{3}$

$n geq 2$ のとき：

$b_n = b_1 + sum_{k=1}^{n-1} frac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^k = frac{2}{3} + frac{2}{3} cdot frac{frac{2}{3}(1 - (frac{2}{3})^{n-1})}{1 - frac{2}{3}}$

$= frac{2}{3} + frac{2}{3} cdot frac{frac{2}{3} - frac{2^n}{3^n}}{frac{1}{3}} = frac{2}{3} + 2left(frac{2}{3} - frac{2^n}{3^n}right)$

$= frac{2}{3} + frac{4}{3} - frac{2^{n+1}}{3^n} = 2 - frac{2^{n+1}}{3^n}$

Step 3：$a_n$ を求める

$a_n = 3^n cdot b_n = 3^n cdot left(2 - frac{2^{n+1}}{3^n}right) = 2 cdot 3^n - 2^{n+1}$

$n = 1$ のとき：$a_1 = 2 cdot 3 - 2^2 = 6 - 4 = 2$ ✓

答：$a_n = 2 cdot 3^n - 2^{n+1}$

【練習問題2】平面ベクトルと面積

【解答・解説】

(1) $cos angle AOB$ を求める

$cos angle AOB = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|} = frac{2}{2 times 3} = frac{1}{3}$

答：$cos angle AOB = frac{1}{3}$

(2) 三角形OABの面積

$sin angle AOB = sqrt{1 - cos^2 angle AOB} = sqrt{1 - frac{1}{9}} = sqrt{frac{8}{9}} = frac{2sqrt{2}}{3}$

$S = frac{1}{2}|vec{a}||vec{b}|sin angle AOB = frac{1}{2} times 2 times 3 times frac{2sqrt{2}}{3} = 2sqrt{2}$

答：$S = 2sqrt{2}$

(3) $|overrightarrow{OP}|$ の最小値

$|overrightarrow{OP}|^2 = |(1-t)vec{a} + tvec{b}|^2$

$= (1-t)^2|vec{a}|^2 + 2t(1-t)vec{a} cdot vec{b} + t^2|vec{b}|^2$

$= 4(1-t)^2 + 4t(1-t) + 9t^2$

$= 4 - 8t + 4t^2 + 4t - 4t^2 + 9t^2$

$= 9t^2 - 4t + 4$

$f(t) = 9t^2 - 4t + 4$ を平方完成：

$f(t) = 9left(t - frac{2}{9}right)^2 + 4 - frac{4}{9} = 9left(t - frac{2}{9}right)^

$f(t) = 9left(t - frac{2}{9}right)^2 + 4 - frac{4}{9} = 9left(t - frac{2}{9}right)^2 + frac{32}{9}$

$t = frac{2}{9}$ は $0 leq t leq 1$ の範囲内なので、最小値は $frac{32}{9}$

$|overrightarrow{OP}|_{min} = sqrt{frac{32}{9}} = frac{4sqrt{2}}{3}$

答：$|overrightarrow{OP}|$ の最小値は $frac{4sqrt{2}}{3}$

【練習問題3】微分積分と面積

【解答・解説】

(1) $f(x)$ の極値を求める

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ より、$x = 1$ または $x = 3$

増減表：

$f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$（極大値）

$f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$（極小値）

答：$x = 1$ で極大値 $4$、$x = 3$ で極小値 $0$

(2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ の共有点

$f(x) = x$ を解く：

$x^3 - 6x^2 + 9x = x$

$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$

$x(x^2 - 6x + 8) = 0$

$x(x - 2)(x - 4) = 0$

$x = 0, 2, 4$

共有点の座標：$(0, 0)$、$(2, 2)$、$(4, 4)$

答：$(0, 0)$、$(2, 2)$、$(4, 4)$

(3) 囲まれた部分の面積

$g(x) = f(x) - x = x^3 - 6x^2 + 8x = x(x-2)(x-4)$ とおく。

$0 < x 0$（曲線が直線より上）

$2 < x < 4$ のとき $g(x) < 0$（曲線が直線より下）

$S = int_0^2 g(x) , dx + left|int_2^4 g(x) , dxright|$

$g(x) = x(x-2)(x-4)$ は3次関数で、対称性を利用できます。

$int_0^2 x(x-2)(x-4) , dx$ を計算：

$int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x) , dx = left[frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2right]_0^2$

$= frac{16}{4} - 16 + 16 = 4$

$int_2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x) , dx$ を計算：

$left[frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2right]_2^4$

$= left(frac{256}{4} - 128 + 64right) - left(frac{16}{4} - 16 + 16right)$

$= (64 - 128 + 64) - 4 = 0 - 4 = -4$

$S = 4 + |-4| = 4 + 4 = 8$

答：$S = 8$

【別解】$frac{1}{12}$ 公式の応用

3次関数 $y = a(x - alpha)(x - beta)(x - gamma)$（$alpha < beta < gamma$）と直線で囲まれた2つの部分の面積の和は：

$S = frac{|a|}{12}{(beta - alpha)^4 + (gamma - beta)^4}$

本問では $g(x) = x(x-2)(x-4)$ で $a = 1$、$alpha = 0$、$beta = 2$、$gamma = 4$ なので：

$S = frac{1}{12}{(2-0)^4 + (4-2)^4} = frac{1}{12}(16 + 16) = frac{32}{12} = frac{8}{3}$

あれ？答えが異なりますね。これは公式の適用条件を間違えています。

正しくは、各区間ごとに $frac{1}{12}$ 公式を適用する必要があります。ここでは、$y = x(x-2)(x-4)$ と $y = 0$ で囲まれた面積を求めることになります。

$[0, 2]$ の区間では $y = x(x-2)(x-4) = (x-0)(x-2) cdot (x-4)$ と考えますが、これは単純な $frac{1}{12}$ 公式の形ではありません。

したがって、この問題では素直に定積分で計算するのが確実です。

日本数学塾・数強塾で佐賀大学合格を目指そう

いかがでしたか？2016年度の佐賀大学数学は、基礎から標準レベルの問題がバランスよく出題されていました。しっかりと基礎を固め、典型問題を確実に解けるようにすることが合格への近道です。

佐賀大学数学の特徴と対策

佐賀大学の数学入試には、以下のような特徴があります：

• 基礎〜標準レベルが中心：教科書の例題・章末問題レベルをしっかり理解していれば対応可能
• 計算量がやや多め：正確で速い計算力が求められる
• 頻出分野：数列、ベクトル、微分積分、確率が特に重要
• 記述式：途中過程も採点対象。論理的な記述力も必要

効果的な学習法

1. 教科書の基本事項を完璧に

   定義・公式・定理を正確に理解し、例題を自力で解けるようにしましょう。

2. 典型問題の解法パターンを習得

   漸化式の解法、ベクトルの計算、積分の公式など、よく出る問題のパターンを身につけましょう。

3. 過去問演習で実践力を養成

   時間を計って過去問を解き、本番と同じ緊張感で練習しましょう。

4. 計算ミスを減らす工夫

   検算の習慣をつけ、よくあるミスのパターンを把握しておきましょう。

数強塾・日本数学塾のサポート

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執筆者：藤原進之介
数強塾・日本数学塾 講師
大学入試数学の解説・指導を専門とし、多くの受験生を志望校合格に導いてきました。「数学は正しく学べば誰でもできるようになる」をモットーに、わかりやすい授業を心がけています。

※本記事の問題は、公開されている過去問情報および入試傾向をもとに作成・再構成したものです。実際の入試問題と異なる場合があります。最新の情報は佐賀大学の公式サイトでご確認ください。