佐賀大学 2008年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、佐賀大学 2008年度（平成20年度）の数学過去問を徹底解説していきます！佐賀大学は九州地方を代表する国立大学の一つで、理工学部、医学部、農学部、教育学部など多くの学部で数学が課されています。

2008年度の入試問題は、佐賀大学らしい「基礎力の確認」と「標準的な応用力」がバランスよく問われる良問が揃っています。この記事では、各大問を詳しく解説しながら、合格に必要な考え方とテクニックをお伝えしていきますね！

試験概要・難易度

2008年度 佐賀大学 数学試験の基本情報

全体講評

2008年度の佐賀大学数学は、例年通り「教科書の内容をしっかり理解しているか」を問う問題が中心でした。奇をてらった難問はなく、基礎〜標準レベルの問題を確実に得点することが合格への鍵となります。

特に注目すべき出題分野は以下の通りです：

• 微分積分（関数の増減、面積計算、定積分）
• ベクトル（空間ベクトル、内積の応用）
• 確率（条件付き確率、期待値）
• 数列（漸化式、数学的帰納法）

目標得点としては、理工学部で7割（140点/200点）、医学部で8割（160点/200点）以上を目指したいところです。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

まず、二次関数 f(x) = x² - 2ax + a + 2 を平方完成しましょう。これは二次関数の問題における最も基本的な操作です。

f(x) = x² - 2ax + a + 2
= (x - a)² - a² + a + 2
= (x - a)² - a² + a + 2

この二次関数は下に凸（x²の係数が正）なので、頂点で最小値をとります。

頂点は x = a のとき、最小値は：

f(a) = -a² + a + 2

【藤原先生のワンポイント】
平方完成は「(x - ◯)²」の形を作ることがポイントです。x² - 2ax の部分に注目して、(x - a)² = x² - 2ax + a² なので、a² を引いて調整します。この操作は反射的にできるまで練習しておきましょう！

【(2)の解説】

区間 0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。二次関数の「閉区間における最大値」は、軸の位置と区間の関係で場合分けが必要です。

軸 x = a の位置によって3つの場合を考えます：

【場合1】a < 1 のとき（軸が区間の中央より左）

区間の中央 x = 1 より軸が左にあるので、最大値は右端 x = 2 でとります。

M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a

【場合2】a ≥ 1 のとき（軸が区間の中央以上）

軸が区間の中央以上なので、最大値は左端 x = 0 でとります。

M(a) = f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2

以上をまとめると：

【(3)の解説】

M(a) の最小値を求めます。グラフを描いて考えましょう。

• a < 1 のとき：M(a) = 6 - 3a は傾き -3 の直線で、a が増えると減少
• a ≥ 1 のとき：M(a) = a + 2 は傾き 1 の直線で、a が増えると増加

a = 1 で両方の値を確認：

• 6 - 3(1) = 3
• 1 + 2 = 3

両方とも a = 1 で値が 3 となり、ここで M(a) は最小値をとります。

M(a) の最小値は 3（a = 1 のとき）

別解・発展

【別解：グラフの動きで視覚的に理解する】

(2)の場合分けは、軸 x = a と区間 [0, 2] の中点 x = 1 との位置関係で判断できます。

• 軸が中点より左 → 区間内で右端が軸から遠い → 右端で最大
• 軸が中点より右 → 区間内で左端が軸から遠い → 左端で最大
• 軸が中点 → 両端の値が等しい

【発展：この問題から学ぶべきこと】

二次関数の最大・最小問題は、佐賀大学に限らず多くの国公立大学で頻出です。以下の3パターンを完璧にマスターしましょう：

1. 軸が固定、区間が動く
2. 軸が動く、区間が固定（本問のパターン）
3. 軸も区間も動く

大問2：微分法の応用（接線と面積）

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

接線の方程式を求めるために、まず導関数を計算します。

y = x³ - 3x
y' = 3x² - 3

点 (t, t³ - 3t) における接線の傾きは：

y'(t) = 3t² - 3

接線の方程式は点と傾きから：

y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)

整理すると：

y = (3t² - 3)x - 2t³

【(2)の解説】

点 (0, a) を通る接線を考えます。接線 y = (3t² - 3)x - 2t³ が点 (0, a) を通る条件は：

a = (3t² - 3) × 0 - 2t³
a = -2t³
t³ = -a/2

この方程式の実数解の個数が接線の本数になります。

g(t) = t³ とおくと、g(t) = -a/2 の解の個数を調べます。

y = t³ は単調増加関数なので、任意の実数 -a/2 に対してただ1つの実数解を持ちます。

すべての実数 a に対して、接線はちょうど1本

【藤原先生のワンポイント】
「曲線外の点から引ける接線の本数」の問題では、接点を (t, f(t)) とおいて、その接線が与えられた点を通る条件から t の方程式を導きます。この t の方程式の実数解の個数が接線の本数です！

【(3)の解説】

a = 2 のとき、t³ = -1 より t = -1

接点は (-1, (-1)³ - 3(-1)) = (-1, 2)

接線の方程式：y = (3×1 - 3)x - 2×(-1)³ = 0×x + 2 = 2

つまり、接線は y = 2（水平線）です。

曲線 y = x³ - 3x と直線 y = 2 の交点を求めます：

x³ - 3x = 2
x³ - 3x - 2 = 0
(x + 1)²(x - 2) = 0
x = -1（重解）, x = 2

面積を計算します：

S = ∫_{-1}^{2} |2 - (x³ - 3x)| dx
= ∫_{-1}^{2} (-x³ + 3x + 2) dx

ここで、x = -1 が重解なので、1/12 公式が使えます！

S = (1/12) × |1|³ × (2 - (-1))³ × (1/1)
...しかし、ここでは直接計算しましょう。

S = [-x⁴/4 + 3x²/2 + 2x]_{-1}^{2}
= (-4 + 6 + 4) - (-1/4 + 3/2 - 2)
= 6 - (-3/4)
= 6 + 3/4
= 27/4

別解・発展

【別解：接線と曲線の面積公式の活用】

3次関数 y = ax³ + bx² + cx + d と、その接線で囲まれる面積には公式があります。接点の x 座標が α で、もう一つの交点が β のとき：

S = (|a|/12)(β - α)⁴

本問では a = 1, α = -1, β = 2 なので：

S = (1/12)(2 - (-1))⁴ = (1/12) × 81 = 27/4 ✓

大問3：空間ベクトル

問題

解説・解法のポイント

【問題設定の確認】

まず、この四面体の形状を把握しましょう。OA, OB, OC が互いに直交し、長さがすべて1なので、O を原点とする直交座標系が作れます。

簡単のため、以下のように設定します：

• →OA = →a
• →OB = →b
• →OC = →c

条件より：|→a| = |→b| = |→c| = 1, →a·→b = →b·→c = →c·→a = 0

【(1)の解説】

M は BC の中点なので：

→OM = (→OB + →OC)/2 = (1/2)→b + (1/2)→c

【(2)の解説】

P は OA を 1:2 に内分するので：

→OP = (1/3)→a

よって：

→PM = →OM - →OP
= (1/2)→b + (1/2)→c - (1/3)→a
= -(1/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c

【(3)の解説】

|→PM|² を計算します。→a, →b, →c が互いに直交することを使います。

|→PM|² = |-(1/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c|²
= (1/9)|→a|² + (1/4)|→b|² + (1/4)|→c|²
= 1/9 + 1/4 + 1/4
= 1/9 + 1/2
= 2/18 + 9/18
= 11/18

|→PM| = √(11/18) = √22/6

【(4)の解説】

Q は直線 PM 上にあるので、実数 t を用いて：

→OQ = →OP + t·→PM = (1/3)→a + t(-(1/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c)

整理すると：

→OQ = (1/3 - t/3)→a + (t/2)→b + (t/2)→c

Q が平面 ABC 上にある条件は、係数の和が 1 になることです：

(1/3 - t/3) + t/2 + t/2 = 1
1/3 - t/3 + t = 1
1/3 + 2t/3 = 1
2t/3 = 2/3
t = 1

t = 1 を代入：

→OQ = 0·→a + (1/2)→b + (1/2)→c = (1/2)→b + (1/2)→c

（これは →OM と一致し、Q = M であることがわかります）

別解・発展

【別解：成分計算による方法】

O を原点とし、A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) とすると、計算がさらに明快になります。

• P = (1/3, 0, 0)
• M = (0, 1/2, 1/2)
• →PM = (-1/3, 1/2, 1/2)
• |→PM| = √(1/9 + 1/4 + 1/4) = √(11/18)

【発展：平面の方程式を使う方法】

平面 ABC の方程式は x + y + z = 1 です。直線 PM のパラメータ表示と連立して Q を求めることもできます。

大問4：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

p₁ の計算：

1回投げて3の倍数が出る確率。3の倍数は 3, 6 の2つ。

p₁ = 2/6 = 1/3

p₂ の計算：

2回投げて和が3の倍数になる組み合わせを数えます。

和を3で割った余りで分類すると：

• 余り0の目：3, 6（2個）
• 余り1の目：1, 4（2個）
• 余り2の目：2, 5（2個）

和が3の倍数になるのは：

• (0, 0)：2×2 = 4通り
• (1, 2)：2×2 = 4通り
• (2, 1)：2×2 = 4通り

p₂ = (4 + 4 + 4)/36 = 12/36 = 1/3

【(2)の解説】

n回投げた後の状態を、和を3で割った余りで分類します。

• 余り0である確率：pₙ
• 余り1である確率：qₙ
• 余り2である確率：rₙ

対称性より qₙ = rₙ であり、pₙ + qₙ + rₙ = 1 なので：

qₙ = rₙ = (1 - pₙ)/2

n+1回目に和が3の倍数になる確率 pₙ₊₁ は：

• n回後に余り0で、n+1回目に余り0の目（確率 1/3）
• n回後に余り1で、n+1回目に余り2の目（確率 1/3）
• n回後に余り2で、n+1回目に余り1の目（確率 1/3）

pₙ₊₁ = pₙ × (1/3) + qₙ × (1/3) + rₙ × (1/3)
= (1/3)(pₙ + qₙ + rₙ)
= (1/3) × 1
= 1/3

...あれ？これは定数になってしまいます。もう一度考え直しましょう。

【訂正：正しい漸化式の導出】

n+1回目に和が3の倍数になる確率を正確に計算します：

pₙ₊₁ = pₙ × (2/6) + qₙ × (2/6) + rₙ × (2/6)

ここで、各状態から「和が3の倍数になる」遷移確率を考えると：

• 余り0 → 余り0：目が3,6（確率 2/6 = 1/3）