佐賀大学 2001年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
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こんにちは！数強塾グループ代表の藤原進之介です。
今回は佐賀大学の2001年度数学入試を徹底解説します。この記事を読めば、各単元で「どの公式・定理を使うのか」が明確に見え、実際の解答で活かせる実践的な解法が身につきます。不安なこともあると思いますが、一緒にステップバイステップで進んでいきましょう！
佐賀大学の数学ってどんな試験？
試験形式と特徴
佐賀大学の数学は以下の特徴があります：
- 大問数：3問
- 難易度：標準レベル（基礎を押さえた上で、計算力と論理的思考が問われる）
- 出題範囲：確率・統計、三角関数、複素数、ベクトル、微積分など、高校数学全般に渡る
重要なポイント：この大学の数学は「奇をてらわない、基本に忠実な出題」が特徴です。難しい裏技や特殊な公式は不要で、むしろ基本定理をいかに正確に使いこなせるかが合否を分けます。
日常の例えで理解する
例えるなら、料理のようなものです。高級フレンチでは珍しい食材や特殊な技法が必要ですが、佐賀大学の数学は「おいしいご飯を作る基本の調理法」を完璧にマスターしているかを見ています。塩加減、火加減、タイミング——これらの基本が正確でなければ、どれだけ良い食材を使ってもダメなのと同じです。
先生と生徒の会話 ①
🧑 生徒：「佐賀大学の数学って、どういう対策をすべきですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問だね！佐賀大学は基本定理の正確な理解と計算力を重視する大学だよ。例えば、三角関数の合成公式や、確率の漸化式、ベクトルの成分計算など、どれも教科書に載っている内容ばかり。でも『なぜこの公式が成り立つのか』『どの場面で使うのか』を深く理解していないと、問題の一部で足止めを食らってしまうんだ。まずは『青チャート』や『フォーカスゴールド』で基本例題を完璧にしてから、『数学 標準問題精講』で標準問題に挑戦するといいよ。」
2001年度 全問題と解説
大問1
【問題文】
6個の数字1、2、3、4、5、6から重複を許して4個を取り出し、それらを並べて4桁の整数をつくる。千位、百位、十位、一の位の数字を、それぞれ$a$、$b$、$c$、$d$とおく。次のような整数は、それぞれ何通りできるか。
(1) $a < d$
(2) $a < b \leq c < d$
【解法ポイント】
- ステップ①：重複順列と条件付きカウント
- ステップ②：対称性と余事象の活用
- ステップ③：厳密な不等式と非厳密な不等式の区別
【解説】
(1) $a < d$ の場合
全体の4桁整数は $6^4 = 1296$ 通りです。ここから条件 $a < d$ を満たすものを数えます。
重要な着眼点：$a$ と $d$ の関係だけが指定されており、$b$ と $c$ は自由です。
対称性を使いましょう。任意の4桁整数 $(a, b, c, d)$ について：
- $a < d$ となる確率 = $a > d$ となる確率（数値1～6の対称性より）
- $a = d$ となるケースはどちらにも含まれない
つまり：
- $a < d$ の通り数 = $a > d$ の通り数
- $a = d$ の通り数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通り（$a=d$の値を6通り選び、$b$、$c$を独立に選ぶ）
したがって：
$$a < d \text{ の通り数} = \frac{6^4 - 216}{2} = \frac{1296 - 216}{2} = \frac{1080}{2} = 540 \text{ 通り}$$
(2) $a < b \leq c < d$ の場合
この条件は複雑です。$a$、$b$、$c$、$d$ の4つの値の大小関係が完全に指定されています。
戦略：1～6から重複を許して4個の値を選び、その値が条件を満たすかチェックします。
$a < b \leq c < d$ を満たすには、4個の数値 $a$、$b$、$c$、$d$ のうち：
- $a$ は最小
- $b = c$（等号がある）
- $d$ は最大
- 中間の大小関係が固定
別の見方：1～6から4個の数を選んで $(a, b, c, d)$ を配置するのですが、以下のケースに分かれます。
ケース1：4個が全て異なる場合 $(a < b < c < d)$
- 6個から4個を選ぶ：$\binom{6}{4} = 15$ 通り
- 選んだ4個を小さい順に $a, b, c, d$ に配置：1通り
- 小計：15通り
ケース2：$b = c$ で他は異なる場合
- $a < b = c < d$ を満たす3個の値を選ぶ
- 1～6から異なる3個を選び、小さい順を $a$、$b=c$、$d$ とする
- $\binom{6}{3} = 20$ 通り
したがって、合計：$15 + 20 = 35$ 通り
大問2
【問題文】
$0° \leq \theta < 360°$ のとき、関数 $y = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ について、次の問いに答えよ。
(1) $y$ の最大値、最小値と、そのときの$\theta$の値を求めよ。
(2) この関数のグラフをかけ。
【解法ポイント】
- ステップ①：三角関数の合成公式への変形
- ステップ②：$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ への統一
- ステップ③：最大値・最小値と対応する角度の求出
【解説】
(1) 最大値・最小値
与式を変形します。まず各項を整理します。
重要な公式：
- $\sin^2\theta - \cos^2\theta = -\cos 2\theta$
- $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$
これらを適用すると：
整理すると：
これを三角関数の合成公式で統一します。
理由：$\sin 2\theta - \cos 2\theta = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \sin(2\theta - \alpha)$（ただし $\tan\alpha = \frac{-1}{1} = -1$、$\alpha = 45°$）
したがって：
$$y = \sqrt{2}\sin(2\theta - 45°)$$
$0° \leq \theta < 360°$ のとき、$-45° \leq 2\theta - 45° < 720° - 45° = 675°$
最大値：$\sin(2\theta - 45°) = 1$ のとき、$y = \sqrt{2}$
- $2\theta - 45° = 90°$ ⟹ $\theta = 67.5°$
- $2\theta - 45° = 450°$ ⟹ $\theta = 247.5°$
最小値：$\sin(2\theta - 45°) = -1$ のとき、$y = -\sqrt{2}$
- $2\theta - 45° = 270°$ ⟹ $\theta = 157.5°$
- $2\theta - 45° = 630°$ ⟹ $\theta = 337.5°$
(2) グラフの概形
$y = \sqrt{2}\sin(2\theta - 45°)$ のグラフは：
- 振幅：$\sqrt{2}$
- 周期：$\frac{360°}{2} = 180°$
- 水平シフト：$22.5°$（右方向）
先生と生徒の会話 ②
🧑 生徒：「大問2の $\sin^2\theta - \cos^2\theta = -\cos 2\theta$ は、どうして成り立つんですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問だね！これは二倍角公式から来てるんだ。$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ だから、両辺に $(-1)$ を掛けると $-\cos 2\theta = \sin^2\theta - \cos^2\theta$ になるんだよ。つまり『$\cos 2\theta$ の定義から逆算してる』ってわけ。『青チャート』の二倍角の単元をもう一度見返すと、こういう変形パターンが網羅されてるよ。」
大問3
【問題文】
正の数$p$、$q$が$q < p^2$を満たしているとする。2次関数 $y = x^2$ のグラフを$F$とし、$F$を$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものを$G$とする。$F$、$G$と$y$軸で囲まれた図形のうち、$F$と$G$の交点を通り、$x$軸に平行な直線の上側、下側にある部分の面積をそれぞれ$S_1$、$S_2$とする。$S_1 < S_2$であるとき、点$(p, q)$の存在範囲を図示せよ。
【解法ポイント】
- ステップ①：$F$と$G$の交点の座標を求める
- ステップ②：交点を通る水平線による面積分割
- ステップ③：$S_1 < S_2$ の条件から不等式を導出
【解説】
グラフの設定
- $F: y = x^2$
- $G: y = (x-p)^2 + q$（$F$を$x$軸正方向に$p$、$y$軸正方向に$q$だけ移動）
$F$と$G$の交点
$$x^2 = (x-p)^2 + q$$
$$x^2 = x^2 - 2px + p^2 + q$$
$$0 = -2px + p^2 + q$$
$$x = \frac{p^2 + q}{2p}$$
交点の$y$座標：
$$y = x^2 = \left(\frac{p^2 + q}{2p}\right)^2 = \frac{(p^2 + q)^2}{4p^2}$$
交点を通る水平線は $y = \frac{(p^2 + q)^2}{4p^2}$ です。
面積の計算
$S_1$（水平線より上、$G$と$F$の間）：
$y$軸から交点の$x$座標 $\frac{p^2+q}{2p}$ までの領域で、$F$ が $G$ より上にある部分。
$S_2$（水平線より下、$F$と$G$の間）：
交点から右側の領域と、$y$軸左側など、複雑な計算が必要。
条件 $S_1 < S_2$ は、面積比較から：
が導かれます。
既知の条件 $q < p^2$ と合わせると、存在範囲は：
先生と生徒の会話 ③
🧑 生徒：「大問3で$F$と$G$の交点を求めるとき、$x = \frac{p^2+q}{2p}$になるのは間違いないですか？」
👨🏫 藤原先生：「確認
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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