岡山大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！数強塾・日本数学塾の藤原進之介です。

今回は、岡山大学 2007年度（平成19年度）前期日程の数学を徹底解説していきます！岡山大学は中国・四国地方を代表する総合大学であり、毎年多くの受験生がチャレンジしています。2007年度の数学は、場合の数・確率、数列、空間ベクトル、微積分など、幅広い分野からバランスよく出題されました。

この記事では、各大問の問題を忠実に再現し、ステップバイステップの解説と別解・発展的な考え方を交えながら、合格に必要な力を身につけていただきます。さあ、一緒に完全攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2007年度 岡山大学 前期日程 数学の概要

項目	理系（数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C）	文系（数学Ⅰ・Ⅱ・A・B）
試験時間	120分	90分
大問数	5問	4問
解答形式	記述式	記述式
配点	学部により異なる（200点〜400点）	学部により異なる（200点〜300点）

2007年度の全体講評

2007年度の岡山大学数学は、全体的に標準〜やや難のレベルでした。特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問（確率）：カードゲームを題材とした確率の問題で、場合の数の正確な数え上げが求められました
• 第2問（場合の数）：カードを並べて整数を作る問題で、重複を考慮した組合せの理解が試されました
• 第3問（数列）：漸化式と数列の和に関する標準的な問題
• 第4問（空間ベクトル）：座標空間における直線や平面の問題で、ベクトルの成分計算が重要でした
• 第5問（微積分）：理系のみの出題で、面積や回転体の体積を求める標準的な問題

全体として、基礎力を確実に身につけた上での応用力が問われる良問揃いでした。特に計算ミスが命取りになる問題が多かったため、正確な計算力の養成が合否を分けたと言えます。

大問1：確率（カードゲーム）

問題

解説・解法のポイント

【問題の整理】

まず、この問題の構造を丁寧に整理しましょう。

• 13枚のカードから2人が1枚ずつ引くので、1回の対戦で2枚消費
• 全13枚なので、対戦は 6回 行われ、最後に1枚余る
• 6回の対戦で6勝が分配される
• 3人の勝利数がすべて同じ → 各2勝ずつ

【（1）の解法】3人の勝利数がすべて同じになる確率

Step 1：対戦の流れを追う

対戦は以下の順で進みます：

1. 第1戦：A vs B
2. 第2戦：（第1戦の勝者）vs C
3. 第3戦：（第2戦の勝者）vs（第1戦の敗者）
4. ...以下、勝者と休んでいた人が対戦

Step 2：各対戦での勝率

各対戦において、2人がそれぞれカードを引くとき、どちらが大きい数を引くかは同様に確からしいので、各対戦の勝率は 1/2 です。

Step 3：3人が各2勝する場合の数え上げ

6回の対戦で各人が2勝するパターンを考えます。対戦の組み合わせと勝敗のパターンを丁寧に追跡する必要があります。

ここで、勝敗の列を追跡すると、各人が2勝2敗（または2勝で終了）となるパターンは限定されます。

計算の結果：

【（2）の解法】Aが優勝者となる確率

Step 1：優勝の条件

Aが優勝者となるのは、Aの勝利数が最大（単独または同率首位で3人同率ではない）となる場合です。

• Aが3勝以上で単独トップ
• Aが2勝で他の2人が2勝以下（ただし全員2勝の場合を除く）

Step 2：場合分けと確率計算

Aの勝利数が0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の各場合について、Aが優勝となる確率を計算し、それらを合計します。

対称性より、A, B, Cの立場は最初の対戦順序を除けばほぼ同等ですが、Aは最初の対戦に参加するため、若干異なります。

詳細な計算の結果：

別解・発展

【別解：シミュレーション的アプローチ】

この問題は、樹形図を描いて全パターンを書き出す方法も有効です。6回の対戦で各対戦の勝敗が2通りなので、全部で2⁶ = 64通りの場合を書き出せます。

【発展：マルコフ連鎖との関連】

この問題は、状態遷移を考えるマルコフ連鎖の考え方と関連しています。「誰が対戦に参加しているか」を状態として定義し、遷移確率を計算することで、より一般的な問題にも対応できます。

大問2：場合の数（カードで整数を作る）

問題

解説・解法のポイント

【（1）の解法】5枚のカードで5桁の整数

Step 1：条件の確認

• 使うカード：0, 1, 2, 3, 4 の各1枚（計5枚）
• 5桁の整数を作る → すべてのカードを使用
• 先頭（最高位）は0以外

Step 2：計算

5枚すべてを並べる順列から、先頭が0のものを除きます。

• 5枚の全順列：5! = 120通り
• 先頭が0の場合：残り4枚の順列 = 4! = 24通り

したがって：

【（2）の解法】10枚から8桁の整数を作る

Step 1：問題の把握

10枚のカード（0, 1, 2, 3, 4 が各2枚）から、「8枚を選んで並べる」のではなく、「10枚すべてを使って8桁の整数を作る」と読み取れます。

しかし、10枚で8桁というのは矛盾があります。問題文を再解釈すると、「用意されたカードから8枚を選んで8桁の整数を作る」と考えるのが妥当です。

Step 2：8枚の選び方

10枚から8枚を選ぶ = 2枚を選ばない

選ばない2枚の組み合わせ：

• 同じ数字の2枚を選ばない：5通り（00, 11, 22, 33, 44）
• 異なる数字を各1枚ずつ選ばない：C(5,2) × 2 × 2 = 10 × 4 = 40通り

合計：5 + 40 = 45通りの選び方

Step 3：並べ方の計算

【Case 1】同じ数字の2枚を除く場合（5通り）

残り8枚は4種類の数字が各2枚ずつ

• 8枚の順列（同じものを含む）：8! / (2!)^4 = 40320 / 16 = 2520通り
• 先頭が0の場合：7! / (2!)^3 × 1 = 5040 / 8 × 1 = 630通り（0が1枚先頭に固定）

この場合の8桁の整数：2520 - 630 = 1890通り

5種類の除き方があるので：1890 × 5 = 9450通り...（※0を2枚とも除く場合は別計算）

【Case 2】異なる数字を各1枚ずつ除く場合（40通り）

残り8枚は3種類が各2枚、2種類が各1枚

この計算は複雑になるため、場合分けを丁寧に行います。

詳細な計算を経て：

別解・発展

【別解：包除原理の活用】

先頭が0になる場合を直接引く代わりに、包除原理を用いて計算することもできます。

【発展：一般化】

n種類の数字が各k枚あるとき、m桁の整数がいくつ作れるかという問題に一般化できます。これは組合せ論の重要なテーマです。

大問3：数列（漸化式と和）

問題

解説・解法のポイント

【（1）の解法】対称性の証明

証明：

a(j, k) = j + k + jk

a(k, j) = k + j + kj = j + k + jk = a(j, k)

したがって、a(j, k) = a(k, j) が成り立つ。（証明終）

【（2）の解法】a(1, k) の計算

a(1, k) = 1 + k + 1·k = 1 + k + k = 1 + 2k

【（3）の解法】a(j, k) = 2007 を満たす j, k

Step 1：式の変形

a(j, k) = j + k + jk = 2007

この式を因数分解の形に変形します：

j + k + jk + 1 = 2008

(1 + j)(1 + k) = 2008

Step 2：2008の因数分解

2008 = 2³ × 251 = 8 × 251

2008の約数：1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008

Step 3：j, k の決定

1 + j と 1 + k はともに2以上の自然数で、積が2008となる組み合わせ：

• (1+j, 1+k) = (2, 1004) → (j, k) = (1, 1003)
• (1+j, 1+k) = (4, 502) → (j, k) = (3, 501)
• (1+j, 1+k) = (8, 251) → (j, k) = (7, 250)
• および、j と k を入れ替えたもの

【（4）の解法】Σa(k, k) の計算

a(k, k) = k + k + k² = 2k + k²

Σ[k=1 to n] a(k, k) = Σ[k=1 to n] (k² + 2k)

= Σk² + 2Σk

= n(n+1)(2n+1)/6 + 2 × n(n+1)/2

= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)

= n(n+1)[(2n+1)/6 + 1]

= n(n+1)(2n+1+6)/6

= n(n+1)(2n+7)/6

別解・発展

【（3）の別解】

2007を直接因数分解する方法もあります：2007 = 3² × 223

しかし、(1+j)(1+k) = 2008 の形にする方が見通しがよいです。

【発展】

a(j, k) = (1+j)(1+k) - 1 という形は、「j+1 と k+1 の積から1を引いた値」と解釈できます。これは組合せ論で「2つの集合の直積の要素数から空集合を除く」操作と関連しています。

大問4：空間ベクトル（座標空間の直線と平面）

問題

解説・解法のポイント

【（1）の解法】直線の方程式

点 A(2, 0, 0) を通り、方向ベクトル u = (-1, 2, 5) の直線 l 上の点を P(x, y, z) とすると：

AP = tu (t は実数パラメータ)

(x-2, y, z) = t(-1, 2, 5)

したがって：

• x = 2 - t
• y = 2t
• z = 5t

パラメータを消去すると：

【（2）の解法】平面の方程式

Step 1：法線ベクトルの計算

平面 π は v と w に平行なので、法線ベクトル n は v × w（外積）で求まります。

v × w = |i j k|

　　　　　|1 1 1|

　　　　　|-1 3 1|

= i(1×1 - 1×3) - j(1×1 - 1×(-1)) + k(1×3 - 1×(-1))

= i(1-3) - j(1+1) + k(3+1)

= (-2, -2, 4)

簡略化して n = (1, 1, -2) （-2で割る）

Step 2：平面の方程式

点 B(0, -1, 0) を通り、法線ベクトル (1, 1, -2) の平面：

1(x-0) + 1(y-(-1)) + (-2)(z-0) = 0

x + y + 1 - 2z = 0

【（3）の解法】直線と平面の交点

直線 l の媒介変数表示 x = 2-t, y = 2t, z = 5t を平面の方程式に代入：

(2-t) + 2t - 2(5t) + 1 = 0

2 - t + 2t - 10t + 1 = 0

3 - 9t = 0

t = 1/3

交点の座標：

• x = 2 - 1/3 = 5/3
• y = 2 × 1/3 = 2/3
• z = 5 × 1/3 = 5/3

【（4）の解法】垂線の足

点 A(2, 0, 0) から平面 π : x + y - 2z + 1 = 0 に下ろした垂線の足 H を求めます。

Step 1：垂線の方程式

垂線は点Aを通り、平面の法線ベクトル n = (1, 1, -2) を方向ベクトルとする直線です。

垂線上の点：(2+s, s, -2s)　（s は実数パラメータ）

Step 2：平面との交点（垂線の足H）

平面の方程式に代入：

(2+s) + s - 2(-2s) + 1 = 0

2 + s + s + 4s + 1 = 0

3 + 6s = 0

s = -1/2

垂線の足Hの座標：

• x = 2 + (-1/2) = 3/2
• y = -1/2
• z = -2 × (-1/2) = 1

別解・発展

【（4）の別解：公式を用いる方法】

点 A(x₀, y₀, z₀) から平面 ax + by + cz + d = 0 への垂線の足は、次の公式で直接求められます：

H = A - [(ax₀ + by₀ + cz₀ + d)/(a² + b² + c²)] × (a, b, c)

A(2, 0, 0)、平面 x + y - 2z + 1 = 0 (a=1, b=1, c=-2, d=1) を代入：

分子：1×2 + 1×0 + (-2)×0 + 1 = 3

分母：1² + 1² + (-2)² = 1 + 1 + 4 = 6

H = (2, 0, 0) - (3/6)(1, 1, -2)

H = (2, 0, 0) - (1/2, 1/2, -1)

H = (3/2, -1/2, 1)

【発展：点と平面の距離】

点Aから平面πへの距離は：

d = |AH| = √[(2-3/2)² + (0-(-1/2))² + (0-1)²]

= √[(1/2)² + (1/2)² + 1²]

= √[1/4 + 1/4 + 1]

= √(3/2) = √6/2

公式 d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²) = |3|/√6 = 3/√6 = √6/2 でも確認できます。

大問5：微積分（面積と曲線）【理系】

問題

解説・解法のポイント

【（1）の解法】交点の座標

Step 1：連立方程式を解く

x² - 2x = mx

x² - 2x - mx = 0

x² - (2+m)x = 0

x(x - (2+m)) = 0

x = 0 または x = m + 2

Step 2：y座標を求める

• x = 0 のとき：y = m × 0 = 0
• x = m + 2 のとき：y = m(m + 2) = m² + 2m

【（2）の解法】囲まれる面積

Step 1：上下関係の確認

0 < x < m+2 の範囲で、mx と x² - 2x の大小を比較：

mx - (x² - 2x) = mx - x² + 2x = -(x² - (m+2)x) = -x(x - (m+2))

0 < x 0 かつ x - (m+2) 0

よって、0 < x < m+2 で直線 y = mx が放物線より上にあります。

Step 2：面積の計算

S = ∫₀^{m+2} [mx - (x² - 2x)] dx

= ∫₀^{m+2} [-(x² - (m+2)x)] dx

= ∫₀^{m+2} [-(x - 0)(x - (m+2))] dx

ここで、放物線と直線で囲まれる面積の公式を使います：

2次関数 y = a(x-α)(x-β) と x軸で囲まれる面積は |a|/6 × |β-α|³

被積分関数は -(x-0)(x-(m+2)) = -1 × (x-0)(x-(m+2)) なので：

S = (1/6) × |m+2 - 0|³ = (1/6)(m+2)³

【検算：直接積分】

S = ∫₀^{m+2} [(m+2)x - x²] dx

= [(m+2)x²/2 - x³/3]₀^{m+2}

= (m+2)³/2 - (m+2)³/3

= (m+2)³ × (1/2 - 1/3)

= (m+2)³ × 1/6

= (m+2)³/6 ✓

【（3）の解法】S = 9/2 となる m

(m+2)³/6 = 9/2

(m+2)³ = 27

m+2 = 3

m = 1

別解・発展

【別解：置換積分】

u = x - (m+2)/2 と置換すると、積分範囲が対称になり、計算が簡略化されます。

【発展：1/6公式の証明と活用】

放物線と直線で囲まれる面積の1/6公式：

y = ax² + bx + c と y = mx + n が x = α, β で交わるとき、囲まれる面積は：

S = |a|/6 × |β - α|³

この公式は入試で非常によく使われるので、導出方法と一緒に覚えておきましょう。

大問6：複素数と方程式【理系・一部学部】

問題

解説・解法のポイント

【（1）の解法】もう一つの虚数解

係数が実数の方程式では、虚数解は共役複素数のペアで現れます。

x = 1 + i が解ならば、x = 1 - i も解です。

【（2）の解法】関係式

3次方程式の3つの解を α = 1+i, β = 1-i, γ（実数）とおきます。

解と係数の関係より：

• α + β + γ = -a
• αβ + βγ + γα = b
• αβγ = -c

Step 1：αβ の計算

αβ = (1+i)(1-i) = 1 - i² = 1 + 1 = 2

Step 2：α + β の計算

α + β = (1+i) + (1-i) = 2

Step 3：関係式の導出

解と係数の関係から：

• 2 + γ = -a → γ = -a - 2
• 2 + γ(α + β) = b → 2 + 2γ = b → 2 + 2(-a-2) = b → b = -2a - 2
• 2γ = -c → γ = -c/2

γ = -a - 2 と γ = -c/2 から：

-a - 2 = -c/2

a + 2 = c/2

c = 2a + 4

【（3）の解法】c = 4 のとき

Step 1：a, b を求める

c = 2a + 4 = 4 より：

2a = 0

a = 0

b = -2a - 2 = -2(0) - 2 = -2

Step 2：方程式を解く

x³ - 2x + 4 = 0

x = 1+i, 1-i は解なので、(x-(1+i))(x-(1-i)) = x² - 2x + 2 で割れます。

x³ - 2x + 4 = (x² - 2x + 2)(x + 2)

よって、残りの解は x = -2

別解・発展

【別解：直接代入法】

x = 1+i を方程式に直接代入して、実部と虚部を比較する方法もあります。

(1+i)³ + a(1+i)² + b(1+i) + c = 0

各項を計算：

• (1+i)² = 1 + 2i - 1 = 2i
• (1+i)³ = (1+i)(2i) = 2i + 2i² = 2i - 2 = -2 + 2i

(-2+2i) + a(2i) + b(1+i) + c = 0

(-2 + b + c) + (2 + 2a + b)i = 0

実部：-2 + b + c = 0 → b + c = 2

虚部：2 + 2a + b = 0 → b = -2a - 2

【発展：n次方程式への一般化】

実係数のn次方程式では、虚数解は必ず共役ペアで現れます。これを利用すると、虚数解の個数は常に偶数であることがわかります。

この年度の重要テーマと対策

2007年度で問われた重要テーマ

分野	テーマ	重要度	対策のポイント
場合の数・確率	カードゲームの確率、重複順列	★★★★★	場合分けを丁寧に、樹形図の活用
数列	漸化式、Σ計算、因数分解	★★★★☆	式変形のテクニック習得
空間ベクトル	直線・平面の方程式、垂線	★★★★★	外積の計算、公式の使い分け
微積分	面積の計算、1/6公式	★★★★☆	定石解法の習得、計算力強化
複素数	共役複素数、解と係数の関係	★★★☆☆	基本性質の理解

岡山大学数学の傾向と対策

【出題傾向】

1. 基礎〜標準レベルが中心：難問奇問は少なく、教科書レベルの理解を確実にすることが重要
2. 計算量が多い：時間内に正確に処理する計算力が必須
3. 幅広い分野から出題：苦手分野を作らないことが大切
4. 記述式重視：論理的な答案作成能力が問われる

【効果的な対策法】

1. 基礎の徹底

• 教科書の例題・練習問題を完璧に
• 公式の導出過程を理解する
• 計算ミスを減らす訓練

2. 標準問題の反復

• 「チャート式」や「Focus Gold」の例題レベル
• 同じタイプの問題を繰り返し解く
• 解法パターンを身につける

3. 過去問演習

• 10年分以上の過去問を解く
• 時間を計って本番を意識した演習
• 答案の書き方を研究

4. 弱点分野の克服

• 模試の結果を分析
• 苦手分野を集中的に強化
• 分野別問題集の活用

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：場合の数（難易度：標準）

解答・解説

（1）の解答

Step 1：4枚の選び方と並べ方を考える

4桁の整数を作るので、先頭は0にならない（今回は1〜5なので問題なし）。

4枚の選び方：

• Case A：4種類を各1枚ずつ選ぶ
• Case B：2種類を各2枚、残り2種類を各0枚選ぶ（不可：3枚以下になる）
• Case C：1種類を2枚、他の2種類を各1枚選ぶ

Case A：4種類を各1枚ずつ

選び方：C(5,4) = 5通り

並べ方：4! = 24通り

小計：5 × 24 = 120通り

Case C：1種類を2枚、他の2種類を各1枚

2枚選ぶ数字：5通り

1枚ずつ選ぶ数字：C(4,2) = 6通り

並べ方：4!/2! = 12通り（同じ数字2枚の重複を考慮）

小計：5 × 6 × 12 = 360通り

（2）の解答

4000以上 → 先頭が4または5

先頭が4の場合：

残り3枚を9枚（4が1枚、他が各2枚）から選んで並べる

Case A'：4以外の3種類を各1枚

選び方：C(4,3) = 4通り、並べ方：3! = 6通り → 24通り

Case C'-1：4をもう1枚含む場合

残り2枚を4以外から選ぶ：C(4,2) = 6通り

並べ方：3!/2! = 3通り → 18通り（先頭の4と合わせて4が2枚）

Case C'-2：4以外で2枚同じものを含む場合

2枚同じ数字：4通り、残り1枚：3通り

並べ方：3!/2! = 3通り → 4 × 3 × 3 = 36通り

先頭が4の場合：24 + 18 + 36 = 78通り

先頭が5の場合も同様に78通り

練習問題2：空間ベクトル（難易度：標準）

解答・解説

（1）の解答

平面の方程式を x/a + y/b + z/c = 1 の形（切片形）で考えます。

A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) を通るので：

a = 1, b = 2, c = 3

（2）の解答

法線ベクトル n = (6, 3, 2)

原点Oから平面に下ろした垂線上の点：(6t, 3t, 2t)

平面の方程式に代入：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

（3）の解答

OH = √[(36/49)² + (18/49)² + (12/49)²]

= (1/49)√(1296 + 324 + 144)

= (1/49)√1764

= (1/49) × 42

= 42/49 = 6/7

または公式：d = |6×0 + 3×0 + 2×0 - 6|/√(36+9+4) = 6/7

練習問題3：微積分（難易度：やや難）