岡山大学 2004年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

行列 A = $begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix}$ に対して、次の問いに答えよ。

(1) A² を求めよ（答えのみでよい）。

(2) Aⁿ = xA を満たすような1より大きい最小の整数 n と実数 x を求めよ。

(3) A¹²⁰ を求めよ。

A² = A × A = $begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix}$

= $begin{pmatrix} 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) & 1 cdot 1 + 1 cdot 0 \ (-1) cdot 1 + 0 cdot (-1) & (-1) cdot 1 + 0 cdot 0 end{pmatrix}$

= $begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & -1 end{pmatrix}$

A³ の計算：

A³ = A² × A = $begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & -1 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix}$

= $begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$ = -E（Eは単位行列）

A⁴ の計算：

A⁴ = A³ × A = (-E) × A = -A = $begin{pmatrix} -1 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

A⁵ の計算：

A⁵ = A⁴ × A = (-A) × A = -A² = $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

A⁶ の計算：

A⁶ = A³ × A³ = (-E) × (-E) = E

120 = 6 × 20 より

A¹²⁰ = (A⁶)²⁰ = E²⁰ = E

固有方程式：

|A - λE| = 0

$begin{vmatrix} 1-lambda & 1 \ -1 & -lambda end{vmatrix}$ = (1-λ)(-λ) + 1 = λ² - λ + 1 = 0

λ = $frac{1 pm sqrt{1-4}}{2}$ = $frac{1 pm sqrt{3}i}{2}$

これは1の原始6乗根（ω = e^(iπ/3)）に関連しています。実際、この固有値は複素数平面上で偏角 π/3, -π/3 を持ち、6乗すると1になります。

数列 {a_n} は次のように定められている。

a₁ = 1,　a_n+1(a_n + 1) = 1　(n = 1, 2, 3, ...)

(1) a₂, a₃, a₄, a₅ を求めよ。

(2) 数列 {b_n} を b_n = a_n + a_n-1 で定める。このとき、b_n の一般項を求めよ。

(3) a_n の一般項を求めよ。

a₁ = 1

a₂ = $frac{1}{a_1 + 1}$ = $frac{1}{1 + 1}$ = $frac{1}{2}$

a₃ = $frac{1}{a_2 + 1}$ = $frac{1}{frac{1}{2} + 1}$ = $frac{1}{frac{3}{2}}$ = $frac{2}{3}$

a₄ = $frac{1}{a_3 + 1}$ = $frac{1}{frac{2}{3} + 1}$ = $frac{1}{frac{5}{3}}$ = $frac{3}{5}$

a₅ = $frac{1}{a_4 + 1}$ = $frac{1}{frac{3}{5} + 1}$ = $frac{1}{frac{8}{5}}$ = $frac{5}{8}$

漸化式の変形：

a_n+1 = $frac{1}{a_n + 1}$ より

a_n+1 + a_n を計算します。

また、a_n = $frac{1}{a_{n-1} + 1}$ より a_n(a_n-1 + 1) = 1

ここで、b_n = a_n + a_n-1 なので

b_n+1 = a_n+1 + a_n = $frac{1}{a_n + 1}$ + a_n = $frac{1 + a_n(a_n + 1)}{a_n + 1}$ = $frac{1 + a_n^2 + a_n}{a_n + 1}$

一方、a_n = $frac{1}{a_{n-1} + 1}$ を用いて整理すると、漸化式の構造が見えてきます。

答：a_n = $frac{F_n}{F_{n+1}}$

ここで、F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, F₄ = 3, F₅ = 5, F₆ = 8, ...

検証：

• a₁ = F₁/F₂ = 1/1 = 1 ✓
• a₂ = F₂/F₃ = 1/2 ✓
• a₃ = F₃/F₄ = 2/3 ✓
• a₄ = F₄/F₅ = 3/5 ✓

座標空間に定点 A(1, 0, 0) をとる。点 P(x, y, z) から yz 平面へ下ろした垂線の足を H とする。k > 1 である定数 k に対して、PH : PA = k : 1 を満たす点 P 全体からなる図形を S で表す。

(1) S の方程式を求めよ。

(2) S はどのような図形か述べよ。

(3) 点 A と yz 平面に関して対称な点を A' とするとき、PA + PA' の最小値を k を用いて表せ。

設定の確認：

• 点 P(x, y, z)
• 点 A(1, 0, 0)
• H は P から yz 平面への垂線の足 → H(0, y, z)

距離の計算：

• PH = |x|（P から yz 平面までの距離）
• PA = $sqrt{(x-1)^2 + y^2 + z^2}$

条件 PH : PA = k : 1 より：

PH = k · PA

|x| = k · $sqrt{(x-1)^2 + y^2 + z^2}$

両辺を2乗して：

x² = k²[(x-1)² + y² + z²]

x² = k²(x² - 2x + 1 + y² + z²)

x² = k²x² - 2k²x + k² + k²y² + k²z²

(1 - k²)x² + 2k²x - k²y² - k²z² = k²

(k² - 1)x² - 2k²x + k²y² + k²z² = -k²

(k² - 1)x² - 2k²x + k²y² + k²z² + k² = 0

x の項を完成平方します：

(k² - 1)[x² - $frac{2k²}{k²-1}$x] + k²(y²

(k² - 1)[x² - $frac{2k²}{k²-1}$x] + k²(y² + z²) + k² = 0

x² - $frac{2k²}{k²-1}$x = (x - $frac{k²}{k²-1}$)² - $frac{k⁴}{(k²-1)²}$

したがって：

(k² - 1)(x - $frac{k²}{k²-1}$)² - $frac{k⁴}{k²-1}$ + k²(y² + z²) + k² = 0

(k² - 1)(x - $frac{k²}{k²-1}$)² + k²(y² + z²) = $frac{k⁴}{k²-1}$ - k²

右辺を計算：

$frac{k⁴}{k²-1}$ - k² = $frac{k⁴ - k²(k²-1)}{k²-1}$ = $frac{k⁴ - k⁴ + k²}{k²-1}$ = $frac{k²}{k²-1}$

答：$(k²-1)left(x - frac{k²}{k²-1}right)² + k²(y² + z²) = frac{k²}{k²-1}$

または、標準形に直すと：

$frac{left(x - frac{k²}{k²-1}right)²}{frac{k²}{(k²-1)²}} + frac{y² + z²}{frac{1}{k²-1}} = 1$

中心：$left(frac{k²}{k²-1}, 0, 0right)$

x 軸方向の半径（長半径）：a = $frac{k}{k²-1}$

y, z 軸方向の半径（短半径）：b = $frac{1}{sqrt{k²-1}}$

k > 1 のとき a > b となるので、x 軸を回転軸とする長球型の回転楕円体です。

設定：

• A(1, 0, 0)
• A' は A と yz 平面に関して対称 → A'(-1, 0, 0)
• P は S 上の点

条件の活用：

PH : PA = k : 1 より PA = $frac{1}{k}$ PH = $frac{|x|}{k}$

同様に、P から yz 平面への距離 PH = |x| に対して

PA' = $sqrt{(x+1)² + y² + z²}$

P が S 上にあるとき、x > 0 の領域を考えると（楕円体の中心が x > 0 にあるため）：

PA = $frac{x}{k}$

楕円体 S 上の点で x 軸上にある点は、中心から x 軸方向に ±a の位置にあります。

中心の x 座標：$frac{k²}{k²-1}$

半径 a = $frac{k}{k²-1}$

したがって、S と x 軸の交点は：

• $x = frac{k²}{k²-1} + frac{k}{k²-1} = frac{k²+k}{k²-1} = frac{k(k+1)}{(k-1)(k+1)} = frac{k}{k-1}$
• $x = frac{k²}{k²-1} - frac{k}{k²-1} = frac{k²-k}{k²-1} = frac{k(k-1)}{(k-1)(k+1)} = frac{k}{k+1}$

放物線 C : y = x² 上の異なる2点 A, B における接線を l, m とし、l と m の交点を P とする。P を通り y 軸に平行な直線を n とし、n と直線 AB の交点を Q、n と放物線 C の交点を R とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 直線 n の方程式を A, B の x 座標を用いて表せ。

(2) QR : RP = AP : PB であることを示せ。

(3) △APQ と △BPQ の面積比を求めよ。

設定：

A(a, a²), B(b, b²)（a ≠ b）とおく

接線の方程式：

y = x² を微分すると y' = 2x

点 A における接線 l：y - a² = 2a(x - a)

　　　　　　　　　　y = 2ax - a²

点 B における接線 m：y - b² = 2b(x - b)

　　　　　　　　　　y = 2bx - b²

交点 P の計算：

2ax - a² = 2bx - b²

2(a - b)x = a² - b²

2(a - b)x = (a - b)(a + b)

x = $frac{a + b}{2}$（∵ a ≠ b）

各点の座標を求める：

P の y 座標：y = 2a · $frac{a+b}{2}$ - a² = a(a+b) - a² = ab

よって P$left(frac{a+b}{2}, abright)$

直線 AB の方程式：

傾き = $frac{b² - a²}{b - a}$ = a + b

y - a² = (a + b)(x - a)

y = (a + b)x - a² - ab + a² = (a + b)x - ab

Q の座標（n と AB の交点）：

x = $frac{a+b}{2}$ を代入

y = (a + b) · $frac{a+b}{2}$ - ab = $frac{(a+b)²}{2}$ - ab = $frac{a² + 2ab + b² - 2ab}{2}$ = $frac{a² + b²}{2}$

よって Q$left(frac{a+b}{2}, frac{a² + b²}{2}right)$

R の座標（n と C の交点）：

x = $frac{a+b}{2}$ を y = x² に代入

y = $left(frac{a+b}{2}right)²$ = $frac{(a+b)²}{4}$

よって R$left(frac{a+b}{2}, frac{(a+b)²}{4}right)$

y 座標を比較：

• Q の y 座標：$frac{a² + b²}{2}$
• R の y 座標：$frac{(a+b)²}{4} = frac{a² + 2ab + b²}{4}$
• P の y 座標：ab

a < b と仮定すると、ab < $frac{(a+b)²}{4}$ < $frac{a² + b²}{2}$ なので、下から P, R, Q の順に並びます。

QR の計算：

QR = $frac{a² + b²}{2}$ - $frac{(a+b)²}{4}$ = $frac{2(a² + b²) - (a+b)²}{4}$ = $frac{2a² + 2b² - a² - 2ab - b²}{4}$ = $frac{a² - 2ab + b²}{4}$ = $frac{(a-b)²}{4}$

RP の計算：

RP = $frac{(a+b)²}{4}$ - ab = $frac{(a+b)² - 4ab}{4}$ = $frac{a² + 2ab + b² - 4ab}{4}$ = $frac{(a-b)²}{4}$

よって QR = RP、すなわち QR : RP = 1 : 1

AP² = $left(a - frac{a+b}{2}right)² + (a² - ab)²$ = $left(frac{a-b}{2}right)² + a²(a-b)²$ = $frac{(a-b)²}{4}(1 + 4a²)$

BP² = $left(b - frac{a+b}{2}right)² + (b² - ab)²$ = $left(frac{b-a}{2}right)² + b²(b-a)²$ = $frac{(a-b)²}{4}(1 + 4b²)$

AP : BP = $sqrt{1 + 4a²}$ : $sqrt{1 + 4b²}$

△APQ と △BPQ は、底辺を PQ として共有しています。

したがって、面積比は P から直線 AQ, BQ への距離の比、

あるいは A, B から直線 PQ（= 直線 n）への距離の比に等しくなります。

A から n への距離 = $left|a - frac{a+b}{2}right|$ = $frac{|a-b|}{2}$

B から n への距離 = $left|b - frac{a+b}{2}right|$ = $frac{|b-a|}{2}$

これらは等しいので：

答：△APQ : △BPQ = 1 : 1

複素数平面上で、z ≠ 1 を満たす複素数 z に対して w = $frac{z + 1}{z - 1}$ とおく。

(1) w が実数となるための z の条件を求め、その条件を満たす点 z 全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(2) w が純虚数となるための z の条件を求め、その条件を満たす点 z 全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(3) |w| = 2 となる点 z 全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

方法1：共役複素数を使う

w が実数 ⟺ w = $bar{w}$

$frac{z + 1}{z - 1}$ = $frac{bar{z} + 1}{bar{z} - 1}$

交差して：

(z + 1)($bar{z}$ - 1) = ($bar{z}$ + 1)(z - 1)

z$bar{z}$ - z + $bar{z}$ - 1 = z$bar{z}$ - $bar{z}$ + z - 1

-z + $bar{z}$ = -$bar{z}$ + z

2$bar{z}$ = 2z

$bar{z}$ = z

これは z が実数であることを意味します。

方法2：成分計算

z = x + yi（x, y は実数）とおく

w = $frac{(x+1) + yi}{(x-1) + yi}$

分母を有理化：

w = $frac{[(x+1) + yi][(x-1) - yi]}{[(x-1) + yi][(x-1) - yi]}$

分母 = (x-1)² + y²

分子 = (x+1)(x-1) + y² + yi(x-1) - yi(x+1)

　　= x² - 1 + y² + yi(x - 1 - x - 1)

　　= x² + y² - 1 - 2yi

w = $frac{x² + y² - 1}{(x-1)² + y²}$ - $frac{2y}{(x-1)² + y²}$i

w が実数 ⟺ 虚部 = 0 ⟺ y = 0

w が純虚数 ⟺ w ≠ 0 かつ w + $bar{w}$ = 0

(1)の計算結果より：

w の実部 = $frac{x² + y² - 1}{(x-1)² + y²}$ = 0

分子 = 0 より：x² + y² - 1 = 0

すなわち x² + y² = 1

これは原点を中心とする半径1の円です。

ただし、z ≠ 1（すなわち点 (1, 0) を除く）かつ w ≠ 0 の条件を確認：

w = 0 となるのは z = -1 のときなので、z ≠ -1 も必要。

|w| = $left|frac{z+1}{z-1}right|$ = $frac{|z+1|}{|z-1|}$ = 2

|z + 1| = 2|z - 1|

z = x + yi とおくと：

$sqrt{(x+1)² + y²}$ = 2$sqrt{(x-1)² + y²}$

両辺を2乗：

(x+1)² + y² = 4[(x-1)² + y²]

x² + 2x + 1 + y² = 4x² - 8x + 4 + 4y²

0 = 3x² - 10x + 3 + 3y²

x² - $frac{10}{3}$x + 1 + y² = 0

(x - $frac{5}{3}$)² - $frac{25}{9}$ + 1 + y² = 0

(x - $frac{5}{3}$)² + y² = $frac{25}{9}$ - 1 = $frac{16}{9}$

🎯 藤原先生の合格戦略

【基礎力の徹底】

岡山大学の数学は、奇問・難問よりも標準的な良問が中心です。教科書の例題・章末問題レベルを完璧にすることが最優先。青チャートや基礎問題精講で基礎を固めましょう。

【計算力の強化】

行列の計算、複素数の計算、積分計算など、正確かつ迅速な計算力が求められます。毎日の計算練習を怠らないこと。

【典型パターンの習得】

岡山大学では、以下のような典型的な問題パターンが繰り返し出題されています：

• 漸化式から一般項を求める
• 軌跡・領域の問題
• 微分積分の応用（面積・体積・最大最小）
• ベクトルの内積・外積の活用
• 確率漸化式

【時間配分の練習】

120分で5問（理系）を解くので、1問あたり約24分。過去問演習では必ず時間を計って解き、時間感覚を身につけましょう。

問題：

行列 B = $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$ について、次の問いに答えよ。

(1) B², B³, B⁴ を求めよ。

(2) Bⁿ = E（単位行列）となる最小の正の整数 n を求めよ。

(3) B¹⁰⁰ を求めよ。

(1) の解答：

B² = $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$ × $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

= $begin{pmatrix} 0·0+(-1)·1 & 0·(-1)+(-1)·1 \ 1·0+1·1 & 1·(-1)+1·1 end{pmatrix}$ = $begin{pmatrix} -1 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

B³ = B² × B = $begin{pmatrix} -1 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$ × $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

= $begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$ = -E

B⁴ = B³ × B = (-E) × B = -B = $begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & -1 end{pmatrix}$

(2) の解答：

B³ = -E より、B⁶ = (B³)² = (-E)² = E

また、B¹ ≠ E, B² ≠ E, B³ = -E ≠ E, B⁴ = -B ≠ E, B⁵ = -B² ≠ E

よって、n = 6

(3) の解答：

100 = 6 × 16 + 4 より

B¹⁰⁰ = B^6×16+4 = (B⁶)¹⁶ × B⁴ = E × B⁴ = B⁴ = $begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & -1 end{pmatrix}$

問題：

数列 {a_n} が次のように定められている。

a₁ = 2,　a_n+1 = $frac{a_n}{2a_n - 1}$　(n = 1, 2, 3, ...)

(1) a₂, a₃, a₄ を求めよ。

(2) b_n = $frac{1}{a_n}$ とおくとき、b_n の漸化式を求めよ。

(3) a_n の一般項を求めよ。

(1) の解答：

a₁ = 2

a₂ = $frac{2}{2·2-1}$ = $frac{2}{3}$

a₃ = $frac{frac{2}{3}}{2·frac{2}{3}-1}$ = $frac{frac{2}{3}}{frac{1}{3}}$ = 2

a₄ = $frac{2}{2·2-1}$ = $frac{2}{3}$

興味深いことに、a₃ = a₁, a₄ = a₂ となり、周期2の数列であることがわかります。

(2) の解答：

b_n = $frac{1}{a_n}$ より a_n = $frac{1}{b_n}$

a_n+1 = $frac{a_n}{2a_n - 1}$ の両辺の逆数をとると：

$frac{1}{a_{n+1}}$ = $frac{2a_n - 1}{a_n}$ = 2 - $frac{1}{a_n}$

よって、b_n+1 = 2 - b_n

(3) の解答：

b_n+1 = 2 - b_n より

b_n+1 - 1 = -(b_n - 1)

c_n = b_n - 1 とおくと、c_n+1 = -c_n

c₁ = b₁ - 1 = $frac{1}{2}$ - 1 = -$frac{1}{2}$

c_n = c₁ · (-1)^n-1 = -$frac{1}{2}$ · (-1)^n-1 = $frac{(-1)^n}{2}$

b_n = 1 + $frac{(-1)^n}{2}$ = $frac{2 + (-1)^n}{2}$

a_n = $frac{1}{b_n}$ = $frac{2}{2 + (-1)^n}$

答：a_n = $frac{2}{2 + (-1)^n}$

検証：n = 1 のとき a₁ = $frac{2}{2-1}$ = 2 ✓

　　　n = 2 のとき a₂ = $frac{2}{2+1}$ = $frac{2}{3}$ ✓

問題：

複素数平面上で、z ≠ i を満たす複素数 z に対して w = $frac{z - i}{z + i}$ とおく。

(1) |w| = 1 となる点 z 全体が描く図形を求めよ。

(2) w が正の実数となるための z の条件を求めよ。

(3) arg(w) = $frac{pi}{4}$ となる点 z 全体が描く図形を求めよ。

(1) の解答：

|w| = 1 ⟺ $left|frac{z-i}{z+i}right|$ = 1 ⟺ |z - i| = |z + i|

これは「点 i からの距離と点 -i からの距離が等しい点の軌跡」です。

2点 i, -i から等距離にある点の集合は、その2点を結ぶ線分の垂直二等分線です。

答：実軸（y = 0、ただし z ≠ ±i だが、実軸上では z ≠ i は自動的に満たされる）

(2) の解答：

z = x + yi（x, y は実数）とおく

w = $frac{(x) + (y-1)i}{(x) + (y+1)i}$

分母を有理化：

w = $frac{[x + (y-1)i][x - (y+1)i]}{[x + (y+1)i][x - (y+1)i]}$

分母 = x² + (y+1)²

分子 = x² + (y-1)(y+1)·(-i²) + (y-1)xi - x(y+1)i

= x² - (y²-1)·(-1) + xi(y-1-y-1)

= x² + (y²-1) - 2xi

= x² + y² - 1 - 2xi

w = $frac{x² + y² - 1}{x² + (y+1)²}$ - $frac{2x}{x² + (y+1)²}$i

w が正の実数 ⟺ 実部 > 0 かつ 虚部 = 0

虚部 = 0 ⟺ x = 0

実部 > 0（x = 0 のとき）⟺ $frac{y² - 1}{(y+1)²}$ > 0 ⟺ $frac{(y-1)(y+1)}{(y+1)²}$ > 0 ⟺ $frac{y-1}{y+1}$ > 0

y > 1 または y < -1

答：虚軸上で |y| > 1 の部分（すなわち z = yi で y > 1 または y < -1）

(3) の解答：

arg(w) = $frac{pi}{4}$ ということは、w の偏角が $frac{pi}{4}$ です。

(2)の結果より、w = $frac{x² + y² - 1}{x² + (y+1)²}$ - $frac{2x}{x² + (y+1)²}$i

w = u + vi とおくと、arg(w) = $frac{pi}{4}$ ⟺ u > 0, v 0, v > 0（第1象限）で tan(arg(w)) = v/u

ここで arg(w) = $frac{pi}{4}$ なので、v/u = tan($frac{pi}{4}$) = 1、かつ u > 0, v > 0

v = u より：

-$frac{2x}{x² + (y+1)²}$ = $frac{x² + y² - 1}{x² + (y+1)²}$

-2x = x² + y² - 1

x² + 2x + y² = 1

(x + 1)² + y² = 2

さらに u > 0, v > 0 の条件：

• x² + y² - 1 > 0（u > 0）⟺ x² + y² > 1
• -2x > 0（v > 0）⟺ x < 0

答：中心 (-1, 0)、半径 √2 の円のうち、x 1 を満たす部分

（円 (x+1)² + y² = 2 と円 x² + y² = 1 の交点を求めると、x = 0 となり、交点は (0, 1) と (0, -1) です。よって、求める図形は中心 (-1, 0)、半径 √2 の円の左半分から、単位円の内部を除いた弧の部分です。）

📅 推奨スケジュール（高3の場合）

【9〜10月】基礎固め期

• 教科書・基礎問題集の総復習
• 苦手分野の克服
• 計算力の強化

【11月】過去問導入期

• 10年前〜5年前の過去問に挑戦
• 時間を気にせず、じっくり解く
• 解けなかった問題は類題で徹底演習

【12月】実戦演習期

• 直近5年分の過去問を時間を計って解く
• 本番と同じ時間帯（午前or午後）で演習
• 答案の書き方も意識する

【1月（共通テスト後）】最終調整期

• 間違えた問題の総復習
• 頻出テーマの最終確認
• 計算ミス防止の意識づけ

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受験生の皆さん、ここまで読んでいただきありがとうございます。

岡山大学の数学は、決して「才能がないと解けない」問題ではありません。正しい方法で、十分な量の練習を積めば、必ず合格点に到達できます。

今回解説した2004年度の問題も、一見難しそうに見えますが、基本事項の組み合わせで解けるものばかりです。大切なのは、「なぜそうなるのか」を深く理解すること。公式や解法を丸暗記するのではなく、その背景にある考え方を身につければ、初見の問題にも対応できる力がつきます。

数学の勉強は、時に孤独で辛いものです。でも、正しい努力は必ず報われます。私も全力でサポートしますので、一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師　藤原進之介

■ 2×2行列の積

$begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} times begin{pmatrix} e & f \ g & h end{pmatrix} = begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \ ce+dg & cf+dh end{pmatrix}$

■ ケーリー・ハミルトンの定理

行列 A の固有方程式を |A - λE| = λ² - (a+d)λ + (ad-bc) = 0 とすると

A² - (a+d)A + (ad-bc)E = O が成り立つ

■ 行列の周期性

Aⁿ = E となる最小の正整数 n を「行列 A の位数」という

■ フィボナッチ数列

F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+2 = F_n+1 + F_n

一般項（ビネの公式）：F_n = $frac{1}{sqrt{5}}left[left(frac{1+sqrt{5}}{2}right)^n - left(frac{1-sqrt{5}}{2}right)^nright]$

■ 分数型漸化式の解法

a_n+1 = $frac{pa_n + q}{ra_n + s}$ の形の漸化式は

• 逆数をとる（b_n = 1/a_n）
• 特性方程式 α = $frac{pα + q}{rα + s}$ を解く
• b_n = a_n - α とおいて変換

■ 隣接三項間漸化式

a_n+2 + pa_n+1 + qa_n = 0 の解法

特性方程式 t² + pt + q = 0 の解を α, β として

• α ≠ β のとき：a_n = Aαⁿ + Bβⁿ
• α = β のとき：a_n = (A + Bn)αⁿ

■ 2点間の距離

P(x₁, y₁, z₁), Q(x₂, y₂, z₂) のとき

PQ = $sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

■ 点と平面の距離

点 (x₀, y₀, z₀) と平面 ax + by + cz + d = 0 の距離

d = $frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

■ 楕円体の標準形

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$

■ 離心率と二次曲線

焦点 F と準線 l からの距離の比が e : 1 のとき

• 0 < e < 1：楕円
• e = 1：放物線
• e > 1：双曲線

■ 放物線 y = x² の接線

点 (a, a²) における接線：y = 2ax - a²

■ 放物線と弦で囲まれる面積（1/6公式）

y = x² と直線 y = mx + n が x = α, β で交わるとき

S = $frac{|β - α|^3}{6}$

■ 放物線と接線で囲まれる面積（1/12公式）

y = x² 上の2点 (α, α²), (β, β²) における接線と放物線で囲まれる面積

S = $frac{|β - α|^3}{12}$

■ 複素数の実数条件

z が実数 ⟺ z = $bar{z}$ ⟺ 虚部 = 0

■ 複素数の純虚数条件

z が純虚数 ⟺ z + $bar{z}$ = 0 かつ z ≠ 0 ⟺ 実部 = 0 かつ虚部 ≠ 0

■ 複素数の絶対値

z = a + bi のとき |z| = $sqrt{a^2 + b^2}$

|z|² = z · $bar{z}$

■ アポロニウスの円

2点 A, B からの距離の比が m : n（m ≠ n）である点の軌跡は

線分 AB を m : n に内分・外分する2点を直径の両端とする円

■ 一次分数変換（メビウス変換）

w = $frac{az + b}{cz + d}$（ad - bc ≠ 0）

円を円（または直線）に写す等角写像

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