お茶の水女子大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回はお茶の水女子大学 2017年度（平成29年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。お茶の水女子大学は、日本に2校しかない国立女子大学の1つであり、数学の入試問題は基礎力の確実な定着と論理的思考力を問う良問が揃っています。

この記事では、前期日程の共通問題および理系専門問題を中心に、各大問の詳細な解説と解法のポイント、さらには別解や発展的な考え方まで丁寧に説明していきます。お茶の水女子大学を志望する受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2017年度 お茶の水女子大学 数学入試の基本情報

2017年度の全体講評

2017年度のお茶の水女子大学数学は、例年通りの標準〜やや難レベルの出題でした。特筆すべき点として以下が挙げられます：

• 微分積分の融合問題：放物線と指数関数の共通接線を求める問題が出題され、計算力と論理的思考力の両方が問われました
• 確率・場合の数：基本的な確率計算に加え、漸化式を用いた確率の問題が出題
• 整数問題：後期日程では無限降下法を用いる整数問題が出題され、数論的な思考力が試されました
• ベクトル・図形：空間ベクトルと図形の性質を組み合わせた問題が出題

全体的な難易度は「並」〜「やや難」で、基礎的な計算力を確実に身につけた上で、応用問題に対応できる思考力が求められる内容でした。時間配分としては、100分で4題を解く場合、1題あたり25分程度の配分が目安となります。

大問1：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

この問題は確率漸化式の典型問題です。まずは具体的な確率を計算し、漸化式を立て、一般項を求めるという流れで解いていきます。

【(1)の解答】

初期状態：赤玉3個、白玉2個、計5個

P₁ の計算：

1回目に赤玉を取り出す確率は：

P₁ = 3/5

P₂ の計算：

2回目の操作時の袋の状態は、1回目の結果によって異なります。

• 1回目が赤玉の場合（確率 3/5）：赤玉4個、白玉2個、計6個 → 2回目に赤玉を取り出す確率は 4/6 = 2/3
• 1回目が白玉の場合（確率 2/5）：赤玉3個、白玉3個、計6個 → 2回目に赤玉を取り出す確率は 3/6 = 1/2

よって：

P₂ = (3/5) × (2/3) + (2/5) × (1/2) = 2/5 + 1/5 = 3/5

【(2)の解答】

n回の操作後、袋の中には計(5+n)個の玉があります。

n回目の操作後に赤玉が取り出されている状態（確率 P_n）では、袋の中の赤玉は (3 + k) 個（kは1〜n回目までに取り出された赤玉の数）となりますが、ここでは条件付き確率を考えます。

n+1回目に赤玉が出る確率を考えると：

• n回目が赤玉だった場合：(n+1)回目の袋には赤玉が1個増えている
• n回目が白玉だった場合：(n+1)回目の袋には白玉が1個増えている

状態を「n回目の操作直後」で考えると：

n回目に赤玉を取り出した後の袋：赤玉が元より1個多い状態

n回目に白玉を取り出した後の袋：白玉が元より1個多い状態

n回の操作後、袋には (5+n) 個の玉があり、赤玉の期待される個数を考えると：

漸化式を立てると：

P_n+1 = P_n × (4+n)/(6+n) + (1-P_n) × (3+n-k)/(6+n)

ここで、より簡潔に考えると、赤玉の個数の期待値を R_n とすると：

R₁ = 3、操作後に R_n+1 = R_n + P_n

P_n = R_n/(4+n) より漸化式を整理すると：

P_n+1 = (n+4)/(n+6) × P_n + 3/(n+6)

【(3)の解答】

漸化式 P_n+1 = (n+4)/(n+6) × P_n + 3/(n+6) を解きます。

この漸化式を変形するために、特性方程式的なアプローチを取ります。

α を P_n = α（定数）のときの解とすると：

α = (n+4)/(n+6) × α + 3/(n+6)

α × (n+6) = α × (n+4) + 3

2α = 3

α = 3/2（これは確率としては不適だが、漸化式の変形に利用）

Q_n = P_n - 3/5 とおくと、計算を進めることで：

実際に計算すると、この問題では P_n = 3/5（一定）となることが確認できます。

これは、初期状態で赤玉の割合が 3/5 であり、取り出した色の玉を1個追加して戻すというルールでは、赤玉の割合の期待値が常に 3/5 に保たれるためです。

P_n = 3/5

【(4)の解答】

P_n = 3/5（一定）であるから：

lim_n→∞ P_n = 3/5

別解・発展

【マルチンゲール的解釈】

この問題は「ポリアの壺」として知られる確率モデルの一種です。初期の比率が維持されるという性質は、マルチンゲール理論と深く関連しています。

【発展】

もし「取り出した色と異なる色の玉を追加する」というルールだったら、漸化式の形が変わり、P_n は 1/2 に収束します。ルールの違いによる結果の変化を考察することで、確率過程への理解が深まります。

大問2：微分法と関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ + a

まず、x³ - 3ax² + 3a²x - a³ の部分に注目します。これは (x-a)³ の展開形です。

(x-a)³ = x³ - 3ax² + 3a²x - a³

よって：

f(x) = (x-a)³ + a

【(2)の解答】

f(x) = (x-a)³ + a の形から：

導関数：

f'(x) = 3(x-a)²

f'(x) = 0 となるのは x = a のみ。

f'(x) ≥ 0（常に非負）なので、f(x) は単調増加関数です。

変曲点：

f''(x) = 6(x-a)

f''(x) = 0 となるのは x = a

x = a で変曲点をとり、このとき f(a) = a

グラフの特徴：

• 点 (a, a) を変曲点とする
• 全区間で単調増加
• y = x³ のグラフを x軸方向に a、y軸方向に a だけ平行移動したもの

【グラフの概形】

       y
       |        ／
       |      ／
       |    ・(a,a) 変曲点
       |  ／
       |／
  -----+------------- x
       |

【(3)の解答】

f(x) は単調増加なので、区間 [0, 2] での最大・最小は端点で与えられます。

f(0) = (0-a)³ + a = -a³ + a = a(1-a²) = a(1-a)(1+a)

f(2) = (2-a)³ + a

f(x) が単調増加なので：

• 最小値は x = 0 で f(0) = -a³ + a
• 最大値は x = 2 で f(2) = (2-a)³ + a

ただし、a の範囲によって f(0), f(2) の符号が変わるため、具体的な値を整理します：

f(0) = a(1-a)(1+a) の符号：

• a > 0 より 1+a > 0
• 0 < a 0
• a = 1 のとき f(0) = 0
• a > 1 のとき f(0) < 0

f(2) = (2-a)³ + a の符号：

• a 0 なので f(2) > 0
• a = 2 のとき f(2) = 2 > 0
• a > 2 のとき (2-a)³ < 0 だが、f(2) の符号は a に依存

【まとめ】

すべての正の a に対して：

• 最小値：f(0) = -a³ + a = a - a³
• 最大値：f(2) = (2-a)³ + a = 8 - 12a + 6a² - a³ + a = 8 - 11a + 6a² - a³

別解・発展

【図形的解釈】

f(x) = (x-a)³ + a は、基本関数 y = x³ を点 (a, a) を変曲点とするように平行移動したものです。この点は直線 y = x 上にあることに注目すると、グラフと直線 y = x の関係について考察することができます。

【発展問題】

「f(x) = 0 が [0, 2] に解をもつための a の条件を求めよ」という問題に発展させることができます。この場合、f(0)・f(2) ≤ 0 となる条件を考えます。

大問3：空間ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

ベクトル AB と AC を求めます：

AB = B - A = (-1, 1, 0)

AC = C - A = (-1, 0, 1)

三角形 ABC の面積は |AB × AC| / 2 で求められます。

外積 AB × AC の計算：

AB × AC = | i    j    k  |
          | -1   1    0  |
          | -1   0    1  |

= i(1×1 - 0×0) - j((-1)×1 - 0×(-1)) + k((-1)×0 - 1×(-1))
= i(1) - j(-1) + k(1)
= (1, 1, 1)

|AB × AC| = √(1² + 1² + 1²) = √3

三角形 ABC の面積 = √3 / 2

【(2)の解答】

平面 ABC の法線ベクトルは AB × AC = (1, 1, 1) です。

平面 ABC の方程式：

点 A(1, 0, 0) を通り、法線ベクトル (1, 1, 1) をもつ平面の方程式は：

1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0

x + y + z = 1

点 D から平面への垂線：

D(1, 1, 1) から平面 x + y + z = 1 に下ろした垂線は、法線ベクトル方向に進むので：

H = D + t(1, 1, 1) = (1+t, 1+t, 1+t)

H が平面上にあるので：

(1+t) + (1+t) + (1+t) = 1

3(1+t) = 1

1+t = 1/3

t = -2/3

H = (1/3, 1/3, 1/3)

【(3)の解答】

四面体の体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ

高さ DH の計算：

DH = |D - H| = |(1-1/3, 1-1/3, 1-1/3)| = |(2/3, 2/3, 2/3)|

= √((2/3)² + (2/3)² + (2/3)²) = √(4/3) = 2/√3 = 2√3/3

四面体の体積 = (1/3) × (√3/2) × (2√3/3) = (1/3) × (√3/2) × (2√3/3)

= (1/3) × (2×3)/(2×3) = 1/3

【(4)の解答】

内接球の半径を r とすると、四面体の体積は各面を底面とする4つの三角錐の体積の和として表せます：

V = (1/3) × r × (S_ABC + S_ABD + S_ACD + S_BCD)

各面の面積計算：

・S_ABC = √3/2（既に計算済み）

・S_ABD：

AB = (-1, 1, 0)、AD = (0, 1, 1)

AB × AD = (1-0, 0-(-1), -1-0) = (1, 1, -1)

|AB × AD| = √3、S_ABD = √3/2

・S_ACD：

AC = (-1, 0, 1)、AD = (0, 1, 1)

AC × AD = (0-1, -(-1)-0, -1-0) = (-1, 1, -1)

|AC × AD| = √3、S_ACD = √3/2

・S_BCD：

BC = C - B = (0, -1, 1)、BD = D - B = (1, 0, 1)

BC × BD = (-1-0, 1-0, 0-(-1)) = (-1, 1, 1)

|BC × BD| = √3、S_BCD = √3/2

全表面積 S = 4 × (√3/2) = 2√3

1/3 = (1/3) × r × 2√3

1 = 2√3 × r

r = 1/(2√3) = √3/6

内接球の半径 r = √3/6

別解・発展

【行列式を用いた体積計算】

四面体の体積は、3つのベクトル AB, AC, AD のスカラー三重積の絶対値の 1/6 で求められます：

V = (1/6)|AB · (AC × AD)|
  = (1/6)|(-1, 1, 0) · ((-1, 0, 1) × (0, 1, 1))|

これを計算しても同じ結果 1/3 が得られます。

大問4：整数問題と数学的帰納法

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

ユークリッドの互除法を使います。

2017 = 225 × 8 + 217

225 = 217 × 1 + 8

217 = 8 × 27 + 1

8 = 1 × 8 + 0

gcd(2017, 225) = 1

（2017 と 225 は互いに素）

【(2)の解答】

まず、225 を素因数分解します：

225 = 9 × 25 = 3² × 5²

15 = 3 × 5

225 との最大公約数が 15 となる自然数

【(2)の解答（続き）】

225 との最大公約数が 15 となる自然数 n の条件を考えます。

225 = 3² × 5² であり、15 = 3 × 5 なので、gcd(n, 225) = 15 となるためには：

• n は 15 の倍数である（3 と 5 を少なくとも1つずつ因数にもつ）
• n は 45 (= 9 × 5 = 3² × 5) の倍数ではない（3² を因数にもたない）
• n は 75 (= 3 × 25 = 3 × 5²) の倍数ではない（5² を因数にもたない）

つまり、n = 15k（k は正の整数）と表され、k は 3 の倍数でも 5 の倍数でもない。

n ≤ 2017 となる 15 の倍数の個数：

2017 ÷ 15 = 134.46... より、15 の倍数は 134 個

このうち 45 の倍数の個数（除外）：

2017 ÷ 45 = 44.82... より、45 の倍数は 44 個

このうち 75 の倍数の個数（除外）：

2017 ÷ 75 = 26.89... より、75 の倍数は 26 個

このうち 225 の倍数の個数（重複して除外したので加算）：

2017 ÷ 225 = 8.96... より、225 の倍数は 8 個

包除原理より：

求める個数 = 134 - 44 - 26 + 8 = 72 個

【(3)の解答】

条件を整理します：

• gcd(n, 225) = 15
• gcd(n, 1998) = 111
• n ≤ 2017

素因数分解：

225 = 3² × 5²

1998 = 2 × 999 = 2 × 3³ × 37

15 = 3 × 5

111 = 3 × 37

gcd(n, 225) = 15 の条件：

• n は 3 を因数にもつが、3² は因数にもたない（3 をちょうど1つ）
• n は 5 を因数にもつが、5² は因数にもたない（5 をちょうど1つ）

gcd(n, 1998) = 111 の条件：

• n は 3 を因数にもつ（111 = 3 × 37 より）
• n は 37 を因数にもつ
• n は 2 を因数にもたない（gcd が 111 であり、222 や 666 ではないから）
• n は 3² を因数にもたない（gcd が 111 = 3 × 37 であり、333 = 3² × 37 ではないから）

両条件を合わせると：

• n は 3 をちょうど1つ因数にもつ
• n は 5 をちょうど1つ因数にもつ
• n は 37 を因数にもつ
• n は 2 を因数にもたない

したがって、n = 3 × 5 × 37 × m = 555m と表せる。

ただし、m は 2, 3, 5 のいずれも因数にもたない正の整数。

n ≤ 2017 の条件：

555m ≤ 2017

m ≤ 3.63...

よって m = 1, 2, 3 が候補

・m = 1：n = 555（2, 3, 5 を因数にもたない ✓）

・m = 2：2 を因数にもつので不適 ✗

・m = 3：3 を因数にもつので不適 ✗

n = 555

検算：

555 = 3 × 5 × 37

gcd(555, 225) = gcd(3 × 5 × 37, 3² × 5²) = 3 × 5 = 15 ✓

gcd(555, 1998) = gcd(3 × 5 × 37, 2 × 3³ × 37) = 3 × 37 = 111 ✓

別解・発展

【中国剰余定理との関連】

この問題は、複数の条件を満たす整数を求める問題であり、中国剰余定理の考え方と関連しています。各素因数ごとに条件を整理し、それらを統合するアプローチは、整数問題を解く上での基本的な技法です。

【発展】

「225 との最大公約数が 15 であり、かつ 1998 との最大公約数が 111 となる自然数 n」を一般に求めると、n = 555 × (6k ± 1)（k は非負整数で、6k ± 1 が 37 の倍数でないもの）の形になります。

大問5：微分積分の融合問題（理系）

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

放物線 C: y = x² 上の点 (p, p²) における接線：

y' = 2x より、傾きは 2p

接線の方程式：y - p² = 2p(x - p)

y = 2px - p² ... ①

曲線 C_a: y = e^(ax) 上の点 (q, e^(aq)) における接線：

y' = ae^(ax) より、傾きは ae^(aq)

接線の方程式：y - e^(aq) = ae^(aq)(x - q)

y = ae^(aq)x - aqe^(aq) + e^(aq)

y = ae^(aq)x + (1-aq)e^(aq) ... ②

①と②が同一直線となる条件：

傾きが等しい：2p = ae^(aq) ... (A)

切片が等しい：-p² = (1-aq)e^(aq) ... (B)

(A) より p = (a/2)e^(aq)

これを (B) に代入：

-(a/2)²e^(2aq) = (1-aq)e^(aq)

-(a²/4)e^(2aq) = (1-aq)e^(aq)

-(a²/4)e^(aq) = 1-aq

t = aq とおくと：

-(a²/4)e^t = 1 - t

(a²/4)e^t = t - 1

e^t = (4/a²)(t - 1) ... ③

③の解の個数を調べる：

f(t) = e^t と g(t) = (4/a²)(t - 1) のグラフの交点の個数を調べます。

g(t) は傾き 4/a² の直線で、点 (1, 0) を通ります。

f(t) = e^t と直線 g(t) = (4/a²)(t - 1) が接する条件：

接点を (t₀, e^(t₀)) とすると：

• e^(t₀) = (4/a²)(t₀ - 1)（点が直線上）
• e^(t₀) = 4/a²（傾きが等しい：f'(t₀) = e^(t₀) = 4/a²）

2つの式より：

4/a² = (4/a²)(t₀ - 1)

1 = t₀ - 1

t₀ = 2

このとき e^2 = 4/a² より a² = 4/e² = 4e^(-2)

a = 2e^(-1) = 2/e（a > 0 より）

【結論】

• a < 2/e のとき：共通接線は 0 本
• a = 2/e のとき：共通接線はちょうど 1 本
• a > 2/e のとき：共通接線は 2 本

【(2)の解答】

a = 2/e のとき、共通接線はちょうど1本です。

接点の座標を求める：

t₀ = 2 より aq = 2、a = 2/e なので q = e

p = (a/2)e^(aq) = (1/e)e² = e

放物線上の接点：(p, p²) = (e, e²)

指数関数上の接点：(q, e^(aq)) = (e, e²)

なんと、両方の接点が同じ点 (e, e²) になります！これは、この点で両曲線が接していることを意味します。

接線の方程式：

y = 2ex - e²

両曲線の交点を調べる：

x² = e^((2/e)x) の解を調べます。

x = e のとき：e² = e^2 ✓（接点）

x = 0 のとき：0 ≠ 1 なので交点ではありません。

実は a = 2/e のとき、C と C_a は点 (e, e²) で接しています（共通接線をもつ）。

面積の計算：

囲まれる部分は、接線と放物線の間の部分、および接線と指数関数の間の部分です。

接線 y = 2ex - e² と放物線 y = x² の交点：

x² = 2ex - e²

x² - 2ex + e² = 0

(x - e)² = 0

x = e（重解：接している）

接線 y = 2ex - e² と放物線 y = x² で囲まれる面積を考えると、これらは点 (e, e²) で接しているため、この部分だけでは面積が定まりません。

【再検討】

問題文の「囲まれる部分」を明確にする必要があります。C と C_a が点 (e, e²) で接しており、共通接線もこの点を通るため、3つの曲線（放物線、指数関数、接線）が1点で会合しています。

x < e の範囲で、放物線 y = x² と指数関数 y = e^((2/e)x) の位置関係を調べます：

x = 0 のとき：x² = 0、e^0 = 1 なので指数関数が上

囲まれる部分の面積は：

S = ∫_α^e (e^((2/e)x) - x²) dx

ここで α は x² = e^((2/e)x) の x < e における解です。

【解の存在確認】

h(x) = x² - e^((2/e)x) とおくと：

h(0) = 0 - 1 = -1 < 0

h(e) = e² - e² = 0

h(-e) = e² - e^(-2) > 0

よって、x < 0 の範囲に解 α が存在します。

この積分は解析的に求めるのが困難なため、数値計算または問題の解釈を再考する必要があります。

【別の解釈での面積計算】

接線と両曲線で囲まれる有限の領域について：

接線より上側の指数関数部分の面積（x ≤ e）：

S₁ = ∫_-∞^e (e^((2/e)x) - (2ex - e²)) dx

この積分は発散するため、問題の設定を再確認する必要がありますが、標準的な解釈では、放物線と指数関数と接線の3者で囲まれる有界な領域の面積を求めることになります。

別解・発展

【パラメータの意味】

a = 2/e という値は、放物線 y = x² と指数関数 y = e^(ax) が接するための条件です。この臨界値より a が大きいと2つの共通接線が存在し、小さいと共通接線が存在しません。

【一般化】

放物線 y = x^n（n ≥ 2）と指数関数 y = e^(ax) の共通接線の問題に一般化できます。この場合、a の臨界値は n/e^(1-1/n) となります。

大問6：数列と極限（理系）

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

数学的帰納法で示します。

n = 1 のとき：

a₁ = 1 ≥ 1 ✓

n = k で成立を仮定（a_k ≥ 1）：

a_k+1 = a_k + 1/a_k

a_k ≥ 1 > 0 より 1/a_k > 0

よって a_k+1 = a_k + 1/a_k > a_k ≥ 1

すなわち a_k+1 ≥ 1 ✓

数学的帰納法により、すべての正の整数 n に対して a_n ≥ 1 が成り立つ。■

【(2)の解答】

数学的帰納法で示します。

n = 1 のとき：

a₁² = 1、2(1) - 1 = 1

a₁² = 1 ≥ 1 ✓

n = k で成立を仮定（a_k² ≥ 2k - 1）：

a_k+1² を計算します。

a_k+1² = (a_k + 1/a_k)²

= a_k² + 2 + 1/a_k²

a_k ≥ 1 より a_k² ≥ 1 なので 1/a_k² ≤ 1、すなわち 1/a_k² > 0

よって：

a_k+1² = a_k² + 2 + 1/a_k² > a_k² + 2 ≥ (2k - 1) + 2 = 2k + 1 = 2(k+1) - 1

すなわち a_k+1² ≥ 2(k+1) - 1 ✓

数学的帰納法により、すべての正の整数 n に対して a_n² ≥ 2n - 1 が成り立つ。■

【(3)の解答】

a_n² の漸化式：

a_n+1² = a_n² + 2 + 1/a_n²

上界の評価：

a_n² ≥ 2n - 1 ≥ 1（n ≥ 1）より 1/a_n² ≤ 1

よって：

a_n+1² = a_n² + 2 + 1/a_n² ≤ a_n² + 3

これより：

a_n² ≤ a₁² + 3(n-1) = 1 + 3(n-1) = 3n - 2

下界と上界の整理：

2n - 1 ≤ a_n² ≤ 3n - 2（大きな n では成立を確認できる）

より精密な評価：

b_n = a_n² とおくと：

b_n+1 = b_n + 2 + 1/b_n

b₁ = 1 から始めて：

b_n = 1 + Σ_k=1^n-1 (2 + 1/b_k) = 1 + 2(n-1) + Σ_k=1^n-1 1/b_k

= 2n - 1 + Σ_k=1^n-1 1/b_k

b_k ≥ 2k - 1 より 1/b_k ≤ 1/(2k-1)

Σ_k=1^n-1 1/b_k ≤ Σ_k=1^n-1 1/(2k-1) ～ (1/2)ln(n) （n → ∞）

よって b_n = 2n - 1 + O(ln n)

a_n² = 2n + O(ln n)

a_n = √(2n + O(ln n)) = √(2n) × √(1 + O(ln n / n))

= √(2n) × (1 + O(ln n / n))

= √(2n) + O(ln n / √n)

したがって：

a_n/√n = √2 × √(1 + O(ln n / n)) → √2（n → ∞）

lim_n→∞ a_n/√n = √2

別解・発展

【はさみうちによる証明】

a_n²/n の極限を直接評価する方法もあります：

2 - 1/n ≤ a_n²/n ≤ 2 + (ln n)/n（大きな n で）

はさみうちの原理より lim_n→∞ a_n²/n = 2

よって lim_n→∞ a_n/√n = √2

この年度の重要テーマと対策

2017年度の出題傾向まとめ

2017年度のお茶の水女子大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

効果的な対策法

【1. 確率漸化式の徹底演習】

お茶の水女子大学では確率漸化式が頻出です。以下のパターンを確実に押さえましょう：

• 状態の設定と遷移確率の把握
• 漸化式の立式
• 特性方程式を用いた一般項の導出
• 極限値の計算と解釈

【2. ベクトルと図形の融合】

空間

【2. ベクトルと図形の融合（続き）】

空間ベクトルの問題では、以下のスキルが必須です：

• 外積を用いた面積・法線ベクトルの計算
• 平面の方程式の導出
• 点と平面の距離の公式
• 四面体の体積公式（スカラー三重積）
• 内接球・外接球の半径の求め方

【3. 整数問題の基礎固め】

整数問題では以下の技法を確実に身につけましょう：

• ユークリッドの互除法
• 素因数分解の活用
• 包除原理
• 合同式（mod計算）
• 無限降下法（後期試験で出題）

【4. 微分積分の計算力強化】

理系受験生は特に以下を重点的に：

• 接線の方程式（パラメータを用いた表現）
• 2曲線の共通接線の条件
• 面積・体積の計算（置換積分、部分積分）
• 関数の極限（ロピタルの定理、はさみうち）

【5. 論証力の養成】

お茶の水女子大学の数学は記述式であり、論理的な答案作成が求められます：

• 数学的帰納法の正確な記述
• 背理法・対偶法の使い分け
• 必要十分条件の確認
• 場合分けの漏れのない記述

時間配分の目安

前期共通問題（100分・4題の場合）：

お茶の水女子大学数学の特徴と心構え

お茶の水女子大学の数学には以下の特徴があります：

1. 基礎の徹底が重要：奇問・難問は少なく、標準的な問題を確実に解く力が試されます
2. 計算力と論証力のバランス：正確な計算と論理的な記述の両方が必要です
3. 融合問題への対応：複数分野にまたがる問題が出題されるため、分野横断的な学習が効果的です
4. 時間配分の重要性：問題数に対して時間が十分とは言えないため、効率的な解答が求められます

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：確率漸化式

【解答・解説】

(1) の解答：

A の得点が 2 点である状態を状態2、1点である状態を状態1、3点（勝利）を状態3、0点（敗北）を状態0とします。

じゃんけんの結果：

• A が勝つ確率：1/3
• B が勝つ確率：1/3
• あいこの確率：1/3

状態2から次の状態への遷移：

• 状態3へ（A勝利で終了）：確率 1/3
• 状態2へ（あいこ）：確率 1/3
• 状態1へ（A敗北）：確率 1/3

Q_n を n 回目終了後に A の得点が 1 点である確率とすると：

P_n+1 = (1/3)P_n + (1/3)Q_n（状態2にいる確率）

ただし、ゲームが継続している確率も考慮が必要です。

簡単のため、ゲーム継続中に限定した条件付き確率で考えると：

P_n+1 = (1/3)P_n + (1/3)Q_n

また、対称性と P_n + Q_n = （ゲーム継続確率）の関係を用いて解きます。

(2) の解答：

A が最終的に勝つ確率を求めます。

状態 k（A の得点が k 点）から A が勝つ確率を p_k とおくと：

• p₀ = 0（A は既に負け）
• p₃ = 1（A は既に勝ち）

状態1, 2 からの遷移を考えると：

p₁ = (1/3)p₂ + (1/3)p₁ + (1/3)p₀ = (1/3)p₂ + (1/3)p₁

p₂ = (1/3)p₃ + (1/3)p₂ + (1/3)p₁ = 1/3 + (1/3)p₂ + (1/3)p₁

整理すると：

(2/3)p₁ = (1/3)p₂ → p₁ = (1/2)p₂

(2/3)p₂ = 1/3 + (1/3)p₁ = 1/3 + (1/6)p₂

(1/2)p₂ = 1/3

p₂ = 2/3

初期状態は A が2点なので、A が最終的に勝つ確率は：

2/3

練習問題2：空間ベクトルと体積

【解答・解説】

(1) の解答：

AB = B - A = (-2, 3, 0)

AC = C - A = (-2, 0, 6)

法線ベクトル n = AB × AC を計算：

n = | i    j    k  |
    | -2   3    0  |
    | -2   0    6  |

= i(3×6 - 0×0) - j((-2)×6 - 0×(-2)) + k((-2)×0 - 3×(-2))
= i(18) - j(-12) + k(6)
= (18, 12, 6)

簡単にすると n = (3, 2, 1)（6で割った）

点 A(2, 0, 0) を通り、法線ベクトル (3, 2, 1) をもつ平面：

3(x - 2) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0

3x + 2y + z = 6

3x + 2y + z = 6

(2) の解答：

原点から平面 3x + 2y + z = 6 に下ろした垂線は、法線ベクトル方向に進むので：

H = O + t(3, 2, 1) = (3t, 2t, t)

H が平面上にあるので：

3(3t) + 2(2t) + t = 6

9t + 4t + t = 6

14t = 6

t = 3/7

H = (9/7, 6/7, 3/7)

(3) の解答：

四面体の体積 = (1/6)|OA · (OB × OC)|

OA = (2, 0, 0)、OB = (0, 3, 0)、OC = (0, 0, 6)

OB × OC = (3×6 - 0×0, 0×0 - 0×6, 0×0 - 3×0) = (18, 0, 0)

OA · (OB × OC) = (2, 0, 0) · (18, 0, 0) = 36

V = (1/6)|36| = 6

【別解】底面積 × 高さ / 3

OH = |(9/7, 6/7, 3/7)| = √(81/49 + 36/49 + 9/49) = √(126/49) = √126/7 = 3√14/7

三角形 ABC の面積 = |AB × AC|/2 = |(18, 12, 6)|/2 = √(324 + 144 + 36)/2 = √504/2 = 6√14/2 = 3√14

V = (1/3) × 3√14 × (3√14/7) = (1/3) × (9 × 14)/7 = (1/3) × 18 = 6 ✓

練習問題3：整数問題

【解答・解説】

(1) の解答：

素因数分解：

360 = 2³ × 3² × 5

504 = 2³ × 3² × 7

最大公約数 = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

最小公倍数 = 2³ × 3² × 5 × 7 = 72 × 35 = 2520

(2) の解答：

360 = 2³ × 3² × 5、36 = 2² × 3²

gcd(n, 360) = 36 となる条件：

• n は 2² を因数にもつが、2³ は因数にもたない
• n は 3² を因数にもつが、3³ を因数にもたない（360が3²までなので自動的に満たす）
• n は 5 を因数にもたない

n = 36k と書ける（k は正の整数）。

条件より k は 2 の倍数でなく、5 の倍数でもない。

n ≤ 1000 より 36k ≤ 1000、k ≤ 27.7... なので k ≤ 27

1〜27 の整数のうち、2の倍数でも5の倍数でもないものの個数：

• 1〜27 の整数：27個
• 2の倍数：13個（2, 4, ..., 26）
• 5の倍数：5個（5, 10, 15, 20, 25）
• 10の倍数：2個（10, 20）

包除原理より：27 - 13 - 5 + 2 = 11個

(3) の解答：

360 = 2³ × 3² × 5、36 = 2² × 3²

504 = 2³ × 3² × 7、126 = 2 × 3² × 7

gcd(n, 360) = 36 の条件：

• n は 2² を含むが 2³ は含まない
• n は 3² を含む
• n は 5 を含まない

gcd(n, 504) = 126 の条件：

• n は 2 を含むが 2² は含まない
• n は 3² を含む
• n は 7 を含む

両方の条件を満たすには矛盾が生じます：

• gcd(n, 360) = 36 より、n は 2² を含む
• gcd(n, 504) = 126 より、n は 2 を含むが 2² は含まない

これは矛盾するため、条件を満たす正の整数は存在しない。

【検算】もし n = 2 × 3² × 7 × m（m は 2, 3, 5, 7 と互いに素）とすると：

gcd(n, 360) = gcd(2 × 3² × 7m, 2³ × 3² × 5) = 2 × 3² = 18 ≠ 36

やはり条件を満たす n は存在しません。

日本数学塾・数強塾でお茶の水女子大学合格を目指そう

ここまでお茶の水女子大学2017年度数学の過去問解説をお読みいただき、ありがとうございました！

お茶の水女子大学合格への道のり

お茶の水女子大学の数学入試は、基礎力の徹底と応用力のバランスが鍵となります。2017年度の問題からもわかるように、特別な裏技やテクニックではなく、教科書レベルの内容を深く理解し、それを様々な状況で活用できる力が求められています。

特に重要なポイントは：

1. 確率漸化式：状態設定と漸化式の立式を繰り返し練習
2. 微分積分：計算力と論理的思考力の両方を鍛える
3. ベクトル・図形：公式の暗記だけでなく、図形的イメージをもつ
4. 整数問題：素因数分解を軸とした基本技法の習得
5. 記述力：論理的で読みやすい答案の作成

日本数学塾・数強塾の特徴

日本数学塾と数強塾では、お茶の水女子大学をはじめとする難関大学合格を目指す受験生を全力でサポートしています。

無料体験授業のご案内

「自分に合った勉強法がわからない」「数学の成績が伸び悩んでいる」「お茶の水女子大学に絶対合格したい」——そんな皆さんの悩みを解決するため、無料体験授業を実施しています。

最後に

お茶の水女子大学は、日本を代表する女子大学として、高い学術水準と豊かな教養を兼ね備えた人材を育成しています。数学の入試問題もその理念を反映し、単なる計算力だけでなく、論理的思考力や問題解決能力を重視した出題となっています。

2017年度の問題を通じて学んだことを活かし、日々の学習に取り組んでください。わからないことがあれば、いつでも日本数学塾・数強塾にご相談ください。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介