お茶の水女子大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、お茶の水女子大学 2002年度の数学入試問題を徹底解説していきます。お茶の水女子大学は、日本を代表する女子大学として、毎年多くの優秀な受験生が挑戦する難関国立大学です。数学の問題は、基本的な計算力はもちろん、論理的思考力や数学的センスを問う良問が多く出題されます。

2002年度の問題は、複素数平面、3次関数の解析、微分・積分、確率など、高校数学の主要分野から幅広く出題されました。この記事では、各問題の解法を丁寧にステップバイステップで解説し、さらに別解や発展的な内容まで踏み込んでいきます。

受験生の皆さんが、この記事を通じてお茶の水女子大学の数学の傾向を掴み、合格への道を切り拓いていただければ幸いです。それでは、一緒に攻略していきましょう！

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試験概要・難易度

2002年度 お茶の水女子大学 前期日程 数学試験の概要

項目	内容
試験日程	2002年2月25日（前期日程）
対象学部	文教育学部・理学部・生活科学部（共通問題＋学部別問題）
試験時間	120分（文教育・生活科学部）／120分（理学部）
配点	文教育学部：200点、理学部：400点、生活科学部：200点
出題形式	記述式（全問）
大問数	共通3問（文教育・生活科学部）／5問（理学部）

全体講評

2002年度のお茶の水女子大学の数学は、全体的に標準〜やや難レベルの出題でした。特筆すべき点として、以下の特徴が挙げられます。

• 複素数平面の出題：一次分数変換に関する問題が出題され、複素数の幾何学的理解が問われました
• 3次関数の徹底分析：グラフの概形から共有点の個数まで、関数の総合的な理解が必要でした
• 微積分の計算力：定積分の計算や面積・体積を求める問題で、確実な計算力が要求されました
• 論証力の重視：単なる答えを出すだけでなく、論理的な記述が求められる問題が多かったです

難易度の目安として、共通問題は基本〜標準レベル、理学部専門問題はやや難〜難レベルと言えるでしょう。時間配分としては、共通問題に60分程度、専門問題（理学部）に60分程度を割り当てるのが理想的です。

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大問1：三角関数と不等式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、三角関数を含む2次不等式を解く典型的な問題です。ポイントは、適切な変数変換や恒等式を用いて、不等式を扱いやすい形に変形することです。

【Step 1】三角関数の恒等式を用いた変形

まず、与えられた不等式の左辺を整理します。

sin²θ + cos²θ = 1 という基本恒等式を念頭に置きつつ、2倍角の公式を活用します。

• cos2θ = cos²θ - sin²θ
• sin2θ = 2sinθcosθ

左辺を変形すると：

2sin²θ - 3sinθcosθ + cos²θ
= sin²θ + (sin²θ + cos²θ) - 3sinθcosθ
= sin²θ + 1 - 3sinθcosθ
= sin²θ - 3sinθcosθ + 1

ここで、さらに2倍角を使います：

• sin²θ = (1 - cos2θ)/2
• sinθcosθ = sin2θ/2

代入すると：

= (1 - cos2θ)/2 - 3·(sin2θ/2) + 1
= 1/2 - cos2θ/2 - 3sin2θ/2 + 1
= 3/2 - (cos2θ + 3sin2θ)/2

【Step 2】合成による整理

cos2θ + 3sin2θ を合成します。

a·sinx + b·cosx = √(a² + b²)·sin(x + φ) の形に変形します。

cos2θ + 3sin2θ = √(1² + 3²)·sin(2θ + α)
= √10·sin(2θ + α)

ここで、tanα = 1/3 となる α を用いています（cosα = 3/√10, sinα = 1/√10）。

【Step 3】不等式を解く

元の不等式は：

3/2 - √10·sin(2θ + α)/2 < 0
3/2 < √10·sin(2θ + α)/2
3 < √10·sin(2θ + α)
sin(2θ + α) > 3/√10

ここで、3/√10 ≈ 0.949 であり、これは sin の値域 [-1, 1] 内にあります。

β = arcsin(3/√10) とおくと（β ≈ 71.57° ≈ 1.249 rad）、

sin(2θ + α) > sinβ を満たす 2θ + α の範囲は：

β < 2θ + α < π - β

0 ≤ θ < 2π より、0 ≤ 2θ < 4π なので、この範囲で考慮すると：

β - α < 2θ < π - β - α （第1周期）
2π + β - α < 2θ < 3π - β - α （第2周期）

したがって、解は：

(β - α)/2 < θ < (π - β - α)/2 または π + (β - α)/2 < θ < (3π - β - α)/2

数値で表すと、α = arctan(1/3) ≈ 0.322 rad、β ≈ 1.249 rad より：

約 0.464 < θ < 約 0.785（≈ π/4）
または
約 3.605 < θ < 約 3.927

別解・発展

【別解】t = tanθ による置換

cos²θ ≠ 0 の範囲で、両辺を cos²θ で割ると：

2tan²θ - 3tanθ + 1 < 0

t = tanθ とおくと、2t² - 3t + 1 < 0

(2t - 1)(t - 1) < 0
1/2 < t < 1

すなわち、1/2 < tanθ < 1 を満たす θ を求めます。

tanθ = 1/2 となる θ = arctan(1/2) ≈ 0.464 rad
tanθ = 1 となる θ = π/4 ≈ 0.785 rad

0 ≤ θ < 2π の範囲で、解は：

arctan(1/2) < θ < π/4 または π + arctan(1/2) < θ < 5π/4

【発展】この問題の本質

この問題は、三角関数の2次式を扱う典型パターンです。入試では以下のアプローチが有効です：

1. 2倍角の公式を用いて次数を下げる
2. tanθ = t の置換で有理式に変換
3. sinθ = s または cosθ = c として2次方程式に帰着

問題の形に応じて、最も計算が簡単になる方法を選択しましょう。

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大問2：複素数平面と一次分数変換

問題

解説・解法のポイント

この問題は、一次分数変換（メビウス変換）に関する問題です。複素数の写像として非常に重要な概念で、大学数学への橋渡しとなる内容です。

【予備知識】一次分数変換の性質

w = (az + b)/(cz + d)（ad - bc ≠ 0）の形の変換を一次分数変換といいます。重要な性質として：

• 円（直線を含む）は円（直線を含む）に写される
• 逆変換も一次分数変換

【(1) の解答】z が実数全体を動くとき

Step 1：z を実数として、w の実部と虚部を求めます。

z = x（x は実数、x ≠ 2）とおくと：

w = (2x - 1)/(x - 2)

この式から、w も実数であることがわかります。

Step 2：w の値域を調べます。

w = (2x - 1)/(x - 2) = 2 + 3/(x - 2)

x ≠ 2 のとき、3/(x-2) は 0 以外のすべての実数値をとりえます。

したがって、w = 2 + 3/(x-2) は w ≠ 2 を満たすすべての実数。

答え：実軸上の点 w = 2 を除く直線（実軸から点 2 を除いたもの）

【(2) の解答】z が虚軸上を動くとき

Step 1：z = yi（y は実数）とおきます。

w = (2yi - 1)/(yi - 2)
= (-1 + 2yi)/(-2 + yi)

Step 2：分母の共役を掛けて有理化します。

w = (-1 + 2yi)(-2 - yi)/[(-2 + yi)(-2 - yi)]
= (2 + yi - 4yi - 2y²i²)/(4 + y²)
= (2 + 2y² + yi - 4yi)/(4 + y²)
= (2 + 2y²)/(4 + y²) + (-3y)i/(4 + y²)

Step 3：w = u + vi とおいて、u, v を y で表します。

u = (2 + 2y²)/(4 + y²) = 2(1 + y²)/(4 + y²)
v = -3y/(4 + y²)

Step 4：y を消去して u, v の関係式を導きます。

v = -3y/(4 + y²) より、y(4 + y²) = -3y/v（v ≠ 0 のとき）

これは複雑なので、別のアプローチを取ります。

u - 2 = 2(1 + y²)/(4 + y²) - 2 = (2 + 2y² - 8 - 2y²)/(4 + y²) = -6/(4 + y²)

また、v² = 9y²/(4 + y²)²

したがって：

(u - 2)² = 36/(4 + y²)²
v² = 9y²/(4 + y²)²

(u - 2)² + v² = (36 + 9y²)/(4 + y²)² = 9(4 + y²)/(4 + y²)² = 9/(4 + y²)

また、u - 2 = -6/(4 + y²) より、(u - 2) = -6/(4 + y²)

よって、9/(4 + y²) = -3(u - 2)/2

(u - 2)² + v² = -3(u - 2)/2

整理すると：

(u - 2)² + (3/4)(u - 2) + v² = 0
u² - 4u + 4 + (3/4)u - 3/2 + v² = 0
u² - (13/4)u + v² + 5/2 = 0
(u - 13/8)² + v² = 169/64 - 160/64 = 9/64

答え：中心 (13/8, 0)、半径 3/8 の円
（ただし、点 w = 2 を除く）

【(3) の解答】z が単位円周上を動くとき

Step 1：|z| = 1 の条件を用います。

z = e^(iθ) = cosθ + i·sinθ とおきます。

または、|z| = 1 ⟺ z·z̄ = 1 ⟺ z̄ = 1/z を利用します。

Step 2：w の絶対値を計算します。

|w| = |2z - 1|/|z - 2|

|z| = 1 のとき、|2z - 1| と |z - 2| の関係を調べます。

|2z - 1|² = (2z - 1)(2z̄ - 1) = 4|z|² - 2z - 2z̄ + 1 = 4 - 2(z + z̄) + 1 = 5 - 2(z + z̄)

|z - 2|² = (z - 2)(z̄ - 2) = |z|² - 2z - 2z̄ + 4 = 1 - 2(z + z̄) + 4 = 5 - 2(z + z̄)

したがって、|2z - 1|² = |z - 2|² より、|2z - 1| = |z - 2|

よって、|w| = |2z - 1|/|z - 2| = 1

答え：単位円周（|w| = 1）
（ただし、w = 2 に対応する z = 2 は |z| = 1 上にないため、単位円周全体）

別解・発展

【別解】逆変換を用いる方法

w = (2z - 1)/(z - 2) を z について解くと：

w(z - 2) = 2z - 1
wz - 2w = 2z - 1
wz - 2z = 2w - 1
z(w - 2) = 2w - 1
z = (2w - 1)/(w - 2)

これは w と z で対称な形をしていることに注目！

この対称性から、「z が単位円上 ⟺ w が単位円上」が成り立つことがわかります。

【発展】一次分数変換の幾何学的意味

一次分数変換は、以下の3つの基本変換の合成で表されます：

1. 平行移動：z → z + a
2. 回転と拡大：z → bz（|b| が拡大率、arg(b) が回転角）
3. 反転：z → 1/z

本問の w = (2z - 1)/(z - 2) は次のように分解できます：

z → z - 2（平行移動）
→ 1/(z - 2)（反転）
→ 3/(z - 2)（拡大）
→ 2 + 3/(z - 2)（平行移動）

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大問3：3次関数のグラフと共有点

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次関数の解析と方程式の解の個数を組み合わせた典型的な良問です。

【(1) の解答】グラフの概形

Step 1：因数分解と零点を求めます。

f(x) = x³ - 2x² + x = x(x² - 2x + 1) = x(x - 1)²

零点は x = 0（単根）と x = 1（重根）です。

Step 2：導関数を求めて増減を調べます。

f'(x) = 3x² - 4x + 1 = (3x - 1)(x - 1)

f'(x) = 0 となる x は、x = 1/3 と x = 1

Step 3：増減表を作成します。

x	...	1/3	...	1	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

Step 4：極値を計算します。

f(1/3) = (1/3)(1/3 - 1)² = (1/3)(4/9) = 4/27（極大値）
f(1) = 1·(1 - 1)² = 0（極小値）

Step 5：その他の特徴

• f(0) = 0
• x → +∞ のとき f(x) → +∞
• x → -∞ のとき f(x) → -∞
• 変曲点：f''(x) = 6x - 4 = 0 より x = 2/3、f(2/3) = 2/27

【(2) の解答】共有点の個数

Step 1：共有点の条件を立てます。

y = kx と y = f(x) = x³ - 2x² + x の共有点は：

kx

kx = x³ - 2x² + x

この方程式を整理すると：

x³ - 2x² + x - kx = 0
x³ - 2x² + (1 - k)x = 0
x(x² - 2x + (1 - k)) = 0

Step 2：解の構造を分析します。

この方程式は、x = 0（常に解）と、x² - 2x + (1-k) = 0 の解を持ちます。

2次方程式 x² - 2x + (1-k) = 0 の判別式を D とすると：

D = 4 - 4(1-k) = 4k

Step 3：場合分けを行います。

【Case 1】k < 0 のとき

D = 4k < 0 より、2次方程式は実数解を持ちません。

よって、共有点は x = 0 のみで、共有点は1個。

【Case 2】k = 0 のとき

D = 0 より、2次方程式は重解 x = 1 を持ちます。

x = 0 と x = 1（重解）で、異なる共有点は2個。

ただし、y = 0·x = 0 と y = f(x) の共有点を数えると、x = 0, 1 の2個。

【Case 3】k > 0 のとき

D = 4k > 0 より、2次方程式は異なる2つの実数解を持ちます。

x = 1 ± √k

ここで、x = 0 と一致するかどうかを確認します。

1 - √k = 0 ⟺ k = 1

【Case 3-1】0 < k < 1 のとき

x = 0, x = 1 - √k (≠ 0), x = 1 + √k の3つの解があり、すべて異なります。

よって、共有点は3個。

【Case 3-2】k = 1 のとき

x = 1 - √1 = 0, x = 1 + √1 = 2

x = 0 が重複するので、異なる共有点は x = 0, 2 の2個。

【Case 3-3】k > 1 のとき

x = 0, x = 1 - √k ( 0) の3つの解があり、すべて異なります。

よって、共有点は3個。

答え：
k < 0 のとき：1個
k = 0 のとき：2個
0 < k < 1 のとき：3個
k = 1 のとき：2個
k > 1 のとき：3個

別解・発展

【別解】g(x) = f(x)/x のグラフを利用

x ≠ 0 において、kx = f(x) ⟺ k = f(x)/x

g(x) = f(x)/x = x² - 2x + 1 = (x - 1)²（x ≠ 0）

y = k と y = g(x) = (x-1)² のグラフの交点を考えます。

• g(x) = (x-1)² ≥ 0（x ≠ 0）
• g(x) の最小値は x = 1 で g(1) = 0
• x = 0 は定義域外

y = k との交点の個数：

• k < 0：交点なし → x = 0 を含めて1個
• k = 0：x = 1 で接触（1点）→ x = 0 を含めて2個
• k > 0：x = 1 ± √k の2点 → x = 0 と合わせて最大3個

【発展】接線の問題への応用

この問題の本質は、「原点を通る直線と3次曲線の交点」です。これは接線問題と密接に関連しています。

k = 0 のとき、y = 0（x軸）は点 (1, 0) で y = f(x) に接しています。

k = 1 のとき、y = x は原点で y = f(x) に接しています（f'(0) = 1 より確認可能）。

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大問4：定積分と面積

問題

解説・解法のポイント

この問題は、指数関数と直線の関係を調べる微積分の総合問題です。

【(1) の解答】共有点の座標

Step 1：共有点の条件を立てます。

e^x = ex

Step 2：この方程式を解析します。

h(x) = e^x - ex とおくと、h(x) = 0 となる x を求めます。

h'(x) = e^x - e

h'(x) = 0 ⟺ e^x = e ⟺ x = 1

増減表：

x	...	1	...
h'(x)	−	0	+
h(x)	↘	極小	↗

h(1) = e^1 - e·1 = e - e = 0

したがって、h(x) = 0 の解は x = 1（重解）のみです。

答え：共有点は (1, e) の1点のみ（接点）

【補足】直線 y = ex は、曲線 y = e^x の x = 1 における接線です。

実際、y = e^x のとき y' = e^x、x = 1 で y'(1) = e

接線：y - e = e(x - 1) ⟹ y = ex

【(2) の解答】面積

曲線と接線が1点でしか交わらないため、「囲まれた部分」の解釈を考えます。

典型的には、区間 [0, 1] または別の区間で面積を求める問題と解釈します。

ここでは、区間 [0, 1] で y = ex と y = e^x の間の面積を求めます。

0 ≤ x ≤ 1 のとき：

• x = 0：e^0 = 1, e·0 = 0 → e^x > ex
• x = 1：e^1 = e, e·1 = e → e^x = ex

この区間では e^x ≥ ex（等号は x = 1）

S = ∫₀¹ (e^x - ex) dx
= [e^x - (e/2)x²]₀¹
= (e - e/2) - (1 - 0)
= e/2 - 1

答え：S = e/2 - 1 ≈ 0.359

【(3) の解答】回転体の体積

x 軸のまわりに回転させた体積を求めます。

V = π∫₀¹ [(e^x)² - (ex)²] dx
= π∫₀¹ [e^(2x) - e²x²] dx
= π[(1/2)e^(2x) - (e²/3)x³]₀¹
= π[(e²/2 - e²/3) - (1/2 - 0)]
= π[(3e² - 2e²)/6 - 1/2]
= π[e²/6 - 1/2]
= π(e² - 3)/6

答え：V = π(e² - 3)/6 ≈ 0.731

別解・発展

【発展】接線と曲線で囲まれる面積の公式

一般に、曲線 y = f(x) と点 (a, f(a)) における接線で囲まれる面積は、次の形で表せることがあります。

特に、y = e^x の場合、接線との間にできる「三日月形」の面積は、積分区間に注意して計算します。

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大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

この問題は、確率と整数の性質を組み合わせた問題です。「4の倍数」という条件を、素因数2の個数で捉えることがポイントです。

【予備知識】各目に含まれる因数2の個数

目	1	2	3	4	5	6
因数2の個数	0	1	0	2	0	1

Pn が4の倍数 ⟺ Pn に含まれる因数2の総数が2以上

【(1) の解答】P₃ が4の倍数になる確率

方針：余事象を用いて、「4の倍数にならない」確率を求めます。

4の倍数にならない ⟺ 因数2の総数が0または1

【因数2が0個の場合】

3回とも奇数（1, 3, 5）が出る確率：

(3/6)³ = (1/2)³ = 1/8

【因数2がちょうど1個の場合】

3回のうち1回だけ「2か6」が出て、残り2回は奇数が出る：

₃C₁ × (2/6)¹ × (3/6)² = 3 × (1/3) × (1/4) = 1/4

したがって、4の倍数にならない確率は：1/8 + 1/4 = 3/8

答え：P₃ が4の倍数になる確率 = 1 - 3/8 = 5/8

【(2) の解答】Pn が4の倍数になる確率

Step 1：各回の出目を分類します。

• A：因数2を0個含む（1, 3, 5）→ 確率 1/2
• B：因数2を1個含む（2, 6）→ 確率 1/3
• C：因数2を2個含む（4）→ 確率 1/6

Step 2：4の倍数にならない条件を整理します。

因数2の総数が0または1になる場合：

• n回ともAが出る（因数2が0個）
• n-1回Aが出て、1回Bが出る（因数2が1個）

P(4の倍数でない) = (1/2)ⁿ + ₙC₁ × (1/3) × (1/2)^(n-1)
= (1/2)ⁿ + n × (1/3) × (1/2)^(n-1)
= (1/2)ⁿ + (n/3) × (1/2)^(n-1)
= (1/2)ⁿ + (2n/3) × (1/2)ⁿ
= (1/2)ⁿ × (1 + 2n/3)
= (1/2)ⁿ × (3 + 2n)/3

答え：Pn が4の倍数になる確率 = 1 - (3 + 2n)/(3 × 2ⁿ) = 1 - (2n + 3)·2^(-n)/3

または、整理すると：

pₙ = 1 - (2n + 3)/（3·2ⁿ）= (3·2ⁿ - 2n - 3)/(3·2ⁿ)

【(3) の解答】n → ∞ のときの極限

lim(n→∞) [1 - (2n + 3)/(3·2ⁿ)]

ここで、(2n + 3)/2ⁿ → 0（n → ∞）を示します。

2ⁿ は指数関数的に増加し、2n + 3 は線形増加なので、分母の増加が圧倒的に速いです。

ロピタルの定理または簡単な評価により：

lim(n→∞) (2n + 3)/2ⁿ = 0

答え：極限値は 1

これは直感的にも理解できます。さいころを無限回投げれば、いずれ4が出るか、2や6が2回以上出る確率が1に近づきます。

別解・発展

【別解】漸化式によるアプローチ

aₙ = (Pnの因数2が0個になる確率)、bₙ = (Pnの因数2が1個になる確率) とおくと：

aₙ₊₁ = (1/2)aₙ
bₙ₊₁ = (1/3)aₙ + (1/2)bₙ

この漸化式を解くことでも同じ結果が得られます。

【発展】一般化

「mの倍数になる確率」を考えるときは、各目に含まれる素因数の個数を分析することが基本です。この考え方は整数論と確率論の融合問題として、難関大学でよく出題されます。

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この年度の重要テーマと対策

2002年度の出題傾向まとめ

2002年度のお茶の水女子大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました。

分野	出題テーマ	重要度
三角関数	三角関数を含む不等式、2倍角の公式	★★★★☆
複素数平面	一次分数変換、軌跡	★★★★★
微分法	3次関数の解析、極値、グラフ	★★★★★
積分法	面積・体積の計算	★★★★☆
確率	確率と整数、極限	★★★★☆

お茶の水女子大学数学の攻略ポイント

1. 複素数平面は必須分野

お茶の水女子大学では、複素数平面の問題が頻出です。特に以下の内容をマスターしましょう：

• 複素数の極形式と演算
• 軌跡の問題（円、直線への写像）
• 一次分数変換の基本性質
• 回転と拡大の幾何学的意味

2. 関数の総合的理解

3次関数や指数・対数関数について、以下の観点から分析できるようにしましょう：

• 因数分解と零点の特定
• 増減表の作成（導関数の符号）
• 極値、変曲点の計算
• グラフの概形の正確な描画
• 方程式の解の個数との関連

3. 計算力の強化

お茶の水女子大学の問題は、計算量がやや多い傾向があります。特に：

• 定積分の計算（部分積分、置換積分）
• 複素数の計算（有理化、絶対値）
• 場合分けを伴う議論

日頃から計算練習を積み、ミスなく正確に解けるようにしましょう。

4. 論証力・記述力

記述式の問題では、論理の流れを明確に示すことが重要です：

• 場合分けの根拠を明示する
• 図やグラフを効果的に使う
• 結論を明確に述べる

年度別の傾向変化

お茶の水女子大学の数学は、2000年代を通じて以下のような傾向があります：

• 2000〜2005年：複素数平面、微積分の標準的な問題が中心
• 2006〜2010年：確率・統計の比重が増加
• 2011年以降：思考力を問う問題が増加、融合問題も出題

過去問演習では、まず標準的な問題を確実に解けるようにし、その上で発展的な問題に挑戦しましょう。

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2002年度の問題と類似したテーマの練習問題を3問用意しました。実際に解いて、理解を深めてください。

【練習問題1】複素数平面（一次分数変換）

【解答・解説】

(1) の解答

z = x（x は実数）とおくと：

w = (x + i)/(x - i)

|w| を計算すると：

|w| = |x + i|/|x - i| = √(x² + 1)/√(x² + 1) = 1

したがって、w は単位円周上を動きます。

ただし、w = 1 となるのは x + i = x - i のとき、つまり 2i = 0 で不可能なので、w ≠ 1。

答え：単位円周（|w| = 1）から点 w = 1 を除いたもの

(2) の解答

z = x + yi（y > 0）とおくと：

w = (x + yi + i)/(x + yi - i) = (x + (y+1)i)/(x + (y-1)i)

|w| を計算すると：

|w|² = [x² + (y+1)²]/[x² + (y-1)²]

y > 0 のとき、(y+1

y > 0 のとき、(y+1)² > (y-1)² なので |w|² > 1、つまり |w| > 1

答え：|w| > 1 の領域（単位円の外部）

【補足】この変換は、上半平面を単位円の外部に写す重要な変換です。複素解析では「カイレー変換」と呼ばれ、上半平面と単位円板の間の等角写像として知られています。

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【練習問題2】3次関数と接線

【解答・解説】

(1) の解答

Step 1：零点を求めます。

f(x) = x³ - 3x = x(x² - 3) = x(x - √3)(x + √3)

零点は x = 0, ±√3

Step 2：導関数を求めて増減を調べます。

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

f'(x) = 0 となる x は x = ±1

Step 3：増減表

x	...	-1	...	1	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

Step 4：極値の計算

f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2（極大値）
f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2（極小値）

グラフの特徴：

• 原点に関して点対称（f(-x) = -f(x)）
• x = -√3, 0, √3 で x軸と交わる
• x = -1 で極大値 2、x = 1 で極小値 -2

(2) の解答

Step 1：接線の方程式を立てます。

曲線上の点 (t, t³ - 3t) における接線の傾きは f'(t) = 3t² - 3

接線の方程式：

y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)
y = (3t² - 3)x - 3t³ + 3t + t³ - 3t
y = (3t² - 3)x - 2t³

Step 2：点 (0, a) を通る条件を求めます。

x = 0, y = a を代入：

a = -2t³
t³ = -a/2
t = ∛(-a/2)

待ってください。この方程式は t について3次方程式ではありません。整理し直します。

点 (0, a) からの接線が点 (t, f(t)) で接するとき：

a = (3t² - 3)(0 - t) + (t³ - 3t)
a = -3t³ + 3t + t³ - 3t
a = -2t³

つまり t³ = -a/2 となり、t = ∛(-a/2) は実数解を1つだけ持ちます。

これでは接線は常に1本となってしまいますが、これは点が y 軸上にある特殊な場合です。

【再検討】一般の点 (p, a) から接線を引く問題として考え直します。

点 (0, a) が曲線上にない場合を考えます。f(0) = 0 なので、a ≠ 0 のとき点 (0, a) は曲線上にありません。

接線が (0, a) を通る条件：

a = -2t³

この方程式の実数解の個数：

• g(t) = -2t³ は単調減少関数
• t → ∞ のとき g(t) → -∞
• t → -∞ のとき g(t) → +∞

したがって、任意の実数 a に対して t³ = -a/2 を満たす実数 t がちょうど1つ存在します。

答え：すべての実数 a に対して、接線は1本

【注意】これは点 (0, a) が y 軸上にあるという特殊性によるものです。一般の点 (p, q) からは、p の値によって接線の本数が1本、2本、3本と変化します。

【発展】点 (2, a) から接線を引く場合：

接点を (t, t³-3t) とすると、接線が (2, a) を通る条件は：

a - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(2 - t)
a = t³ - 3t + (3t² - 3)(2 - t)
a = t³ - 3t + 6t² - 3t³ - 6 + 3t
a = -2t³ + 6t² - 6

h(t) = -2t³ + 6t² - 6 とおくと：

h'(t) = -6t² + 12t = -6t(t - 2)

h(t) は t = 0 で極小値 -6、t = 2 で極大値 h(2) = -16 + 24 - 6 = 2

よって：

• a 2：接線は1本
• a = -6 または a = 2：接線は2本
• -6 < a < 2：接線は3本

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【練習問題3】確率と漸化式

【解答・解説】

基本設定：

• 赤球を取り出す確率：3/5
• 白球を取り出す確率：2/5

(1) の解答

R₃ が偶数 ⟺ R₃ = 0 または R₃ = 2

R₃ = 0 の場合：3回とも白球

P(R₃ = 0) = (2/5)³ = 8/125

R₃ = 2 の場合：3回中2回が赤球

P(R₃ = 2) = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹ = 3 × 9/25 × 2/5 = 54/125

答え：P(R₃ が偶数) = 8/125 + 54/125 = 62/125

(2) の解答

漸化式を立てます。

pn = (n回目終了時に赤球の回数が偶数である確率)

qn = 1 - pn = (n回目終了時に赤球の回数が奇数である確率)

n+1 回目の操作後に赤球の回数が偶数になるのは：

• n回目まで偶数で、n+1回目に白球を引く：pn × (2/5)
• n回目まで奇数で、n+1回目に赤球を引く：qn × (3/5)

pn+1 = (2/5)pn + (3/5)qn
= (2/5)pn + (3/5)(1 - pn)
= (2/5)pn + 3/5 - (3/5)pn
= -(1/5)pn + 3/5

漸化式を解きます。

pn+1 = -(1/5)pn + 3/5

特性方程式：p = -(1/5)p + 3/5 ⟹ p + (1/5)p = 3/5 ⟹ (6/5)p = 3/5 ⟹ p = 1/2

pn+1 - 1/2 = -(1/5)(pn - 1/2)

an = pn - 1/2 とおくと：an+1 = -(1/5)an

よって：an = a₁ × (-1/5)^(n-1)

初期条件：p₁ = P(1回目で白球) = 2/5（赤球0回は偶数なので）

待ってください。p₁ は「1回の操作後に赤球の回数が偶数」なので、赤球を0回引く確率です。

p₁ = 2/5

a₁ = p₁ - 1/2 = 2/5 - 1/2 = 4/10 - 5/10 = -1/10

an = (-1/10) × (-1/5)^(n-1) = (-1/10) × (-1)^(n-1) × (1/5)^(n-1)

= (-1)^n × (1/10) × (1/5)^(n-1)

= (-1)^n × (1/10) × (1/5)^(n-1)

= (-1)^n / (2 × 5^n)

pn = 1/2 + (-1)^n / (2 × 5^n)

答え：pn = 1/2 + (-1)^n / (2 · 5^n) = [5^n + (-1)^n] / (2 · 5^n)

検算：n = 3 のとき

p₃ = [125 + (-1)³] / (2 × 125) = (125 - 1) / 250 = 124/250 = 62/125 ✓

(3) の解答

lim(n→∞) pn = lim(n→∞) [1/2 + (-1)^n / (2 · 5^n)]

|(-1)^n / (2 · 5^n)| = 1/(2 · 5^n) → 0（n → ∞）

答え：lim(n→∞) pn = 1/2

【直感的理解】n が十分大きいとき、赤球を引く回数は二項分布 B(n, 3/5) に従います。n → ∞ では、偶数回と奇数回になる確率はほぼ等しくなり、1/2 に収束します。

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まとめ：2002年度の学習ポイント

2002年度のお茶の水女子大学の数学入試問題を通じて、以下の重要な学習ポイントを押さえましょう。

✅ 習得すべき解法テクニック

1. 三角関数の変形技術
   • 2倍角・半角の公式の使い分け
   • 三角関数の合成
   • tan θ = t の置換
2. 複素数平面の軌跡問題
   • z = x + yi の設定と実部・虚部の分離
   • |z| = r の条件の活用
   • 一次分数変換の性質（円→円の写像）
3. 関数の解析
   • 因数分解による零点の特定
   • 導関数を用いた増減・極値の分析
   • パラメータを含む方程式の解の個数
4. 微積分の計算
   • 定積分の正確な計算
   • 面積・体積の立式
   • 回転体の体積公式
5. 確率と漸化式
   • 状態を定義して漸化式を立てる
   • 特性方程式による漸化式の解法
   • 極限値の計算と直感的理解

✅ 時間配分の目安（120分）

大問	目安時間	優先度
第1問（三角関数）	20分	高（確実に得点）
第2問（複素数平面）	25分	高（部分点狙い可）
第3問（3次関数）	25分	最高（完答目標）
第4問（積分）	25分	高（計算ミス注意）
第5問（確率）	25分	中〜高（(3)は難）

✅ 合格への戦略

目標得点率：65〜70%

• 第1問・第3問は完答を目指す
• 第2問・第4問は(1)(2)を確実に、(3)は時間があれば
• 第5問は(1)(2)で部分点を確保
• 計算ミスを防ぐため、検算の時間を確保する

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日本数学塾・数強塾でお茶の水女子大学合格を目指そう

ここまでお読みいただき、ありがとうございました！

お茶の水女子大学の数学は、基本的な計算力と論理的思考力がバランスよく問われる良問が多いのが特徴です。しっかりとした基礎固めと、過去問を通じた実践演習を積み重ねることで、十分に合格点を取ることができます。

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※ 本記事で扱った問題は、2002年度お茶の水女子大学入学試験の数学問題を参考に作成・解説したものです。実際の入試問題とは表現が異なる場合があります。最新の入試情報は、お茶の水女子大学公式サイトにてご確認ください。