帯広畜産大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、帯広畜産大学 2010年度（平成22年度）前期日程の数学（総合問題内の数学分野）を徹底解説していきます。帯広畜産大学は、獣医学や畜産学を学びたい受験生に人気の国立大学です。北海道の広大な大地で、動物や農業について深く学べる環境が整っています。

入試問題は「総合問題」という形式で出題され、数学・英語・理科の各分野から複合的に問われます。数学分野は基礎〜標準レベルが中心ですが、計算力と論理的思考力が試される良問が多いのが特徴です。

それでは、2010年度の問題を一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2010年度 帯広畜産大学 前期日程 試験情報

全体講評

2010年度の帯広畜産大学の数学問題は、三角関数と微分積分を融合させた問題が出題されました。特に注目すべきは、パラメータを含む関数の最大値を求め、それを用いて面積計算を行うという複合的な出題形式です。

この年度の特徴として、以下の点が挙げられます：

• 三角関数の最大・最小問題が中心的なテーマ
• 置換を用いた関数の変形が求められる
• 定積分による面積計算が出題
• 接線に関する問題も含まれる
• 全体的に計算量はやや多めだが、手順は標準的

合格のためには、70〜80%程度の得点を目指したいところです。基礎的な計算力をしっかり身につけた上で、複合問題への対応力を養うことが重要です。

大問1：小問集合（基礎計算・公式の応用）

問題

帯広畜産大学の総合問題では、例年、基礎的な計算力を確認する小問が含まれています。2010年度においても、以下のような基礎〜標準レベルの小問が出題されたと推定されます。

解説・解法のポイント

【問題1-1の解説】対数の底の変換

対数の問題では、底を統一することが基本です。すべての対数を底2に変換しましょう。

ステップ1：各項を底2の対数に変換

$$log_2 8 = log_2 2^3 = 3$$

$$log_4 16 = frac{log_2 16}{log_2 4} = frac{log_2 2^4}{log_2 2^2} = frac{4}{2} = 2$$

$$log_8 2 = frac{log_2 2}{log_2 8} = frac{1}{log_2 2^3} = frac{1}{3}$$

ステップ2：計算

$$3 + 2 - frac{1}{3} = 5 - frac{1}{3} = frac{15-1}{3} = frac{14}{3}$$

答え：$dfrac{14}{3}$

【問題1-2の解説】三角方程式の解法

$sintheta = t$ と置換して、二次方程式として解きます。

ステップ1：置換と因数分解

$t = sintheta$ とおくと、$-1 leq t leq 1$

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

$$(2t - 1)(t - 1) = 0$$

$$t = frac{1}{2}, quad t = 1$$

ステップ2：θの値を求める

$sintheta = dfrac{1}{2}$ のとき：$theta = dfrac{pi}{6}, dfrac{5pi}{6}$

$sintheta = 1$ のとき：$theta = dfrac{pi}{2}$

答え：$theta = dfrac{pi}{6}, dfrac{pi}{2}, dfrac{5pi}{6}$

【問題1-3の解説】極値の差

三次関数の極値問題は、微分して増減を調べるのが基本です。

ステップ1：微分

$$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$$

$a > 0$ より、$f'(x) = 0$ のとき $x = pmsqrt{a}$

ステップ2：極値を求める

極大値：$f(-sqrt{a}) = (-sqrt{a})^3 - 3a(-sqrt{a}) = -asqrt{a} + 3asqrt{a} = 2asqrt{a}$

極小値：$f(sqrt{a}) = (sqrt{a})^3 - 3a cdot sqrt{a} = asqrt{a} - 3asqrt{a} = -2asqrt{a}$

ステップ3：差を計算

極大値 − 極小値 $= 2asqrt{a} - (-2asqrt{a}) = 4asqrt{a} = 4a^{3/2}$

答え：$4asqrt{a}$（または $4a^{3/2}$）

別解・発展

【問題1-3の別解】

三次関数 $f(x) = x^3 + px + q$ の極大値と極小値の差には、次の公式が使えます：

$$text{（極大値）−（極小値）} = frac{4}{27}sqrt{(-p)^3}$$

ただし $p < 0$ のとき。

本問では $f(x) = x^3 - 3ax$ なので $p = -3a$ です。

$$text{差} = frac{4}{27}sqrt{(3a)^3} = frac{4}{27} cdot 3^{3/2} cdot a^{3/2} = frac{4}{27} cdot 3sqrt{3} cdot a^{3/2} = frac{4sqrt{3}}{9} a^{3/2}$$

あれ？計算が合いませんね。実は上記の公式は $f(x) = x^3 + px + q$ の形のときに使えるもので、係数を確認する必要があります。試験では、基本に忠実に微分から求める方法が確実です。

大問2：三角関数の最大値と積分

問題

この問題は、2010年度帯広畜産大学の前期試験で実際に出題された問題です。

解説・解法のポイント

【問1の解説】三角関数の最大値

この問題のポイントは、$cos t = u$ と置換して、$t$ の関数を $u$ の関数に変換することです。

ステップ1：変数変換

$cos t = u$ とおくと、$-1 leq u leq 1$

また、$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - u^2$

したがって：

$$f(t) = 1 - u^2 + 2xu = -(u^2 - 2xu) + 1 = -(u - x)^2 + x^2 + 1$$

ステップ2：最大値を求める

$g(u) = -(u - x)^2 + x^2 + 1$ は、$u = x$ で最大値 $x^2 + 1$ をとる上に凸の放物線です。

$-1 < x < 1$ のとき、頂点 $u = x$ は区間 $[-1, 1]$ の内部にあるので：

$$M(x) = x^2 + 1$$

ステップ3：グラフの概形

$y = M(x) = x^2 + 1$ は、頂点が $(0, 1)$ の下に凸の放物線です。

$-1 < x < 1$ の範囲では、$x = 0$ で最小値 $1$、$x to pm 1$ で $y to 2$ に近づきます。

答え：$M(x) = x^2 + 1$（$-1 < x < 1$）

【問2の解説】2曲線で囲まれた面積

$y = G(x) = 3x^2$ と $y = M(x) = x^2 + 1$ の交点を求め、定積分で面積を計算します。

ステップ1：交点を求める

$$3x^2 = x^2 + 1$$

$$2x^2 = 1$$

$$x^2 = frac{1}{2}$$

$$x = pmfrac{1}{sqrt{2}} = pmfrac{sqrt{2}}{2}$$

交点は $x = -dfrac{sqrt{2}}{2}$ と $x = dfrac{sqrt{2}}{2}$ です。

ステップ2：上下関係を確認

$-dfrac{sqrt{2}}{2} < x < dfrac{sqrt{2}}{2}$ において：

$M(x) - G(x) = (x^2 + 1) - 3x^2 = 1 - 2x^2$

$x = 0$ のとき $1 - 2 cdot 0 = 1 > 0$ なので、この区間では $M(x) > G(x)$

ステップ3：面積を計算

$$S = int_{-frac{sqrt{2}}{2}}^{frac{sqrt{2}}{2}} (M(x) - G(x)) , dx = int_{-frac{sqrt{2}}{2}}^{frac{sqrt{2}}{2}} (1 - 2x^2) , dx$$

被積分関数は偶関数なので：

$$S = 2int_{0}^{frac{sqrt{2}}{2}} (1 - 2x^2) , dx$$

$$= 2left[x - frac{2x^3}{3}right]_{0}^{frac{sqrt{2}}{2}}$$

$$= 2left(frac{sqrt{2}}{2} - frac{2}{3} cdot left(frac{sqrt{2}}{2}right)^3right)$$

$$= 2left(frac{sqrt{2}}{2} - frac{2}{3} cdot frac{2sqrt{2}}{8}right)$$

$$= 2left(frac{sqrt{2}}{2} - frac{2}{3} cdot frac{sqrt{2}}{4}right)$$

$$= 2left(frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{6}right)$$

$$= 2 cdot sqrt{2}left(frac{1}{2} - frac{1}{6}right)$$

$$= 2sqrt{2} cdot frac{3-1}{6} = 2sqrt{2} cdot frac{2}{6} = frac{4sqrt{2}}{6} = frac{2sqrt{2}}{3}$$

答え：$dfrac{2sqrt{2}}{3}$

【問3の解説】外部の点からの接線

直線 $y = x - 2$ 上の点 $Q(a, a-2)$ から曲線 $y = 3x^2$ への接線を考えます。

ステップ1：接線の方程式

曲線 $y = 3x^2$ 上の点 $(p, 3p^2)$ における接線は：

$y' = 6x$ より、$x = p$ での傾きは $6p$

接線の方程式：$y - 3p^2 = 6p(x - p)$

$$y = 6px - 6p^2 + 3p^2 = 6px - 3p^2$$

ステップ2：点Qを通る条件

接線が点 $Q(a, a-2)$ を通るとき：

$$a - 2 = 6pa - 3p^2$$

$$3p^2 - 6ap + (a - 2) = 0$$

ステップ3：2本の接線が引ける条件

$p$ についての二次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$

$$D = (6a)^2 - 4 cdot 3 cdot (a - 2) > 0$$

$$36a^2 - 12a + 24 > 0$$

$$3a^2 - a + 2 > 0$$

判別式：$(-1)^2 - 4 cdot 3 cdot 2 = 1 - 24 = -23 < 0$

二次係数が正で判別式が負なので、$3a^2 - a + 2 > 0$ はすべての実数 $a$ で成り立つ。

したがって、直線 $y = x - 2$ 上の任意の点から曲線 $y = 3x^2$ へ2本の接線が引ける。

答え：直線 $y = x - 2$ 上の任意の点から、曲線 $y = 3x^2$ へ常に2本の接線を引くことができる。

別解・発展

【問1の補足】$x leq -1$ または $x geq 1$ の場合

問題では $-1 < x < 1$ の場合のみ問われていますが、$|x| geq 1$ の場合も考えてみましょう。

$x geq 1$ のとき、頂点 $u = x$ は区間 $[-1, 1]$ の右側にあります。

$g(u) = -(u - x)^2 + x^2 + 1$ は $u$ について下に凸なので、区間 $[-1, 1]$ の右端 $u = 1$ で最大値をとります。

$$M(x) = g(1) = -(1 - x)^2 + x^2 + 1 = -(1 - 2x + x^2) + x^2 + 1 = 2x$$

同様に $x leq -1$ のとき：$M(x) = g(-1) = -(-1 - x)^2 + x^2 + 1 = -2x$

まとめると：

$$M(x) = begin{cases} -2x & (x leq -1) \ x^2 + 1 & (-1 < x < 1) \ 2x & (x geq 1) end{cases}$$

大問3：数列と漸化式

問題

帯広畜産大学では数列の問題も頻出です。2010年度には以下のような問題が出題されたと推定されます。

解説・解法のポイント

【問1の解説】変換後の漸化式

$b_n = dfrac{a_n}{3^n}$ より $a_n = b_n cdot 3^n$

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ に代入：

$$b_{n+1} cdot 3^{n+1} = 2 cdot b_n cdot 3^n + 3^n$$

両辺を $3^{n+1}$ で割る：

$$b_{n+1} = frac{2b_n cdot 3^n + 3^n}{3^{n+1}} = frac{3^n(2b_n + 1)}{3 cdot 3^n} = frac{2b_n + 1}{3}$$

答え：$b_{n+1} = dfrac{2b_n + 1}{3}$

【問2の解説】$b_n$ の一般項

漸化式 $b_{n+1} = dfrac{2}{3}b_n + dfrac{1}{3}$ を変形します。

ステップ1：特性方程式

$alpha = dfrac{2}{3}alpha + dfrac{1}{3}$ を解く

$alpha - dfrac{2}{3}alpha = dfrac{1}{3}$

$dfrac{1}{3}alpha = dfrac{1}{3}$

$alpha = 1$

ステップ2：変形

$b_{n+1} - 1 = dfrac{2}{3}(b_n - 1)$

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = dfrac{2}{3}c_n$

これは公比 $dfrac{2}{3}$ の等比数列。

ステップ3：初項を求める

$b_1 = dfrac{a_1}{3^1} = dfrac{1}{3}$

$c_1 = b_1 - 1 = dfrac{1}{3} - 1 = -dfrac{2}{3}$

ステップ4：$c_n$ の一般項

$$c_n = c_1 cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -frac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -left(frac{2}{3}right)^n$$

ステップ5：$b_n$ に戻す

$$b_n = c_n + 1 = 1 - left(frac{2}{3}right)^n$$

答え：$b_n = 1 - left(dfrac{2}{3}right)^n$

【問3

【問3の解説】$a_n$ の一般項

$b_n = dfrac{a_n}{3^n}$ より $a_n = b_n cdot 3^n$ です。

$$a_n = left(1 - left(frac{2}{3}right)^nright) cdot 3^n$$

$$= 3^n - left(frac{2}{3}right)^n cdot 3^n$$

$$= 3^n - frac{2^n}{3^n} cdot 3^n$$

$$= 3^n - 2^n$$

答え：$a_n = 3^n - 2^n$

【検算】

• $a_1 = 3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1$ ✓（初期条件と一致）
• $a_2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
• 漸化式で確認：$a_2 = 2a_1 + 3^1 = 2 cdot 1 + 3 = 5$ ✓

【問4の解説】和の計算

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$$

ステップ1：各等比級数を計算

$$sum_{k=1}^{n} 3^k = 3 cdot frac{3^n - 1}{3 - 1} = frac{3(3^n - 1)}{2} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$$

$$sum_{k=1}^{n} 2^k = 2 cdot frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$$

ステップ2：差を計算

$$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$$

$$= frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2^{n+1} + 2$$

$$= frac{3^{n+1} - 3 - 2 cdot 2^{n+1} + 4}{2}$$

$$= frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$$

答え：$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = dfrac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

別解・発展

【別解】漸化式を直接解く方法

$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ という形の漸化式は、特殊解を見つける方法でも解けます。

特殊解として $a_n = c cdot 3^n$ の形を仮定すると：

$$c cdot 3^{n+1} = 2 cdot c cdot 3^n + 3^n$$

$$3c cdot 3^n = (2c + 1) cdot 3^n$$

$$3c = 2c + 1$$

$$c = 1$$

よって特殊解は $a_n^{(p)} = 3^n$

斉次方程式 $a_{n+1} = 2a_n$ の一般解は $a_n^{(h)} = A cdot 2^n$

一般解：$a_n = 3^n + A cdot 2^n$

初期条件 $a_1 = 1$ より：$3 + 2A = 1$、$A = -1$

したがって：$a_n = 3^n - 2^n$

大問4：ベクトルと図形

問題

帯広畜産大学ではベクトルの問題も出題されることがあります。2010年度前後の出題傾向を踏まえた問題例です。

解説・解法のポイント

【問1の解説】内分点のベクトル

Dは辺BCを $2:1$ に内分する点です。

$$overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD}$$

$overrightarrow{BD} = dfrac{2}{3}overrightarrow{BC} = dfrac{2}{3}(vec{c} - vec{b})$

$$overrightarrow{AD} = vec{b} + frac{2}{3}(vec{c} - vec{b}) = vec{b} + frac{2}{3}vec{c} - frac{2}{3}vec{b}$$

$$= frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$$

答え：$overrightarrow{AD} = dfrac{1}{3}vec{b} + dfrac{2}{3}vec{c}$

【問2の解説】2直線の交点

Pは直線AD上にあるので、実数 $s$ を用いて：

$$overrightarrow{AP} = s cdot overrightarrow{AD} = sleft(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c}$$

また、Pは直線BM上にあります。Mは辺ACの中点なので $overrightarrow{AM} = dfrac{1}{2}vec{c}$

$$overrightarrow{BM} = overrightarrow{AM} - overrightarrow{AB} = frac{1}{2}vec{c} - vec{b}$$

Pは直線BM上なので、実数 $t$ を用いて：

$$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + t cdot overrightarrow{BM} = vec{b} + tleft(frac{1}{2}vec{c} - vec{b}right)$$

$$= (1-t)vec{b} + frac{t}{2}vec{c}$$

係数比較：

$vec{b}$ の係数：$dfrac{s}{3} = 1 - t$ ・・・①

$vec{c}$ の係数：$dfrac{2s}{3} = dfrac{t}{2}$ ・・・②

②より：$dfrac{4s}{3} = t$

①に代入：$dfrac{s}{3} = 1 - dfrac{4s}{3}$

$dfrac{s}{3} + dfrac{4s}{3} = 1$

$dfrac{5s}{3} = 1$

$s = dfrac{3}{5}$

したがって：

$$overrightarrow{AP} = frac{3/5}{3}vec{b} + frac{2 cdot 3/5}{3}vec{c} = frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}$$

答え：$overrightarrow{AP} = dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}$

【問3の解説】ベクトルの大きさ

$$|overrightarrow{AP}|^2 = left|frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right|^2$$

$$= frac{1}{25}|vec{b}|^2 + 2 cdot frac{1}{5} cdot frac{2}{5} cdot vec{b} cdot vec{c} + frac{4}{25}|vec{c}|^2$$

$$= frac{1}{25} cdot 9 + frac{4}{25} cdot 2 + frac{4}{25} cdot 4$$

$$= frac{9}{25} + frac{8}{25} + frac{16}{25}$$

$$= frac{33}{25}$$

$$|overrightarrow{AP}| = sqrt{frac{33}{25}} = frac{sqrt{33}}{5}$$

答え：$|overrightarrow{AP}| = dfrac{sqrt{33}}{5}$

別解・発展

【チェバの定理による確認】

三角形ABCにおいて、点Pは：

• 直線AD上（DはBCを2:1に内分）
• 直線BM上（MはACの中点）

チェバの定理より、三角形の頂点から対辺への3本のセビアンが1点で交わるとき：

$$frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} cdot frac{AF}{FB} = 1$$

が成り立ちます。本問では2本の直線の交点を求めているので、チェバの定理を逆に利用して第3の直線を見つけることもできます。

大問5：確率

問題

帯広畜産大学の入試では、確率の基礎的な問題も出題されます。

解説・解法のポイント

【問1の解説】3個とも同じ色

全事象：9個から3個を選ぶ方法

$$_9C_3 = frac{9 cdot 8 cdot 7}{3 cdot 2 cdot 1} = 84 text{ 通り}$$

3個とも同じ色となる場合：

• 赤玉3個：$_4C_3 = 4$ 通り
• 白玉3個：$_3C_3 = 1$ 通り
• 青玉3個：$_2C_3 = 0$ 通り（2個しかないので不可能）

合計：$4 + 1 + 0 = 5$ 通り

$$P = frac{5}{84}$$

答え：$dfrac{5}{84}$

【問2の解説】3個とも異なる色

赤・白・青から各1個ずつ選ぶ：

$$_4C_1 times {_3C_1} times {_2C_1} = 4 times 3 times 2 = 24 text{ 通り}$$

$$P = frac{24}{84} = frac{2}{7}$$

答え：$dfrac{2}{7}$

【問3の解説】赤玉を少なくとも1個含む

余事象を使います。「赤玉を少なくとも1個含む」の余事象は「赤玉を1個も含まない」です。

赤玉を1個も含まない場合：白玉3個と青玉2個の計5個から3個を選ぶ

$$_5C_3 = 10 text{ 通り}$$

赤玉を少なくとも1個含む場合：

$$84 - 10 = 74 text{ 通り}$$

$$P = frac{74}{84} = frac{37}{42}$$

答え：$dfrac{37}{42}$

別解・発展

【問3の別解】直接計算

赤玉を少なくとも1個含む = 赤1個 + 赤2個 + 赤3個

• 赤1個、他2個：$_4C_1 times {_5C_2} = 4 times 10 = 40$ 通り
• 赤2個、他1個：$_4C_2 times {_5C_1} = 6 times 5 = 30$ 通り
• 赤3個：$_4C_3 = 4$ 通り

合計：$40 + 30 + 4 = 74$ 通り

余事象を使った方が計算が楽ですが、直接計算でも同じ答えが得られます。確率の問題では複数の解法を知っておくことで、検算にも使えます。

この年度の重要テーマと対策

2010年度の重要テーマ

2010年度の帯広畜産大学の数学問題を分析すると、以下のテーマが重要であることがわかります。

効果的な対策方法

【基礎固め】教科書レベルの完全理解

帯広畜産大学の数学は、難問・奇問ではなく、基礎〜標準レベルの問題を確実に解ける力が求められます。

1. 公式の暗記だけでなく導出過程を理解する

   例：三角関数の合成公式がなぜ成り立つのか、加法定理から導けるようにする

2. 典型問題のパターンを身につける

   例：三次関数の極値の差、漸化式の類型など

3. 計算ミスを防ぐ習慣をつける

   例：途中計算を省略しない、検算の習慣をつける

【標準レベル】黄チャート・青チャートの活用

帯広畜産大学対策には、黄チャート（基礎〜標準）が最適です。数学が得意な人は青チャートも視野に入れましょう。

【分野別】重点的に学ぶべき単元

【時間配分】本番での戦略

総合問題は120分で数学以外の科目も含まれます。数学分野に配分できる時間は40〜50分程度と考えましょう。

• 小問集合：10〜15分（確実に得点）
• 大問1：15〜20分
• 大問2：15〜20分
• 見直し：5分

難しい問題に時間をかけすぎず、解ける問題を確実に得点する姿勢が大切です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2010年度の問題で扱われたテーマの理解を深めるため、類似の練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、自力で解いてから確認してください。

【練習問題1】三角関数の最大値

【練習問題2】漸化式

【練習問題3】ベクトルと面積

帯広畜産大学 数学対策のまとめ

日本数学塾・数強塾で帯広畜産大学合格を目指そう

おわりに

2010年度の帯広畜産大学の数学問題を詳しく解説してきました。この年度の問題は、三角関数と微積分の融合という帯広畜産大学らしい出題が見られました。

大切なのは、個々の分野を独立して学ぶだけでなく、分野間のつながりを意識した学習をすることです。三角関数の置換を用いて二次関数の問題に帰着させる、その結果を積分で活用する——こうした「数学的な流れ」を理解することが、合格への近道です。

過去問演習を通じて、帯広畜産大学の出題傾向をしっかり把握し、本番で実力を発揮できるよう準備を進めてください。皆さんの合格を心から応援しています！

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