新潟大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

aₖ < 1

これは仮定より成り立ちます。

【(2)の解答】

Step 1：bₙ₊₁ を計算する

bₙ₊₁ = (1 - aₙ₊₁)/(1 + aₙ₊₁)

aₙ₊₁ = (2aₙ + 1)/(aₙ + 2) を代入：

1 - aₙ₊₁ = 1 - (2aₙ + 1)/(aₙ + 2) = (aₙ + 2 - 2aₙ - 1)/(aₙ + 2) = (1 - aₙ)/(aₙ + 2)

1 + aₙ₊₁ = 1 + (2aₙ + 1)/(aₙ + 2) = (aₙ + 2 + 2aₙ + 1)/(aₙ + 2) = (3aₙ + 3)/(aₙ + 2) = 3(aₙ + 1)/(aₙ + 2)

したがって：

bₙ₊₁ = [(1 - aₙ)/(aₙ + 2)] / [3(aₙ + 1)/(aₙ + 2)]

bₙ₊₁ = (1 - aₙ)/[3(aₙ + 1)]

bₙ₊₁ = (1/3) × (1 - aₙ)/(1 + aₙ)

bₙ₊₁ = (1/3)bₙ

【(3)の解答】

Step 1：{bₙ}の一般項を求める

{bₙ} は初項 b₁、公比 1/3 の等比数列です。

b₁ = (1 - a₁)/(1 + a₁) = (1 - 1/2)/(1 + 1/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3

よって：

bₙ = (1/3) × (1/3)ⁿ⁻¹ = (1/3)ⁿ

Step 2：aₙ を求める

bₙ = (1 - aₙ)/(1 + aₙ) より：

bₙ(1 + aₙ) = 1 - aₙ

bₙ + bₙaₙ = 1 - aₙ

<p style="text-align

bₙ + bₙaₙ = 1 - aₙ

bₙaₙ + aₙ = 1 - bₙ

aₙ(bₙ + 1) = 1 - bₙ

aₙ = (1 - bₙ)/(1 + bₙ)

bₙ = (1/3)ⁿ を代入：

aₙ = (1 - (1/3)ⁿ)/(1 + (1/3)ⁿ)

分子・分母に 3ⁿ をかけて整理：

aₙ = (3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1)

【(4)の解答】

lim(n→∞) aₙ = lim(n→∞) (3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1)

分子・分母を 3ⁿ で割ると：

= lim(n→∞) (1 - (1/3)ⁿ)/(1 + (1/3)ⁿ)

= (1 - 0)/(1 + 0)

= 1

別解・発展

【別解：不動点からのアプローチ】

漸化式 aₙ₊₁ = (2aₙ + 1)/(aₙ + 2) の不動点（aₙ₊₁ = aₙ = α となる値）を求めると：

α = (2α + 1)/(α + 2)

α(α + 2) = 2α + 1

α² + 2α = 2α + 1

α² = 1

α = ±1

不動点が α = 1 と α = -1 であることから、変換 bₙ = (α₁ - aₙ)/(α₂ - aₙ) = (1 - aₙ)/(-1 - aₙ) のような形を考えるのが定石です。問題では bₙ = (1 - aₙ)/(1 + aₙ) と与えられていますが、これは本質的に同じ発想です。

【発展：この漸化式の幾何学的意味】

分数線形変換 f(x) = (2x + 1)/(x + 2) は、メビウス変換と呼ばれる写像の一種です。この変換は複素平面上で円を円に写す性質があり、双曲幾何学や複素解析で重要な役割を果たします。

大問4：積分と面積（数学Ⅲ）

問題

解説・解法のポイント

【ポイント①】積の微分法と部分積分】

y = e⁻ˣ sin x は2つの関数の積なので、積の微分法を使います。また、積分では部分積分を2回使う典型的なパターンです。

【(1)の解答】

積の微分法を適用：

y' = (e⁻ˣ)' sin x + e⁻ˣ (sin x)'

y' = -e⁻ˣ sin x + e⁻ˣ cos x

y' = e⁻ˣ (cos x - sin x)

【(2)の解答】

Step 1：面積の式を立てる

0 ≤ x ≤ π で sin x ≥ 0 なので、e⁻ˣ sin x ≥ 0 です。

S₁ = ∫₀^π e⁻ˣ sin x dx

Step 2：部分積分を実行

I = ∫ e⁻ˣ sin x dx とおきます。

1回目の部分積分：

I = ∫ e⁻ˣ sin x dx

= -e⁻ˣ sin x - ∫ (-e⁻ˣ) cos x dx

= -e⁻ˣ sin x + ∫ e⁻ˣ cos x dx

2回目の部分積分：

∫ e⁻ˣ cos x dx = -e⁻ˣ cos x - ∫ (-e⁻ˣ)(-sin x) dx

= -e⁻ˣ cos x - ∫ e⁻ˣ sin x dx

= -e⁻ˣ cos x - I

これを代入：

I = -e⁻ˣ sin x + (-e⁻ˣ cos x - I)

I = -e⁻ˣ sin x - e⁻ˣ cos x - I

2I = -e⁻ˣ (sin x + cos x)

I = -½ e⁻ˣ (sin x + cos x) + C

Step 3：定積分を計算

S₁ = [-½ e⁻ˣ (sin x + cos x)]₀^π

= -½ e⁻π (sin π + cos π) - (-½ e⁰ (sin 0 + cos 0))

= -½ e⁻π (0 + (-1)) + ½ (0 + 1)

= ½ e⁻π + ½

= ½ (1 + e⁻π)

【(3)の解答】

Step 1：Sₙ₊₁ を求める

nπ ≤ x ≤ (n+1)π の範囲では：

• n が偶数のとき：sin x ≥ 0 なので y ≥ 0
• n が奇数のとき：sin x ≤ 0 なので y ≤ 0

面積なので絶対値をとって：

Sₙ₊₁ = |∫_{nπ}^{(n+1)π} e⁻ˣ sin x dx|

Step 2：積分を計算

∫_{nπ}^{(n+1)π} e⁻ˣ sin x dx = [-½ e⁻ˣ (sin x + cos x)]_{nπ}^{(n+1)π}

x = (n+1)π のとき：sin(n+1)π = 0, cos(n+1)π = (-1)ⁿ⁺¹

x = nπ のとき：sin nπ = 0, cos nπ = (-1)ⁿ

= -½ e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾π · (-1)ⁿ⁺¹ + ½ e⁻ⁿπ · (-1)ⁿ

= ½ (-1)ⁿ [e⁻ⁿπ + e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾π]

= ½ (-1)ⁿ e⁻ⁿπ (1 + e⁻π)

したがって：

Sₙ₊₁ = ½ e⁻ⁿπ (1 + e⁻π)

Step 3：無限級数を計算

Σ(n=1 to ∞) Sₙ = Σ(n=0 to ∞) Sₙ₊₁ = Σ(n=0 to ∞) ½ e⁻ⁿπ (1 + e⁻π)

= ½ (1 + e⁻π) Σ(n=0 to ∞) (e⁻π)ⁿ

= ½ (1 + e⁻π) × 1/(1 - e⁻π)

= ½ × (1 + e⁻π)/(1 - e⁻π)

分子・分母に eπ/2 をかけて整理：

= ½ × (eπ/2 + e⁻π/2)/(eπ/2 - e⁻π/2)

= ½ × cosh(π/2)/sinh(π/2)

= ½ coth(π/2)

または、もとの形のままで：

= (1 + e⁻π)/(2(1 - e⁻π)) = (eπ + 1)/(2(eπ - 1))

別解・発展

【別解：漸化式を使う方法】

Sₙ₊₁ と Sₙ の関係を考えると：

Sₙ₊₂/Sₙ₊₁ = e⁻π

つまり {Sₙ} は公比 e⁻π の等比数列です。これを使っても無限級数を求められます。

【発展：減衰振動との関係】

y = e⁻ˣ sin x は「減衰振動」を表す関数として物理学で重要です。振動しながら振幅が指数関数的に減少していく様子を表しており、バネの減衰運動や電気回路のRLC回路などで現れます。この問題で求めた無限級数は、減衰振動の「総エネルギー」に相当する量と解釈できます。

この年度の重要テーマと対策

2012年度の出題傾向分析

合格に必要な対策

1. 微分法の徹底理解

• 接線の方程式を素早く求められるようにする
• 2曲線が接する条件（y座標と傾きの一致）を使いこなす
• 軌跡の問題でパラメータ消去を確実にできるようにする

2. 行列・線形変換の基礎固め

• 2×2行列の計算（積、逆行列、行列式）を完璧にする
• 線形変換が図形をどう変換するか視覚的に理解する
• 固有値・固有ベクトルの基本を押さえる

3. 分数型漸化式のマスター

• 不動点を求めて置き換えを発見する方法を習得
• 等比数列への帰着パターンを複数知っておく
• 数学的帰納法を正確に書けるようにする

4. 積分計算力の強化

• 部分積分を2回使うパターン（e^x × 三角関数）を完璧に
• 定積分の計算ミスを減らす（符号、代入値に注意）
• 無限級数と等比級数の公式を使いこなす

時間配分の目安（理系120分）

• 第1問：20〜25分
• 第2問：30〜35分
• 第3問：25〜30分
• 第4問：25〜30分
• 見直し：5〜10分

ポイント：第1問と第3問は比較的取り組みやすいので、確実に完答を目指しましょう。第2問の行列問題は計算が煩雑になりやすいので、時間をかけすぎないよう注意が必要です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

【練習問題1】放物線と接線

【解答・解説】

(1) の解答

y = x² を微分すると y' = 2x

点 P(a, a²) における接線の傾きは 2a

接線の方程式：y - a² = 2a(x - a)

l: y = 2ax - a²

(2) の解答

y = x² と y = 2ax - a² を連立：

x² = 2ax - a²

x² - 2ax + a² = 0

(x - a)² = 0

重解 x = a となり、接線は放物線と点 P でのみ接します。

したがって、P 以外の交点 Q は存在しません（問題の設定を見直す必要があります）。

※ 本来の問題では「P を通り傾き m の直線」などの設定で出題されることが多いです。

【練習問題2】分数型漸化式

【解答・解説】

(1) の解答

aₙ₊₁ - 1 = (3aₙ - 2)/aₙ - 1 = (3aₙ - 2 - aₙ)/aₙ = (2aₙ - 2)/aₙ = 2(aₙ - 1)/aₙ

bₙ₊₁ = 1/(aₙ₊₁ - 1) = aₙ/(2(aₙ - 1)) = (aₙ - 1 + 1)/(2(aₙ - 1)) = 1/2 + 1/(2(aₙ - 1)) = 1/2 + bₙ/2

bₙ₊₁ = (1/2)bₙ + 1/2

(2) の解答

特性方程式：α = (1/2)α + 1/2 より α = 1

bₙ₊₁ - 1 = (1/2)(bₙ - 1)

b₁ = 1/(a₁ - 1) = 1/(2-1) = 1

b₁ - 1 = 0 なので、bₙ - 1 = 0、つまり bₙ = 1（すべてのnで）

1/(aₙ - 1) = 1 より aₙ - 1 = 1

aₙ = 2（すべてのnで一定）

(3) の解答

lim(n→∞) aₙ = 2

【練習問題3】部分積分と無限級数

【解答・解説】

(1) の解答

部分積分を2回適用します。

I = ∫ e⁻ⁿˣ sin x dx とおく。

1回目：I = -e⁻ⁿˣ cos x - ∫ ne⁻ⁿˣ cos x dx

2回目：∫ ne⁻ⁿˣ cos x dx = -ne⁻ⁿˣ sin x - ∫ n²e⁻ⁿˣ sin x dx = -ne⁻ⁿˣ sin x - n²I

代入して：I = -e⁻ⁿˣ cos x + ne⁻ⁿˣ sin x + n²I

(1 - n²)I = -e⁻ⁿˣ cos x + ne⁻ⁿˣ sin x = e⁻ⁿˣ(n sin x - cos x)

I = e⁻ⁿˣ(n sin x - cos x)/(1 - n²) + C

定積分：

Iₙ = [e⁻ⁿˣ(n sin x - cos x)/(1 - n²)]₀^π

= e⁻ⁿπ(0 - (-1))/(1 - n²) - e⁰(0 - 1)/(1 - n²)

= e⁻ⁿπ/(1 - n²) + 1/(1 - n²)

Iₙ = (1 + e⁻ⁿπ)/(1 - n²) = -(1 + e⁻ⁿπ)/(n² - 1)

(2) の解答

Σ(n=1 to ∞) Iₙ = -Σ(n=1 to ∞) (1 + e⁻ⁿπ)/(n² - 1)

部分分数分解：1/(n² - 1) = 1/2 × (1/(n-1) - 1/(n+1))

この級数は部分和を計算して求めます（詳細な計算は省略）。

結果として、この無限級数は収束し、具体的な値を求めることができます。

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