新潟大学 1999年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

【場合3】a > 2 のとき

軸が定義域の右側にあるので、f(x) は 0 ≤ x ≤ 2 で単調減少。

• 最小値：f(2) = a² - 6a + 7
• 最大値：f(0) = a² - 2a + 3

答（まとめ）：
・a < 0 のとき：最小値 a² - 2a + 3（x=0）、最大値 a² - 6a + 7（x=2）
・0 ≤ a < 1 のとき：最小値 -2a + 3（x=a）、最大値 a² - 6a + 7（x=2）
・a = 1 のとき：最小値 1（x=1）、最大値 2（x=0, 2）
・1 < a ≤ 2 のとき：最小値 -2a + 3（x=a）、最大値 a² - 2a + 3（x=0）
・a > 2 のとき：最小値 a² - 6a + 7（x=2）、最大値 a² - 2a + 3（x=0）

【(3) の解答】

a > 0 という条件と、最大値が7という条件から、(2)の結果を用います。

【場合1】0 < a < 1 のとき

最大値 = a² - 6a + 7 = 7

a² - 6a = 0

a(a - 6) = 0

a = 0 または a = 6

0 < a < 1 を満たさないので、この場合は解なし。

【場合2】1 ≤ a ≤ 2 のとき

最大値 = a² - 2a + 3 = 7

a² - 2a - 4 = 0

a = 1 ± √5

1 ≤ a ≤ 2 を満たすのは a = 1 + √5 ≒ 3.24 だが、これは範囲外。

よって、この場合も解なし。

【場合3】a > 2 のとき

最大値 = a² - 2a + 3 = 7

a² - 2a - 4 = 0

a = 1 ± √5

a > 2 を満たすのは a = 1 + √5。

答：a = 1 + √5

別解・発展

【グラフを活用した視覚的理解】

この問題は、放物線 y = f(x) のグラフを描き、区間 [0, 2] における動きを視覚化すると理解が深まります。特に「軸の位置による場合分け」は、グラフを描けば自然に導けます。

【発展：パラメータを動かす問題への応用】

本問の考え方は、「定数aを含む関数の区間における最大・最小」という典型問題の基本パターンです。より難易度の高い問題では、「最大値・最小値の差を最小にするaの値」などが問われることもあります。

大問2：微分法と関数の増減・極値

問題

解説・解法のポイント

【基本方針】

三次関数の問題では、まず因数分解を試みることが基本戦略です。また、極値の存在条件や、x軸との交点の個数は判別式や微分を活用します。

【(1) の解答】

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ + 1 を観察すると、x³ - 3ax² + 3a²x - a³ の部分は三次の展開公式の形に見えます。

(x - a)³ = x³ - 3ax² + 3a²x - a³

したがって：

f(x) = (x - a)³ + 1

ここで、和の立方の因数分解公式 A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²) を用いると：

f(x) = (x - a)³ + 1³ = ((x - a) + 1)((x - a)² - (x - a) + 1)

= (x - a + 1)(x² - 2ax + a² - x + a + 1)

= (x - a + 1)(x² - (2a + 1)x + a² + a + 1)

答：f(x) = (x - a + 1)(x² - (2a + 1)x + a² + a + 1)

【(2) の解答】

f(x) = (x - a)³ + 1 より、

f'(x) = 3(x - a)²

f'(x) = 0 となるのは x = a のみ。

ここで、f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0 であり、x = a の前後で f'(x) の符号は変わりません（常に0以上）。

したがって、f(x) は x = a で極値を持たない。

答：f(x) は極値を持たない

【(3) の解答】

y = f(x) と x軸が異なる3点で交わるためには、f(x) = 0 が異なる3つの実数解を持つ必要があります。

(1)より、f(x) = (x - a + 1)(x² - (2a + 1)x + a² + a + 1) = 0

第一因子から x = a - 1 が解。

第二因子 g(x) = x² - (2a + 1)x + a² + a + 1 = 0 が異なる2つの実数解を持ち、かつそれらが a - 1 と異なる必要があります。

【条件1】g(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つ

判別式 D > 0 より：

D = (2a + 1)² - 4(a² + a + 1) > 0

4a² + 4a + 1 - 4a² - 4a - 4 > 0

-3 > 0

これは常に偽です。

したがって、g(x) = 0 は異なる2つの実数解を持つことはなく、y = f(x) と x軸が異なる3点で交わることはない。

答：そのようなaの値は存在しない

別解・発展

【グラフによる確認】

f(x) = (x - a)³ + 1 は、y = x³ のグラフを x 軸方向に a、y 軸方向に 1 だけ平行移動したものです。y = x³ は単調増加関数なので、f(x) も単調増加となり、x 軸との交点は高々1つです。

【発展：三次関数が3つの実数解を持つ条件】

一般に、三次関数 f(x) = ax³ + bx² + cx + d が3つの異なる実数解を持つためには、極大値と極小値が異符号である必要があります。本問では極値が存在しないため、3解条件を満たしません。

大問3：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

【基本方針】

平面ベクトルの問題では、基底ベクトル（ここでは AB と AC）を定め、すべてのベクトルをその一次結合で表すことが基本です。交点の位置ベクトルは、2通りの表現から係数比較で求めます。

【(1) の解答】

ベクトル AD の計算：

DはBCを2:5に内分するので、

AD = AB + BD = AB + (2/7)BC

= AB + (2/7)(AC - AB)

= AB - (2/7)AB + (2/7)AC

= (5/7)AB + (2/7)AC

ベクトル AE の計算：

EはCAを1:2に内分する、つまりACを2:1に内分するので、

AE = (1/3)AC = (1/3)AC

答：AD = (5/7)AB + (2/7)AC、AE = (1/3)AC

【(2) の解答】

PはAD上にあるので、実数sを用いて

AP = sAD = s{(5/7)AB + (2/7)AC} = (5s/7)AB + (2s/7)AC ... ①

また、PはBE上にあるので、実数tを用いて

AP = AB + t(AE - AB) = AB + t{(1/3)AC - AB}

= (1 - t)AB + (t/3)AC ... ②

①と②の係数を比較して：

5s/7 = 1 - t ... (i)

2s/7 = t/3 ... (ii)

(ii)より t = 6s/7 を(i)に代入：

5s/7 = 1 - 6s/7

5s/7 + 6s/7 = 1

11s/7 = 1

s = 7/11

したがって、

AP = (5/7)(7/11)AB + (2/7)(7/11)AC = (5/11)AB + (2/11)AC

答：AP = (5/11)AB + (2/11)AC

【(3) の解答】

まず、△ABCの面積Sを余弦定理とヘロンの公式で求めます。

【余弦定理でcos Aを求める】

BC² = AB² + AC² - 2・AB・AC・cos A

49 = 25 + 64 - 80cos A

cos A = 40/80 = 1/2

よって sin A = √(1 - 1/4) = √3/2

【△ABCの面積】

S = (1/2)・AB・AC・sin A = (1/2)・5・8・(√3/2) = 10√3

【△ABPの面積】

AP = (5/11)AB + (2/11)AC より、PはAD上で AP:PD = 7/11 : 4/11 = 7:4

また、s = 7/11 より、△ABP の △ABD に対する面積比は AP/AD = 7/11

△ABDは △ABCの面積の 2/7（∵ BD:DC = 2:5）

△ABD = (2/7)・10√3 = 20√3/7

△ABP = (7/11)・(20√3/7) = 20√3/11

答：△ABPの面積は 20√3/11

別解・発展

【面積の別解：行列式を用いる方法】

AP = (5/11)AB + (2/11)AC のとき、△ABPの面積は

△ABP = |係数の行列式| × △ABC

という関係を使うこともできます。

【発展：メネラウスの定理との関連】

本問は、メネラウスの定理やチェバの定理を用いても解くことができます。ベクトルによる解法と比較して、どちらが計算しやすいか確認しておくとよいでしょう。

大問4：積分法（面積・体積）

問題

解説・解法のポイント

【基本方針】

放物線と直線で囲まれた部分の面積は、定積分の基本公式を用います。回転体の体積はバームクーヘン積分またはワッシャー法を使い分けます。

【(1) の解答】

x² = 2x + 3 を解きます。

x² - 2x - 3 = 0

<p style="text-align: center続きを作成いたします。

```html

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x = 3, -1

それぞれのyの値は：

• x = 3 のとき y = 9
• x = -1 のとき y = 1

答：交点は (-1, 1) と (3, 9)

【(2) の解答】

Cとℓで囲まれた部分の面積Sは、直線が放物線より上にあることに注意して：

S = ∫_{-1}^{3} {(2x + 3) - x²} dx

= ∫_{-1}^{3} (-x² + 2x + 3) dx

= [-x³/3 + x² + 3x]_{-1}^{3}

上端 x = 3：

-27/3 + 9 + 9 = -9 + 18 = 9

下端 x = -1：

-(-1)/3 + 1 - 3 = 1/3 - 2 = -5/3

よって、

S = 9 - (-5/3) = 9 + 5/3 = 32/3

【別解：1/6公式の利用】

放物線と直線で囲まれた面積には公式があります。x² - 2x - 3 = 0 の2解を α = -1, β = 3 とすると：

S = (1/6)|a|(β - α)³ = (1/6) × 1 × (3-(-1))³ = (1/6) × 64 = 32/3

答：S = 32/3

【(3) の解答】

この問題では、囲まれた領域がx軸をまたいでいるかどうかを確認する必要があります。

x = -1 のとき y = 1 > 0、x = 3 のとき y = 9 > 0 であり、放物線 y = x² ≥ 0 なので、囲まれた領域はすべてx軸より上にあります。

x軸のまわりに回転させた体積Vは、ワッシャー法を用います：

V = π∫_{-1}^{3} {(2x + 3)² - (x²)²} dx

= π∫_{-1}^{3} {(4x² + 12x + 9) - x⁴} dx

= π∫_{-1}^{3} (-x⁴ + 4x² + 12x + 9) dx

各項を積分：

= π[-x⁵/5 + 4x³/3 + 6x² + 9x]_{-1}^{3}

上端 x = 3：

-243/5 + 108/3 + 54 + 27 = -243/5 + 36 + 81 = -243/5 + 117 = (-243 + 585)/5 = 342/5

下端 x = -1：

-(-1)/5 + 4(-1)/3 + 6 - 9 = 1/5 - 4/3 - 3 = (3 - 20 - 45)/15 = -62/15

よって、

V = π × (342/5 - (-62/15))

= π × (342/5 + 62/15)

= π × (1026/15 + 62/15)

= π × 1088/15

= 1088π/15

答：V = 1088π/15

別解・発展

【回転体の体積計算における注意点】

回転軸に対して、回転させる領域が軸をまたぐ場合は、領域を分割して計算する必要があります。本問では領域がすべてx軸より上にあったため、単純にワッシャー法を適用できました。

【発展：y軸まわりの回転体】

もしy軸まわりに回転させる場合は、バームクーヘン積分（円筒殻法）を使うと計算しやすいことが多いです：

V = 2π∫ x・f(x) dx

大問5：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【基本方針】

aₙ₊₁ = paₙ + q 型の漸化式は、特性方程式 α = pα + q を解いて、aₙ - α が等比数列になることを利用します。

【(1) の解答】

特性方程式を解く：

α = 3α - 4

-2α = -4

α = 2

漸化式を変形：

aₙ₊₁ - 2 = 3(aₙ - 2)

bₙ = aₙ - 2 とおくと、

bₙ₊₁ = 3bₙ, b₁ = a₁ - 2 = 0

b₁ = 0 より、bₙ = 0 × 3ⁿ⁻¹ = 0（すべてのnについて）

したがって、aₙ = bₙ + 2 = 0 + 2 = 2

【検算】

a₁ = 2 ✓

a₂ = 3×2 - 4 = 2 ✓

a₃ = 3×2 - 4 = 2 ✓

答：aₙ = 2（定数列）

【(2) の解答】

aₙ = 2（定数列）より、

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ 2 = 2n

答：Sₙ = 2n

【(3) の解答】

aₙ = 2 より、

Σₖ₌₁ⁿ k・aₖ = Σₖ₌₁ⁿ 2k = 2・Σₖ₌₁ⁿ k = 2・n(n+1)/2 = n(n+1)

答：Σₖ₌₁ⁿ k・aₖ = n(n+1)

別解・発展

【一般的な漸化式の場合】

もし初期値が a₁ = 2 でなければ、一般項は aₙ = c・3ⁿ⁻¹ + 2 の形になります。例えば a₁ = 5 なら：

a₁ - 2 = 3 より、bₙ = 3・3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ

したがって aₙ = 3ⁿ + 2

【発展：Σk・rᵏ の計算法】

本問は定数列のため単純でしたが、一般に Σₖ₌₁ⁿ k・rᵏ の形の和は、部分和の差分法または微分を利用した方法で計算します：

Σₖ₌₁ⁿ k・rᵏ = r・d/dr(Σₖ₌₁ⁿ rᵏ) = r・d/dr((r - rⁿ⁺¹)/(1-r))

大問6：確率

問題

解説・解法のポイント

【基本方針】

非復元抽出の確率問題では、順序を考えた場合の数で計算するか、条件付き確率の積で計算します。

【(1) の解答】

「3回目に初めて赤球が出る」とは、「1回目と2回目は赤以外、3回目が赤」ということです。

全体の球数：3 + 4 + 2 = 9個

赤以外の球数：4 + 2 = 6個

P = (6/9) × (5/8) × (3/7)

= (6 × 5 × 3) / (9 × 8 × 7)

= 90 / 504

= 15/84

= 5/28

答：5/28

【(2) の解答】

「5回目までに赤球3個が全て出る」確率を求めます。

9個の球から5個を取り出す順列の総数：₉P₅ = 9!/4! = 15120

赤球3個が5回以内に全て出る場合の数を考えます。

5つの位置のうち3つを赤球の位置として選び（₅C₃通り）、赤球の並び方は3!通り、残り2つの位置に赤以外6個から2個を選んで並べる（₆P₂通り）。

場合の数 = ₅C₃ × 3! × ₆P₂ = 10 × 6 × 30 = 1800

P = 1800/15120 = 1800/15120 = 5/42

答：5/42

【(3) の解答】

赤球が全て出るまでの回数をXとすると、X は 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 のいずれかの値をとります。

「k回目にちょうど赤球が揃う」= 「k回目が赤球で、それまでに赤球が2個出ている」

P(X = k) を計算します。k回の取り出しのうち：

• k回目は必ず赤球
• 1～(k-1)回目で赤球2個、赤以外(k-3)個が出る

分母：₉Pₖ

分子：(k-1)回目までの(k-1)箇所から赤球2個の位置を選び × 赤球の並び方 × k回目の赤球 × 赤以外の並び方

= ₍ₖ₋₁₎C₂ × 2! × 1 × ₆P₍ₖ₋₃₎

各kについて計算：

P(X = 3)：

= (₂C₂ × 2! × 1 × ₆P₀) / ₉P₃ = (1 × 2 × 1 × 1) / (504) = 2/504 = 1/252

P(X = 4)：

= (₃C₂ × 2! × 1 × ₆P₁) / ₉P₄ = (3 × 2 × 1 × 6) / (3024) = 36/3024 = 1/84

P(X = 5)：

= (₄C₂ × 2! × 1 × ₆P₂) / ₉P₅ = (6 × 2 × 1 × 30) / (15120) = 360/15120 = 1/42

P(X = 6)：

= (₅C₂ × 2! × 1 × ₆P₃) / ₉P₆ = (10 × 2 × 1 × 120) / (60480) = 2400/60480 = 5/126

P(X = 7)：

= (₆C₂ × 2! × 1 × ₆P₄) / ₉P₇ = (15 × 2 × 1 × 360) / (181440) = 10800/181440 = 5/84

P(X = 8)：

= (₇C₂ × 2! × 1 × ₆P₅) / ₉P₈ = (21 × 2 × 1 × 720) / (362880) = 30240/362880 = 1/12

P(X = 9)：

= (₈C₂ × 2! × 1 × ₆P₆) / ₉P₉ = (28 × 2 × 1 × 720) / (362880) = 40320/362880 = 1/9

期待値 E[X] = Σ k・P(X = k)

= 3×(1/252) + 4×(1/84) + 5×(1/42) + 6×(5/126) + 7×(5/84) + 8×(1/12) + 9×(1/9)

通分して計算（分母を252に統一）：

= (3 + 12 + 30 + 60 + 105 + 168 + 252) / 252

= 630/252 = 105/42 = 15/6 = 5/2 = 2.5

【より簡単な方法】

実は、n個の球からr個の特定の球がすべて出るまでの期待値には公式があります：

E[X] = r・(n+1)/(r+1)

本問では n = 9, r = 3 なので、

E[X] = 3 × 10/4 = 30/4 = 15/2

答：期待値は 15/2（= 7.5回）

別解・発展

【期待値の公式の導出】

n個の球からr個の特定の球を取り出すとき、最後の特定球が出る位置Xの期待値は：

E[X] = Σₖ₌ᵣⁿ k・P(X=k) = (n+1)r/(r+1)

この公式は、「負の超幾何分布」の期待値として知られています。

この年度の重要テーマと対策

1999年度 新潟大学数学の出題傾向まとめ

1999年度の新潟大学数学を振り返ると、以下のような特徴がありました：

新潟大学数学攻略のための5つの対策

【対策1】計算力の強化

新潟大学の数学は、難問奇問は少ないものの、計算量が多い問題が目立ちます。日頃から手を動かして計算練習をすることが大切です。特に積分計算、場合分けを含む式変形は繰り返し練習しましょう。

【対策2】典型問題のパターン習得

教科書の章末問題、青チャートの例題レベルの問題を確実に解けるようにしましょう。新潟大学の問題は、複数の典型パターンを組み合わせた「複合問題」が多いため、基本パターンの習得が必須です。

【対策3】場合分けの練習

二次関数の最大・最小、絶対値を含む問題、三角関数の範囲など、場合分けが必要な問題は毎年出題されます。「なぜその場合分けが必要なのか」を理解した上で、正確に分類できるようにしましょう。

【対策4】ベクトルと図形の融合対策

新潟大学では、ベクトルを用いた図形問題が頻出です。位置ベクトルによる交点の求め方、面積比の計算などは特に重点的に学習してください。

【対策5】時間配分の練習

120分で4〜5問を解くためには、1問あたり25〜30分の配分が目安です。過去問演習では必ず時間を計って解き、時間内に解き切る訓練をしましょう。

学習優先順位

新潟大学を志望する受験生は、以下の順序で学習を進めることをおすすめします：

1. 微分・積分（最重要・必出分野）
2. ベクトル（平面・空間ともに対策必須）
3. 二次関数・三次関数（基礎固めとして重要）
4. 数列（漸化式のパターンを網羅）
5. 確率（条件付き確率、期待値まで）
6. 図形と方程式（軌跡・領域）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、1999年度の出題傾向を踏まえたオリジナル練習問題を3問用意しました。解答・解説付きですので、ぜひチャレンジしてみてください！

練習問題1：二次関数の最大・最小（場合分け）

【解答・解説】

f(x) = -x² + 4x - a = -(x² - 4x) - a = -(x - 2)² + 4 - a

頂点は (2, 4-a) で、軸 x = 2 は区間 [1, 3] の中央にあります。

下に凸の放物線（係数が負）なので、軸上で最大値をとります。

最大値 = f(2) = 4 - a

これが5に等しいので：

4 - a = 5

a = -1

答：a = -1

練習問題2：ベクトルと面積

続きを作成いたします。

```html

【解答・解説】

まず、△OABの面積を求めます。

△OAB = (1/2) × OA × OB × sin∠AOB

= (1/2) × 4 × 3 × sin60°

= (1/2) × 4 × 3 × (√3/2)

= 3√3

次に、点P, Qの位置を確認します。

• PはOAを1:3に内分 → OP = (1/4)OA
• QはOBを2:1に内分 → OQ = (2/3)OB

△OPQと△OABの面積比は、辺の比の積で求められます：

△OPQ / △OAB = (OP/OA) × (OQ/OB) = (1/4) × (2/3) = 2/12 = 1/6

したがって、

△OPQ = (1/6) × △OAB = (1/6) × 3√3 = √3/2

答：△OPQの面積は √3/2

【補足：面積比の公式】

同じ頂点Oを共有する三角形において、2辺の比がわかれば面積比が求められます：

△OPQ : △OAB = OP・OQ : OA・OB

これは非常に便利な公式なので、必ず覚えておきましょう。

練習問題3：積分と体積

【解答・解説】

【Step 1】曲線とx軸の交点を求める

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0, 2

区間 [0, 2] で y = x² - 2x ≤ 0（x軸より下）なので、囲まれる領域はx軸と曲線の間にあります。

【Step 2】y軸まわりの回転体の体積

y軸まわりの回転なので、バームクーヘン積分（円筒殻法）を使います。

V = 2π ∫₀² |x| × |y| dx = 2π ∫₀² x × |x² - 2x| dx

0 ≤ x ≤ 2 で x² - 2x ≤ 0 なので、|x² - 2x| = -(x² - 2x) = 2x - x²

V = 2π ∫₀² x(2x - x²) dx

= 2π ∫₀² (2x² - x³) dx

= 2π [(2x³/3) - (x⁴/4)]₀²

= 2π [(16/3) - (16/4)]

= 2π [(16/3) - 4]

= 2π × (16 - 12)/3

= 2π × (4/3)

= 8π/3

答：V = 8π/3

【別解：x軸まわりで考えてyで積分する方法】

y軸まわりの回転は、xをyの関数として表し、次のように計算することもできます：

y = x² - 2x = (x-1)² - 1 より、x = 1 ± √(y+1)

この方法はやや複雑になるため、本問ではバームクーヘン積分が効率的です。

練習問題の総括

以上の3問は、新潟大学で頻出の典型パターンを含んでいます：

• 練習問題1：二次関数の最大・最小 → 軸と定義域の位置関係を確認
• 練習問題2：ベクトルと面積比 → 辺の比から面積比を導く基本公式
• 練習問題3：回転体の体積 → 回転軸に応じた積分法の選択

これらの問題を完璧に解けるようになれば、新潟大学の数学で確実に得点できる基礎力が身についたと言えるでしょう。

さらに実力を伸ばすための発展学習

新潟大学数学で差がつくポイント

基本問題を確実に得点した上で、さらに高得点を目指すために意識してほしいポイントをまとめます。

【ポイント1】答案の書き方を意識する

新潟大学は記述式試験です。計算過程だけでなく、なぜその計算をするのか、場合分けの理由なども明記することで、部分点を確保しやすくなります。

【ポイント2】検算の習慣をつける

計算ミスは合否を分ける致命的なミスになりかねません。特に以下の検算方法を身につけましょう：

• 微分したら元に戻るか確認（積分の検算）
• 具体的な数値を代入して確認（文字式の検算）
• 次元（単位）が合っているか確認
• 答えの範囲が妥当か確認（面積や確率は正の値など）

【ポイント3】複数の解法を知っておく

同じ問題でも複数の解法がある場合があります。ベクトル vs 座標、微分 vs 判別式など、状況に応じて最適な方法を選べるようにしましょう。

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日本数学塾・数強塾の特徴

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「本当に自分に合うか試してみたい」という方のために、無料体験授業をご用意しています。

体験授業では：

• 現在の学力・苦手分野の診断
• 新潟大学合格に向けた学習プランのご提案
• 実際の授業を体験

を行います。無理な勧誘は一切ありませんので、お気軽にお申し込みください。