奈良女子大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は奈良女子大学 2012年度 前期入試 数学の過去問を、詳細な解説とともに徹底攻略していきます。奈良女子大学は、国立の女子大学として高い教育水準を誇り、数学の入試問題も思考力・論理力を問う良問が多く出題されます。

この記事では、各大問について問題文の確認 → 解法のポイント → ステップバイステップの解説 → 別解・発展という流れで丁寧に解説していきます。2012年度の問題を通じて、奈良女子大学の出題傾向をしっかり把握し、合格への道を切り開いていきましょう！

試験概要・難易度

2012年度 奈良女子大学 理学部（前期）数学 試験情報

項目	内容
試験時間	120分
配点	200点（理学部数学科は300点の場合あり）
出題形式	記述式・全6問
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（当時の課程）

2012年度の全体講評

2012年度の奈良女子大学数学は、標準〜やや難レベルの問題が中心でした。特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問：三角形の辺の長さと角度に関する基本問題。鈍角三角形の条件を問う典型題。
• 第2問：関数・微分に関する問題。計算力と論理的思考力が問われる。
• 第3問：有理数と循環小数に関する証明問題。整数論的なセンスが必要。
• 第4問：四面体（正四面体）の体積に関する空間図形の問題。
• 第5問：数列・漸化式に関する問題。
• 第6問：積分法の応用問題。

全体として、基礎力の確認と応用力のバランスが取れた出題でした。奇問・難問は少なく、教科書レベルの内容をしっかり理解していれば対応できる問題が多いです。ただし、記述式のため、論理的に説明する力が合否を分けるポイントとなります。

難易度評価

大問	分野	難易度
第1問	三角形・三角比	★★☆☆☆（標準）
第2問	関数・微分	★★★☆☆（標準〜やや難）
第3問	整数・有理数・循環小数	★★★☆☆（やや難）
第4問	空間図形・四面体	★★☆☆☆（標準）
第5問	数列・漸化式	★★★☆☆（標準〜やや難）
第6問	積分法	★★★☆☆（標準〜やや難）

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大問1：三角形の辺と角・鈍角三角形の条件

問題

解説・解法のポイント

この問題は三角形の成立条件と鈍角三角形の条件を問う典型問題です。三角比の余弦定理を活用し、条件を数式で表現していく力が求められます。

【解答・解説】

（1）xのとりうる値の範囲

ポイント：三角形の成立条件（三角不等式）

三角形が成立するためには、どの辺の長さも他の2辺の和より小さくなければなりません。

3辺の長さを a = x、b = x + 1、c = x + 2（x > 0）とすると：

① a + b > c の条件：

x + (x + 1) > x + 2

2x + 1 > x + 2

x > 1

② b + c > a の条件：

(x + 1) + (x + 2) > x

2x + 3 > x

x > -3

これは x > 0 のとき常に成り立ちます。

③ c + a > b の条件：

(x + 2) + x > x + 1

2x + 2 > x + 1

x > -1

これも x > 0 のとき常に成り立ちます。

したがって、①②③と x > 0 を合わせて：

（2）cos θ をxを用いて表す

ポイント：余弦定理の活用

∠B = θ は頂点Bにおける角なので、対辺はCA = x + 2 です。

余弦定理より：

CA² = AB² + BC² − 2・AB・BC・cos θ

(x + 2)² = x² + (x + 1)² − 2・x・(x + 1)・cos θ

左辺を展開：

x² + 4x + 4

右辺を整理：

x² + x² + 2x + 1 − 2x(x + 1)cos θ = 2x² + 2x + 1 − 2x(x + 1)cos θ

方程式を整理すると：

x² + 4x + 4 = 2x² + 2x + 1 − 2x(x + 1)cos θ

2x(x + 1)cos θ = 2x² + 2x + 1 − x² − 4x − 4

2x(x + 1)cos θ = x² − 2x − 3

2x(x + 1)cos θ = (x − 3)(x + 1)

よって：

cos θ = (x − 3)(x + 1) / 2x(x + 1) = (x − 3) / 2x

（3）鈍角三角形となるxの範囲

ポイント：鈍角三角形の判定条件

三角形が鈍角三角形であるとは、3つの内角のうち少なくとも1つが90°より大きい（鈍角である）ことです。

三角形の内角が鈍角になるのは、その対辺が最も長いときに限ります。本問では CA = x + 2 が最も長い辺なので、∠B が鈍角になる可能性を検討します。

∠B が鈍角となる条件：

cos θ < 0

(x − 3) / 2x < 0

x > 1 より 2x > 0 なので：

x − 3 < 0

x < 3

また、他の角が鈍角になる可能性も確認します。

∠A（対辺BC = x + 1）が鈍角となる条件：

余弦定理より：

cos A = (x² + (x+2)² − (x+1)²) / (2・x・(x+2))

= (x² + x² + 4x + 4 − x² − 2x − 1) / (2x(x+2))

= (x² + 2x + 3) / (2x(x+2))

x > 1 のとき、分子 x² + 2x + 3 > 0 かつ分母 2x(x+2) > 0 なので cos A > 0 となり、∠A は鋭角です。

∠C（対辺AB = x）が鈍角となる条件：

同様に：

cos C = ((x+1)² + (x+2)² − x²) / (2(x+1)(x+2))

= (x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 − x²) / (2(x+1)(x+2))

= (x² + 6x + 5) / (2(x+1)(x+2))

= ((x+1)(x+5)) / (2(x+1)(x+2))

= (x + 5) / (2(x+2))

x > 1 のとき、分子・分母とも正なので cos C > 0 となり、∠C も鋭角です。

したがって、鈍角三角形となるのは ∠B が鈍角のときのみです。

(1)より x > 1 と合わせて：

別解・発展

【別解：(3)について】

鈍角三角形の条件は、最大辺の2乗が他の2辺の2乗の和より大きいことでも判定できます。

CA = x + 2 が最大辺なので：

(x + 2)² > x² + (x + 1)²

x² + 4x + 4 > x² + x² + 2x + 1

x² + 4x + 4 > 2x² + 2x + 1

0 > x² − 2x − 3

0 > (x − 3)(x + 1)

−1 < x < 3

x > 1 と合わせて、1 < x < 3 が得られます。

【発展：直角三角形になる条件】

cos θ = 0 となるのは x = 3 のとき。このとき三角形ABCは直角三角形（∠B = 90°）となります。3辺は AB = 3、BC = 4、CA = 5 の「3:4:5」の直角三角形です！

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大問2：関数の最大・最小と微分

問題

解説・解法のポイント

この問題は3次関数の微分と極値に関する典型問題です。極値の条件から定数を決定し、グラフの概形から実数解の個数を判断します。

【解答・解説】

（1）f(x) の極値

ポイント：微分して極値を求める

f(x) = x³ − 3ax + b を微分すると：

f'(x) = 3x² − 3a = 3(x² − a)

a > 0 より、f'(x) = 0 となるのは x² = a、すなわち x = ±√a のとき。

増減表：

x	...	−√a	...	√a	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極大値：f(−√a) = (−√a)³ − 3a(−√a) + b = −a√a + 3a√a + b = 2a√a + b

極小値：f(√a) = (√a)³ − 3a(√a) + b = a√a − 3a√a + b = −2a√a + b

（2）定数 a、b の値

ポイント：条件から連立方程式を立てる

x = 1 で極大値をとる条件：

① f'(1) = 0 ⟹ 3(1 − a) = 0 ⟹ a = 1

（注：x = 1 で極大ということは、(1)より x = 1 = −√a となるはずですが、a > 0 のとき −√a < 0 なので矛盾。よって x = 1 = √a と考えると a = 1 となりますが、これだと x = 1 は極小点になってしまいます。

問題文を「x = −1 で極大値2」または「x = 1 で極小値」と解釈する必要があります。ここでは標準的な出題として a = 1 で x = −1 が極大点と仮定して解きます。）

a = 1 のとき、極大は x = −1 で生じます。

極大値 = f(−1) = (−1)³ − 3(1)(−1) + b = −1 + 3 + b = 2 + b = 2

よって b = 0

（3）方程式 f(x) = 0 の実数解の個数

a = 1、b = 0 のとき：

f(x) = x³ − 3x

f(x) = 0 を解くと：

x³ − 3x = 0

x(x² − 3) = 0

x(x − √3)(x + √3) = 0

別解・発展

【グラフによる考察】

3次関数 f(x) = x³ − 3x のグラフは：

• x = −1 で極大値 f(−1) = 2
• x = 1 で極小値 f(1) = −2
• 原点を通り、点対称（奇関数）

極大値 > 0 かつ 極小値 < 0 なので、x軸と3点で交わり、実数解は3個です。

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大問3：有理数と循環小数の証明

問題

解説・解法のポイント

この問題は有理数・無理数の本質的な理解を問う証明問題です。整数論の基礎知識と論理的な証明力が求められます。

【解答・解説】

（1）有理数は有限小数または循環小数になる

ポイント：余りの有限性に着目

【証明】

有理数は p/q（p, q は整数、q ≠ 0）の形で表される。簡単のため p/q > 0、q > 0 とする。

p を q で割る筆算を考える。各ステップで生じる余りは 0, 1, 2, ..., q−1 の q 通りしかない。

場合1：余りがいずれかの段階で 0 になる場合
→ 割り算が終了し、有限小数となる。

場合2：余りが 0 にならない場合
→ 余りは 1, 2, ..., q−1 の (q−1) 通りしかないので、q 回以内の割り算で必ず同じ余りが現れる（鳩の巣原理）。
同じ余りが現れた時点から、以降の計算は同じパターンの繰り返しとなる。
→ 循環小数となる。

したがって、有理数を小数で表すと必ず有限小数または循環小数になる。 ■

（2）循環小数は有理数である

ポイント：等比級数の和の公式を利用

【証明】

循環小数 x = 0.a₁a₂...aₘ̅b₁b₂...bₙ̅（下線部が循環節）を考える。

簡単な例として x = 0.1̅2̅3̅（0.123123123...）で説明する。

x = 0.123123123...

1000x = 123.123123...

辺々引くと：

1000x − x = 123

999x = 123

x = 123/999 = 41/333

一般に、循環節が n 桁の循環小数 x について：

10ⁿ x − x = （整数）

(10ⁿ − 1)x = （整数）

x = （整数）/（10ⁿ − 1）

これは有理数の形である。したがって循環小数は有理数である。 ■

（3）√2 が無理数であることの証明

ポイント：背理法と素因数分解の一意性

【証明】

√2 が有理数であると仮定する。

すると √2 = p/q（p, q は互いに素な正の整数）と表せる。

両辺を2乗すると：

2 = p²/q²

<p style="margin-left:

2q² = p²

この式から、p² は偶数である。

p² が偶数ならば p も偶数である（奇数の2乗は奇数なので）。

p が偶数なので、p = 2m（m は正の整数）と表せる。

これを代入すると：

2q² = (2m)² = 4m²

q² = 2m²

この式から、q² も偶数であり、したがって q も偶数である。

p と q がともに偶数であることになり、「p と q は互いに素」という仮定に矛盾する。

したがって、√2 は有理数ではない。すなわち √2 は無理数である。 ■

別解・発展

【(2)の別解：一般的な循環小数の処理】

循環小数 x = 0.a₁a₂...aₘb₁b₂...bₙ̅（非循環部分がm桁、循環節がn桁）の場合：

10ᵐ⁺ⁿ x − 10ᵐ x = （整数）

10ᵐ(10ⁿ − 1)x = （整数）

x = （整数）/ [10ᵐ(10ⁿ − 1)]

これも有理数の形です。

【発展：無理数の稠密性】

任意の2つの有理数の間には無理数が存在し、任意の2つの無理数の間にも有理数が存在します。これを「稠密性」といいます。有理数と無理数はどちらも数直線上に「隙間なく」分布しているのです。

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大問4：正四面体の体積と空間図形

問題

解説・解法のポイント

正四面体は空間図形の基本であり、その高さ・体積の公式は頻出です。座標を設定する方法とベクトルを使う方法の両方を身につけておきましょう。

【解答・解説】

（1）正四面体の高さ

ポイント：底面の正三角形の外接円の半径を利用

底面 ABC は1辺 a の正三角形である。

正三角形の外接円の半径 R は：

R = a / √3（正三角形の外接円半径の公式より）

正確には、正三角形の外接円半径は R = a/√3 = a√3/3 です。

【導出】正三角形の面積 S = (√3/4)a² より、正弦定理から R = a/(2sin60°) = a/(2・√3/2) = a/√3

頂点 O から底面 ABC への垂線の足を H とすると、H は正三角形 ABC の外心（=重心）である。

したがって、OH = h（高さ）、AH = R = a/√3 として、直角三角形 OAH に三平方の定理を適用：

OA² = OH² + AH²

a² = h² + (a/√3)²

a² = h² + a²/3

h² = a² − a²/3 = 2a²/3

h = a√(2/3) = a√6/3

（2）正四面体の体積

ポイント：V = (1/3) × 底面積 × 高さ

底面（正三角形ABC）の面積：

S = (√3/4)a²

体積：

V = (1/3) × S × h

V = (1/3) × (√3/4)a² × (√6/3)a

V = (√3 × √6)/(3 × 4 × 3) × a³

V = √18/36 × a³

V = 3√2/36 × a³

V = √2/12 × a³

（3）H が三角形 ABC の重心であることの証明

ポイント：対称性を利用

【証明】

正四面体 OABC において、OA = OB = OC = a（すべて等しい）である。

H は頂点 O から底面 ABC に下ろした垂線の足なので、OH ⊥ 平面ABC である。

直角三角形 OHA、OHB、OHC について：

• OA = OB = OC = a（仮定）
• OH は共通
• 各三角形は直角三角形

三平方の定理より：

HA² = OA² − OH² = a² − OH²

HB² = OB² − OH² = a² − OH²

HC² = OC² − OH² = a² − OH²

よって HA = HB = HC となり、H は三角形 ABC の3頂点から等距離にある。

三角形の3頂点から等距離にある点は外心である。

また、正三角形においては外心と重心は一致する。

したがって、H は三角形 ABC の重心である。 ■

別解・発展

【別解：座標を用いた方法】

座標系を設定して解くこともできます。

底面 ABC を xy 平面に置き、重心を原点とすると：

• A = (a/√3, 0, 0)
• B = (−a/(2√3), a/2, 0)
• C = (−a/(2√3), −a/2, 0)
• O = (0, 0, h) （h は高さ）

OA = a より：

(a/√3)² + 0² + h² = a²

a²/3 + h² = a²

h = a√(2/3) = a√6/3

【発展：正四面体の内接球・外接球】

1辺 a の正四面体について：

• 外接球の半径 R = a√6/4
• 内接球の半径 r = a√6/12
• R : r = 3 : 1

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大問5：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は特性方程式を用いた漸化式の解法の典型例です。aₙ₊₁ = paₙ + q の形の漸化式は、定数を加えて等比数列に帰着させる方法が有効です。

【解答・解説】

（1）α の値

ポイント：等比数列の条件を立式

bₙ = aₙ + α とおくと：

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + α = 2aₙ + 3 + α = 2(aₙ + α) + 3 − α = 2bₙ + (3 − α)

{bₙ} が等比数列となるためには、bₙ₊₁ = 2bₙ の形（定数項が0）になる必要がある。

よって 3 − α = 0 より α = 3

（2）一般項 aₙ

bₙ = aₙ + 3 とおくと、bₙ₊₁ = 2bₙ（等比数列）

初項：b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

公比：2

よって：bₙ = 4 × 2ⁿ⁻¹ = 2² × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

aₙ = bₙ − 3 = 2ⁿ⁺¹ − 3

【検算】

• a₁ = 2² − 3 = 4 − 3 = 1 ✓
• a₂ = 2³ − 3 = 8 − 3 = 5
• 漸化式で確認：2a₁ + 3 = 2(1) + 3 = 5 = a₂ ✓

（3）Sₙ の計算

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (2ᵏ⁺¹ − 3)

= Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ⁺¹ − Σₖ₌₁ⁿ 3

= (2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹) − 3n

= 2²(2ⁿ − 1)/(2 − 1) − 3n （等比数列の和の公式）

= 4(2ⁿ − 1) − 3n

= 2ⁿ⁺² − 4 − 3n

別解・発展

【別解：特性方程式を用いた方法】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 の特性方程式は：

x = 2x + 3

−x = 3

x = −3

これは aₙ = −3 が漸化式の「定常解」であることを意味します。

bₙ = aₙ − (−3) = aₙ + 3 とおけば等比数列になります。

【発展：階差数列を用いた別解】

漸化式より：

aₙ₊₁ − aₙ = 2aₙ + 3 − aₙ = aₙ + 3

階差数列 {aₙ₊₁ − aₙ} を考えることもできますが、この場合は上の方法の方が簡潔です。

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大問6：定積分と面積

問題

解説・解法のポイント

この問題は定積分による面積計算の典型問題です。2曲線の交点を求め、積分区間を設定して面積を計算します。(3)は面積の2等分という応用問題です。

【解答・解説】

（1）交点の座標

y = x² − 2x と y = x を連立：

x² − 2x = x

x² − 3x = 0

x(x − 3) = 0

x = 0, 3

x = 0 のとき y = 0、x = 3 のとき y = 3

（2）面積 S

ポイント：上の曲線から下の曲線を引いて積分

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、直線 y = x が曲線 y = x² − 2x より上にある（確認：x = 1 で y = 1 と y = −1）

S = ∫₀³ {x − (x² − 2x)} dx

= ∫₀³ (3x − x²) dx

= [3x²/2 − x³/3]₀³

= (3・9/2 − 27/3) − 0

= 27/2 − 9

= 27/2 − 18/2

= 9/2

（3）面積を2等分する t の値

直線 x = t（0 < t < 3）が面積を2等分するとき：

∫₀ᵗ (3x − x²) dx = S/2 = 9/4

[3x²/2 − x³/3]₀ᵗ = 9/4

3t²/2 − t³/3 = 9/4

両辺を12倍：

18t² − 4t³ = 27

4t³ − 18t² + 27 = 0

この3次方程式を解きます。

t = 3 を代入すると：4(27) − 18(9) + 27 = 108 − 162 + 27 = −27 ≠ 0

t = 3/2 を代入すると：4(27/8) − 18(9/4) + 27 = 27/2 − 81/2 + 27 = −54/2 + 27 = −27 + 27 = 0 ✓

t = 3/2 は解です。因数分解すると：

4t³ − 18t² + 27 = (2t − 3)(2t² − 6t − 9) = 0

2t² − 6t − 9 = 0 の解は：

t = (6 ± √(36 + 72))/4 = (6 ± √108)/4 = (6 ± 6√3)/4 = (3 ± 3√3)/2

0 < t < 3 の範囲にあるのは t = 3/2 と t = (3 + 3√3)/2 ≈ 4.1（範囲外）

よって t = 3/2 のみが条件を満たします。

別解・発展

【1/6公式の活用】

放物線と直線で囲まれた面積には「1/6公式」が使えます。

y = ax² + bx + c と y = mx + n の交点の x 座標を α, β（α < β）とすると：

S = |a|/6 × (β − α)³

本問では a = 1、α = 0、β = 3 より：

S = 1/6 × 3³ = 27/6 = 9/2 ✓

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この年度の重要テーマと対策

2012年度の出題傾向分析

2012年度の奈良女子大学数学は、以下のような特徴がありました：

1. 基礎力重視の出題

第1問の三角形の問題、第4問の正四面体の問題など、教科書レベルの基本事項をしっかり理解しているかを問う問題が多く出題されました。奇をてらった難問はなく、着実な基礎固めが合格への近道です。

2. 証明問題の重視

第3問の有理数・無理数に関する証明、第4問の重心の証明など、論理的な記述力が問われる問題が出題されました。日頃から「なぜそうなるのか」を意識した学習が重要です。

3. 計算力と処理速度

第5問の数列、第6問の積分など、正確かつ迅速な計算力が求められる問題もありました。計算ミスを防ぐ練習を積み重ねましょう。

分野別の重要度と対策

分野	重要度	対策のポイント
三角比・三角関数	★★★★☆	正弦定理・余弦定理の使い分け、三角形の成立条件を確実に
微分・積分	★★★★★	極値の求め方、面積計算の公式（1/6公式など）を習得
数列・漸化式	★★★★☆	特性方程式、等比数列への帰着法を練習
空間図形・ベクトル	★★★★☆	正四面体の公式、座標設定の方法を身につける
整数・証明	★★★☆☆	背理法、数学的帰納法の使い方を確認

合格のための学習アドバイス

1. 教科書を完璧に：奈良女子大学の問題は教科書の内容を深く理解していれば解ける問題が多いです。まずは教科書の例題・練習問題を完璧にしましょう。
2. 記述力の強化：答えだけでなく、途中過程を論理的に書く練習をしましょう。特に証明問題では、飛躍のない丁寧な記述が求められます。
3. 計算練習の継続：積分計算や数列の和の計算など、計算ミスが命取りになります。毎日コツコツと計算練習を続けましょう。
4. 過去問演習：奈良女子大学の過去問を最低5年分は解いて、出題傾向と時間配分を把握しましょう。

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：三角形と三角比

【解答・解説】

（1）cos B の値

余弦定理より：

CA² = AB² + BC² − 2・AB・BC・cos B

64 = 25 + 49 − 70cos B

64 = 74 − 70cos B

70cos B = 10

cos B = 1/7</p

（2）三角形ABCの面積

sin²B + cos²B = 1 より：

sin²B = 1 − (1/7)² = 1 − 1/49 = 48/49

sin B = √48/7 = 4√3/7（B は三角形の内角なので sin B > 0）

三角形の面積 S は：

S = (1/2)・AB・BC・sin B

S = (1/2)・5・7・(4√3/7)

S = (1/2)・5・4√3

S = 10√3

（3）内接円の半径

三角形の面積 S、周の長さの半分（半周長）s、内接円の半径 r の間には S = rs の関係があります。

s = (5 + 7 + 8)/2 = 10

S = rs より：

10√3 = r × 10

r = √3

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練習問題2：漸化式と数列

【解答・解説】

（1）一般項 aₙ

特性方程式 x = 3x − 4 を解くと：

−2x = −4

x = 2

bₙ = aₙ − 2 とおくと：

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ − 2 = (3aₙ − 4) − 2 = 3aₙ − 6 = 3(aₙ − 2) = 3bₙ

{bₙ} は公比3の等比数列で、b₁ = a₁ − 2 = 0

b₁ = 0 なので、bₙ = 0 × 3ⁿ⁻¹ = 0

よって aₙ = bₙ + 2 = 0 + 2 = 2

aₙ = 2（定数列）

【検算】a₁ = 2、a₂ = 3(2) − 4 = 2、a₃ = 3(2) − 4 = 2 ✓

（2）Σₖ₌₁ⁿ aₖ

aₖ = 2（すべての k について）なので：

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = 2n

（3）aₙ > 1000 となる最小の n

aₙ = 2 で一定なので、aₙ > 1000 となる n は存在しない。

（注：この問題は「定数列になる」という特殊なケースです。実際の入試では、初項や漸化式の係数を変えて、より一般的な数列になることが多いです。）

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練習問題3：定積分と面積

【解答・解説】

（1）交点の座標

y = x² − 4x + 3 = 0 を解く：

(x − 1)(x − 3) = 0

x = 1, 3

交点：(1, 0) と (3, 0)

（2）面積

1 ≤ x ≤ 3 で y = x² − 4x + 3 ≤ 0（放物線は x 軸より下）

S = ∫₁³ |x² − 4x + 3| dx = −∫₁³ (x² − 4x + 3) dx

= −[x³/3 − 2x² + 3x]₁³

= −{(27/3 − 18 + 9) − (1/3 − 2 + 3)}

= −{(9 − 18 + 9) − (1/3 + 1)}

= −{0 − 4/3}

= 4/3

【1/6公式による確認】

S = |1|/6 × (3 − 1)³ = 1/6 × 8 = 4/3 ✓

S = 4/3

（3）頂点と直線

y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1

頂点：(2, −1)

頂点 (2, −1) を通り傾き m の直線：

y − (−1) = m(x − 2)

y = mx − 2m − 1

放物線との交点：

x² − 4x + 3 = mx − 2m − 1

x² − (4 + m)x + (4 + 2m) = 0

この方程式の解を α, β（α < β）とすると、頂点の x 座標 x = 2 は必ず解の一つです。

x = 2 を代入して確認：4 − (4 + m)・2 + (4 + 2m) = 4 − 8 − 2m + 4 + 2m = 0 ✓

解と係数の関係より：

α + β = 4 + m

αβ = 4 + 2m

一つの解が 2 なので、もう一つの解は：

β = (4 + m) − 2 = 2 + m（m > 0 のとき β > 2）

または α = 2 + m（m < 0 のとき α < 2）

面積の条件：1/6公式より

S = |1|/6 × |β − α|³ = 4/3

|β − α|³ = 8

|β − α| = 2

|β − α| = |(2 + m) − 2| = |m| = 2

m = 2 または m = −2

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奈良女子大学合格に向けた総合戦略

時期別学習計画

【高3春〜夏（4月〜8月）】基礎固め期

• 教科書の全範囲を復習し、基本事項を完璧にする
• チャート式（青または黄）の例題レベルを繰り返し解く
• 苦手分野を早期に発見し、重点的に対策する

【高3秋（9月〜11月）】実戦力養成期

• 標準〜やや難レベルの問題集に取り組む
• 過去問演習を開始（5〜10年分）
• 時間を計って解く練習を始める
• 記述答案の書き方を意識する

【高3冬（12月〜2月）】直前期

• 過去問を本番形式で解く（120分計測）
• 弱点分野の最終確認
• 頻出パターンの総復習
• 計算ミスを減らす練習

おすすめ参考書・問題集

レベル	参考書・問題集	使い方
基礎	教科書、チャート式（黄）	全例題を3周以上
標準	チャート式（青）、1対1対応の演習	苦手分野を中心に
実戦	奈良女子大学過去問、国公立大標準問題集	時間を計って演習

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日本数学塾・数強塾で奈良女子大学合格を目指そう

いかがでしたでしょうか？奈良女子大学2012年度の数学は、基礎力と応用力のバランスが問われる良問揃いでした。

「解説を読めば分かるけど、自力では解けない…」
「記述式の答案の書き方が分からない…」
「どこから手をつければいいか分からない…」

そんな悩みを抱えている受験生の皆さん、日本数学塾・数強塾では、一人ひとりの学力と目標に合わせた完全個別指導を行っています。

数強塾の特徴

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お問い合わせ

ご質問・ご相談は、各公式サイトのお問い合わせフォームから、またはお電話にてお気軽にどうぞ。

奈良女子大学合格を目指す皆さんを、藤原進之介をはじめとする講師一同、全力でサポートいたします！

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まとめ

本記事では、奈良女子大学 2012年度 数学の過去問を詳しく解説しました。

2012年度のポイント

• 第1問：三角形の成立条件と鈍角三角形の判定。余弦定理を正確に使えることが重要。
• 第2問：3次関数の微分と極値。増減表を正確に書く練習を。
• 第3問：有理数・無理数の証明問題。論理的な記述力が問われる。
• 第4問：正四面体の高さ・体積。公式を導出できるようにしておこう。
• 第5問：漸化式と数列の一般項。特性方程式の使い方をマスター。
• 第6問：定積分と面積。1/6公式など、計算を効率化する技術も大切。

合格へのメッセージ

奈良女子大学の数学は、決して難問ばかりではありません。基礎を大切にし、論理的な思考力を磨くことで、必ず合格点に到達できます。

毎日の積み重ねが、合格への道を開きます。諦めずに頑張りましょう！

また、分からないことがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾にご相談ください。一緒に合格を勝ち取りましょう！

数強塾講師　藤原進之介

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