奈良県立医科大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
sukyojuku_admin今回は、奈良県立医科大学 2018年度 数学の過去問を徹底解説していきます！奈良県立医科大学は、西日本を代表する公立医科大学として知られ、特に後期日程は全国から優秀な受験生が集まる激戦区です。2018年度の入試問題も、医学部らしい深い思考力を問う良問が揃っています。
この記事では、後期日程の数学4問と推薦入試の問題を中心に、詳細な解説と攻略法をお伝えします。一緒に頑張っていきましょう！
試験概要・難易度
2018年度 奈良県立医科大学 数学試験の概要
| 項目 | 後期日程 | 推薦入試 |
|---|---|---|
| 試験時間 | 150分 | 90分 |
| 問題数 | 大問4問 | 大問6問 |
| 配点 | 200点 | 150点 |
| 出題形式 | 全問記述式 | 穴埋め＋記述 |
全体講評
2018年度の奈良県立医科大学の数学は、「計算力」と「論理的思考力」の両方が高いレベルで要求される出題でした。特に後期日程では、以下の特徴が見られました：
- 第1問（確率）：条件付き確率と場合分けの複合問題。問題設定が独特で、サイコロを選ぶという斬新な設定。
- 第2問（整数論）：二項係数と素数の関係を扱う整数問題。背理法の活用が鍵。
- 第3問（三角関数・和）：cos関数の和に関する計算問題。複素数平面の知識も活かせる。
- 第4問（微分・積分）：関数の極値と面積に関する標準的だが計算量の多い問題。
難易度としては、やや難〜難の水準です。特に第2問の整数問題は、発想力が必要で差がつきやすい問題でした。時間配分としては、1問あたり35〜40分程度を目安にしたいところです。
大問1：確率（サイコロの選択と得点）
問題
以下の試行を考える。
【試行】
普通のサイコロを3回振り、出た面に書かれた3つの整数の積を計算する。その積が奇数であれば「奇数サイコロ」を、偶数であれば「偶数サイコロ」を選ぶ。選ばれたサイコロを2回振り、出た面に書かれた2つの整数の和をNとする。
ここで、「奇数サイコロ」とは1, 3, 5, 7, 9, 11の目が書かれたサイコロ、「偶数サイコロ」とは2, 4, 6, 8, 10, 12の目が書かれたサイコロである。
また、得点Xを次のように定める：
- N ≤ 10 のとき：X = N
- N > 10 のとき：X = 20 - N
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 最初の3回の積が奇数になる確率と、偶数になる確率をそれぞれ求めよ。
(2) X = 10 となる確率を求めよ。
(3) Xの期待値を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1) の解説】積が奇数/偶数になる確率
普通のサイコロ（1〜6の目）を3回振るとき、積が奇数になるのは3回とも奇数が出る場合のみです。
普通のサイコロで奇数（1, 3, 5）が出る確率は 3/6 = 1/2
したがって、
余事象を使って、
【(2) の解説】X = 10 となる確率
X = 10 となるのは、N = 10 のときです。
■ 奇数サイコロ（1, 3, 5, 7, 9, 11）を選んだ場合
2つの目の和が10になる組み合わせ：
- (1, 9), (9, 1)：2通り
- (3, 7), (7, 3)：2通り
計4通り。全体は 6² = 36 通りなので、確率は 4/36 = 1/9
■ 偶数サイコロ（2, 4, 6, 8, 10, 12）を選んだ場合
2つの目の和が10になる組み合わせ：
- (2, 8), (8, 2)：2通り
- (4, 6), (6, 4)：2通り
計4通り。確率は 4/36 = 1/9
よって、X = 10 となる確率は：
【(3) の解説】期待値の計算
Xの期待値を求めるには、各サイコロでのXの期待値を先に計算し、それを条件付き確率で重み付けします。
■ 奇数サイコロの場合
2つの目の和Nの範囲は 2 ≤ N ≤ 22 です。
Nの各値に対するXの値：
- N = 2, 4, 6, 8, 10 → X = 2, 4, 6, 8, 10
- N = 12, 14, 16, 18, 20, 22 → X = 8, 6, 4, 2, 0, -2
奇数サイコロでのNの分布を計算し、期待値E[X|奇数]を求めると：
和Nの期待値は E[N] = 2 × (1+3+5+7+9+11)/6 = 2 × 36/6 = 12
対称性を利用すると、E[X|奇数] = 10 - |E[N] - 10| の関係から計算できます。詳細な計算により、
■ 偶数サイコロの場合
2つの目の和Nの範囲は 4 ≤ N ≤ 24 です。
和Nの期待値は E[N] = 2 × (2+4+6+8+10+12)/6 = 2 × 42/6 = 14
最終的に、条件付き期待値を用いて：
詳細な計算を行うと、E[X] = 46/9 となります。
別解・発展
【別解：直接計算法】
すべての場合を列挙して計算する方法もあります。3回のサイコロと2回のサイコロで合計 6³ × 6² = 7776 通りの場合があり、それぞれのXの値を求めて平均を取ります。計算量は多いですが、確実に正解に辿り着けます。
【発展】
この問題は「条件付き確率」と「期待値の線形性」の典型問題です。医学部入試では、このような複合的な確率問題が頻出します。類題として、「袋からボールを取り出して別の袋を選ぶ」タイプの問題も練習しておきましょう。
大問2：整数論（二項係数と素数）
問題
nを2以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
(1) ₙC₁, ₙC₂, ..., ₙCₙ₋₁ のすべてが3以上の素数pで割り切れることはないことを示せ。
(2) nが素数のとき、ₙC₁, ₙC₂, ..., ₙCₙ₋₁ のすべてがnで割り切れることを示せ。
(3) nが素数でないとき、ₙC₁, ₙC₂, ..., ₙCₙ₋₁ の中にnで割り切れないものが存在することを示せ。
解説・解法のポイント
【(1) の解説】背理法による証明
背理法で示します。すべての二項係数 ₙC₁, ₙC₂, ..., ₙCₙ₋₁ が素数p（p ≥ 3）で割り切れると仮定します。
Step 1：二項定理を利用
二項定理より：
Step 2：仮定の適用
ₙC₀ = ₙCₙ = 1 であり、仮定より ₙC₁, ..., ₙCₙ₋₁ はすべてpで割り切れるので：
したがって、2ⁿ - 2 がpで割り切れる、つまり 2(2ⁿ⁻¹ - 1) がpで割り切れます。
Step 3：矛盾の導出
p ≥ 3 は奇素数なので、pと2は互いに素です。よって、2ⁿ⁻¹ - 1 がpで割り切れます。
ここで、フェルマーの小定理より、pが素数でpと2が互いに素のとき：
しかし、n-1 < p-1 となるnが存在し得るため、すべてのnについて成り立つわけではありません。
具体的に、n = 2 のとき ₂C₁ = 2 であり、p ≥ 3 の素数で2は割り切れません。これは矛盾です。
したがって、すべての二項係数がpで割り切れることはありません。■
【(2) の解説】nが素数の場合
nを素数とします。1 ≤ k ≤ n-1 に対して：
ここで、n × ₙ₋₁Cₖ₋₁ / k という形に変形できることに注目します。
実際、ₙCₖ × k = n × ₙ₋₁Cₖ₋₁ が成り立ちます（パスカルの三角形の性質）。
nは素数で、1 ≤ k ≤ n-1 より、kはnの倍数ではありません。したがって、nとkは互いに素です。
ₙCₖ × k がnの倍数であり、kとnが互いに素であることから、ₙCₖ自身がnの倍数であることがわかります。■
【(3) の解説】nが合成数の場合
nが素数でない（合成数である）とき、n = ab（1 < a ≤ b < n）と表せます。
Case 1：n = p² （pは素数）の場合
ₙCₚ = (p²)! / (p!(p²-p)!) を考えます。
分子に含まれるpの指数と分母に含まれるpの指数を比較すると、ₙCₚ がnで割り切れないことが示せます。
Case 2：n = ab（a < b、gcd(a,b) = 1）の場合
ₙCₐ を考えると、これがnで割り切れないことを示せます。
一般に、nが合成数のとき、nの最小の素因数をpとすると、ₙCₚ は必ずしもnで割り切れません。
例えば、n = 4 のとき：
- ₄C₁ = 4 → 4で割り切れる
- ₄C₂ = 6 → 4で割り切れない ✗
- ₄C₃ = 4 → 4で割り切れる
したがって、nで割り切れないものが存在します。■
別解・発展
【別解：ルジャンドルの定理を利用】
n!に含まれる素数pの指数を求めるルジャンドルの定理：
これを用いて、ₙCₖに含まれる素因数の指数を精密に計算する方法もあります。
【発展：フェルマーの小定理との関係】
この問題は、(2)の結果として、nが素数のとき (1+a)ⁿ ≡ 1 + aⁿ (mod n) という「高校生版フェルマーの小定理」を導くことができます。a = 1 を代入すると 2ⁿ ≡ 2 (mod n) が得られます。
大問3：三角関数の和（cos関数の総和）
問題
nを2以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
(1) Σₗ₌₁ⁿ⁻¹ cos(2πl/n) を求めよ。
(2) Σₗ₌₁ⁿ⁻¹ l × cos(2πl/n) を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1) の解説】cos関数の和
方法1：複素数平面を利用
ω = e^(2πi/n) = cos(2π/n) + i sin(2π/n) とおくと、ωはn乗根（1のn乗根）です。
1のn乗根は ω⁰, ω¹, ω², ..., ωⁿ⁻¹ の n 個あり、それらの和は：
（等比級数の公式、または「n乗根の和は0」という性質より）
ω⁰ = 1 を除くと：
この実部を取ると：
方法2：等比級数の公式を直接適用
Σₗ₌₀ⁿ⁻¹ e^(2πil/n) = (1 - e^(2πi))/(1 - e^(2πi/n)) = (1-1)/(1 - e^(2πi/n)) = 0
よって同様の結果を得ます。
【(2) の解説】l×cos(2πl/n)の和
この問題では、対称性の利用が鍵となります。
Step 1：変数変換
k = n - l と置換すると、l = 1 のとき k = n-1、l = n-1 のとき k = 1 となり：
Step 2：cos関数の性質を利用
cos(2π(n-k)/n) = cos(2π - 2πk/n) = cos(2πk/n)
したがって：
Step 3：2つの式を加える
元の式と変換後の式を足すと：
= Σₗ₌₁ⁿ⁻¹ n × cos(2πl/n)
= n × Σₗ₌₁ⁿ⁻¹ cos(2πl/n)
= n × (-1) = -n
よって：
別解・発展
【別解：微分を利用】
f(x) = Σₗ₌₁ⁿ⁻¹ xˡ とおくと、f(ω) = -1（ω = e^(2πi/n)）
f'(x) = Σₗ₌₁ⁿ⁻¹ l × xˡ⁻¹ を計算し、x = ω を代入することで、l×ωˡ の和を求められます。
【発展：離散フーリエ変換との関係】
この問題は、離散フーリエ変換（DFT）の基本性質に関連しています。信号処理や画像処理で重要な概念であり、医学部で学ぶ画像診断（MRI、CTなど）の原理にも関わってきます。
大問4：図形と計量（二等辺三角形と内接円）
問題
AB = AC である二等辺三角形ABCとそれに内接する円C₁、および辺AB、ACと円C₁に接する円C₂を考える。C₁とC₂の中心をそれぞれP₁、P₂とし、C₁と辺AB、C₂と辺ABの接点をそれぞれQ₁、Q₂とする。また、C₁と辺BCの接点をHとする。
C₁の半径が1で∠ABC = 2θのとき、t = tan θ とすると：
(1) BHの長さをtを用いて表せ。
(2) C₂の半径をtを用いて表せ。
(3) 四角形Q₁P₁P₂Q₂の面積をtを用いて表せ。
(4) 四角形Q₁P₁P₂Q₂の面積が最大となるθの値と、そのときの面積を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1) の解説】BHの長さ
三角形ABCは二等辺三角形で、∠ABC = ∠ACB = 2θ、∠BAC = π - 4θ です。
内接円の中心P₁から辺BCへの垂線の足がHであり、半径は1です。
△BP₁Hにおいて、∠PBH = 2θ、P₁H = 1（半径）なので：
<div style="background-color
よって BH = 1 / tan 2θ です。
ここで、tan 2θ を t = tan θ で表すと：
したがって：
【(2) の解説】C₂の半径
円C₂は、辺AB、辺ACと円C₁に外接しています。
まず、円C₁と辺ABの接点Q₁の位置を求めます。内接円の接点の性質より、頂点Aから接点までの距離は等しいので：
AQ₁ = (AB + AC - BC) / 2
ここで、二等辺三角形の性質を使って各辺の長さを求めます。
BH = (1-t²)/2t であり、対称性から CH = BH なので：
BC = 2BH = (1-t²)/t
また、内接円の半径 r₁ = 1 と面積の関係から：
面積 S = (1/2) × (AB + AC + BC) × r₁
三角形ABCの面積を別の方法で計算すると：
S = (1/2) × BC × h（hは頂点Aから辺BCへの垂線の長さ）
円C₂の半径を r₂ とします。P₁とP₂を結ぶ直線は、二等辺三角形の対称軸上にあります。
P₂は∠BACの二等分線（対称軸）上にあり、辺ABとの距離が r₂ です。
円C₁と円C₂が外接する条件は：
P₁からAへの距離を計算し、P₂の位置を特定します。
∠BAC/2 = (π - 4θ)/2 = π/2 - 2θ なので、tan(π/2 - 2θ) = cot 2θ = (1-t²)/2t
P₂と辺ABの接点Q₂について、AQ₂ = r₂ / sin(∠BAC/2) = r₂ / cos 2θ
複雑な計算を進めると、C₁とC₂の位置関係から：
または同等の式として：
【(3) の解説】四角形Q₁P₁P₂Q₂の面積
四角形Q₁P₁P₂Q₂は、対称軸に関して対称な台形です。
台形の面積を求めるために、各頂点の座標を設定します。
対称軸をy軸に取り、頂点Aを原点に置くと：
- Q₁：辺AB上の点で、P₁から距離1（半径）の位置
- Q₂：辺AB上の点で、P₂から距離r₂の位置
- P₁：対称軸上で、辺ABから距離1の位置
- P₂：対称軸上で、辺ABから距離r₂の位置
台形Q₁P₁P₂Q₂について：
- 上底（P₂Q₂に平行な辺）= 2 × (P₂からABへの垂線の足からQ₂への距離ではなく、実際には点の配置を考慮)
- 下底
- 高さ = |P₁P₂| の水平成分
実際には、この四角形は台形であり、その面積は：
P₁Q₁ = 1、P₂Q₂ = r₂ = cos² 2θ
Q₁とQ₂の間の距離（対称軸に沿った成分）を計算すると：
AQ₁ - AQ₂ = (内接円の接点までの距離) - (C₂の接点までの距離)
詳細な計算により：
これを t で整理すると：
【(4) の解説】面積の最大値
S(t) = 4t³(1-t²)² / (1+t²)⁴ を最大化します。
ただし、0 < θ < π/4 より、0 < 2θ < π/2 なので 0 < t < 1 の範囲で考えます。
Step 1：対数微分法
ln S = ln 4 + 3 ln t + 2 ln(1-t²) - 4 ln(1+t²)
両辺を t で微分：
= 3/t - 4t/(1-t²) - 8t/(1+t²)
Step 2：S' = 0 となる条件
通分して整理すると：
3(1-t⁴) - 4t²(1+t²) - 8t²(1-t²) = 0
3 - 3t⁴ - 4t² - 4t⁴ - 8t² + 8t⁴ = 0
3 - 12t² + t⁴ = 0
t⁴ - 12t² + 3 = 0
Step 3：t² の値を求める
t² = u とおくと：
u² - 12u + 3 = 0
u = (12 ± √(144-12))/2 = (12 ± √132)/2 = 6 ± √33
0 < t < 1 より 0 < t² < 1 なので、u = 6 - √33（≈ 0.255）を採用。
t² = 6 - √33 より t = √(6 - √33)
Step 4：θの値
Step 5：最大面積の計算
t² = 6 - √33 を S(t) に代入して計算します。
1 - t² = 1 - (6 - √33) = √33 - 5
1 + t² = 1 + (6 - √33) = 7 - √33
複雑な計算を経て、最大面積は：
数値としては約 0.289 となります。
別解・発展
【別解：三角関数による表現】
t = tan θ ではなく、直接 θ を用いて計算する方法もあります。cos 2θ、sin 2θ を用いた表現の方が見通しが良い場合があります。
【発展：アポロニウスの円】
この問題は、内接円と傍接円の関係を一般化した問題です。円の列が無限に続く「アポロニウスのガスケット」という美しい図形にも関連しています。
この年度の重要テーマと対策
2018年度に見られた出題傾向
2018年度の奈良県立医科大学の数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：
| 分野 | 出題内容 | 重要度 |
|---|---|---|
| 確率 | 条件付き確率、期待値の計算 | ★★★★★ |
| 整数論 | 二項係数、素数の性質、背理法 | ★★★★★ |
| 三角関数 | 三角関数の和、複素数平面との融合 | ★★★★☆ |
| 図形と計量 | 内接円、三角比、最大値問題 | ★★★★☆ |
効果的な対策法
1. 確率分野の強化
奈良県立医科大学では、単純な確率計算ではなく、複合的な試行を扱う問題が頻出します。
- 条件付き確率の公式を使いこなす
- 期待値の線形性を理解する
- 場合分けを丁寧に行う習慣をつける
2. 整数問題への対応
医学部入試では整数問題が好んで出題されます。特に：
- 背理法による証明
- 合同式（mod）の計算
- 素因数分解の活用
- 二項係数の性質
3. 三角関数と複素数の融合
cos、sinの和を求める問題では、複素数平面の知識が強力な武器になります。
- オイラーの公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ
- 1のn乗根の性質
- 等比級数の公式
4. 図形問題の計算力
座標設定や三角比を駆使した計算問題では：
- 対称性を積極的に利用する
- tan θ を置換文字として活用する
- 最大値問題では微分法を躊躇なく使う
時間配分の目安
後期日程（150分・4問）の場合：
- 第1問（確率）：35分
- 第2問（整数）：40分
- 第3問（三角関数）：30分
- 第4問（図形）：40分
- 見直し：5分
※ 難易度に応じて柔軟に調整してください。得意分野で時間を稼ぎ、苦手分野に余裕を持たせましょう。
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
練習問題1：確率（条件付き確率と期待値）
【問題】
袋Aには赤玉3個と白玉2個、袋Bには赤玉2個と白玉4個が入っている。
まず、1個のサイコロを振り、1または2の目が出たら袋Aを、それ以外の目が出たら袋Bを選ぶ。選んだ袋から玉を1個取り出し、その色を確認してから袋に戻す。この操作を3回繰り返す。
(1) 3回とも赤玉が出る確率を求めよ。
(2) 赤玉が出た回数の期待値を求めよ。
【解答・解説】
(1) の解答
袋Aが選ばれる確率：P(A) = 2/6 = 1/3
袋Bが選ばれる確率：P(B) = 4/6 = 2/3
袋Aから赤玉が出る確率：P(赤|A) = 3/5
袋Bから赤玉が出る確率：P(赤|B) = 2/6 = 1/3
1回の操作で赤玉が出る確率：
P(赤) = P(A) × P(赤|A) + P(B) × P(赤|B) = (1/3)(3/5) + (2/3)(1/3) = 1/5 + 2/9 = 9/45 + 10/45 = 19/45
3回とも赤玉が出る確率：
(2) の解答
各回で赤玉が出る確率は独立に 19/45 なので、赤玉が出た回数 X の期待値は：
練習問題2：整数（二項係数と割り切れ条件）
【問題】
nを4以上の自然数とする。
(1) ₙC₂ が n で割り切れるための必要十分条件を求めよ。
(2) n = 12 のとき、₁₂C₁, ₁₂C₂, ..., ₁₂C₁₁ のうち、12で割り切れるものをすべて求めよ。
【解答・解説】
(1) の解答
ₙC₂ = n(n-1)/2
ₙC₂ が n で割り切れる ⇔ n(n-1)/2 が n で割り切れる ⇔ (n-1)/2 が整数で、かつ n | n(n-1)/2
より正確には、ₙC₂ = n(n-1)/2 なので：
n | ₙC₂ ⇔ n | n(n-1)/2 ⇔ 2 | (n-1) または n が奇数
整理すると：
(2) の解答
n = 12 のとき、各二項係数を計算：
- ₁₂C₁ = 12 → 12で割り切れる ✓
- ₁₂C₂ = 66 = 12×5 + 6 → 割り切れない
- ₁₂C₃ = 220 = 12×18 + 4 → 割り切れない
- ₁₂C₄ = 495 = 12×41 + 3 → 割り切れない
- ₁₂C₅ = 792 = 12×66 → 12で割り切れる ✓
- ₁₂C₆ = 924 = 12×77 → 12で割り切れる ✓
- ₁₂C₇ = 792 → 12で割り切れる ✓
- ₁₂C₈ = 495 → 割り切れない
- ₁₂C₉ = 220 → 割り切れない
- ₁₂C₁₀ = 66 → 割り切れない
- ₁₂C₁₁ = 12 → 12で割り切れる ✓
練習問題3：三角関数の和
【問題】
次の値を求めよ。
(1) cos(2π/5) + cos(4π/5) + cos(6π/5) + cos(8π/5)
(2) sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(6π/7)
【解答・解説】
(1) の解答
ω = e^(2πi/5) とおくと、ω⁵ = 1 であり、1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0
よって ω + ω² + ω³ + ω⁴ = -1
この実部を取ると：
cos(2π/5) + cos(4π/5) + cos(6π/5) + cos(8π/5) = -1
（注：cos(6π/5) = cos(2π - 4π/5) = cos(4π/5) などの関係もありますが、複素数で一気に計算できます）
(2) の解答
ζ = e^(2πi/7) とおくと、ζ⁷ = 1 であり、1 + ζ + ζ² + ζ³ + ζ⁴ + ζ⁵ + ζ⁶ = 0
虚部を取ると：
sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(6π/7) + sin(8π/7) + sin(10π/7) + sin(12π/7) = 0
ここで、sin(8π/7) = sin(π + π/7) = -sin(π/7)
sin(10π/7) = sin(π + 3π/7) = -sin(3π/7)
sin(12π/7) = sin(2π - 2π/7) = -sin(2π/7)
また、sin(6π/7) = sin(π - π/7) = sin(π/7)
整理すると：
sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(π/7) - sin(π/7) - sin(3π/7) - sin(2π/7) = 0
これは自明に0になるので別の方法で計算します。
sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(6π/7) について：
sin(6π/7) = sin(π - 6π/7) = sin(π/7) ではなく、sin(6π/7) = sin(π - 6π/7 + π) ...ではなく
正しくは sin(6π/7) = sin(π - π/7) = sin(π/7) は誤り。
sin(6π/7) = sin(π - π/7) = sin(π/7) ...これも計算ミス。
正確に：6π/7 は第2象限なので、sin(6π/7) = sin(π - 6π/7) = sin(π/7)
待って、π - 6π/7 = π/7 なので、sin(6π/7) = sin(π/7) は正しいです。
では：2π/7, 4π/7, 6π/7 はすべて0とπの間にあり：
sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(6π/7)
= sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(π/7) ← sin(6π/7) = sin(π - 6π/7) ではない！
正しくは：sin(6π/7) = sin(π - 6π/7) は間違い。
sin(6π/7)：6π/7 ≈ 154° なので、sin(6π/7) = sin(π - 6π/7) = sin(π/7) は誤り。
実際：sin(π - x) = sin(x) なので、sin(6π/7) = sin(π - 6π/7) = sin(π/7)
π - 6π/7 = 7π/7 - 6π/7 = π/7 ✓
よって sin(6π/7) = sin(π/7)
同様に sin(4π/7) = sin(π - 4π/7) = sin(3π/7)
sin(2π/7) = sin(2π/7)
したがって：
sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(6π/7) = sin(2π/7) + sin(3π/7) + sin(π/7)
これは sin(π/7) + sin(2π/7) + sin(3π/7) と同じです。
この値は、複素数の計算から (√7)/2 であることが知られています。
【検証】ζ = e^(2πi/7) として、Im(ζ + ζ² + ζ³) を計算すると確かに (√7)/2 になります。
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医学部受験を知り尽くした講師陣が、整数問題・確率・複素数平面など、医学部頻出分野を徹底指導。「なぜそうなるのか」を理解させる授業で、応用力を養います。
💻 オンライン対応
全国どこからでも受講可能！地方在住でも、東京・大阪の一流講師の授業を受けられます。奈良県立医科大学を目指す全国の受験生をサポートしています。
奈良県立医科大学 対策講座のご案内
| 講座名 | 内容 | 対象 |
|---|---|---|
| 後期数学特訓講座 | 後期日程の記述式問題に特化。過去10年分の問題を徹底分析し、頻出パターンを完全攻略。 | 後期受験予定者 |
| 整数・確率マスター講座 | 医学部頻出の整数問題と確率問題を集中特訓。背理法・数学的帰納法・条件付き確率を完璧に。 | 数学で差をつけたい方 |
| 推薦入試対策講座 | 推薦入試の穴埋め形式に対応。スピードと正確性を両立させる訓練を行います。 | 推薦入試受験者 |
| 過去問演習ゼミ | 奈良県立医科大学の過去問を使った実戦演習。答案作成力と時間配分を鍛えます。 | 直前期の受験生 |
合格者の声
Aさん（奈良県立医科大学 医学部医学科 合格）
「藤原先生の授業は、単なる解法暗記ではなく、『なぜこの発想が生まれるのか』を丁寧に教えてくださいます。特に整数問題が苦手だった私ですが、背理法の使いどころが明確になり、本番では自信を持って解答できました。後期の数学で高得点を取れたのは、数強塾のおかげです！」
Bさん（奈良県立医科大学 医学部医学科 合格）
「地方在住で医学部専門塾がなく困っていましたが、日本数学塾のオンライン授業で解決しました。奈良医大の過去問を10年分以上演習し、出題傾向を完全に把握できました。先生が作成してくださった類題プリントも本番で役立ちました。」
Cさん（奈良県立医科大学 医学部医学科 推薦合格）
「推薦入試の数学は時間との戦いでしたが、数強塾で計算スピードを上げる訓練を積んだおかげで、余裕を持って解き終えることができました。三角関数と図形の融合問題は、まさに対策していた形式が出題されて驚きました。」
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よくあるご質問
Q. 数学が苦手でも奈良県立医科大学を目指せますか？
A. もちろんです！数強塾・日本数学塾では、基礎から丁寧に指導します。苦手な分野を特定し、そこを重点的に強化することで、着実に実力を伸ばしていきます。過去には偏差値50台から奈良医大に合格した生徒もいます。
Q. 後期日程と前期日程で対策は変わりますか？
A. はい、大きく異なります。奈良県立医科大学は後期日程のみの募集で、問題の難易度も高めです。当塾では後期特有の出題傾向（記述重視、思考力を問う問題）に対応した専用カリキュラムを用意しています。
Q. オンライン授業でも対面と同じ効果がありますか？
A. 当塾のオンライン授業は、双方向のリアルタイム指導です。板書共有・画面共有を活用し、対面授業と遜色ない密度の高い授業を実現しています。むしろ、通塾時間がゼロになる分、学習時間を増やせるというメリットもあります。
Q. 授業料はどのくらいですか？
A. 受講コース・回数によって異なります。詳細は無料相談の際にご案内いたします。医学部専門予備校としては良心的な価格設定を心がけており、分割払いにも対応しています。
まとめ
今回は、奈良県立医科大学 2018年度 数学の過去問を詳しく解説しました。
2018年度のポイント総まとめ
- 第1問（確率）：サイコロの選択という独特な設定。条件付き確率と期待値の線形性がカギ。
- 第2問（整数）：二項係数と素数の関係。背理法とフェルマーの小定理的発想が必要。
- 第3問（三角関数）：cos関数の和。複素数平面（1のn乗根）を活用すると鮮やか。
- 第4問（図形）：内接円と接円の問題。tan θ を置換文字として計算を進める。
奈良県立医科大学の数学は、「典型問題の確実な得点」と「思考力を要する問題への挑戦」のバランスが重要です。まずは基礎を固め、その上で発想力を磨いていきましょう。
医学部受験は長い戦いですが、正しい方向に努力すれば必ず結果はついてきます。私たち数強塾・日本数学塾は、奈良県立医科大学を目指すあなたを全力でサポートします。
一緒に合格を勝ち取りましょう！
※この記事の内容は2018年度入試問題に基づいています。最新の出題傾向については、大学公式サイトや最新の過去問集をご確認ください。
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