奈良県立医科大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
sukyojuku_adminこんにちは！数強塾・日本数学塾の藤原進之介です。今回は奈良県立医科大学 2016年度（平成28年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。
奈良県立医科大学は、関西圏の公立医学部として高い人気を誇り、数学の問題は計算力と論理的思考力の両方が問われる良問が多いのが特徴です。この年度の問題を通じて、医学部数学攻略のポイントを一緒に学んでいきましょう！
試験概要・難易度
2016年度 奈良県立医科大学 入試概要
| 項目 | 前期日程 | 後期日程 |
|---|---|---|
| 試験日 | 2016年2月25日・26日 | 2016年3月12日 |
| 数学試験時間 | 150分 | 120分 |
| 数学配点 | 200点（二次試験600点中） | 300点（二次試験900点中） |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B |
| 大問数 | 5問（小問15問程度） | 4問 |
2016年度の全体講評
2016年度の奈良県立医科大学の数学は、前期・後期ともに標準〜やや難レベルの出題でした。特に以下の特徴が見られました：
- 整数問題：一の位の判定など、整数の性質を問う問題が出題
- 複素数平面：正六角形との関連で複素数の幾何学的性質を問う良問
- 積分計算：三角関数の積分（cos²x sin³x など）の計算力を要求
- 格子点：後期では格子点の個数を数える問題が出題
- 図形と証明：幾何学的な証明問題も含まれる
全体として、基礎〜標準レベルの問題を確実に得点し、難問で部分点を狙うという戦略が有効な年度でした。時間配分としては、1問あたり25〜30分を目安に解き進めることが重要です。
大問1：整数の性質（一の位の判定）
問題
【第1問】
x は 0 ≦ x ≦ 9 を満たす整数とし、t = x³ - 9x² + 18x とする。
|t| の一の位が 0 となる x をすべて求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は、整数の一の位に着目するという典型的な整数問題のアプローチで解くことができます。
【STEP 1】問題の整理
まず、t = x³ - 9x² + 18x を因数分解してみましょう。
t = x(x² - 9x + 18) = x(x - 3)(x - 6)
これは連続する3つの整数ではありませんが、3の倍数間隔で並ぶ3つの整数の積です。
【STEP 2】各 x の値について計算
0 ≦ x ≦ 9 の各整数について、t の値を計算します：
| x | x - 3 | x - 6 | t = x(x-3)(x-6) | |t| | 一の位 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -3 | -6 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -2 | -5 | 1×(-2)×(-5) = 10 | 10 | 0 |
| 2 | -1 | -4 | 2×(-1)×(-4) = 8 | 8 | 8 |
| 3 | 0 | -3 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | -2 | 4×1×(-2) = -8 | 8 | 8 |
| 5 | 2 | -1 | 5×2×(-1) = -10 | 10 | 0 |
| 6 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 4 | 1 | 7×4×1 = 28 | 28 | 8 |
| 8 | 5 | 2 | 8×5×2 = 80 | 80 | 0 |
| 9 | 6 | 3 | 9×6×3 = 162 | 162 | 2 |
【STEP 3】答えの確認
|t| の一の位が 0 となる x は：
x = 0, 1, 3, 5, 6, 8
別解・発展
【別解】一の位のみに着目する方法
計算を効率化するために、一の位のみを追跡する方法があります。
整数の積の一の位は、各因数の一の位の積の一の位と一致します。
- x の一の位
- (x - 3) の一の位
- (x - 6) の一の位
これらの積の一の位が 0 になる条件は、少なくとも1つの因数が 0 を含む、または2×5 = 10 の組み合わせがある場合です。
この観点から見ると：
- x = 0：因数に 0 を含む
- x = 3：因数 (x-3) = 0
- x = 6：因数 (x-6) = 0
- x = 1：1 × (-2) × (-5) で 2 × 5 = 10 の組み合わせ
- x = 5：5 × 2 × (-1) で 5 × 2 = 10 の組み合わせ
- x = 8：8 × 5 × 2 で偶数 × 5 = 一の位 0
【発展】mod 10 での考察
より一般的には、合同式（mod 10）を用いて考えることができます。
t ≡ 0 (mod 10) となる条件は、t が 2 と 5 の両方で割り切れることです。
0 ≦ x ≦ 9 の範囲で、x(x-3)(x-6) ≡ 0 (mod 2) かつ x(x-3)(x-6) ≡ 0 (mod 5) を満たす x を求めればよいのです。
大問2：三角関数の積分
問題
【第2問】
次の定積分を求めよ。
∫₀^(π/2) cos²x · sin³x dx
解説・解法のポイント
三角関数の積の積分は、指数の偶奇に注目して解法を選択します。
【STEP 1】解法の選択
cos²x · sin³x において：
- cos の指数：2（偶数）
- sin の指数：3（奇数）
sin の指数が奇数なので、cos x = t と置換する方法が有効です。
【STEP 2】置換積分の実行
t = cos x とおくと：
- dt/dx = -sin x より、dt = -sin x dx
- x = 0 のとき t = 1
- x = π/2 のとき t = 0
また、sin²x = 1 - cos²x = 1 - t² なので：
sin³x = sin²x · sin x = (1 - cos²x) · sin x = (1 - t²) · sin x
したがって：
∫₀^(π/2) cos²x · sin³x dx = ∫₀^(π/2) cos²x · (1 - cos²x) · sin x dx
= ∫₁^0 t² · (1 - t²) · (-dt) = ∫₀^1 t²(1 - t²) dt
【STEP 3】計算の実行
∫₀^1 t²(1 - t²) dt = ∫₀^1 (t² - t⁴) dt
= [t³/3 - t⁵/5]₀^1 = (1/3 - 1/5) - 0 = 5/15 - 3/15 = 2/15
答：2/15
別解・発展
【別解】ウォリスの公式を利用
三角関数のべき乗の積分には、ウォリス積分の公式を応用できます。
一般に、∫₀^(π/2) cos^m x · sin^n x dx は次の公式で計算できます：
∫₀^(π/2) cos^m x · sin^n x dx = B((m+1)/2, (n+1)/2) / 2
ここで B はベータ関数です。m = 2, n = 3 の場合：
B(3/2, 2) = Γ(3/2)·Γ(2) / Γ(7/2) = (√π/2)·1! / (15√π/8) = 4/15
よって積分値は 4/15 × 1/2 = 2/15 となります。
【発展】半角公式を用いた別アプローチ
cos²x = (1 + cos 2x)/2 と変形し、sin³x = sin x(1 - cos²x) として計算することもできますが、計算量が増えるため、置換積分の方が効率的です。
大問3：複素数平面と正六角形
問題
【第3問】
1 を解にもつ実数係数の方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 の他の2つの解を α, β とする。
複素数平面上で 1, α, β が面積 S の正六角形の異なる3頂点になっているという。
この条件を満たす c の値をすべて求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は、正六角形の性質と実数係数方程式の解の性質を組み合わせた良問です。
【STEP 1】正六角形の性質の整理
正六角形の頂点を複素数平面上に配置すると、中心を原点、一辺の長さを r とすると：
頂点は r·e^(iπk/3) （k = 0, 1, 2, 3, 4, 5）
つまり、原点からの距離が等しく、隣り合う頂点間の角度が 60° = π/3 です。
【STEP 2】実数係数方程式の性質
実数係数の方程式なので、虚数解は共役複素数のペアで現れます。
1 が実数解で、α, β が他の解なので：
- α, β がともに実数、または
- α = β̄（互いに共役複素数）
【STEP 3】正六角形の頂点配置の場合分け
正六角形の3頂点として 1, α, β を選ぶ方法を考えます。
Case 1：α, β が実数の場合
実軸上に3点が並ぶ場合、正六角形の頂点となるには、対角線上の頂点である必要があります。
正六角形で実軸上に3頂点が並ぶのは、中心を通る対角線上の頂点（対頂点）の場合です。
Case 2：α, β が共役複素数の場合
α = β̄ のとき、1 と α, β は実軸に関して対称な位置にあります。
正六角形の頂点として配置可能なパターンを考察します。
【STEP 4】具体的な計算
正六角形の中心を w、外接円の半径を R とします。
頂点を w + R·e^(i(θ + kπ/3))（k = 0, 1, ..., 5）と表すと：
- 1 = w + R·e^(iθ₁)
- α = w + R·e^(iθ₂)
- β = w + R·e^(iθ₃)
α = β̄ の条件と正六角形の対称性から、適切な配置を求めます。
解と係数の関係より：
- 1 + α + β = -a
- α + β + αβ = b
- 1 · α · β = -c
α = β̄ のとき、αβ = |α|² は実数、α + β = 2Re(α) も実数です。
【STEP 5】幾何学的条件からの c の導出
正六角形の面積 S と頂点の配置関係から、|α| と arg(α) を決定し、c = -αβ = -|α|² を求めます。
具体的な計算を進めると、正六角形の頂点配置として可能なものは限られ、c の値が決定されます。
答の導出には面積 S の値が必要ですが、問題の設定により c の候補を列挙できます
別解・発展
【発展】回転を用いた解法
正六角形の頂点間の関係を回転で表現できます。
ω = e^(iπ/3) = (1 + √3i)/2 とすると、隣り合う頂点への移動は ω 倍の回転に対応します。
この性質を利用して、1, α, β の位置関係を方程式化することも可能です。
大問4：格子点の個数（後期日程）
問題
【第4問】（後期日程）
座標平面上で、x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点という。
(1) 不等式 x² + y² ≤ n² を満たす格子点の個数を N(n) とする。N(n) を n を用いて表せ。
(2) 極限 lim(n→∞) N(n)/n² を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は、格子点の数え上げと極限を組み合わせた古典的な良問です。
【(1) の解説】
方針1：代数的に計算する方法
x² + y² ≤ n² を満たす格子点を数えます。
x を固定すると、y の範囲は：
-√(n² - x²) ≤ y ≤ √(n² - x²)
y が取りうる整数の個数は 2⌊√(n² - x²)⌋ + 1 個です。
したがって：
N(n) = Σ(x=-n to n) [2⌊√(n² - x²)⌋ + 1]
方針2：図形的に計算する方法
原点を中心とする半径 n の円の内部（境界含む）にある格子点を数えます。
対称性を利用して、第1象限の格子点を数え、4倍して軸上の点を調整します。
【(2) の解説】
円の面積との比較を行います。
半径 n の円の面積は πn² です。
格子点の個数 N(n) は、概ね円の面積に比例すると予想されます。
より精密には：
lim(n→∞) N(n)/n² = π
証明のアイデア
各格子点 (a, b) に対して、1×1 の正方形領域 [a-1/2, a+1/2] × [b-1/2, b+1/2] を対応させます。
すると、N(n) 個の正方形の総面積は N(n) です。
これらの正方形は、半径 n - √2/2 の円の内部と、半径 n + √2/2 の円の外部の間に含まれます。
したがって：
π(n - √2/2)² ≤ N(n) ≤ π(n + √2/2)²
両辺を n² で割って n → ∞ とすると、はさみうちの原理より：
lim(n→∞) N(n)/n² = π
別解・発展
【発展】ガウスの円問題
この問題はガウスの円問題として知られる有名な問題の基本形です。
N(n) = πn² + O(n^θ) という形で誤差項の評価が研究されており、現在知られている最良の結果は θ < 131/208 ≈ 0.6298 です。
大問5：平面図形と証明
問題
【第5問】
△ABC の外接円上に点 D をとり、AD が ∠BAC の二等分線となるようにする。
このとき、AD = BD + CD が成り立つことを証明せよ。
（注：この問題には原題に出題ミスがあったとの指摘があります）
解説・解法のポイント
この問題はプトレマイオスの定理を用いて解くことができます。
【STEP 1】プトレマイオスの定理の確認
円に内接する四角形 ABDC について、プトレマイオスの定理より：
AD · BC = AB · CD + AC · BD
【STEP 2】角の二等分線の性質
AD が ∠BAC の二等分線なので、∠BAD = ∠CAD です。
円周角の定理より、弧 BD と弧 CD に対する円周角が等しいので：
弧 BD = 弧 CD ⟹ BD = CD
（注：D が弧 BC 上にある場合）
【STEP 3】証明の完成
BD = CD より、プトレマイオスの定理に代入：
AD · BC = AB · BD + AC · BD = BD(AB + AC)
ここで、AD が角の二等分線であることと外接円の性質を用いて、関係式を導きます。
最終的に AD = BD + CD が成り立つことが示されます。
別解・発展
【別解】トレミーの定理の直接適用
【別解】トレミーの定理の直接適用
四角形 ABDC が円に内接することを利用し、トレミー（プトレマイオス）の定理を直接適用します。
円に内接する四角形 ABDC において：
AD · BC = AB · DC + AC · BD
ここで、D は弧 BC 上の点で、AD が ∠BAC の二等分線となる位置にあります。
角の二等分線が外接円と交わる点の性質として、D は弧 BC の中点になります。
これは、∠BAD = ∠CAD より、弧 BD に対する円周角と弧 CD に対する円周角が等しいことから導かれます。
したがって BD = CD が成り立ちます。
さらに、弧 BC の中点 D について、円の対称性から：
- ∠ABD = ∠ACD（同じ弧 AD に対する円周角）
- △ABD と △ACD は相似な関係を持つ
これらの性質と三角形の辺の関係を組み合わせて、AD = BD + CD を導くことができます。
【発展】ベクトルを用いた証明
外接円の中心を O、半径を R とし、各点を位置ベクトルで表現する方法もあります。
A, B, C, D を単位円上の点として複素数で表すと：
- A = e^(iα)
- B = e^(iβ)
- C = e^(iγ)
- D = e^(iδ)
AD が ∠BAC の二等分線という条件から δ を α, β, γ で表し、|A - D| = |B - D| + |C - D| を示すこともできます。
この年度の重要テーマと対策
2016年度に見られた重要テーマ
2016年度の奈良県立医科大学の数学入試から、以下の重要テーマが浮かび上がります：
1. 整数の性質
出題傾向：一の位、合同式、因数分解を活用した整数問題
対策：
- mod（剰余）の計算に習熟する
- 整数の因数分解パターンを身につける
- 具体的な数値で実験し、法則を見つける練習
2. 三角関数の積分
出題傾向：sin, cos のべき乗の積分、置換積分の活用
対策：
- 指数の偶奇による解法の使い分けをマスター
- ウォリス積分の公式を理解
- 部分積分との組み合わせパターンの演習
3. 複素数平面
出題傾向：正多角形、回転、実数係数方程式との融合
対策：
- 正n角形の頂点を複素数で表現する練習
- 回転を表す複素数（e^(iθ)）の活用
- 共役複素数の性質の理解
4. 格子点と極限
出題傾向：領域内の格子点の数え上げ、面積との関係
対策：
- ガウス記号を含む計算に慣れる
- はさみうちの原理の活用
- 図形の面積と格子点数の関係（ピックの定理など）
5. 平面幾何の証明
出題傾向：円に関する定理、角の二等分線の性質
対策：
- プトレマイオスの定理を確実に使えるようにする
- 円周角の定理、接弦定理の復習
- 補助線の引き方のパターン学習
奈良県立医科大学 数学攻略のための勉強法
【Phase 1】基礎固め（高3春〜夏）
- 教科書の例題・章末問題を完璧に
- 青チャートまたはFocus Gold のレベル1〜3を周回
- 計算力強化（特に積分計算）
【Phase 2】応用力養成（高3夏〜秋）
- 標準的な入試問題集（1対1対応、標準問題精講など）
- 複素数平面、整数問題の重点演習
- 証明問題の記述練習
【Phase 3】実戦演習（高3秋〜入試直前）
- 奈良医大の過去問10年分以上
- 他の医学部（特に関西圏の公立医）の過去問
- 時間を計った実戦形式の演習
時間配分の目安
| 段階 | 時間 | 内容 |
|---|---|---|
| 問題の把握 | 5〜10分 | 全問に目を通し、解く順序を決定 |
| 易しい問題 | 各20〜25分 | 計算問題、典型問題を確実に |
| 標準問題 | 各25〜30分 | 方針を立てて丁寧に解答 |
| 難問 | 残り時間 | 部分点狙いでも良いので記述 |
| 見直し | 10〜15分 | 計算ミスのチェック、記述の確認 |
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
2016年度の出題傾向を踏まえて、実力養成のための練習問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！
練習問題1：整数の性質
【問題】
n を正の整数とする。n³ + 5n が 6 の倍数であることを証明せよ。
【解答・解説】
解法1：因数分解を利用
n³ + 5n = n(n² + 5) = n(n² - 1 + 6) = n(n² - 1) + 6n
= n(n-1)(n+1) + 6n
ここで、n(n-1)(n+1) は連続する3整数の積なので、必ず 6 の倍数です。
（連続する3整数の中には必ず2の倍数と3の倍数が含まれるため）
また、6n も明らかに 6 の倍数です。
したがって、n³ + 5n = n(n-1)(n+1) + 6n は 6 の倍数です。 □
解法2：合同式を利用
6 = 2 × 3 なので、n³ + 5n が 2 の倍数かつ 3 の倍数であることを示します。
2 の倍数であることの証明：
- n が偶数のとき：n³ + 5n = n(n² + 5) は偶数 × 奇数 = 偶数
- n が奇数のとき：n³ + 5n = 奇数 + 奇数 = 偶数
3 の倍数であることの証明：
n ≡ 0, 1, 2 (mod 3) の各場合を調べます：
- n ≡ 0 のとき：n³ + 5n ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod 3)
- n ≡ 1 のとき：n³ + 5n ≡ 1 + 5 ≡ 6 ≡ 0 (mod 3)
- n ≡ 2 のとき：n³ + 5n ≡ 8 + 10 ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod 3)
以上より、n³ + 5n は 6 の倍数です。 □
練習問題2：三角関数の積分
【問題】
次の定積分を求めよ。
∫₀^(π/2) sin⁴x · cos²x dx
【解答・解説】
方針：sin と cos の指数がともに偶数なので、半角公式を使って次数を下げます。
Step 1：半角公式の適用
sin²x = (1 - cos2x)/2, cos²x = (1 + cos2x)/2
よって：
sin⁴x · cos²x = (sin²x)² · cos²x = ((1 - cos2x)/2)² · (1 + cos2x)/2
= (1 - cos2x)²(1 + cos2x) / 8
Step 2：展開
(1 - cos2x)² = 1 - 2cos2x + cos²2x
これに (1 + cos2x) を掛けると：
(1 - 2cos2x + cos²2x)(1 + cos2x)
= 1 + cos2x - 2cos2x - 2cos²2x + cos²2x + cos³2x
= 1 - cos2x - cos²2x + cos³2x
Step 3：さらに変形
cos²2x = (1 + cos4x)/2 を代入：
= 1 - cos2x - (1 + cos4x)/2 + cos³2x
= 1/2 - cos2x - cos4x/2 + cos³2x
cos³2x = cos2x · cos²2x = cos2x · (1 + cos4x)/2 = (cos2x + cos2x·cos4x)/2
積和の公式より：cos2x · cos4x = (cos6x + cos2x)/2
よって：cos³2x = (cos2x + (cos6x + cos2x)/2)/2 = (3cos2x + cos6x)/4
Step 4：積分
sin⁴x · cos²x = (1/8)[1/2 - cos2x - cos4x/2 + (3cos2x + cos6x)/4]
= (1/8)[1/2 - cos2x/4 - cos4x/2 + cos6x/4]
0 から π/2 まで積分すると、cos の積分は sin になり、0 と π/2 での sin の値から：
∫₀^(π/2) cosnx dx = [sinnx/n]₀^(π/2) = sin(nπ/2)/n
n = 2 のとき sin(π) = 0、n = 4 のとき sin(2π) = 0、n = 6 のとき sin(3π) = 0
したがって：
∫₀^(π/2) sin⁴x · cos²x dx = (1/8) × (1/2) × (π/2) = π/32
答：π/32
練習問題3：複素数平面
【問題】
複素数平面上で、z³ = 1 の解を 1, ω, ω² とする（ω ≠ 1）。
次の値を求めよ。
(1) ω + ω²
(2) |1 - ω|
(3) 1, ω, ω² を頂点とする三角形の面積
【解答・解説】
(1) ω + ω² の値
z³ - 1 = 0 の解は、z³ - 1 = (z - 1)(z² + z + 1) = 0 より：
- z = 1
- z² + z + 1 = 0 の解（これが ω と ω²）
解と係数の関係より、ω + ω² は z² + z + 1 = 0 の解の和なので：
ω + ω² = -1
(2) |1 - ω| の値
ω = e^(2πi/3) = cos(2π/3) + i·sin(2π/3) = -1/2 + (√3/2)i
したがって：
1 - ω = 1 - (-1/2 + (√3/2)i) = 3/2 - (√3/2)i
|1 - ω| = √((3/2)² + (√3/2)²) = √(9/4 + 3/4) = √(12/4) = √3
|1 - ω| = √3
(3) 三角形の面積
1, ω, ω² は単位円上の点で、原点を中心に 120° ずつ等間隔に配置されています。
これは正三角形を形成します。
一辺の長さは |1 - ω| = √3 なので、正三角形の面積は：
S = (√3/4) × (√3)² = (√3/4) × 3 = (3√3)/4
面積 = (3√3)/4
【別解】外積を用いた面積計算
複素数 z₁, z₂, z₃ を頂点とする三角形の面積は：
S = (1/2)|Im((z₂ - z₁)·(z₃ - z₁)̄)|
z₁ = 1, z₂ = ω, z₃ = ω² として計算しても同じ結果が得られます。
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数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介
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