奈良県立医科大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、奈良県立医科大学 2016年度 数学（後期日程）の入試問題を徹底解説していきます。奈良医大は、関西圏の公立医学部として非常に人気が高く、特に後期日程は難関として知られています。この記事では、各大問を丁寧に解説し、合格に必要な思考力と解法テクニックをお伝えしていきます。

医学部受験を目指す皆さん、一緒に奈良医大の数学を攻略していきましょう！

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試験概要・難易度

2016年度 奈良県立医科大学 後期日程 数学試験の概要

項目	内容
試験日程	後期日程（2016年3月実施）
試験時間	120分
出題形式	記述式・全4問
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）
配点	200点（総合点500点中）

全体講評

2016年度の奈良県立医科大学後期日程の数学は、例年通りの高難易度を維持した試験でした。後期日程は前期不合格者や難関大学を目指す受験生が集まるため、非常にハイレベルな戦いとなります。

【難易度分析】

• 第1問（格子点）：標準〜やや難。基本的な数え上げの技術と、式変形の工夫が問われる。
• 第2問（二項係数と数列）：難。二項係数の性質を駆使した計算と、テレスコープ法の理解が必要。
• 第3問（複素数平面）：標準〜やや難。図形的考察と代数的処理の融合問題。
• 第4問（微分積分・求積）：やや難。計算量が多く、正確な処理能力が試される。

【合格に必要な目標点】

後期日程の合格最低点を考慮すると、数学では6〜7割（120〜140点程度）を目標にしたいところです。完答できる問題を確実に取り、部分点をしっかり稼ぐ戦略が重要です。

【時間配分の目安】

• 第1問：25分
• 第2問：35分
• 第3問：30分
• 第4問：30分

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大問1：格子点の個数

問題

解説・解法のポイント

この問題は格子点の数え上げに関する基本的かつ重要な問題です。医学部入試では、このような整数・組み合わせ的な考え方を問う問題が頻出します。

【(1)の解答】

頂点が(0, 0)、(10, 0)、(10, 10)、(0, 10)である正方形を考えます。

解法：この正方形の内部および辺上の格子点を数えます。

• x座標は0から10までの整数値をとることができます → 11通り
• y座標も0から10までの整数値をとることができます → 11通り

したがって、格子点の総数は：

n(S) = 11 × 11 = 121

【(2)の解答】

頂点が(0, 0)、(n, 0)、(n, n)、(0, n)である正方形について一般化します。

解法：(1)と同様の考え方を適用します。

• x座標は0からnまでの整数値 → (n+1)通り
• y座標は0からnまでの整数値 → (n+1)通り

したがって：

n(S) = (n+1)²

【検証】n = 10を代入すると、n(S) = 11² = 121 となり、(1)の結果と一致します。

【(3)の解答】

頂点が(0, 0)、(m, 0)、(m, n)、(0, n)である長方形について考えます。

解法：

• x座標は0からmまでの整数値 → (m+1)通り
• y座標は0からnまでの整数値 → (n+1)通り

したがって：

n(S) = (m+1)(n+1)

【(4)の解答】

これが本問の核心部分です。頂点が(0, 0)、(a, b)、(a+c, b+d)、(c, d)である平行四辺形で、ad - bc = 1という条件が付いています。

ポイント：ad - bc = 1 という条件は、この平行四辺形の面積が1であることを意味します。（平行四辺形の面積 = |ad - bc|）

解法1（ピックの定理を利用）：

ピックの定理とは、格子点を頂点とする多角形について、次の関係が成り立つという定理です：

S = I + B/2 - 1

ここで、Sは多角形の面積、Iは内部の格子点の数、Bは辺上の格子点の数です。

この平行四辺形の面積は |ad - bc| = 1 です。

各辺上の格子点を数えます：

• 辺(0,0)から(a,b)：辺上の格子点数は gcd(a,b) + 1（両端を含む）、内部は gcd(a,b) - 1 個
• 同様に他の辺も考慮

解法2（直接的な考察）：

ad - bc = 1 より、ベクトル(a, b)と(c, d)は「基本平行四辺形」を形成します。この条件下では、平行四辺形の内部には格子点が存在しません。

辺上の格子点を数えます：

• 4つの頂点：4個
• 各辺の内部の格子点：gcd(a, b) - 1 + gcd(c, d) - 1 + gcd(a, b) - 1 + gcd(c, d) - 1 = 2(gcd(a,b) + gcd(c,d) - 2)個

しかし、ad - bc = 1 の条件から、gcd(a, b) = gcd(c, d) = 1 であることが導かれます。

【gcd(a, b) = 1の証明】

仮にgcd(a, b) = g > 1とすると、a = ga', b = gb'と書け、ad - bc = g(a'd - b'c)となります。これが1に等しいためには g = 1でなければなりません。

同様にgcd(c, d) = 1も示されます。

したがって、各辺上には端点以外に格子点がなく、内部にも格子点がないので：

n(S) = 4

別解・発展

【別解：座標変換による方法】

行列 A = [a c; b d] による線形変換を考えます。det(A) = ad - bc = 1 より、この変換は面積を保存する変換です。

この変換により、元の平行四辺形は単位正方形に写り、格子点は格子点に写ります。単位正方形内の格子点は4つの頂点のみなので、元の平行四辺形でも n(S) = 4 です。

【発展：ピックの定理の応用】

ピックの定理は、格子点を含む問題で非常に強力なツールです。医学部入試では直接出題されることは少ないですが、知っておくと検算や別解に活用できます。

一般に、格子点を頂点とする多角形では：

（面積）= （内部の格子点数）+ （辺上の格子点数）/2 - 1

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大問2：二項係数と数列の和

問題

解説・解法のポイント

この問題は二項係数の性質と数列の和に関する問題です。(1)で示した等式を(2)で活用し、さらに(3)で極限を考えるという、典型的な誘導形式です。

【(1)の解答】

二項係数の定義を用いて証明します。

証明：

二項係数の定義より：

ₙCₖ = n! / (k!(n-k)!)

右辺を計算します：

ₙ₋₁Cₖ + ₙ₋₁Cₖ₋₁

= (n-1)! / (k!(n-1-k)!) + (n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)

通分すると：

= (n-1)!(n-k) / (k!(n-k)!) + (n-1)!·k / (k!(n-k)!)

= (n-1)!{(n-k) + k} / (k!(n-k)!)

= (n-1)!·n / (k!(n-k)!)

= n! / (k!(n-k)!)

= ₙCₖ

よって、ₙCₖ = ₙ₋₁Cₖ + ₙ₋₁Cₖ₋₁ が示されました。■

【別証明：組み合わせ的解釈】

n人からk人を選ぶ方法を考えます。特定の1人に注目すると：

• その人を選ばない場合：残りn-1人からk人を選ぶ → ₙ₋₁Cₖ 通り
• その人を選ぶ場合：残りn-1人からk-1人を選ぶ → ₙ₋₁Cₖ₋₁ 通り

この2つは排反なので、ₙCₖ = ₙ₋₁Cₖ + ₙ₋₁Cₖ₋₁ が成り立ちます。

【(2)の解答】

S = Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) を求めます。

キーアイデア：(1)の結果を変形してテレスコープ（望遠鏡）型の和に持ち込みます。

解法：

(1)より ₙCₖ = ₙ₋₁Cₖ + ₙ₋₁Cₖ₋₁ なので：

1/(ₙCₖ) = 1/(ₙ₋₁Cₖ + ₙ₋₁Cₖ₋₁)

ここで重要な変形を行います。二項係数について次の性質を使います：

k·ₙCₖ = n·ₙ₋₁Cₖ₋₁

これより：

1/(ₙCₖ) = k/(n·ₙ₋₁Cₖ₋₁) = (n-k)/(n·ₙ₋₁Cₖ)

これらを利用して：

2/(ₙCₖ) = k/(n·ₙ₋₁Cₖ₋₁) + (n-k)/(n·ₙ₋₁Cₖ)

さらに変形を進めると、テレスコープの形になります：

1/(ₙCₖ) = (n-1)/n · {1/(ₙ₋₁Cₖ₋₁) - 1/(ₙ₋₁Cₖ)} + 2/(n·ₙCₖ)

この形の和を取ると、中間項が打ち消し合います。

最終的に：

S = Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) = 2(n+1)/(n·2ⁿ) · (2ⁿ⁻¹ - 1) + 2/n = (2ⁿ⁺¹ + n - 2)/(n·2ⁿ⁻¹)

【別のアプローチ：対称性の利用】

ₙCₖ = ₙCₙ₋ₖ という対称性を使います。

S = Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ)

k を n-k に置き換えた和も同じ値Sになるので：

2S = Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ {1/(ₙCₖ) + 1/(ₙCₙ₋ₖ)} = Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2/(ₙCₖ) = 2S

（この方法では直接の簡略化は得られませんが、計算の検証に有用です）

具体的な計算を行うと：

n = 2のとき：S = 1/₂C₁ = 1/2

n = 3のとき：S = 1/₃C₁ + 1/₃C₂ = 1/3 + 1/3 = 2/3

n = 4のとき：S = 1/4 + 1/6 + 1/4 = 2/3

一般式は：

S = 2(2ⁿ⁻¹ - 1) / (n · ₙ₋₁Cₙ/₂) （nが偶数の場合の近似的表現）

より正確には、漸化式を解くことで：

Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) = 2/n + 2(n-1)/(n·2ⁿ⁻²) · Σⱼ₌₀ⁿ⁻² ₙ₋₂Cⱼ/2ʲ

【(3)の解答】

L = lim(n→∞) n · Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) を求めます。

解法：

(2)の結果より、nが大きいとき：

Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) ≈ 2/n（主要項）

これは、二項係数ₙCₖがk = n/2付近で最大値を取り、その最大値が約 2ⁿ/√(πn/2) 程度であることから理解できます。

k = 1 や k = n-1 近傍では 1/(ₙCₖ) = 1/n 程度、中央付近では指数的に小さくなります。

詳細な計算により：

L = lim(n→∞) n · Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) = 2

【直感的理解】

和 Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 1/(ₙCₖ) の主要な寄与は k = 1 と k = n-1 からきます（それぞれ 1/n）。中央付近の項は二項係数が大きいため、逆数は非常に小さくなります。よって、和は約 2/n となり、nを掛けると 2 に収束します。

別解・発展

【スターリングの公式を用いた別解】

大きなnに対して、n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ（スターリングの公式）を使うと、二項係数の漸近的な振る舞いが分かります。

ₙCₖ ≈ 2ⁿ / √(πn/2) · exp(-2(k - n/2)²/n) （中央付近で）

この近似を使って積分で和を評価することもできます。

【発展：二項係数の逆数の母関数】

Σₖ₌₀ⁿ xᵏ/(ₙCₖ) の研究は、組み合わせ論や解析学で重要な話題です。x = 1 の場合が本問に対応します。

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大問3：複素数平面と正六角形

問題

解説・解法のポイント

この問題は複素数平面における図形問題です。複素数の性質（共役複素数、絶対値など）と、図形的な考察を組み合わせる必要があります。

【(1)の解答】

原点中心、半径2の円に内接する正六角形の面積を求めます。

解法：

正六角形は、6つの合同な正三角形に分割できます。各正三角形の頂点は原点と、円周上の隣り合う2点です。

各正三角形は：

• 2辺の長さが2（円の半径）
• その間の角が 360°/6 = 60°

よって、各正三角形は1辺の長さが2の正三角形です。

1辺aの正三角形の面積 = (√3/4)a²

a = 2 のとき、面積 = (√3/4) × 4 = √3

正六角形全体の面積 = 6 × √3 = 6√3

答：6√3

【(2)の解答】

点1が線分zz̄の垂直二等分線上にある条件を求めます。

ポイント：zとz̄は実軸に関して対称な点です。

解法：

点Pが線分ABの垂直二等分線上にある ⟺ |PA| = |PB|

よって、点1が線分zz̄の垂直二等分線上にある条件は：

|1 - z| = |1 - z̄|

|1 - z| = |1 - z̄|

z = x + yi（x, yは実数）とおくと：

|1 - (x + yi)| = |1 - (x - yi)|

|(1-x) - yi| = |(1-x) + yi|

左辺 = √{(1-x)² + y²}

右辺 = √{(1-x)² + y²}

これは常に成り立つように見えますが、実際にはz ≠ z̄（つまりy ≠ 0）という条件が必要です。

【別の解釈】

zとz̄の垂直二等分線は、|w - z| = |w - z̄|を満たす点wの集合です。

z = x + yi とすると、z̄ = x - yi

zとz̄の中点は (z + z̄)/2 = x（実数）

zとz̄を結ぶ線分は虚軸に平行（実部が同じxで、虚部がyと-y）

したがって、この線分の垂直二等分線は点xを通り実軸に平行な直線、つまり実軸そのもの（虚部 = 0の直線）です。

点1は実軸上にあるので、点1は常にzz̄の垂直二等分線上にあります（z ≠ z̄、つまりzが実数でない場合）。

したがって、求める条件は：

zの虚部が0でない（z ∉ ℝ）、すなわち Im(z) ≠ 0

【(3)の解答】

(2)の条件を満たし、かつ正六角形の内部にあるzの範囲を求めます。

解法：

正六角形の頂点を設定します。原点中心、半径2の円に内接し、実軸上にA, Bがあるので：

頂点は z = 2e^(iπk/3)（k = 0, 1, 2, 3, 4, 5）

具体的には：

• z₀ = 2（点B）
• z₁ = 2e^(iπ/3) = 1 + √3i
• z₂ = 2e^(i2π/3) = -1 + √3i
• z₃ = -2（点A）
• z₄ = 2e^(i4π/3) = -1 - √3i
• z₅ = 2e^(i5π/3) = 1 - √3i

正六角形の内部は、以下の6つの不等式で表されます：

上側の2辺について：

• 辺 z₀z₁（点(2,0)から(1,√3)）：y < √3(2-x)、つまり √3x + y < 2√3
• 辺 z₁z₂（点(1,√3)から(-1,√3)）：y < √3
• 辺 z₂z₃（点(-1,√3)から(-2,0)）：y < √3(x+2)、つまり -√3x + y < 2√3

下側も対称に：

• 辺 z₃z₄：y > -√3(x+2)
• 辺 z₄z₅：y > -√3
• 辺 z₅z₀：y > -√3(2-x)

(2)の条件 Im(z) ≠ 0 と合わせると：

答：正六角形の内部から実軸上の部分（線分AB：-2 < x < 2, y = 0）を除いた領域

すなわち、正六角形の内部で y ≠ 0 を満たす部分です。

別解・発展

【複素数を用いた垂直二等分線の条件】

一般に、2点α, βの垂直二等分線上の点zの条件は：

|z - α| = |z - β|

これを変形すると：

|z - α|² = |z - β|²

(z - α)(z̄ - ᾱ) = (z - β)(z̄ - β̄)

展開して整理すると、zに関する1次式（直線の方程式）が得られます。

【発展：正n角形と複素数】

原点中心、半径rの円に内接する正n角形の頂点は：

zₖ = r·e^(i(2πk/n + θ₀))（k = 0, 1, ..., n-1）

と表されます。ここでθ₀は初期位相です。

このような表現は、正多角形に関する様々な問題を代数的に処理するのに有効です。

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大問4：微分積分と求積

問題

解説・解法のポイント

この問題は微分積分の総合問題です。関数の解析から面積・体積の計算、さらに区分求積法による極限まで、幅広い力が試されます。

【(1)の解答】

f(x) = x·e^(-x²) の増減と極値を調べます。

微分の計算：

f'(x) = e^(-x²) + x·(-2x)·e^(-x²)

= e^(-x²)(1 - 2x²)

= e^(-x²)(1 - √2·x)(1 + √2·x)

e^(-x²) > 0 なので、f'(x) = 0 となるのは：

x = ±1/√2 = ±√2/2

増減表：

x	...	-√2/2	...	√2/2	...
f'(x)	−	0	+	0	−
f(x)	↘	極小	↗	極大	↘

極値：

• x = -√2/2 で極小値：f(-√2/2) = (-√2/2)·e^(-1/2) = -1/(√2e) = -√(2/e)/2
• x = √2/2 で極大値：f(√2/2) = (√2/2)·e^(-1/2) = 1/(√2e) = √(2/e)/2

その他の性質：

• f(0) = 0
• lim(x→±∞) f(x) = 0（指数関数の減衰が多項式の増大に勝つ）
• f(-x) = -f(x) より、f(x)は奇関数（原点対称）

グラフの概形：

原点を通り、x = √2/2 で極大値 1/√(2e) ≈ 0.43 をとり、その後0に漸近する曲線です。負の部分は原点対称です。

    y
    ↑      極大 (√2/2, 1/√(2e))
    |       ∩
    |      / 
    |     /   
----+----/-----------→ x
    |   /       
    |  /         ＼→0
    | ∪ 極小
    |

【(2)の解答】

曲線 y = xe^(-x²) とx軸で囲まれた部分のうち、x ≥ 0 の部分の面積Sを求めます。

解法：

x ≥ 0 では f(x) = xe^(-x²) ≥ 0 なので：

S = ∫₀^∞ xe^(-x²) dx

置換積分：t = x² とおくと、dt = 2x dx、つまり x dx = dt/2

x: 0 → ∞ のとき t: 0 → ∞

S = ∫₀^∞ e^(-t) · (dt/2)

= (1/2)[-e^(-t)]₀^∞

= (1/2){0 - (-1)}

= 1/2

答：S = 1/2

【(3)の解答】

x ≥ 0 の部分をx軸の周りに回転させた体積Vを求めます。

解法：

V = π∫₀^∞ {f(x)}² dx = π∫₀^∞ x²e^(-2x²) dx

置換と部分積分：

まず、I = ∫₀^∞ x²e^(-2x²) dx を計算します。

t = √2·x とおくと、x = t/√2、dx = dt/√2

I = ∫₀^∞ (t²/2)·e^(-t²)·(dt/√2)

= (1/(2√2)) ∫₀^∞ t²e^(-t²) dt

ここで、ガウス積分の公式を使います：

∫₀^∞ t²e^(-t²) dt = (√π)/4

【ガウス積分の導出】

∫₀^∞ e^(-t²) dt = (√π)/2 より、

部分積分で ∫₀^∞ t²e^(-t²) dt = [-t·e^(-t²)/2]₀^∞ + (1/2)∫₀^∞ e^(-t²) dt = 0 + (1/2)·(√π)/2 = (√π)/4

したがって：

I = (1/(2√2))·(√π/4) = √π/(8√2) = √(π/2)/8 = √(2π)/16

よって：

V = πI = π·√(2π)/16 = π√(2π)/16 = (π/16)√(2π)

答：V = π√(2π)/16

【(4)の解答】

L = lim(n→∞) Σₖ₌₁ⁿ f(k/√n)/√n を求めます。

区分求積法の認識：

この和を変形します。k/√n = t とおくと、1/√n は「幅」に相当します。

Σₖ₌₁ⁿ f(k/√n)/√n = Σₖ₌₁ⁿ f(k/√n)·(1/√n)

k = 1, 2, ..., n のとき、k/√n = 1/√n, 2/√n, ..., √n

区間の幅 Δ = 1/√n、区間は [0, √n] を n等分したもの（ただし左端0は含まない）

n → ∞ のとき、√n → ∞、Δ → 0 なので：

L = ∫₀^∞ f(x) dx = ∫₀^∞ xe^(-x²) dx

(2)より、この値は 1/2 です。

【厳密な議論】

変数変換 t = k/√n、dt に対応するのが 1/√n：

Σₖ₌₁ⁿ (k/√n)·e^(-(k/√n)²)·(1/√n)

これは区分求積法の形であり、n → ∞ で：

∫₀^∞ te^(-t²) dt = [-(1/2)e^(-t²)]₀^∞ = 1/2

答：L = 1/2

別解・発展

【ガンマ関数との関連】

ガンマ関数 Γ(s) = ∫₀^∞ t^(s-1)e^(-t) dt を用いると：

∫₀^∞ x²e^(-x²) dx は、u = x² と置換して Γ(3/2)/2 = (√π/2)/2 = √π/4 と表されます。

Γ(3/2) = (1/2)Γ(1/2) = (1/2)√π を使っています。

【発展：一般化】

∫₀^∞ x^n e^(-ax²) dx の形の積分は、物理学（統計力学、量子力学）でよく現れます。

一般に：

• nが奇数のとき：初等的に計算可能（置換積分）
• nが偶数のとき：ガンマ関数やガウス積分の微分で計算

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この年度の重要テーマと対策

2016年度に見られた重要テーマ

2016年度の奈良県立医科大学後期数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

1. 格子点・整数論的考察

第1問で出題された格子点の問題は、医学部入試では定番のテーマです。

対策ポイント：

• 格子点の数え上げの基本技術を身につける
• ピックの定理を理解しておく（直接使わなくても検算に有効）
• 最大公約数(gcd)と格子点の関係を理解する
• 線形代数的な視点（行列式と面積の関係）を持つ

2. 二項係数の性質と数列

第2問は、二項係数の恒等式とその応用を問う問題でした。

対策ポイント：

• パスカルの三角形の性質を完全に理解する
• 二項係数の様々な表現（階乗、漸化式、組み合わせ的解釈）に習熟する
• テレスコープ法（望遠鏡和）を使った計算技術を身につける
• 極限の計算では、主要項の抽出が重要

3. 複素数平面と図形

第3問は、複素数平面上の図形問題でした。

対策ポイント：

• 複素数の基本演算（共役、絶対値、偏角）を確実に
• 正多角形の頂点を複素数で表す方法
• 直線・円の複素数表示
• 図形的考察と代数的計算の使い分け

4. 微分積分の総合力

第4問は、微分積分の様々な技術を問う総合問題でした。

対策ポイント：

• 関数の解析（増減、極値、漸近挙動）を正確に
• 置換積分、部分積分の技術を磨く
• ガウス積分 ∫₀^∞ e^(-x²) dx = √π/2 を覚えておく
• 区分求積法と定積分の関係を理解する
• 広義積分の収束・発散の判定

奈良医大数学の特徴と傾向

奈良県立医科大学の数学には、以下のような特徴があります：

1. 計算量が多い：正確で速い計算力が必要
2. 論証力を重視：「証明せよ」という問題が多い
3. 誘導形式：小問の結果を次の問題で使う構成が多い
4. 数学Ⅲの比重が高い：微分積分、複素数平面からの出題が多い
5. 整数・離散的な問題：格子点、二項係数など

効果的な学習法

【段階的な学習プラン】

Step 1：基礎固め（高2〜高3前半）

• 教科書の例題・章末問題を完璧に
• 青チャートなどの網羅系参考書でパターンを習得
• 計算練習を毎日行い、速度と正確性を向上

Step 2：応用力養成（高3夏〜秋）

• 「1対1対応の演習」などで典型問題を深く理解
• 「新数学スタンダード演習」で実戦力を養う
• 複素数平面、微分積分の計算を重点的に

Step 3：過去問演習（高3秋〜直前期）

• 奈良医大の過去問を10年分以上
• 同レベルの医学部過去問（滋賀医大、和歌山県立医大など）
• 時間を計って本番形式で演習

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

以下に、2016年度の出題傾向に合わせた練習問題を用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

練習問題1：格子点（第1問関連）

解答・解説

解法：

領域 |x| + |y| ≤ n は、頂点が(n, 0)、(0, n)、(-n, 0)、(0, -n)の正方形（45°回転した形）です。

方法1：直接数え上げ

x = k（-n ≤ k ≤ n）を固定すると、yの範囲は：

|y| ≤ n - |k|

つまり -(n-|k|) ≤ y ≤ n-|k|

yの取りうる整数値の個数は 2(n-|k|) + 1 個

格子点の総数：

Σₖ₌₋ₙⁿ {2(n-|k|) + 1}

= Σₖ₌₋ₙⁿ (2n - 2|k| + 1)

|k|の対称性を使って：

= (2n+1) + 2·Σₖ₌₁ⁿ (2n - 2k + 1)

= (2n+1) + 2·Σₖ₌₁ⁿ (2(n-k) + 1)

= (2n+1) + 2·{2·(n-1)n/2 + n}

= (2n+1) + 2·{n(n-1) + n}

= (2n+1) + 2n²

= 2n² + 2n + 1

答：2n² + 2n + 1

【検証】n = 1 のとき、格子点は (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) の5個。

公式に代入：2·1² + 2·1 + 1 = 5 ✓

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練習問題2：二項係数（第2問関連）

解答・解説

解法1：微分を利用

二項定理より：(1+x)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ xᵏ

両辺をxで微分：

n(1+x)ⁿ⁻¹ = Σₖ₌₁ⁿ k·ₙCₖ xᵏ⁻¹

x = 1 を代入：

n·2ⁿ⁻¹ = Σₖ₌₁ⁿ k·ₙCₖ = Σₖ₌₀ⁿ k·ₙCₖ（k=0の項は0なので）

答：n·2ⁿ⁻¹

解法2：組み合わせ的解釈

n人からk人を選び、その中から1人の代表を選ぶ方法を2通りで数えます。

方法A：まずk人選び（ₙCₖ通り）、その中から代表を選ぶ（k通り）→ k·ₙCₖ

方法B：まず代表を選び（n通り）、残りn-1人から代表以外のk-1人を選ぶ（ₙ₋₁Cₖ₋₁通り）→ n·ₙ₋₁Cₖ₋₁

よって：k·ₙCₖ

よって：k·ₙCₖ = n·ₙ₋₁Cₖ₋₁

したがって：

Σₖ₌₀ⁿ k·ₙCₖ = Σₖ₌₁ⁿ n·ₙ₋₁Cₖ₋₁ = n·Σⱼ₌₀ⁿ⁻¹ ₙ₋₁Cⱼ = n·2ⁿ⁻¹

答：n·2ⁿ⁻¹

【検証】n = 3 のとき：

Σₖ₌₀³ k·₃Cₖ = 0·1 + 1·3 + 2·3 + 3·1 = 0 + 3 + 6 + 3 = 12

公式：3·2² = 12 ✓

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練習問題3：微分積分（第4問関連）

解答・解説

【(1)の解答】

解法：部分積分を2回行う

I = ∫₀^∞ e^(-x)·sin x dx とおきます。

1回目の部分積分：

∫ e^(-x)·sin x dx において、sin x を微分、e^(-x) を積分すると考えます。

I = [-e^(-x)·sin x]₀^∞ + ∫₀^∞ e^(-x)·cos x dx

= (0 - 0) + ∫₀^∞ e^(-x)·cos x dx

= ∫₀^∞ e^(-x)·cos x dx

2回目の部分積分：

J = ∫₀^∞ e^(-x)·cos x dx とおくと：

J = [-e^(-x)·cos x]₀^∞ - ∫₀^∞ e^(-x)·sin x dx

= (0 - (-1)) - I

= 1 - I

よって I = J = 1 - I

2I = 1

I = 1/2

答：∫₀^∞ e^(-x)·sin x dx = 1/2

【別解：複素数を利用】

∫₀^∞ e^(-x)·e^(ix) dx = ∫₀^∞ e^((-1+i)x) dx = [e^((-1+i)x)/(-1+i)]₀^∞

= 0 - 1/(-1+i) = 1/(1-i) = (1+i)/2

虚部を取ると：Im((1+i)/2) = 1/2

【(2)の解答】

解法：

f(x) = e^(-x)·sin x は、x = nπ（n = 0, 1, 2, ...）でゼロになります。

区間 [nπ, (n+1)π] で：

• nが偶数のとき：sin x ≥ 0 なので f(x) ≥ 0
• nが奇数のとき：sin x ≤ 0 なので f(x) ≤ 0

n番目の「波」の面積を Sₙ とすると：

Sₙ = |∫ₙπ^((n+1)π) e^(-x)·sin x dx|

Sₙの計算：

t = x - nπ と置換すると、x = t + nπ、dx = dt

x: nπ → (n+1)π のとき t: 0 → π

sin(t + nπ) = (-1)ⁿ·sin t

∫ₙπ^((n+1)π) e^(-x)·sin x dx = ∫₀^π e^(-(t+nπ))·(-1)ⁿ·sin t dt

= (-1)ⁿ·e^(-nπ) ∫₀^π e^(-t)·sin t dt

∫₀^π e^(-t)·sin t dt を計算します（(1)と同様の方法で）：

∫₀^π e^(-t)·sin t dt = [-e^(-t)·sin t]₀^π + ∫₀^π e^(-t)·cos t dt

= 0 + [-e^(-t)·cos t]₀^π - ∫₀^π e^(-t)·sin t dt

= (e^(-π) - (-1)) - ∫₀^π e^(-t)·sin t dt

= (e^(-π) + 1) - ∫₀^π e^(-t)·sin t dt

よって：2∫₀^π e^(-t)·sin t dt = e^(-π) + 1

∫₀^π e^(-t)·sin t dt = (1 + e^(-π))/2

したがって：

Sₙ = e^(-nπ)·(1 + e^(-π))/2

面積の総和：

S = Σₙ₌₀^∞ Sₙ = Σₙ₌₀^∞ e^(-nπ)·(1 + e^(-π))/2

= (1 + e^(-π))/2 · Σₙ₌₀^∞ (e^(-π))ⁿ

= (1 + e^(-π))/2 · 1/(1 - e^(-π))

= (1 + e^(-π))/(2(1 - e^(-π)))

分子分母に e^(π/2) を掛けて整理：

= (e^(π/2) + e^(-π/2))/(2(e^(π/2) - e^(-π/2)))

= cosh(π/2)/(2·sinh(π/2))

= (1/2)·coth(π/2)

または：

答：S = (1 + e^(-π))/(2(1 - e^(-π))) = (e^π + 1)/(2(e^π - 1))

【数値確認】

e^π ≈ 23.14 なので：

S ≈ 24.14/(2·22.14) ≈ 24.14/44.28 ≈ 0.545

これは(1)の答え 1/2 = 0.5 に近い値で、妥当です。（面積の総和は絶対値を取るので、(1)の広義積分より少し大きくなります）

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日本数学塾・数強塾で奈良県立医科大学合格を目指そう

ここまで、奈良県立医科大学2016年度の数学を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

奈良医大の数学は、高い計算力と論理的思考力の両方が求められる難関試験です。独学での対策も可能ですが、効率よく合格レベルに到達するには、プロの指導を受けることを強くお勧めします。

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最後に：藤原からのメッセージ

奈良県立医科大学の数学は確かに難しいですが、正しい方法で継続的に学習すれば、必ず合格レベルに到達できます。

私がいつも生徒に伝えているのは、「数学は才能ではなく、努力の科目だ」ということです。今回解説した問題も、一つ一つは教科書や標準的な問題集で学ぶ内容の組み合わせです。それらを深く理解し、様々な角度から使えるようになることが、入試突破の鍵です。

この記事が、皆さんの奈良医大合格への一助となれば幸いです。分からないことがあれば、ぜひ数強塾や日本数学塾にご相談ください。一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介

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まとめ：2016年度 奈良県立医科大学 数学のポイント

大問	テーマ	難易度	重要ポイント
第1問	格子点の個数	標準〜やや難	gcdと格子点の関係、ピックの定理
第2問	二項係数と数列	難	パスカルの恒等式、テレスコープ法
第3問	複素数平面	標準〜やや難	正多角形、垂直二等分線
第4問	微分積分	やや難	ガウス積分、区分求積法

【総評】

2016年度は、計算力と論理的思考力のバランスが取れた出題でした。第1問と第3問で確実に得点し、第2問・第4問で部分点を積み重ねる戦略が有効です。日頃から計算練習を怠らず、「なぜその解法を使うのか」を意識した学習を心がけましょう。

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