名古屋市立大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

座標平面上に2点 P(t², t)、Q((t-1)², t-1) がある。ただし、t は 0 ≤ t ≤ 1 を満たす実数とする。

(1) 実数 k に対して、直線 x = k と直線 PQ との交点を求めよ。

(2) 閉区間 [-1, 1] 内の定数 a に対し、直線 x = a と線分 PQ との交点の y 座標のとり得る範囲を a で表せ。

(3) t が 0 から 1 まで動くとき、線分 PQ が動く領域 S の面積を求めよ。

m = (y座標の差) / (x座標の差)

= {t - (t-1)} / {t² - (t-1)²}

= 1 / {t² - (t² - 2t + 1)}

= 1 / (2t - 1)

y - t = 1/(2t-1) × (x - t²)

y = 1/(2t-1) × (x - t²) + t

y = (x - t²)/(2t-1) + t

y = (k - t²)/(2t-1) + t

= (k - t² + t(2t-1))/(2t-1)

= (k - t² + 2t² - t)/(2t-1)

= (k + t² - t)/(2t-1)

【ポイント】この部分は計算がやや複雑になりますが、「逆像法」の考え方を使います。つまり、ある点 (a, y) が線分 PQ 上にあるような t が 0 ≤ t ≤ 1 に存在する条件を求めます。

放物線 x = y² と各端点での線分で囲まれる領域を考慮し、適切に積分を設定します。

対称性と、(2) で得られた境界関数を用いて：

S = ∫₀¹ (上側の境界 - 下側の境界) dx

F = 0 かつ ∂F/∂t = 0

関数 f(x) = e^x sin x について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の導関数 f'(x) を求めよ。

(2) 0 ≤ x ≤ 2π の範囲で f(x) の極値を求めよ。

(3) 曲線 y = f(x)（0 ≤ x ≤ π）と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

f'(x) = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'

= e^x sin x + e^x cos x

= e^x (sin x + cos x)

f'(x) = e^x (sin x + cos x) = 0

e^x > 0 なので、sin x + cos x = 0

tan x = -1

x = 3π/4, 7π/4（0 ≤ x ≤ 2π の範囲で）

f(3π/4) = e^(3π/4) sin(3π/4) = e^(3π/4) × (√2/2) = (√2/2)e^(3π/4)

f(7π/4) = e^(7π/4) sin(7π/4) = e^(7π/4) × (-√2/2) = -(√2/2)e^(7π/4)

【重要公式】部分積分を2回適用して元に戻る形の積分

I = ∫e^x sin x dx とおく

I = ∫e^x sin x dx

= e^x sin x - ∫e^x cos x dx

∫e^x cos x dx = e^x cos x - ∫e^x (-sin x) dx

= e^x cos x + ∫e^x sin x dx

= e^x cos x + I

I = e^x sin x - (e^x cos x + I)

I = e^x sin x - e^x cos x - I

2I = e^x (sin x - cos x)

I = (1/2)e^x (sin x - cos x) + C

面積 = ∫₀^π e^x sin x dx

= [(1/2)e^x (sin x - cos x)]₀^π

= (1/2)e^π (sin π - cos π) - (1/2)e^0 (sin 0 - cos 0)

= (1/2)e^π (0 - (-1)) - (1/2)(0 - 1)

= (1/2)e^π + 1/2

= (e^π + 1)/2

座標平面上で、原点に置かれた駒を以下のルールで移動させる。

・1回の操作で、サイコロを1個投げ、出た目が1, 2, 3のとき x 軸の正の方向に1だけ移動し、出た目が4, 5, 6のとき y 軸の正の方向に1だけ移動する。

この操作を n 回繰り返した後、駒が直線 y = x 上にある確率を p_n とする。

(1) p_2, p_4 を求めよ。

(2) p_n を n を用いて表せ。

(3) lim(n→∞) p_(2n) を求めよ。

【注意】直線 y = x 上にいるためには n が偶数である必要があります。n が奇数のとき p_n = 0 です。

p_2 = ₂C₁ × (1/2)¹ × (1/2)¹ = 2 × 1/4 = 1/2

p_4 = ₄C₂ × (1/2)² × (1/2)² = 6 × 1/16 = 6/16 = 3/8

p_(2m) = ₂ₘCₘ × (もちろんです！続きを書いていきます。

---

Step 2：n が奇数の場合

n が奇数のとき、x 方向の移動回数と y 方向の移動回数を等しくすることはできません（合計が奇数になるため）。

【答】

• n = 2m（偶数）のとき：p_n = ₂ₘCₘ / 4^m = (2m)! / (m!)² × (1/4)^m
• n が奇数のとき：p_n = 0

または、n を用いて表すと：

• n が偶数のとき：p_n = ₙC_(n/2) / 2^n
• n が奇数のとき：p_n = 0

【(3)の解説】極限 lim(n→∞) p_(2n) の計算

p_(2n) = ₂ₙCₙ / 4^n の n → ∞ での極限を求めます。

Step 1：スターリングの近似公式を利用

大きな n に対して、n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n（スターリングの公式）を使います。

Step 2：極限の計算

n → ∞ のとき：

【答】lim(n→∞) p_(2n) = 0

別解・発展

【別解：ウォリスの公式を用いた方法】

ウォリスの公式：

これを変形することで、₂ₙCₙ / 4^n ~ 1/√(πn) が導けます。

【発展：ランダムウォークの再帰性】

この問題は「2次元対称ランダムウォーク」の典型例です。興味深いことに：

• 1次元・2次元のランダムウォークでは、確率1で原点に戻る（再帰的）
• 3次元以上では、原点に戻らない確率が正（非再帰的）

これは「酔っぱらいは必ず家に帰れるが、酔っぱらった鳥は帰れない」という有名な比喩で知られています。

大問4：空間ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

空間ベクトルの基本問題です。直交座標系を設定すると計算が楽になります。

【(1)の解説】OM の表示

Step 1：座標系の設定

条件から、OA, OB, OC は互いに直交しています。これを利用して：

• OA = a（|a| = 1）
• OB = b（|b| = 1）
• OC = c（|c| = 1）
• a·b = b·c = c·a = 0

Step 2：M の位置ベクトル

B の位置ベクトル：b

C の位置ベクトル：c

M は BC の中点なので：

【答】OM = (1/2)(OB + OC) = (1/2)b + (1/2)c

※ OA, OB, OC で表すと：OM = (1/2)OB + (1/2)OC

【(2)の解説】PM の長さ

Step 1：P の位置ベクトル

P は OA を t : (1-t) に内分するので：

Step 2：PM の計算

Step 3：|PM|² の計算

a·b = b·c = c·a = 0、|a| = |b| = |c| = 1 より：

よって：

【答】PM = √(t² + 1/2)

【(3)の解説】最小値

|PM| = √(t² + 1/2) を最小にする t を求めます。

t² + 1/2 は t² の増加関数なので、t² が最小のとき |PM| も最小になります。

0 < t 0 の制約があります。

ただし、問題の意図として t の範囲内での最小を求める場合：

f(t) = t² + 1/2 は 0 < t < 1 で単調増加なので、

• t → 0+ のとき |PM| → √(1/2) = 1/√2 = √2/2
• t = 1 のとき |PM| = √(3/2) = √6/2

最小値は t が 0 に最も近いときに近づきますが、開区間なので厳密な最小値は存在しません。

問題の設定によっては、t = 0 を含める解釈で：

【答】t → 0 のとき最小値 √2/2 に近づく

または、閉区間 [0, 1] として解釈すれば：

【答】t = 0 のとき最小値 √2/2

別解・発展

【別解：座標を直接設定する方法】

O を原点とし、A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) と設定すると：

• P(t, 0, 0)
• M(0, 1/2, 1/2)
• PM = (-t, 1/2, 1/2)
• |PM| = √(t² + 1/4 + 1/4) = √(t² + 1/2)

同じ結果が得られます。

【発展】この四面体は「直角四面体」と呼ばれ、三平方の定理の空間版など、多くの美しい性質を持っています。

この年度の重要テーマと対策

2014年度に見られた重要テーマ

名古屋市立大学 数学攻略のための5つの鉄則

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2014年度の出題傾向を踏まえ、実力アップのための練習問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！

【練習問題1】通過領域（大問1関連）

【練習問題2】積分計算（大問2関連）

【練習問題3】確率と漸化式（大問3関連）

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ここまで名古屋市立大学 2014年度の数学を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

名市大の数学は、基礎力を土台とした応用力が問われます。決して難問奇問ではありませんが、計算量が多く、時間内に正確に解ききる力が必要です。

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まとめ

名古屋市立大学 2014年度の数学を振り返ると、以下のポイントが重要でした。

名古屋市立大学の数学は、正しい方法で対策すれば必ず得点源にできます。この記事が皆さんの学習の一助となれば幸いです。

分からないことがあれば、ぜひ数強塾・日本数学塾にご相談ください。一緒に名古屋市立大学合格を目指しましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※本記事は2014年度（平成26年度）名古屋市立大学前期日程の入試問題をもとに作成しています。問題の著作権は名古屋市立大学に帰属します。
※解答・解説は一例であり、他の解法も存在する場合があります。
※最新の入試情報は名古屋市立大学公式サイトでご確認ください。