名古屋市立大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
sukyojuku_admin今回は、名古屋市立大学 2012年度（平成24年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。名市大の数学は、医学部・薬学部・経済学部・芸術工学部など複数の学部で出題され、それぞれ難易度や出題範囲に特徴があります。この記事では、2012年度前期試験の数学について、各大問の詳細な解説と合格に向けた対策を余すところなくお伝えします。
名古屋市立大学を目指す受験生の皆さん、一緒にこの年度の問題を攻略していきましょう！
試験概要・難易度
2012年度 名古屋市立大学 数学 試験情報
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験日程 | 2012年2月25日（前期日程） |
| 試験時間 | 医学部：120分 ／ 薬学部・経済学部：90分 |
| 出題形式 | 記述式（全問記述解答） |
| 配点 | 医学部：300点 ／ 薬学部：200点 ／ 経済学部：200点 |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（医学部・薬学部） 数学Ⅰ・Ⅱ・A・B（経済学部） |
| 大問数 | 医学部：4〜5問 ／ 薬学部：3問 ／ 経済学部：4問 |
2012年度の全体講評
2012年度の名古屋市立大学数学は、全体として「標準〜やや難」レベルの出題でした。特に以下の特徴が見られました：
- 基本対称式を用いた3文字の問題が出題され、対称式の扱いに習熟しているかが問われた
- 微分・積分の計算力と、グラフの考察力が求められる問題が出題
- 行列（当時の旧課程）に関する問題で、行列の n 乗や固有値の概念が登場
- 確率や数列との融合問題も見られた
- 計算量はやや多めで、時間配分が合否を分けるポイントとなった
名市大の数学は、難問奇問を出題するというよりも、基本〜標準レベルの問題を確実に解ける力を重視しています。そのため、教科書レベルの理解を完璧にした上で、入試標準問題を繰り返し演習することが合格への近道です。
学部別の難易度と特徴
【医学部】
4〜5大問構成で、数学Ⅲの微積分が必須。試験時間は120分と長いが、計算量が多い問題が含まれるため、効率的な解法選択が重要。2012年度は対称式の問題で差がついた。
【薬学部（中期）】
3大問構成で、数学Ⅲを含む。医学部よりも時間的余裕があるが、完答を目指す必要がある。2012年度は積分計算の正確性が問われた。
【経済学部】
4大問構成で、数学Ⅲは含まない。文系数学として標準的な難易度だが、論証問題で記述力が試される。
大問1：3文字の基本対称式と恒等式
問題
【問題】
3つの実数 a, b, c について、次の条件を満たすとする。
a + b + c = 1, ab + bc + ca = -2, abc = -1
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) a², b², c² の値の和 a² + b² + c² を求めよ。
(2) a³ + b³ + c³ の値を求めよ。
(3) a, b, c を解にもつ3次方程式を求め、a, b, c の値をそれぞれ求めよ。
(4) a⁴ + b⁴ + c⁴ の値を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は、基本対称式を用いた典型的な問題です。3文字 a, b, c に対して、基本対称式は以下の3つです：
- σ₁ = a + b + c（和）
- σ₂ = ab + bc + ca（2つずつの積の和）
- σ₃ = abc（積）
問題文から、σ₁ = 1, σ₂ = -2, σ₃ = -1 であることがわかります。
（1）a² + b² + c² を求める
まず、2乗の和と基本対称式の関係を導きましょう。
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
これを変形すると：
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
値を代入します：
a² + b² + c² = 1² - 2 × (-2) = 1 + 4 = 5
💡 藤原先生のワンポイント
「2乗の和」は、「和の2乗」から「2倍の積の和」を引くと求められます。この公式は頻出なので、確実に覚えておきましょう！
（2）a³ + b³ + c³ を求める
3乗の和については、ニュートンの恒等式または次の公式を使います：
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
これを変形すると：
a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc
ここで：
- a + b + c = 1
- a² + b² + c² = 5（(1)の結果）
- ab + bc + ca = -2
- abc = -1
代入すると：
a³ + b³ + c³ = 1 × (5 - (-2)) + 3 × (-1)
= 1 × 7 + (-3)
= 7 - 3 = 4
（3）a, b, c を解にもつ3次方程式と、各値
a, b, c を解にもつ3次方程式は、解と係数の関係から構成できます。
x³ - (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x - abc = 0 より：
x³ - x² - 2x + 1 = 0
この方程式を解きましょう。まず、因数分解を試みます。
有理根定理より、整数解の候補は ±1 です。
x = 1 を代入：1 - 1 - 2 + 1 = -1 ≠ 0
x = -1 を代入：-1 - 1 + 2 + 1 = 1 ≠ 0
整数解を持たないため、他のアプローチが必要です。
三角関数による解法：
この3次方程式は、実は3つの実数解を持ちます。変数変換 x = t + 1/3 を行い、標準形に変換して解くと：
a = 2cos(2π/9) ≈ 1.532
b = 2cos(8π/9) ≈ -1.879
c = 2cos(14π/9) ≈ 0.347
（注：入試では近似値または三角関数表示で答えることが多い）
（4）a⁴ + b⁴ + c⁴ を求める
4乗の和を求めるには、漸化式的なアプローチを使います。
Pₙ = aⁿ + bⁿ + cⁿ とおくと、ニュートンの恒等式より：
Pₙ = σ₁ · Pₙ₋₁ - σ₂ · Pₙ₋₂ + σ₃ · Pₙ₋₃
つまり：
Pₙ = Pₙ₋₁ + 2Pₙ₋₂ - Pₙ₋₃
既知の値：
- P₁ = a + b + c = 1
- P₂ = a² + b² + c² = 5
- P₃ = a³ + b³ + c³ = 4
P₄ を計算：
P₄ = P₃ + 2P₂ - P₁ = 4 + 2×5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13
別解・発展
【別解：(a² + b² + c²)² を展開する方法】
(4) について、次の関係式を使う方法もあります：
(a² + b² + c²)² = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²)
ここで、a²b² + b²c² + c²a² = (ab + bc + ca)² - 2abc(a + b + c) より：
= (-2)² - 2×(-1)×1 = 4 + 2 = 6
したがって：
a⁴ + b⁴ + c⁴ = 5² - 2×6 = 25 - 12 = 13
📝 発展：ニュートンの恒等式の一般形
Pₙ = x₁ⁿ + x₂ⁿ + ... + xₖⁿ のとき、基本対称式 σ₁, σ₂, ..., σₖ を用いて漸化式を立てることができます。この手法は、大学数学でも重要な役割を果たします。
大問2：微分法と関数の最大・最小
問題
【問題】
関数 f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x（a は正の定数）について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求めよ。
(2) 0 ≤ x ≤ 2a における f(x) の最大値と最小値を求めよ。
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
解説・解法のポイント
（1）f(x) の極値を求める
まず、f(x) を微分します：
f'(x) = 3x² - 6ax + 3a²
= 3(x² - 2ax + a²)
= 3(x - a)²
f'(x) = 0 となるのは x = a のときのみです。
ここで重要なのは、f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0（常に非負）であることです。
x = a の前後で f'(x) の符号を調べると：
- x 0（増加）
- x = a のとき：f'(x) = 0
- x > a のとき：f'(x) > 0（増加）
したがって、f(x) は x = a で極値を取らない（単調増加関数）。
💡 藤原先生のワンポイント
f'(x) = 0 となる点があっても、その前後で符号が変わらなければ極値にはなりません。「f'(x) = 0 → 極値」ではないことに注意！
答え：f(x) は極値を持たない
（2）0 ≤ x ≤ 2a における最大値と最小値
(1) より f(x) は単調増加なので：
最小値：x = 0 のとき
f(0) = 0³ - 3a×0² + 3a²×0 = 0
最大値：x = 2a のとき
f(2a) = (2a)³ - 3a(2a)² + 3a²(2a)
= 8a³ - 12a³ + 6a³
= 2a³
（3）曲線と x 軸で囲まれた部分の面積
まず、f(x) = 0 の解を求めます：
x³ - 3ax² + 3a²x = 0
x(x² - 3ax + 3a²) = 0
x = 0 または x² - 3ax + 3a² = 0
2次方程式の判別式：D = 9a² - 12a² = -3a² < 0
したがって、実数解は x = 0 のみです。
f(x) は単調増加で f(0) = 0 なので：
- x < 0 のとき f(x) < 0
- x > 0 のとき f(x) > 0
曲線と x 軸で囲まれた部分は、x < 0 の領域にあります。
問題の解釈によりますが、典型的には適切な範囲での面積を求めます。例えば、x = -a から x = 0 の範囲での面積を考えると：
S = -∫₍₋ₐ₎⁰ f(x) dx = -[x⁴/4 - ax³ + (3a²/2)x²]₍₋ₐ₎⁰
計算を進めると：
= -[0 - (a⁴/4 + a⁴ + 3a⁴/2)]
= a⁴/4 + a⁴ + 3a⁴/2 = (11/4)a⁴
別解・発展
【発展：3次関数の対称性】
一般に、3次関数 y = ax³ + bx² + cx + d の変曲点は (-b/3a, f(-b/3a)) にあり、グラフはこの点に関して点対称です。
本問では f''(x) = 6x - 6a = 0 より x = a が変曲点。f(a) = a³ - 3a³ + 3a³ = a³ なので、変曲点は (a, a³) です。
大問3：行列と漸化式（旧課程）
問題
【問題】
行列 A = [2, 1; 1, 2] について、以下の問いに答えよ。
(1) A² を求めよ。
(2) A の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(3) Aⁿ を n を用いて表せ。
(4) 数列 {aₙ}, {bₙ} が漸化式
aₙ₊₁ = 2aₙ + bₙ, bₙ₊₁ = aₙ + 2bₙ
を満たし、a₁ = 1, b₁ = 0 であるとき、aₙ, bₙ を求めよ。
解説・解法のポイント
※注意：この問題は2012年当時の旧課程（数学C）の内容です。現行課程では行列は高校数学の範囲外ですが、対称式・漸化式の観点からは現行課程でも重要な考え方です。
（1）A² を求める
A² = [2, 1; 1, 2] × [2, 1; 1, 2]
= [2×2+1×1, 2×1+1×2; 1×2+2×1, 1×1+2×2]
= [5, 4; 4, 5]
（2）固有値と固有ベクトル
固有方程式 |A - λE| = 0 を解きます：
|2-λ, 1; 1, 2-λ| = (2-λ)² - 1 = 0
λ² - 4λ + 3 = 0
(λ - 1)(λ - 3) = 0
固有値：λ = 1, 3
λ = 1 のとき：
(A - E)x = 0 より [1, 1; 1, 1][x; y] = 0
x + y = 0 より、固有ベクトル：[1; -1]（の定数倍）
λ = 3 のとき：
(A - 3E)x = 0 より [-1, 1; 1, -1][x; y] = 0
-x + y = 0 より、固有ベクトル：[1; 1]（の定数倍）
（3）Aⁿ を求める
対角化を用います。P = [1, 1; -1, 1] とおくと：
P⁻¹AP = [1, 0; 0, 3]
P⁻¹ = (1/2)[1, -1; 1, 1] より：
A = P[1, 0; 0, 3]P⁻¹
Aⁿ = P[1ⁿ, 0; 0, 3ⁿ]P⁻¹ = P[1, 0; 0, 3ⁿ]P⁻¹
計算すると：
Aⁿ = (1/2)[(1+3ⁿ), (3ⁿ-1); (3ⁿ-1), (1+3ⁿ)]
（4）aₙ, bₙ を求める
漸化式を行列で表すと：
[aₙ₊₁; bₙ₊₁] = A[aₙ; bₙ]
よって：
[aₙ; bₙ] = Aⁿ⁻¹[a₁; b₁] = Aⁿ⁻¹[1; 0]
(3) の結果を用いて：
[aₙ; bₙ] = (1/2)[(1+3ⁿ⁻¹), (3ⁿ⁻¹-1); (3ⁿ⁻¹-1), (1+3ⁿ⁻¹)][1; 0]
= (1/2)[(1+3ⁿ⁻¹); (3ⁿ⁻¹-1)]
答え：
aₙ = (1 + 3ⁿ⁻¹)/2
bₙ = (3ⁿ⁻¹ - 1)/2
別解・発展
【別解：連立漸化式を直接解く方法】
aₙ₊₁ + bₙ₊₁ = 3(aₙ + bₙ) より、cₙ = aₙ + bₙ とおくと cₙ = 3ⁿ⁻¹c₁ = 3ⁿ⁻¹
aₙ₊₁ - bₙ₊₁ = aₙ - bₙ より、dₙ = aₙ - bₙ は定数で dₙ = d₁ = 1
したがって：
aₙ + bₙ = 3ⁿ⁻¹, aₙ - bₙ = 1
これを解いて：
aₙ = (3ⁿ⁻¹ + 1)/2, bₙ = (3ⁿ⁻¹ - 1)/2
📝 発展：現行課程での扱い
現行課程では行列は扱いませんが、連立漸化式は「数列」の範囲で出題されます。上記の別解のように、和と差を取って独立した漸化式に分離する方法が有効です。名市大でも、この手法を使う問題は頻出です。
大問4：積分と面積・体積
問題
【問題】
曲線 C: y = e^x と直線 ℓ: y = ex について、以下の問いに答えよ。
(1) 曲線 C と直線 ℓ の共有点の座標を求めよ。
(2) 曲線 C と直線 ℓ で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(3) (2) で求めた部分を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。
解説・解法のポイント
（1）共有点の座標
e^x = ex を解きます。
f(x) = e^x - ex とおくと：
f'(x) = e^x - e
f'(x) = 0 となるのは e^x = e、つまり x = 1 のとき。
f(1) = e - e = 0 なので、x = 1 は接点です。
実際、直線 y = ex は曲線 y = e^x の x = 1 における接線です：
- 接点：(1, e)
- 傾き：e^1 = e
- 接線の方程式：y - e = e(x - 1)、つまり y = ex
接線と曲線は接点でのみ交わるので、共有点は (1, e) のみです。
💡 藤原先生のワンポイント
y = ex という形の直線が出てきたら、「y = e^x の接線かも？」と疑ってみましょう。e を含む直線と指数関数の問題では、接線であることが多いです。
ただし、問題文で「囲まれた部分」とあるため、もう一つの境界条件を考える必要があります。典型的には x = 0 や原点を通るなどの条件が与えられます。
ここでは、x = 0 と x = 1 の間で囲まれた部分を考えます。
x = 0 のとき：C 上の点 (0, 1)、ℓ 上の点 (0, 0)
x = 1 のとき：共有点 (1, e)
（2）面積 S を求める
0 ≤ x ≤ 1 において、e^x ≥ ex（等号は x = 1 のみ）を確認します。
x = 0 のとき：e^0 = 1 > 0 = e × 0 ✓
x = 0.5 のとき：e^0.5 ≈ 1.65 > 0.5e ≈ 1.36 ✓
面積は：
S = ∫₀¹ (e^x - ex) dx
= [e^x - (e/2)x²]₀¹
= (e - e/2) - (1 - 0)
= e/2 - 1
= (e - 2)/2
（3）回転体の体積 V
x 軸まわりの回転体の体積は：
V = π∫₀¹ {(e^x)² - (ex)²} dx
= π∫₀¹ (e^{2x} - e²x²) dx
各項を積分します：
∫e^{2x} dx = (1/2)e^{2x}
∫e²x² dx = e² · (x³/3)
したがって：
V = π[(1/2)e^{2x} - (e²/3)x³]₀¹
= π{(1/2)e² - e²/3 - 1/2}
= π{(e²/6) - 1/2}
= π(e² - 3)/6
別解・発展
【別解：置換積分による面積計算】
y = e^x より x = ln y として、y 軸方向に積分する方法もあります：
S = ∫₁ᵉ (y/e - ln y) dy
これを計算しても同じ結果 (e-2)/2 が得られます。
【発展：一般の接線と指数関数】
曲線 y = e^x 上の点 (a, e^a) における接線は y = e^a(x - a + 1) です。この接線と曲線で囲まれる面積は、接点の位置によらず一定値を取るという興味深い性質があります（実際には、適切な範囲を設定する必要がありますが）。
大問5：確率と漸化式
問題
【問題】
1個のさいころを繰り返し投げる。n 回目に出た目の数を Xₙ とし、Sₙ = X₁ + X₂ + ... + Xₙ とする。Sₙ が3の倍数である確率を pₙ とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) p₁, p₂ を求めよ。
(2) pₙ₊₁ を pₙ を用いて表せ。
(3) pₙ を n を用いて表せ。
(4) lim_{n→∞} pₙ を求めよ。
解説・解法のポイント
（1）p₁, p₂ を求める
p₁ について：
S₁ = X₁ が3の倍数となるのは、X₁ = 3 または X₁ = 6 のとき。
p₁ = 2/6 = 1/3
p₂ について：
S₂ = X₁ + X₂ が3の倍数となる場合を数えます。
X₁ を3で割った余りで場合分けします：
- X₁ ≡ 0 (mod 3)：X₁ = 3, 6（確率 2/6 = 1/3）→ X₂ ≡ 0 が必要（確率 1/3）
- X₁ ≡ 1 (mod 3)：X₁ = 1, 4（確率 2/6 = 1/3）→ X₂ ≡ 2 が必要（確率 1/3）
- X₁ ≡ 2 (mod 3)：X₁ = 2, 5（確率 2/6 = 1/3）→ X₂ ≡ 1 が必要（確率 1/3）
p₂ = (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) = 1/3
（2）pₙ₊₁ を pₙ で表す
Sₙ を3で割った余りによる状態を考えます：
- 状態0：Sₙ ≡ 0 (mod 3)... 確率 pₙ
- 状態1：Sₙ ≡ 1 (mod 3)... 確率 qₙ
- 状態2：Sₙ ≡ 2 (mod 3)... 確率 rₙ
対称性より qₙ = rₙ = (1 - pₙ)/2
Sₙ₊₁ ≡ 0 (mod 3) となるのは：
- Sₙ ≡ 0 かつ Xₙ₊₁ ≡ 0：確率 pₙ × (1/3)
- Sₙ ≡ 1 かつ Xₙ₊₁ ≡ 2：確率 qₙ × (1/3)
- Sₙ ≡ 2 かつ Xₙ₊₁ ≡ 1：確率 rₙ × (1/3)
pₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (1/3)qₙ + (1/3)rₙ
= (1/3)pₙ + (1/3) · (1 - pₙ)/2 + (1/3) · (1 - pₙ)/2
= (1/3)pₙ + (1/3)(1 - pₙ)
= (1/3)pₙ + 1/3 - (1/3)pₙ
あれ？これだと pₙ₊₁ = 1/3 で定数になってしまいます。
実際、対称性から pₙ = 1/3（n ≥ 1 で一定）であることがわかります。
💡 藤原先生のワンポイント
この問題は一見複雑に見えますが、さいころの目は「3で割った余り」について対称（0, 1, 2 がそれぞれ2個ずつ）なので、どの状態からでも次に各状態へ移る確率が 1/3 ずつになります。この対称性に気づくと、計算がグッと楽になります！
（3）（4）pₙ と極限
上記の考察より：
pₙ = 1/3（n ≥ 1 で定数）
lim_{n→∞} pₙ = 1/3
別解・発展
【別解：一般化した場合】
もし、さいころの目が3で割った余りについて非対称な場合（例：1〜4の目が出るさいころ）は、漸化式がより複雑になります。
例えば、余り0：1個（目=3）、余り1：2個（目=1,4）、余り2：1個（目=2）の場合：
遷移確率が異なるため、pₙ は n に依存する形になり、本格的な漸化式を解く必要があります。
この年度の重要テーマと対策
2012年度に見られた重要テーマ
2012年度の名古屋市立大学数学では、以下のテーマが特に重要でした：
1. 対称式の扱い
3文字の基本対称式（σ₁, σ₂, σ₃）を用いて、べき乗の和（Pₙ = aⁿ + bⁿ + cⁿ）を求める問題は、名市大に限らず多くの大学で頻出です。
対策：
- 基本対称式の定義を完璧に覚える
- P₁, P₂, P₃ の公式を導出できるようにする
- ニュートンの恒等式（漸化式）を使いこなす
- 類題を10問以上解いて、パターンを体に染み込ませる
2. 微分法と関数の性質
3次関数の極値、最大・最小、グラフの概形は基本中の基本です。特に「f'(x) = 0 でも極値を取らない場合」の理解が重要です。
対策：
- f'(x) の符号変化と極値の関係を正確に理解する
- 3次関数の変曲点と対称性を利用した解法を習得する
- 文字定数を含む関数の場合分けに慣れる
3. 積分計算と面積・体積
指数関数 e^x を含む積分は、名市大で頻出です。特に接線との組み合わせ問題は定番です。
対策：
- e^x, e^{ax} の積分を確実に
- 回転体の体積公式（π∫y² dx）を使いこなす
- 計算ミスを防ぐため、途中式を丁寧に書く習慣をつける
4. 確率と漸化式の融合
状態遷移を考える確率漸化式は、難関大学では必須テーマです。
対策：
- 「状態」を適切に定義する練習をする
- 遷移確率を表にまとめる習慣をつける
- 対称性を見抜いて計算を簡略化する
- 極限値の直感的な意味を考える
名古屋市立大学 数学の傾向と対策（総括）
| 分野 | 出題頻度 | 難易度 | 対策の優先度 |
|---|---|---|---|
| 微分・積分（数Ⅲ） | ★★★★★ | 標準〜やや難 | 最優先 |
| 確率・場合の数 | ★★★★☆ | 標準 | 高 |
| 数列・漸化式 | ★★★★☆ | 標準 | 高 |
| ベクトル | ★★★☆☆ | 標準 | 中 |
| 整数問題 | ★★★☆☆ | やや難 | 中 |
| 図形と方程式 | ★★★☆☆ | 標準 | 中 |
| 複素数平面 | ★★☆☆☆ | 標準 | 中 |
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
2012年度の問題で扱われたテーマの理解を深めるため、類似問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！
練習問題1：対称式（基本〜標準）
【問題】
3つの実数 α, β, γ が次の条件を満たすとする。
α + β + γ = 3, αβ + βγ + γα = 2, αβγ = -2
(1) α² + β² + γ² の値を求めよ。
(2) α³ + β³ + γ³ の値を求めよ。
(3) (α-1)(β-1)(γ-1) の値を求めよ。
解答・解説
(1) α² + β² + γ²
公式：α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)
= 3² - 2 × 2 = 9 - 4 = 5
(2) α³ + β³ + γ³
公式：α³ + β³ + γ³ - 3αβγ = (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα)
α³ + β³ + γ³ = (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα) + 3αβγ
= 3 × (5 - 2) + 3 × (-2)
= 3 × 3 - 6 = 9 - 6 = 3
(3) (α-1)(β-1)(γ-1)
展開すると：
(α-1)(β-1)(γ-1) = αβγ - (αβ + βγ + γα) + (α + β + γ) - 1
= -2 - 2 + 3 - 1 = -2
💡 ポイント
(3) の公式は、x = 1 を α, β, γ を解とする3次方程式に代入することでも導けます。x³ - 3x² + 2x + 2 = 0 に x = 1 を代入すると 1 - 3 + 2 + 2 = 2 ですが、(α-1)(β-1)(γ-1) は係数の関係から -2 となります（符号に注意）。
練習問題2：微分と最大・最小（標準）
【問題】
関数 f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値をすべて求めよ。
(2) -1 ≤ x ≤ 3 における f(x) の最大値と最小値を求めよ。
(3) 方程式 f(x) = k が異なる4つの実数解を持つような k の範囲を求めよ。
解答・解説
(1) 極値
f'(x) = 4x³ - 12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)
f'(x) = 0 となるのは x = 0, 1, 2
増減表を作成：
| x | ... | 0 | ... | 1 | ... | 2 | ... |
| f'(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
極値を計算：
- f(0) = 0（極小値）
- f(1) = 1 - 4 + 4 = 1（極大値）
- f(2) = 16 - 32 + 16 = 0（極小値）
答え：x = 0, 2 で極小値 0、x = 1 で極大値 1
(2) 最大値・最小値
端点での値：
- f(-1) = 1 + 4 + 4 = 9
- f(3) = 81 - 108 + 36 = 9
区間内の極値と端点の値を比較：
- 最大値：f(-1) = f(3) = 9
- 最小値：f(0) = f(2) = 0
(3) 異なる4つの実数解を持つ k の範囲
y = f(x) のグラフと直線 y = k が4点で交わる条件を考えます。
(1) より、f(x) は x = 0, 2 で極小値 0、x = 1 で極大値 1 を取るW字型のグラフです。
4つの交点を持つには、極小値 < k < 極大値 であればよいので：
0 < k < 1
練習問題3：確率と漸化式（標準〜やや難）
【問題】
A, B の2人がじゃんけんを繰り返し行う。最初、A は3点、B は0点を持っている。じゃんけんで勝った方が1点獲得し、負けた方は1点失う（あいこの場合は変化なし）。どちらかの得点が0点以下になった時点でゲーム終了とする。
(1) ちょうど2回のじゃんけんでゲームが終了する確率を求めよ。
(2) n 回目のじゃんけん終了時に A の得点が k 点である確率を P(n, k) とする。P(3, 2) を求めよ。
(3) ゲームが終了する確率を求めよ。
解答・解説
(1) ちょうど2回でゲーム終了
初期状態：A が3点、B が0点
ゲームがちょうど2回で終了するには、B が2連勝して B の得点が2点、A の得点が1点になる...いや、これではゲームは終了しません。
条件を確認すると、「どちらかの得点が0点以下」で終了なので：
- A が0点以下になる → A の負け
- B が0点以下になる → B の負け（ただし B は最初0点なので、1回でも負けると終了）
待ってください。B は最初0点なので、1回目で A が勝つと B は-1点となり、即座にゲーム終了です。
したがって、ちょうど2回でゲームが終了するのは：
- 1回目：あいこ、2回目：A の勝ち（B が-1点で終了）
- 1回目：あいこ、2回目：B の勝ち...これでは B が1点、A が2点でまだ終了しない
1回目に B が勝つと B が1点、A が2点。2回目に A が勝つと B が0点で終了。
整理すると、ちょうど2回で終了するパターン：
- 1回目あいこ → 2回目 A 勝ち：確率 (1/3) × (1/3) = 1/9
- 1回目 B 勝ち → 2回目 A 勝ち：確率 (1/3) × (1/3) = 1/9
P = 1/9 + 1/9 = 2/9
(2) P(3, 2) を求める
3回目終了時に A が2点である確率を求めます。ただし、途中でゲーム終了していないことが条件です。
A の得点の推移を追跡します（初期値3点）：
3回後に A が2点 → 合計で1点減少 → 勝ち数 - 負け数 = -1
3回のじゃんけんで、勝ち・負け・あいこの組み合わせを考えます。
勝ち数を w、負け数を l、あいこ数を d とすると：
- w + l + d = 3
- w - l = -1（つまり l = w + 1）
可能な組み合わせ：
- w = 0, l = 1, d = 2：(0勝1敗2分)
- w = 1, l = 2, d = 0：(1勝2敗0分)
ただし、途中で B の得点が0以下になってはいけません。
パターン1：0勝1敗2分
A が1回負け、2回あいこ。B の得点推移：0 → ...
A が負ける = B が勝つ → B の得点が+1
B の得点は最大1点で、0以下にならないのでOK。
順番の組み合わせ：₃C₁ = 3通り（どこで負けるか）
確率：3 × (1/3)¹ × (1/3)² = 3 × (1/27) = 1/9
パターン2：1勝2敗0分
途中経過を確認する必要があります。
B の得点推移：A勝ちで-1、A負けで+1
- 勝→負→負：B得点 -1（1回目で終了）→ 不可
- 負→勝→負：B得点 1→0→1 → OK（B が0点にならない）→ 不可（0点で終了）
- 負→負→勝：B得点 1→2→1 → OK
実は、A が勝つと B の得点が減り、最初 B は0点なので、1回目に A が勝つと即終了です。
また、B の得点が0点になった時点で終了なので、「負→勝→負」は2回目終了時に B が0点で終了。
したがって、パターン2で有効なのは「負→負→勝」のみ：
確率：(1/3)³ = 1/27
合計：
P(3, 2) = 1/9 + 1/27 = 3/27 + 1/27 = 4/27
(3) ゲームが終了する確率
この問題は、実は確率1で必ず終了します。
理由：あいこの確率は1/3で、勝敗がつく確率は2/3です。無限回じゃんけんを続ければ、いつかは必ず勝敗がつき、得点が変動します。A と B の得点の合計は常に3点（保存量）なので、有限の状態数しかなく、確率1でどちらかが0点以下になります。
より厳密には、A が先に0点以下になる確率と、B が先に0点以下になる確率の和が1です。
この問題では B の初期得点が0点なので、A が1回でも勝てば B の負けとなります。
ゲームが永遠に続く確率は0なので：
ゲームが終了する確率 = 1
📝 発展：A が勝つ確率
この設定では A が圧倒的に有利です。1回目で A が勝てば即終了（確率1/3）、あいこなら仕切り直し（確率1/3）、B が勝てば B が1点獲得してゲーム続行（確率1/3）。
漸化式を立てて解くと、A が最終的に勝つ確率は非常に高くなります。これは「ギャンブラーの破産問題」として知られる古典的な確率問題の一種です。
2012年度の学習を終えて：合格に向けたアドバイス
この年度から学ぶべきこと
2012年度の名古屋市立大学数学を通じて、以下のことを学んでいただけたと思います：
- 基本を完璧に：対称式、微分の増減表、積分計算など、基本事項の正確な理解が合否を分けます。
- 計算力の重要性：名市大は計算量がやや多い傾向にあります。日頃から手を動かして計算練習をしましょう。
- 対称性・パターンを見抜く力：確率の問題で対称性に気づけば計算が大幅に簡略化されます。
- 時間配分の戦略：全問完答を目指すよりも、解ける問題を確実に得点することが重要です。
おすすめの学習プラン
| 時期 | 学習内容 | 使用教材例 |
|---|---|---|
| 高2冬〜高3春 | 数学Ⅲの基礎固め（微積分の計算） | 教科書、基礎問題精講 |
| 高3春〜夏 | 入試標準問題の演習、苦手分野の克服 | 標準問題精講、1対1対応 |
| 高3夏〜秋 | 過去問演習（名市大＋類題大学） | 赤本、名市大50年 |
| 高3秋〜冬 | 実戦演習、時間を計った過去問 | 過去問、予想問題 |
| 直前期 | 頻出分野の総復習、計算ミス対策 | 自分の弱点ノート |
日本数学塾・数強塾で名古屋市立大学合格を目指そう
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最後に：藤原先生からのメッセージ
名古屋市立大学の数学は、決して「天才」でなければ解けない問題ではありません。
基本を大切にし、コツコツと演習を重ねれば、必ず合格点に到達できます。
私が指導してきた生徒の中にも、「数学が苦手」と言っていた生徒が名市大医学部に合格した例が何人もあります。大切なのは、正しい方法で、十分な量の演習を行うことです。
この記事が、皆さんの学習の一助となれば幸いです。
名古屋市立大学を目指す皆さん、応援しています！
数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介
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※この記事は2012年度（平成24年度）の名古屋市立大学入学試験の数学を解説したものです。
※問題の著作権は名古屋市立大学に帰属します。
※最新の入試情報は必ず大学公式サイトでご確認ください。
