名古屋市立大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、名古屋市立大学 2009年度 数学（前期日程）の過去問を徹底解説していきます。名古屋市立大学（通称：名市大）は、医学部・薬学部・経済学部・芸術工学部など多彩な学部を持つ公立大学で、特に医学部・薬学部は全国から受験生が集まる人気校です。

2009年度の数学は、標準的な問題を確実に解く力と計算を最後まで正確にやり切る力が問われる良問揃いでした。この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、別解・発展的な考え方、そして類似問題による演習まで、合格に必要なすべてをお伝えします。

それでは、一緒に名古屋市立大学の数学を攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2009年度 名古屋市立大学 数学試験の基本情報

項目	内容
試験時間	120分
大問数	4題
解答形式	全問記述式
配点	医学部：200点、薬学部：200点、経済学部：200点
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（当時の課程）

2009年度の全体講評

2009年度の名古屋市立大学数学は、全体的にやや易化した年度と言えます。奇をてらった問題は少なく、教科書や標準的な問題集で十分に対策可能な内容でした。しかし、だからこそ「取れる問題を確実に取る」ことが合否を分ける重要なポイントとなりました。

【難易度評価】

• 大問1：★★☆☆☆（基本〜標準）
• 大問2：★★★☆☆（標準）
• 大問3：★★★☆☆（標準）
• 大問4：★★★★☆（標準〜やや難）

目標得点としては、医学部志望者は160点以上（80%以上）、薬学部志望者は140点以上（70%以上）、経済学部志望者は120点以上（60%以上）を目指したいところです。

出題分野の傾向

2009年度は以下の分野から出題されました：

• 大問1：二次関数・二次方程式（基本的な計算と場合分け）
• 大問2：確率・漸化式（確率の基本と漸化式への帰着）
• 大問3：微分・積分（関数の増減と面積計算）
• 大問4：空間ベクトル（空間図形への応用）

これらは名古屋市立大学の頻出分野であり、どの年度でも重点的に対策すべき分野です。

大問1：二次関数と二次方程式の解の配置

問題

解説・解法のポイント

この問題は「二次方程式の解の配置問題」の典型的なパターンです。二次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係を考えることで、条件を導出します。

【基本的な考え方】

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ とおき、$y = f(x)$ のグラフを考えます。

■ (1) の解答

方程式①が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ です。

判別式を計算すると：

$D/4 = a^2 - (a + 2) = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$

$D > 0$ より $(a-2)(a+1) > 0$

これを解くと：

$a 2$

■ (2) の解答

2つの解がともに正となる条件は、以下の3つをすべて満たすことです：

1. 判別式 $D geq 0$（実数解をもつ）
2. 軸 $x = a > 0$（軸が正の位置）
3. $f(0) > 0$（$y$ 切片が正）

条件①：$(a-2)(a+1) geq 0$ より $a leq -1$ または $a geq 2$

条件②：軸は $x = a$ なので、$a > 0$

条件③：$f(0) = a + 2 > 0$ より $a > -2$

①②③の共通部分を求めると：

$a geq 2$

■ (3) の解答

2つの解が $-1 < x < 3$ の範囲にある条件は、以下の4つをすべて満たすことです：

1. 判別式 $D geq 0$
2. $-1 < $ 軸 $< 3$、すなわち $-1 < a < 3$
3. $f(-1) > 0$
4. $f(3) > 0$

条件③：$f(-1) = 1 + 2a + a + 2 = 3a + 3 > 0$ より $a > -1$

条件④：$f(3) = 9 - 6a + a + 2 = 11 - 5a > 0$ より $a < dfrac{11}{5}$

①②③④の共通部分を求めます：

• ①より $a leq -1$ または $a geq 2$
• ②より $-1 < a < 3$
• ③より $a > -1$
• ④より $a < dfrac{11}{5}$

これらの共通部分は：

$2 leq a < dfrac{11}{5}$

別解・発展

【別解：解と係数の関係を用いる方法（(2)の場合）】

方程式①の2つの解を $alpha, beta$ とすると、解と係数の関係より：

• $alpha + beta = 2a$
• $alpha beta = a + 2$

2つの解がともに正となる条件は：

1. $D geq 0$（実数解をもつ）
2. $alpha + beta > 0$（和が正）
3. $alpha beta > 0$（積が正）

条件②より $2a > 0$、すなわち $a > 0$

条件③より $a + 2 > 0$、すなわち $a > -2$

①②③の共通部分を求めると、同様に $a geq 2$ が得られます。

【発展：等号の扱いについて】

問題文に「異なる2つの解」と書いてあるか「2つの解」と書いてあるかで、$D = 0$（重解）を含むかどうかが変わります。問題文を正確に読み取ることが重要です。

大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は「確率と漸化式の融合問題」です。状態を適切に設定し、漸化式を立てて解くのが定石です。

■ (1) の解答

【方針】$S_3$ が3の倍数となる場合を数え上げます。

さいころの目1〜6を、3で割った余りで分類します：

• 余り0：3, 6（2個）
• 余り1：1, 4（2個）
• 余り2：2, 5（2個）

$S_3 equiv 0 pmod{3}$ となるのは、$a_1, a_2, a_3$ の3で割った余りの組が以下の場合：

1. (0, 0, 0)：$left(dfrac{2}{6}right)^3 = dfrac{8}{216}$
2. (0, 1, 2)の並べ替え：$dfrac{2}{6} cdot dfrac{2}{6} cdot dfrac{2}{6} times 3! = dfrac{8}{216} times 6 = dfrac{48}{216}$
3. (1, 1, 1)：$left(dfrac{2}{6}right)^3 = dfrac{8}{216}$
4. (2, 2, 2)：$left(dfrac{2}{6}right)^3 = dfrac{8}{216}$

合計すると：

$dfrac{8 + 48 + 8 + 8}{216} = dfrac{72}{216} = dfrac{1}{3}$

$p_3 = dfrac{1}{3}$

■ (2) の解答

【方針】$S_n$ を3で割った余りに着目して状態を設定します。

$S_n equiv 0 pmod{3}$ となる確率を $p_n$、
$S_n equiv 1 pmod{3}$ となる確率を $q_n$、
$S_n equiv 2 pmod{3}$ となる確率を $r_n$ とおきます。

対称性より、$q_n = r_n$ が成り立ちます。また、$p_n + q_n + r_n = 1$ より：

$p_n + 2q_n = 1$ ………②

【漸化式を立てる】

$S_{n+1} equiv 0 pmod{3}$ となるのは：

• $S_n equiv 0 pmod{3}$ かつ $a_{n+1} equiv 0 pmod{3}$（確率 $dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$）
• $S_n equiv 1 pmod{3}$ かつ $a_{n+1} equiv 2 pmod{3}$（確率 $dfrac{1}{3}$）
• $S_n equiv 2 pmod{3}$ かつ $a_{n+1} equiv 1 pmod{3}$（確率 $dfrac{1}{3}$）

よって：

$p_{n+1} = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{1}{3}q_n + dfrac{1}{3}r_n = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{2}{3}q_n$

②より $q_n = dfrac{1-p_n}{2}$ を代入：

$p_{n+1} = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{2}{3} cdot dfrac{1-p_n}{2} = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{1-p_n}{3} = dfrac{1}{3}$

あれ？これは漸化式ではなく、$p_{n+1} = dfrac{1}{3}$ という定数になってしまいました。

これは正しい結果です。$n geq 1$ において $p_n = dfrac{1}{3}$ が成り立ちます。

【別の導出方法】

実は、$p_1 = dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$（最初に3または6が出る確率）であり、上の漸化式から $p_{n+1} = dfrac{1}{3}$ が常に成り立つので：

$p_n = dfrac{1}{3}$（$n geq 1$）

別解・発展

【別解：より一般的な漸化式の解法】

もし問題が「$S_n$ が6の倍数」などの場合は、漸化式が単純化されず、特性方程式を用いた解法が必要になります。

例えば、漸化式 $p_{n+1} = ap_n + b$ の形になった場合：

1. 特殊解 $p = dfrac{b}{1-a}$ を求める
2. $p_{n+1} - p = a(p_n - p)$ と変形
3. $p_n - p = (p_1 - p) cdot a^{n-1}$ を解く

【発展：3の倍数になる確率が $dfrac{1}{3}$ である理由】

この結果は直感的にも理解できます。さいころの目を3で割った余りは、0, 1, 2 がそれぞれ確率 $dfrac{1}{3}$ で現れます。十分に多くの試行を行うと、$S_n$ を3で割った余りは0, 1, 2 がそれぞれ同程度の確率で現れるはずです。この問題では、実際に $n = 1$ の時点で既に $dfrac{1}{3}$ となり、以降もその値が保たれます。

大問3：微分・積分と面積

問題

解説・解法のポイント

この問題は「三次関数の増減と面積計算」の標準的な問題です。

■ (1) の解答

$f(x) = x^3 - 3ax$ を微分すると：

$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a) = 3(x - sqrt{a})(x + sqrt{a})$

$a > 0$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = pmsqrt{a}$

増減表を作成すると：

$x$	$cdots$	$-sqrt{a}$	$cdots$	$sqrt{a}$	$cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	極大	↘	極小	↗

極大値：$f(-sqrt{a}) = (-sqrt{a})^3 - 3a(-sqrt{a}) = -asqrt{a} + 3asqrt{a} = 2asqrt{a}$

極小値：$f(sqrt{a}) = (sqrt{a})^3 - 3a cdot sqrt{a} = asqrt{a} - 3asqrt{a} = -2asqrt{a}$

極大値 $2asqrt{a}$（$x = -sqrt{a}$）、極小値 $-2asqrt{a}$（$x = sqrt{a}$）

■ (2) の解答

$y = f(x)$ と $y = x$ の交点を求めます：

$x^3 - 3ax = x$

$x^3 - 3ax - x = 0$

$x(x^2 - 3a - 1) = 0$

$a > 0$ のとき、$3a + 1 > 0$ より $x^2 = 3a + 1$ は正の解をもつ。

$x = 0, pmsqrt{3a + 1}$

$alpha = -sqrt{3a+1}$、$beta = 0$、$gamma = sqrt{3a+1}$ とおきます。

$f(x) - x = x^3 - (3a+1)x = x(x-gamma)(x-alpha) = x(x^2 - (3a+1))$

$alpha < 0 < gamma$ の範囲で：

• $alpha < x 0$（曲線が上）
• $0 < x < gamma$ のとき、$f(x) - x < 0$（直線が上）

対称性より：

$S = 2int_0^{sqrt{3a+1}} |f(x) - x| , dx = 2int_0^{sqrt{3a+1}} {x - f(x)} , dx$

$= 2int_0^{sqrt{3a+1}} {(3a+1)x - x^3} , dx$

$= 2left[dfrac{(3a+1)x^2}{2} - dfrac{x^4}{4}right]_0^{sqrt{3a+1}}$

$= 2left{dfrac{(3a+1)^2}{2} - dfrac{(3a+1)^2}{4}right}$

$= 2 cdot dfrac{(3a+1)^2}{4} = dfrac{(3a+1)^2}{2}$

$S = dfrac{(3a+1)^2}{2}$

■ (3) の解答

$S = 8$ より：

$dfrac{(3a+1)^2}{2} = 8$

$(3a+1)^2 = 16$

$3a + 1 = pm 4$

$a > 0$ より $3a + 1 > 0$ なので：

$3a + 1 = 4$

$a = 1$

$a = 1$

別解・発展

【別解：$dfrac{1}{12}$ 公式を用いる方法】

三次関数と直線で囲まれた面積には、有名な公式があります。

$y = f(x)$（三次関数）と直線 $y = g(x)$ が3点 $alpha, beta, gamma$（$alpha < beta < gamma$）で交わるとき、囲まれた2つの部分の面積の和は：

$S = dfrac{|a|}{12}(gamma - alpha)^4$

ここで $a$ は $f(x) - g(x)$ の $x^3$ の係数です。

本問では $f(x) - x = x^3 - (3a+1)x$ より、$x^3$ の係数は1、$gamma - alpha = 2sqrt{3a+1}$ なので：

$S = dfrac{1}{12}(2sqrt{3a+1})^4 = dfrac{16(3a+1)^2}{12} = dfrac{4(3a+1)^2}{3}$

あれ？これは先ほどの答えと異なります。実は、この公式は「2つの部分の面積の和」を求めるもので、本問の対称性を考慮すると：

すみません、公式の適用を誤りました。正しく計算し直します。

実際には、$f(x) - x = x(x - sqrt{3a+1})(x + sqrt{3a+1})$ と因数分解でき、$dfrac{1}{12}$ 公式ではなく、$dfrac{1}{4}$ 公式を適用すべきでした。

三次関数 $y = f(x)$ と直線が2点 $alpha, beta$ で交わるとき（接点を含まない場合）：

$S = dfrac{|a|}{12}|beta - alpha|^4$

本問では対称性があるため、$x = 0$ を挟んで2つの領域があり、それぞれに公式を適用して足し合わせる必要があります。先ほどの積分計算が正しい答えです。

【発展：パラメータと面積の関係】

$S = dfrac{(3a+1)^2}{2}$ という結果から、$a$ が大きくなるほど面積 $S$ は急激に増加することがわかります。$a = 1$ のとき $S = 8$、$a = 2$ のとき $S = dfrac{49}{2} = 24.5$ となります。

大問4：空間ベクトルと四面体

問題

解説・解法のポイント

この問題は「空間ベクトルの内積計算と図形量への応用」です。与えられた条件を整理し、ベクトルの計算を丁寧に行います。

【与えられた条件の整理】

• $|vec{a}|^2 = 4$、$|vec{b}|^2 = 9$、$|vec{c}|^2 = 16$
• $vec{a} cdot vec{b} = 3$、$vec{b} cdot vec{c} = 6$、$vec{c} cdot vec{a} = 4$

■ (1) の解答

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$ より：

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2$

$= 9 - 2 times 3 + 4 = 9 - 6 + 4 = 7$

$AB = sqrt{7}$

■ (2) の解答

Mは辺ABの中点なので：

$overrightarrow{OM} = dfrac{vec{a} + vec{b}}{2}$

$overrightarrow{MC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OM} = vec{c} - dfrac{vec{a} + vec{b}}{2}$

よって：

$overrightarrow{OM} cdot overrightarrow{MC} = dfrac{vec{a} + vec{b}}{2} cdot left(vec{c} - dfrac{vec{a} + vec{b}}{2}right)$

$= dfrac{1}{2}(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} - dfrac{1}{4}|vec{a} + vec{b}|^2$

$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c} = 4 + 6 = 10$

$|vec{a} + vec{b}|^2 = |vec{a}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2 = 4 + 6 + 9 = 19$

$overrightarrow{OM} cdot overrightarrow{MC} = dfrac{10}{2} - dfrac{19}{4} = 5 - dfrac{19}{4} = dfrac{20 - 19}{4} = dfrac{1}{4}$

$overrightarrow{OM} cdot overrightarrow{MC} = dfrac{1}{4}$

■ (3) の解答

三角形ABCの面積を求めるには、$overrightarrow{AB}$ と $overrightarrow{AC}$ の外積の大きさを計算します。

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$、$overrightarrow{AC} = vec{c} - vec{a}$

三角形の面積公式：

$S = dfrac{1}{2}sqrt{|overrightarrow{AB}|^2 |overrightarrow{AC}|^2 - (overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC})^2}$

まず、各成分を計算します：

$|overrightarrow{AB}|^2 = 7$（(1)より）

$|overrightarrow{AC}|^2 = |vec{c} - vec{a}|^2 = |vec{c}|^2 - 2vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2 = 16 - 8 + 4 = 12$

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = (vec{b} - vec{a}) cdot (vec{c} - vec{a})$

$= vec{b} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{a} - vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2$

$= 6 - 3 - 4 + 4 = 3$

よって：

$S = dfrac{1}{2}sqrt{7 times 12 - 9} = dfrac{1}{2}sqrt{84 - 9} = dfrac{1}{2}sqrt{75} = dfrac{5sqrt{3}}{2}$

三角形ABCの面積 $= dfrac{5sqrt{3}}{2}$

■ (4) の解答

四面体OABCの体積は、スカラー三重積を用いて計算できます：

$V = dfrac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$

スカラー三重積の2乗は、グラム行列式で計算できます：

${(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}}^2 = begin{vmatrix} vec{a} cdot vec{a} & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{b} cdot vec{a} & vec{b} cdot vec{b} & vec{b} cdot vec{c} \ vec{c} cdot vec{a} & vec{c} cdot vec{b} & vec{c} cdot vec{c} end{vmatrix}$

$= begin{vmatrix} 4 & 3 & 4 \ 3 & 9 & 6 \ 4 & 6 & 16 end{vmatrix}$

行列式を展開します：

$= 4(9 times 16 - 6 times 6) - 3(3 times 16 - 6 times 4) + 4(3 times 6 - 9 times 4)$

$= 4(144 - 36) - 3(48 - 24) + 4(18 - 36)$

$= 4 times 108 - 3 times 24 + 4 times (-18)$

$= 432 - 72 - 72 = 288$

よって：

$V = dfrac{1}{6}sqrt{288} = dfrac{1}{6} times 12sqrt{2} = 2sqrt{2}$

四面体OABCの体積 $= 2sqrt{2}$

別解・発展

【別解：(4)の体積計算を底面積×高さで求める】

三角形OABを底面とし、Cから底面に下ろした垂線の長さ $h$ を求める方法もあります。

まず、三角形OABの面積を求めます：

$S_{OAB} = dfrac{1}{2}sqrt{|vec{a}|^2|vec{b}|^2 - (vec{a} cdot vec{b})^2} = dfrac{1}{2}sqrt{4 times 9 - 9} = dfrac{1}{2}sqrt{27} = dfrac{3sqrt{3}}{2}$

体積の公式 $V = dfrac{1}{3} times S_{OAB} times h$ より：

$2sqrt{2} = dfrac{1}{3} times dfrac{3sqrt{3}}{2} times h$

$h = dfrac{2sqrt{2} times 6}{3sqrt{3}} = dfrac{4sqrt{2}}{sqrt{3}} = dfrac{4sqrt{6}}{3}$

これはCから平面OABに下ろした垂線の長さです。

【発展：グラム行列式の意味】

グラム行列式 $G(vec{a}, vec{b}, vec{c})$ は、3つのベクトル $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ で張られる平行六面体の体積の2乗に等しいです。四面体の体積は平行六面体の $dfrac{1}{6}$ なので、$V = dfrac{1}{6}sqrt{G}$ となります。

この年度の重要テーマと対策

2009年度に見られた重要テーマ

2009年度の名古屋市立大学数学から、以下の重要テーマが浮かび上がります：

① 二次方程式の解の配置（大問1）

出題意図：二次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係を理解しているか、場合分けを正確に行えるかを問う問題です。

対策ポイント：

• 判別式・軸・端点の値の3条件を確実に使いこなす
• 「異なる2解」「2つの解」「少なくとも1つの解」など、条件の違いを意識する
• グラフを描いて視覚的に確認する習慣をつける

② 確率と漸化式の融合（大問2）

出題意図：状態を適切に設定し、確率の推移を漸化式で表現できるかを問う問題です。

対策ポイント：

• 「余りで分類」などの状態設定に慣れる
• 対称性を活用して式を簡略化する
• 漸化式を解く（特性方程式、階差など）技術を磨く

③ 微分・積分と面積（大問3）

出題意図：関数の増減を調べ、グラフの概形を把握した上で面積計算ができるかを問う問題です。

対策ポイント：

• 三次関数の増減表を素早く正確に作成する
• 交点の座標を正確に求める
• 面積計算では絶対値の処理に注意する
• $dfrac{1}{6}$ 公式、$dfrac{1}{12}$ 公式を適材適所で使えるようにする

④ 空間ベクトル（大問4）

出題意図：内積の計算を正確に行い、図形量（長さ・面積・体積）に結びつけられるかを問う問題です。

対策ポイント：

• ベクトルの成分計算を確実に行う
• 内積から長さ・角度を求める公式を使いこなす
• グラム行列式など体積計算の手法を身につける
• 計算量が多いので、計算ミスを減らす工夫をする

名古屋市立大学数学の全体的な傾向と対策

名古屋市立大学の数学は、以下のような特徴があります：

1. 標準的な問題が中心：教科書や標準的な問題集の内容を確実に理解していれば対応可能
2. 計算量がやや多い：時間配分と計算の正確性が重要
3. 記述式で途中過程を重視：論理的な記述力を磨く必要がある
4. 誘導付きの問題が多い：小問の流れを意識して解く

効果的な対策：

• 基礎固めを最優先：教科書の例題・章末問題を完璧にする
• 青チャートやFocus Goldなどの標準問題集で演習量を確保
• 過去問は最低5年分を解き、時間配分を体に染み込ませる
• 計算練習を日常的に行い、計算スピードと正確性を高める

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2009年度の出題傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。ぜひ実際に手を動かして解いてみてください。

練習問題1：二次方程式の解の配置

【解答・解説】

$f(x) = x^2 + 2kx + k + 6$ とおきます。$y = f(x)$ は下に凸の放物線で、軸は $x = -k$ です。

2つの解がともに $-2$ より大きくなる条件は：

1. 判別式 $D geq 0$
2. 軸 $-k > -2$、すなわち $k < 2$
3. $f(-2) > 0$

条件①：

$D/4 = k^2 - (k + 6) = k^2 - k - 6 = (k-3)(k+2) geq 0$

よって $k leq -2$ または $k geq 3$

条件②：$k < 2$

条件③：

$f(-2) = 4 - 4k + k + 6 = 10 - 3k > 0$

よって $k < dfrac{10}{3}$

①②③の共通部分を求めると：

$k leq -2$

練習問題2：確率と漸化式

【解答・解説】

(1) の解答：

$T_4$ が偶数となるのは、表が0, 2, 4回出る場合です。

$P(T_4 = 0) = left(dfrac{1}{2}right)^4 = dfrac{1}{16}$

$P(T_4 = 2) = {}_4C_2 left(dfrac{1}{2}right)^4 = dfrac{6}{16}$

$P(T_4 = 4) = left(dfrac{1}{2}right)^4 = dfrac{1}{16}$

よって $p_4 = dfrac{1 + 6 + 1}{16} = dfrac{8}{16} = dfrac{1}{2}$

(2) の解答：

$T_{n+1}$ が偶数となるのは：

• $T_n$ が偶数で、$(n+1)$ 回目が裏（確率 $p_n times dfrac{1}{2}$）
• $T_n$ が奇数で、$(n+1)$ 回目が表（確率 $(1-p_n) times dfrac{1}{2}$）

よって $p_{n+1} = dfrac{1}{2}p_n + dfrac{1}{2}(1-p_n) = dfrac{1}{2}$

あるいは：$p_{n+1} = dfrac{p_n + (1-p_n)}{2} = dfrac{1}{2}$

(3) の解答：

$p_1 = dfrac{1}{2}$（1回目に裏が出る確率）であり、(2)より $p_{n+1} = dfrac{1}{2}$ が常に成り立つので：

$p_n = dfrac{1}{2}$（$n geq 1$）

練習問題3：空間ベクトルと体積

【解答・解説】

(1) の解答：

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2 = 4 - 2 + 4 = 6$

$|overrightarrow{AB}| = sqrt{6}$

(2) の解答：

グラム行列式を計算します：

$G = begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \ 1 & 4 & 1 \ 1 & 1 & 4 end{vmatrix}$

$= 4(16 - 1) - 1(4 - 1) + 1(1 - 4)$

$= 4 times 15 - 3 - 3 = 60 - 6 = 54$

$V = dfrac{1}{6}sqrt{54} = dfrac{1}{6} times 3sqrt{6} = dfrac{sqrt{6}}{2}$

体積 $= dfrac{sqrt{6}}{2}$

日本数学塾・数強塾で名古屋市立大学合格を目指そう

いかがでしたでしょうか。2009年度の名古屋市立大学数学は、基本〜標準レベルの問題で構成されており、確実な基礎力と計算力があれば高得点が狙える内容でした。

しかし、「標準的な問題だから簡単」というわけではありません。本番の緊張感の中で、計算ミスなく、論理的な記述を完成させるには、十分な演習量と適切な指導が不可欠です。

数強塾・日本数学塾の特徴

数強塾と日本数学塾では、名古屋市立大学をはじめとする医学部・薬学部・難関大学合格を目指す受験生を全力でサポートしています。

🎯 数強塾の強み

• 数学専門のプロ講師陣：数学のみを徹底的に指導する専門性
• オンライン指導対応：全国どこからでも受講可能
• 一人ひとりに合わせたカリキュラム：志望校・現在の学力に応じた完全個別対応
• 過去問徹底分析：名古屋市立大学の出題傾向を熟知した指導
• 記述答案の添削指導：本番で点が取れる答案作成力を養成

🎯 日本数学塾の強み

• 難関大・医学部に特化：ハイレベルな指導で合格を勝ち取る
• 体系的な学習プログラム：基礎から応用まで段階的に実力養成
• 豊富な指導実績：多くの合格者を輩出
• モチベーション管理：受験までのメンタルサポートも充実

名古屋市立大学合格に向けた学習プラン例

名古屋市立大学医学部・薬学部を目指す場合の、標準的な学習プランをご紹介します：

時期	学習内容	目標
高2冬〜高3春 （基礎固め期）	・教科書の例題・章末問題を完璧に ・青チャートI+A、II+Bの例題 ・計算力の強化	基本問題を確実に解ける状態にする
高3春〜夏 （実力養成期）	・青チャートIII・Cの例題 ・標準問題集の演習 ・苦手分野の集中特訓	標準問題を8割以上正解できる
高3夏〜秋 （応用力強化期）	・入試標準〜やや難レベルの演習 ・他大学の過去問にも挑戦 ・時間を計って解く練習	入試レベルの問題に対応できる
高3秋〜直前 （実戦演習期）	・名古屋市立大学過去問10年分 ・本番形式の模試・演習 ・弱点の最終補強	本番で目標点を取れる実力を完成

よくある質問（FAQ）

Q1. 名古屋市立大学の数学は難しいですか？

A. 全体的には標準レベルです。ただし、計算量が多く、時間内に正確に解き切る力が求められます。基礎をしっかり固めた上で、演習量を積むことが重要です。

Q2. 数学が苦手でも名古屋市立大学に合格できますか？

A. 可能です。名古屋市立大学の数学は奇問・難問は少なく、基本的な内容の理解と演習で対応できます。早めに基礎固めを始め、継続的に学習することで十分に合格圏内に到達できます。

Q3. 過去問はいつから始めるべきですか？

A. 高3の夏〜秋頃から始めるのが理想的です。ただし、基礎が固まっていない段階で過去問に取り組んでも効果は薄いので、まずは基礎力の完成を優先しましょう。

Q4. 数強塾・日本数学塾ではどのような指導を受けられますか？

A. 生徒一人ひとりの学力・志望校に合わせた完全個別カリキュラムで指導します。苦手分野の克服から過去問対策まで、合格に必要なすべてをサポートします。オンラインでの受講も可能なので、全国どこからでも受講いただけます。

無料体験授業のご案内

最後に：合格を勝ち取るために

名古屋市立大学は、医学部・薬学部をはじめとする人気学部を擁する、東海地方を代表する公立大学です。2009年度の数学からもわかるように、基本を大切にし、確実に得点を積み重ねる力が合格への鍵となります。

数学は「才能」ではなく「正しい方法での努力」で必ず伸びる科目です。一人で悩まず、プロの力を借りながら効率的に学習を進めていきましょう。

私、藤原進之介は、皆さんの名古屋市立大学合格を心から応援しています！

この記事が少しでも皆さんの学習の助けになれば幸いです。ご質問やご相談があれば、お気軽に数強塾・日本数学塾までお問い合わせください。

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※この記事は2009年度の入試問題に基づいて作成しています。最新の入試情報・出題傾向については、名古屋市立大学の公式サイトや最新の過去問集をご確認ください。
※問題文は過去問の内容を参考に再構成したものです。実際の出題とは表現が異なる場合があります。