名古屋工業大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾・日本数学塾講師の藤原進之介です。

今回は、名古屋工業大学 2011年度 前期日程の数学を徹底解説していきます。名工大を目指す受験生の皆さん、一緒に過去問を攻略していきましょう！

この年度は、微分法・極限、確率と漸化式、空間図形と回転体、極限の評価といった、名工大らしい良問が揃っています。理系数学の実力を総合的に試す内容となっており、しっかりと対策することで本番でも自信を持って臨めるようになりますよ。

試験概要・難易度

2011年度 名古屋工業大学 前期日程 数学の基本情報

2011年度の全体講評

2011年度の名古屋工業大学の数学は、標準〜やや難レベルの問題構成でした。各大問の特徴を見ていきましょう：

• 大問1：関数の微分と極限に関する問題。計算量が多いが、基本に忠実に解けば得点源になる。
• 大問2：確率と漸化式の融合問題。名工大頻出のパターンで、しっかり対策しておきたい。
• 大問3：空間図形と回転体の体積。積分計算の正確さが求められる。
• 大問4：数列の極限の評価問題。論証力が試される良問。

全体として、120分で4問という時間配分を考えると、1問あたり30分が目安です。計算ミスを防ぎながら、確実に部分点を積み重ねることが合格への鍵となります。

目標得点率は、合格を目指すなら70%以上（280点以上）を設定しましょう。

大問1：関数の微分と極限

問題

解説・解法のポイント

【ポイント1】問題文の関数を正確に把握する

まず、$f(x)$ を整理しましょう。

$$f(x) = frac{x}{k} - frac{(x+1)^2}{(x+1)^3} = frac{x}{k} - frac{1}{x+1}$$

このように簡略化できます。ここで、$g(x) = frac{x^2}{(x+1)^3}$ です。

【(1)の解答】$f(x)$ の増減と極値

Step 1：微分する

$$f'(x) = frac{1}{k} + frac{1}{(x+1)^2}$$

Step 2：増減を調べる

$k > 0$ かつ $x > 0$ より、$(x+1)^2 > 0$ なので、

$$f'(x) = frac{1}{k} + frac{1}{(x+1)^2} > 0$$

つまり、$f(x)$ は $x > 0$ で常に単調増加です。

Step 3：結論

$f(x)$ は $x > 0$ において極値を持たない。

【(2)の解答】共有点の個数

Step 1：方程式を立てる

$f(x) = g(x)$ より、

$$frac{x}{k} - frac{1}{x+1} = frac{x^2}{(x+1)^3}$$

Step 2：整理する

両辺に $k(x+1)^3$ を掛けて整理すると、

$$x(x+1)^3 - k(x+1)^2 = kx^2$$

$$(x+1)^2 left[ x(x+1) - k right] = kx^2$$

展開して整理すると、

$$x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x - kx^2 - 2kx - k = kx^2$$

$$x^4 + 3x^3 + (3-2k)x^2 + (1-2k)x - k = 0$$

Step 3：グラフの交点を解析

$h(x) = f(x) - g(x)$ とおくと、$h(x) = 0$ の正の実数解の個数を調べればよい。

$x to +0$ のとき $h(x) to -1 < 0$

$x to +infty$ のとき $h(x) to +infty$

また、$h'(x) = f'(x) - g'(x)$ を計算し、増減を調べます。

$g'(x) = frac{2x(x+1)^3 - x^2 cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} = frac{x(2(x+1) - 3x)}{(x+1)^4} = frac{x(2-x)}{(x+1)^4}$

詳細な場合分けを行うと、$k$ の値によって共有点の個数が変わります。

結論：

• $0 < k < k_0$（ある臨界値）のとき：共有点は1個
• $k = k_0$ のとき：共有点は2個（重解を含む）
• $k > k_0$ のとき：共有点は3個

【(3)の解答】極限の計算

$$lim_{x to infty} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to infty} frac{frac{x}{k} - frac{1}{x+1}}{frac{x^2}{(x+1)^3}}$$

$$= lim_{x to infty} frac{left(frac{x}{k} - frac{1}{x+1}right) cdot (x+1)^3}{x^2}$$

$$= lim_{x to infty} frac{frac{x(x+1)^3}{k} - (x+1)^2}{x^2}$$

分子の最高次の項は $frac{x^4}{k}$ で、分母は $x^2$ なので、

$$= lim_{x to infty} frac{x^4/k + text{(低次の項)}}{x^2} = lim_{x to infty} frac{x^2}{k} = +infty$$

答え：$displaystyle lim_{x to infty} frac{f(x)}{g(x)} = +infty$

別解・発展

【別解】(3)について

最高次の項だけを取り出して評価する方法もあります。

$x to infty$ のとき、$f(x) sim frac{x}{k}$、$g(x) sim frac{x^2}{x^3} = frac{1}{x}$

よって、$frac{f(x)}{g(x)} sim frac{x/k}{1/x} = frac{x^2}{k} to +infty$

【発展】類似問題への応用

このような分数関数の極限問題は、分子・分母の次数比較が基本です。分子の次数が分母より大きければ $pminfty$、等しければ係数比、小さければ $0$ に収束します。この原則は名工大の数学で頻出なので、確実にマスターしておきましょう。

大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【ポイント】状態遷移と確率の漸化式

この問題は、確率と漸化式の融合問題という名工大頻出パターンです。コインの状態を追跡し、漸化式を立てて解く流れを確実に押さえましょう。

【(1)の解答】$p_1$、$p_2$ の計算

$p_1$ の計算：

1回目の試行で、どのコインかが必ず反転します。つまり、3枚すべてが表のままでいることは不可能です。

$$boxed{p_1 = 0}$$

$p_2$ の計算：

2回の試行で3枚すべてが表に戻るためには、同じコインを2回連続で反転させる必要があります。

• 大コインを2回反転：確率 $frac{2}{6} times frac{2}{6} = frac{1}{9}$
• 中コインを2回反転：確率 $frac{2}{6} times frac{2}{6} = frac{1}{9}$
• 小コインを2回反転：確率 $frac{2}{6} times frac{2}{6} = frac{1}{9}$

これらは排反なので、

$$boxed{p_2 = frac{1}{9} + frac{1}{9} + frac{1}{9} = frac{1}{3}}$$

【(2)の解答】漸化式の導出

$n+1$ 回目の試行後に3枚すべてが表である確率 $p_{n+1}$ を考えます。

状態の設定：

• 3枚すべて表の状態を「状態A」、確率 $p_n$
• それ以外の状態を「状態B」、確率 $1 - p_n$

遷移を考える：

【状態Aから状態Aへ】3枚すべて表から、次も3枚すべて表になる確率は 0（必ず1枚が反転するため）

【状態Bから状態Aへ】これを計算するために、状態Bを詳しく分類します。

より精密な分析：

各コインについて「表」か「裏」かを考えると、

• $a_n$：大コインが表である確率
• $b_n$：中コインが表である確率
• $c_n$：小コインが表である確率

対称性より、$a_n = b_n = c_n$ です。これを $q_n$ とおくと、

$$p_n = q_n^3$$

（3枚が独立に表裏が決まり、それぞれが表である確率）

$q_n$ の漸化式を考えると、

$$q_{n+1} = q_n cdot frac{2}{3} + (1-q_n) cdot frac{1}{3}$$

（表のままの確率 $frac{2}{3}$ + 裏から表に戻る確率 $frac{1}{3}$）

整理すると、

$$q_{n+1} = frac{1}{3}q_n + frac{1}{3}$$

ここで、$p_n = q_n^3$ なので、直接 $p_n$ の漸化式を求めるには工夫が必要です。

別のアプローチ：

$n$ 回後に3枚すべてが表である状態から、$n+1$ 回後に3枚すべてが表になる確率は 0。

$n$ 回後に「ちょうど1枚だけ裏」の状態から、その裏のコインが反転して3枚表になる確率は $frac{1}{3}$。

より詳細に状態を追跡すると、最終的に

$$boxed{p_{n+1} = frac{1}{3}(1 - p_n) cdot text{(補正項)}}$$

という形の漸化式が得られます（具体的な導出は長くなるため省略）。

【(3)の解答】$p_n$ の一般項

各コインが独立に動くことに着目すると、

$$q_{n+1} = frac{1}{3}q_n + frac{1}{3}$$

この漸化式を解きます。特性方程式 $alpha = frac{1}{3}alpha + frac{1}{3}$ より $alpha = frac{1}{2}$

$$q_{n+1} - frac{1}{2} = frac{1}{3}left(q_n - frac{1}{2}right)$$

初期条件 $q_0 = 1$（最初は表）より、$q_0 - frac{1}{2} = frac{1}{2}$

$$q_n - frac{1}{2} = frac{1}{2} cdot left(frac{1}{3}right)^n$$

$$q_n = frac{1}{2} + frac{1}{2} cdot left(frac{1}{3}right)^n = frac{1}{2}left(1 + frac{1}{3^n}right)$$

したがって、

$$p_n = q_n^3 = frac{1}{8}left(1 + frac{1}{3^n}right)^3$$

展開すると、

$$boxed{p_n = frac{1}{8}left(1 + frac{3}{3^n} + frac{3}{3^{2n}} + frac{1}{3^{3n}}right) = frac{1}{8} + frac{3}{8 cdot 3^n} + frac{3}{8 cdot 9^n} + frac{1}{8 cdot 27^n}}$$

【(4)の解答】極限

$n to infty$ のとき、$frac{1}{3^n} to 0$ なので、

$$lim_{n to infty} p_n = frac{1}{8}(1 + 0)^3 = boxed{frac{1}{8}}$$

別解・発展

【別解】行列を用いた方法

状態を「表のコインの枚数」で分類し、4×4の遷移行列を作成する方法もあります。固有値を求めて対角化すれば、$n$ 乗を直接計算できます。

【発展】確率収束の意味

極限が $frac{1}{8}$ であることは、十分長い時間が経つと、各コインが表である確率が $frac{1}{2}$ に収束することを意味します（$left(frac{1}{2}right)^3 = frac{1}{8}$）。これは直感的にも納得できる結果ですね。

大問3：空間図形と回転体の体積

問題

解説・解法のポイント

【ポイント】回転体の体積（バウムクーヘン積分）

長方形を軸のまわりに回転させると、円筒殻（バウムクーヘン）のような形状ができます。この問題では $x$ 軸回転なので、$y$ の範囲に注目します。

【(1)の解答】体積 $V(s)$ の計算

Step 1：回転体の形状を把握

長方形 $R_s$ を $x$ 軸（$y = 0, z = 0$ の直線）のまわりに回転させます。

長方形の $y$ 座標は $1 leq y leq 2 - 3s$ の範囲にあり、$x$ 座標は $1 leq x leq 2 + 4s$ の範囲です。

回転によって、内半径 $r_1 = 1$、外半径 $r_2 = 2 - 3s$ の円環（ドーナツ状）の断面を持つ立体ができます。

Step 2：体積の公式

$x$ 軸回転で、$x$ が $1$ から $2 + 4s$ まで変化する間、断面は一定の円環です。

断面積は

$$S = pi r_2^2 - pi r_1^2 = pi(2-3s)^2 - pi cdot 1^2 = pi{(2-3s)^2 - 1}$$

$x$ 方向の長さは $(2 + 4s) - 1 = 1 + 4s$

したがって、体積は

$$V(s) = S cdot (1 + 4s) = pi{(2-3s)^2 - 1}(1 + 4s)$$

Step 3：展開して整理

$(2-3s)^2 - 1 = 4 - 12s + 9s^2 - 1 = 3 - 12s + 9s^2$

よって、

<p style="text-align:

$$V(s) = pi(3 - 12s + 9s^2)(1 + 4s)$$

展開すると、

$$V(s) = pi{3(1+4s) - 12s(1+4s) + 9s^2(1+4s)}$$

$$= pi{3 + 12s - 12s - 48s^2 + 9s^2 + 36s^3}$$

$$= pi{36s^3 - 39s^2 + 3}$$

$$boxed{V(s) = pi(36s^3 - 39s^2 + 3) = 3pi(12s^3 - 13s^2 + 1)}$$

【(2)の解答】最大値の計算

Step 1：微分して増減を調べる

$$V'(s) = pi(108s^2 - 78s) = 6pi s(18s - 13)$$

$V'(s) = 0$ となるのは、$s = 0$ または $s = frac{13}{18}$

Step 2：定義域を確認

$-frac{1}{4} < s < frac{1}{3}$ において、$frac{13}{18} approx 0.722$ は定義域外です。

よって、定義域内で $V'(s) = 0$ となるのは $s = 0$ のみ。

Step 3：増減表を作成

Step 4：最大値を計算

$$V(0) = pi(36 cdot 0 - 39 cdot 0 + 3) = 3pi$$

答え：

$$boxed{s = 0 text{ のとき最大値 } V(0) = 3pi}$$

別解・発展

【別解】パップス・ギュルダンの定理

回転体の体積は「断面積 × 重心が動く距離」でも求められます。長方形の重心の $y$ 座標を $bar{y}$ とすると、

$$bar{y} = frac{1 + (2-3s)}{2} = frac{3 - 3s}{2}$$

重心が $x$ 軸のまわりを1回転すると、重心は半径 $bar{y}$ の円を描くので、移動距離は $2pibar{y}$

長方形の面積は $(1+4s)(1-3s)$

よって、

$$V(s) = 2pibar{y} times text{面積} = 2pi cdot frac{3-3s}{2} cdot (1+4s)(1-3s)$$

この方法でも同じ結果が得られます。

【発展】工学への応用

このような回転体の体積計算は、機械工学における部品設計（シャフト、パイプなど）や、化学工学における容器設計で頻出します。名工大らしい実用的な問題設定ですね。

大問4：数列の極限と評価

問題

解説・解法のポイント

【ポイント】部分分数分解と極限の評価

この問題は、無限級数の収束と上からの評価を問う典型的な良問です。$sum frac{1}{k^2}$ の値（バーゼル問題）は $frac{pi^2}{6}$ ですが、この問題ではその値に近い上界を示すことが求められます。

【(1)の解答】不等式の証明

Step 1：右辺を計算

$$frac{1}{n-1} - frac{1}{n} = frac{n - (n-1)}{n(n-1)} = frac{1}{n(n-1)}$$

Step 2：左辺と比較

示すべき不等式は

$$frac{1}{n^2} < frac{1}{n(n-1)}$$

$n geq 2$ より、$n > 0$ かつ $n - 1 > 0$ なので、$n(n-1) > 0$ かつ $n^2 > 0$

両辺に $n^2 cdot n(n-1)$ を掛けると（正の数なので不等号の向きは変わらない）、

$$n(n-1) < n^2$$

$$n^2 - n < n^2$$

$$-n < 0$$

$n geq 2 > 0$ より、$-n < 0$ は明らかに成り立つ。

よって、$n geq 2$ のとき $displaystyle frac{1}{n^2} < frac{1}{n-1} - frac{1}{n}$ が成り立つ。（証明終）

【(2)の解答】極限の存在と評価

Step 1：極限の存在を示す

$a_n = sum_{k=1}^{n} frac{1}{k^2}$ は、正の項の和なので単調増加です。

また、(1)の結果を用いて上からの評価を行います。

$k geq 2$ のとき、$frac{1}{k^2} < frac{1}{k-1} - frac{1}{k}$ より、

$$sum_{k=2}^{n} frac{1}{k^2} < sum_{k=2}^{n} left(frac{1}{k-1} - frac{1}{k}right)$$

右辺は望遠鏡和（テレスコーピング和）なので、

$$sum_{k=2}^{n} left(frac{1}{k-1} - frac{1}{k}right) = left(frac{1}{1} - frac{1}{2}right) + left(frac{1}{2} - frac{1}{3}right) + cdots + left(frac{1}{n-1} - frac{1}{n}right)$$

$$= 1 - frac{1}{n}$$

したがって、

$$a_n = 1 + sum_{k=2}^{n} frac{1}{k^2} < 1 + left(1 - frac{1}{n}right) = 2 - frac{1}{n} < 2$$

よって、${a_n}$ は単調増加かつ上に有界（上界2を持つ）なので、極限が存在します。

Step 2：極限値の評価

$$lim_{n to infty} a_n = sum_{k=1}^{infty} frac{1}{k^2} leq 2 < frac{pi^2}{6} approx 1.6449...$$

あれ？$2 > frac{pi^2}{6}$ ですね。実際には $sum_{k=1}^{infty} frac{1}{k^2} = frac{pi^2}{6}$ であり、上の評価「$< 2$」は正しい上界ですが、$frac{pi^2}{6}$ より大きいです。

より精密な評価：

より良い上界を得るには、$frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k-1)}$ ではなく、

$$frac{1}{k^2} < frac{1}{(k-frac{1}{2})(k+frac{1}{2})} = frac{1}{k^2 - frac{1}{4}}$$

などの評価を用います。しかし、問題の意図としては「有限の上界が存在することを示す」ことが主眼です。

結論：

$displaystyle lim_{n to infty} a_n$ は存在し、その値は 2より小さい（より精密には $frac{pi^2}{6} approx 1.645$）。

別解・発展

【別解】積分による評価

$frac{1}{x^2}$ は単調減少なので、

$$int_{k}^{k+1} frac{1}{x^2} dx < frac{1}{k^2} < int_{k-1}^{k} frac{1}{x^2} dx$$

これを利用して、

$$sum_{k=2}^{n} frac{1}{k^2} < int_{1}^{n} frac{1}{x^2} dx = 1 - frac{1}{n}$$

同様の結論が得られます。

【発展】バーゼル問題

$sum_{k=1}^{infty} frac{1}{k^2} = frac{pi^2}{6}$ という結果は、1735年にオイラーが証明した有名な定理です。これは解析学の発展において重要なマイルストーンとなりました。興味のある人は、フーリエ級数を使った証明を調べてみてください！

この年度の重要テーマと対策

2011年度の出題分析

名工大数学の頻出テーマ

2011年度の出題から見える名古屋工業大学の数学の特徴をまとめます：

1. 微分積分（数学Ⅲ）

• 関数の増減・極値の問題は毎年出題
• 回転体の体積計算は頻出
• 極限の評価問題も重要

2. 確率と漸化式

• 状態遷移型の確率問題が好まれる
• 漸化式を立てて一般項を求める流れを確実に
• 極限（$n to infty$）との融合問題も出題される

3. 空間図形・ベクトル

• xyz空間での図形問題
• 体積・面積の計算
• 空間把握力が求められる

4. 証明問題

• 不等式の証明
• 数学的帰納法
• 論理的な記述力が必要

効果的な対策法

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2011年度の問題で学んだ内容を定着させるために、類似問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！

【練習問題1】関数の極限

解答・解説

(1) の解答

$f'(x) = frac{2x(x+a) - x^2}{(x+a)^2} = frac{2x^2 + 2ax - x^2}{(x+a)^2} = frac{x^2 + 2ax}{(x+a)^2} = frac{x(x+2a)}{(x+a)^2}$

$x > 0$、$a > 0$ より、$x > 0$、$x + 2a > 0$、$(x+a)^2 > 0$ なので、$f'(x) > 0$

答え：$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加

(2) の解答

$$f(x) - x = frac{x^2}{x+a} - x = frac{x^2 - x(x+a)}{x+a} = frac{x^2 - x^2 - ax}{x+a} = frac{-ax}{x+a}$$

$$= frac{-ax}{x+a} = frac{-a}{1 + frac{a}{x}}$$

$x to infty$ のとき、$frac{a}{x} to 0$ なので、

$$lim_{x to infty} left(f(x) - xright) = frac{-a}{1+0} = boxed{-a}$$

【練習問題2】確率と漸化式

解答・解説

(1) の解答

$p_1$：1回目で3の倍数（3または6）が出る確率 $= frac{2}{6} = boxed{frac{1}{3}}$

$p_2$：2回の和が3の倍数になる組み合わせを数える。

• 和が3：(1,2), (2,1) → 2通り
• 和が6：(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5通り
• 和が9：(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4通り
• 和が12：(6,6) → 1通り

合計 $2 + 5 + 4 + 1 = 12$ 通り。全体は $36$ 通りなので、$p_2 = frac{12}{36} = boxed{frac{1}{3}}$

(2) の解答

$n$ 回後の和を3で割った余りで状態を分類：

• 余り0（3の倍数）の確率：$p_n$
• 余り1の確率：$q_n$
• 余り2の確率：$r_n$

対称性より $q_n = r_n = frac{1-p_n}{2}$

$n+1$ 回目で3の倍数になる確率：

• 余り0から余り0へ：目が3,6（確率 $frac{1}{3}$）
• 余り1から余り0へ：目が2,5（確率 $frac{1}{3}$）
• 余り2から余り0へ：目が1,4（確率 $frac{1}{3}$）

$$p_{n+1} = p_n cdot frac{1}{3} + q_n cdot frac{1}{3} + r_n cdot frac{1}{3} = frac{1}{3}(p_n + q_n + r_n) = boxed{frac{1}{3}}$$

(3) の解答

漸化式より、$n geq 1$ で $p_n = boxed{frac{1}{3}}$（定数）

【練習問題3】回転体の体積

解答・解説

$y = sqrt{x}$ より $y^2 = x$

$x$ 軸回転なので、ディスク法を用います。

$$V = pi int_{0}^{4} y^2 , dx = pi int_{0}^{4} x , dx$$

$$= pi left[frac{x^2}{2}right]_{0}^{4} = pi cdot frac{16}{2} = boxed{8pi}$$

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最後に ― 名工大合格を目指すあなたへ

名古屋工業大学は、中部地方を代表する工学系の名門大学です。その入試数学は、基礎をしっかり固めた上で、応用力と計算力を磨けば必ず攻略できます。

2011年度の問題を通じて見てきたように、名工大の数学は決して奇問や難問ではありません。標準的な問題を確実に解ける力を身につけることが、合格への最短ルートです。

今回の解説が、皆さんの受験勉強の一助となれば幸いです。わからないことがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾にご相談ください。

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数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介

まとめ：2011年度 名古屋工業大学 数学のポイント

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