名古屋大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！数強塾・日本数学塾講師の藤原進之介です。

今回は、名古屋大学 2019年度 前期日程 理系数学の過去問を徹底解説していきます！名大数学は旧帝大の中でも良問が多く、しっかり対策すれば確実に得点できる問題が出題されます。この年度は例年に比べてやや難化した年でしたが、一つ一つ丁寧に解説していきますので、最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2019年度 名古屋大学 前期日程 理系数学 試験概要

項目	内容
試験時間	150分
問題数	大問4題
配点	500点満点（理学部・工学部など）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B
解答形式	全問記述式

2019年度の全体講評

2019年度の名古屋大学理系数学は、前年度と比較してやや難化しました。特に以下の特徴が見られました：

• 第1問：積分計算と回転体の体積（標準〜やや難）
• 第2問：空間図形と三角比の融合問題（標準）
• 第3問：関数の性質と微分（標準）
• 第4問：確率と整数の融合問題（難）

昨年の穏やかなセットとは打って変わり、計算量・思考量ともに増加しています。第1問の(3)は類題経験がないと厳しく、第4問の(4)は本セット最難問です。ただし、小問に分かれている分、部分点は確保しやすい構成になっています。

標準解答時間の目安は約145分と、試験時間150分とほぼ同等。時間配分を意識しながら、取れる問題を確実に得点することが合格への鍵となります。

難易度評価

大問	分野	難易度	目標得点率
第1問	積分・体積	★★★☆☆（標準〜やや難）	70%
第2問	空間図形	★★★☆☆（標準）	80%
第3問	微分・関数	★★★☆☆（標準）	75%
第4問	確率・整数	★★★★★（難）	50%

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大問1：積分計算と回転体の体積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】I₁ の計算

まず、I₁ = ∫₀^π/3 dθ / cosθ を計算します。

Step 1：被積分関数の変形

1/cosθ の積分は、有名な定積分です。以下のように変形します：

Step 2：置換積分

t = sinθ とおくと、dt = cosθ dθ

θ：0 → π/3 のとき、t：0 → √3/2

よって：

I₁ = ∫₀^√3/2 dt/(1 - t²) = ∫₀^√3/2 dt/((1-t)(1+t))

Step 3：部分分数分解

1/((1-t)(1+t)) = (1/2)·(1/(1-t) + 1/(1+t))

I₁ = (1/2)∫₀^√3/2 (1/(1-t) + 1/(1+t)) dt

= (1/2)[-log|1-t| + log|1+t|]₀^√3/2

= (1/2)[log((1+t)/(1-t))]₀^√3/2

= (1/2)·log((1 + √3/2)/(1 - √3/2))

= (1/2)·log((2 + √3)/(2 - √3))

分母を有理化すると：

= (1/2)·log((2 + √3)²/((2 - √3)(2 + √3)))

= (1/2)·log((2 + √3)²/1) = (1/2)·log(2 + √3)² = log(2 + √3)

【(2) の解説】漸化式の導出

n ≥ 2 のとき、I_n と I_n-2 の関係式（漸化式）を導きます。

Step 1：部分積分の準備

ここで、(tanθ)' = 1/cos²θ であることを利用して部分積分します。

Step 2：部分積分の実行

f(θ) = 1/cos^n-2θ, g'(θ) = 1/cos²θ とおくと：

• f'(θ) = (n-2)·sinθ/cos^n-1θ
• g(θ) = tanθ

部分積分により：

I_n = [tanθ/cos^n-2θ]₀^π/3 - ∫₀^π/3 tanθ·(n-2)·sinθ/cos^n-1θ dθ

= [sinθ/cos^n-1θ]₀^π/3 - (n-2)∫₀^π/3 sin²θ/cosⁿθ dθ

Step 3：sin²θ = 1 - cos²θ を利用

I_n = (√3/2)/(1/2)^n-1 - (n-2)∫₀^π/3 (1 - cos²θ)/cosⁿθ dθ

= √3·2^n-2 - (n-2)(I_n - I_n-2)

I_n = √3·2^n-2 - (n-2)I_n + (n-2)I_n-2

(n-1)I_n = √3·2^n-2 + (n-2)I_n-2

【(3) の解説】回転体の体積

Step 1：体積の公式の適用

曲線 y = 1/cosx（0 ≤ x ≤ π/3）を x 軸のまわりに回転させた体積 V は：

V = π∫₀^π/3 y² dx = π∫₀^π/3 1/cos²x dx = πI₂

Step 2：I₂ の計算

(2)の漸化式で n = 2 とすると：

I₂ = (√3·2⁰ + 0·I₀)/(2-1) = √3

（注：n = 2 の場合、式中の (n-2)I_n-2 = 0·I₀ = 0）

または、直接計算すると：

I₂ = ∫₀^π/3 1/cos²θ dθ = [tanθ]₀^π/3 = tan(π/3) - tan(0) = √3

別解・発展

【(1)の別解】直接公式を使う方法

∫(1/cosx)dx = log|tanx + 1/cosx| + C という公式を知っていれば直接代入できます。

I₁ = [log|tanx + 1/cosx|]₀^π/3 = log|√3 + 2| - log|0 + 1| = log(2 + √3)

【発展】この問題から学ぶべきこと

• 1/cosⁿθ の積分は、旧帝大や難関大で頻出のパターンです
• 漸化式を導く際の「sin²θ = 1 - cos²θ」の変形は必須テクニック
• 部分積分で指数を下げていく手法は、様々な積分問題で応用可能

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大問2：空間図形と三角比

問題

解説・解法のポイント

【問題の把握】図を正確に描く

この問題では、空間図形を正確に把握することが最も重要です。

設定の確認：

• 平面 α 上に直角三角形 ABC がある（元の位置）
• ∠BAC = 90°、AB = 1、AC = 2
• 辺 AC を軸として回転させる
• 回転後、辺 B'C と平面 α のなす角が θ

【(1) の解説】AH の長さ

Step 1：座標系の設定

点 A を原点、AC を x 軸正の向き、平面 α 上で AC に垂直な方向を y 軸、平面 α に垂直な方向を z 軸とします。

• A = (0, 0, 0)
• C = (2, 0, 0)
• 回転前の B = (0, 1, 0)

Step 2：回転後の B' の座標

B は AC（x軸）を軸として回転するので：

• B' = (0, cosφ, sinφ)　（φ は回転角）

ここで、辺 B'C と平面 α のなす角が θ となる条件を求めます。

Step 3：角度 θ の条件

B'C のベクトルは (2, -cosφ, -sinφ)

平面 α への射影は (2, -cosφ, 0)

B'C と平面 α のなす角 θ について：

sinθ = |B'の z 座標|/|B'C| = sinφ/√(4 + cos²φ + sin²φ) = sinφ/√5

したがって sinφ = √5 sinθ

Step 4：H の座標と AH

H は B' から平面 α に下ろした垂線の足なので：

• H = (0, cosφ, 0)

cosφ = √(1 - sin²φ) = √(1 - 5sin²θ)

【(2) の解説】B'H の長さ

B'H は B' の z 座標の絶対値に等しいので：

B'H = |sinφ| = √5 sinθ

【(3) の解説】三角形 AB'C の面積

Step 1：AB' と AC の関係

A = (0, 0, 0)、B' = (0, cosφ, sinφ)、C = (2, 0, 0) より：

• AB' = (0, cosφ, sinφ)、|AB'| = 1
• AC = (2, 0, 0)、|AC| = 2

Step 2：内積と面積

AB'·AC = 0 なので、回転後も ∠B'AC = 90°

三角形 AB'C の面積は：

S = (1/2)·|AB'|·|AC| = (1/2)·1·2 = 1

別解・発展

【重要な気づき】

三角形の面積が θ によらず一定という結果は、「回転軸を含む2辺のなす角が変わらない」という事実から直接導けます。辺 AC を軸として回転させても、∠BAC = 90° は保存されるため、面積は常に (1/2)×1×2 = 1 となります。

このような「回転しても不変な量」を見抜くことが、空間図形問題攻略の鍵です。

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大問3：関数の性質と微分

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】極値の計算

Step 1：f'(x) の計算

f'(x) = 3x² - 6ax + 3a² = 3(x² - 2ax + a²) = 3(x - a)²

Step 2：極値の判定

f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0 であり、f'(x) = 0 となるのは x = a のときのみ。

f'(x) は x = a で符号が変わらない（常に 0 以上）ため、f(x) は極値を持たない。

【(2) の解説】異なる3つの実数解の条件

Step 1：f(x) の因数分解

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x = x(x² - 3ax + 3a²)

よって、x = 0 は常に解の一つ。

Step 2：残りの因数の条件

g(x) = x² - 3ax + 3a² とおくと、f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ条件は：

1. g(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつ（判別式 > 0）
2. g(0) ≠ 0（x = 0 と重複しない）

条件1：判別式 > 0

D = (3a)² - 4·3a² = 9a² - 12a² = -3a² < 0（a ≠ 0 のとき）

判別式が常に負（a ≠ 0 のとき）なので、g(x) = 0 は実数解を持ちません。

Step 3：結論

a ≠ 0 のとき、x² - 3ax + 3a² = 0 は実数解を持たないため、f(x) = 0 は x = 0 のみが実数解となります。

a = 0 のとき、f(x) = x³ となり、x = 0 が3重解（異なる3解ではない）。

※注：この結論は問題の意図と異なる可能性があります。問題文の正確な条件によっては、異なるアプローチが必要になる場合があります。

別解・発展

【発展的考察】

もし問題が f(x) = k（k は定数）の形で出題されていた場合、グラフの平行移動を考えることで、3実数解の条件を導くことができます。

y = f(x) のグラフと y = k の交点の個数を調べるには、f(x) の増減表を詳しく分析する必要があります。

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大問4：確率と整数（サイクル問題）

問題

解説・解法のポイント

【問題の理解】サイクルとは

この問題は、置換（permutation）のサイクル構造に関する問題です。

例えば n = 4 で、玉の配置が (a₁, a₂, a₃, a₄) = (2, 3, 1, 4) の場合：

• 箱1 → 玉2 → 箱2 → 玉3 → 箱3 → 玉1 → 箱1（戻った！）
• サイクルの長さは3（箱1, 2, 3を巡った）

【(1) の解説】サイクルの長さが1の確率（n = 4）

Step 1：長さ1の条件

サイクルの長さが1 ⟺ 箱1に玉1が入っている ⟺ a₁ = 1

Step 2：確率の計算

全ての玉の配置の総数は 4! = 24 通り

a₁ = 1 となる配置の数は 3! = 6 通り（残り3個の玉を3つの箱に入れる）

【(2) の解説】サイクルの長さが2の確率（n = 4）

Step 1：長さ2の条件

サイクルの長さが2 ⟺ a₁ = k（k ≠ 1）かつ a_k = 1

つまり、箱1と箱k（k = 2, 3, または 4）の間で玉が入れ替わっている状態。

Step 2：場合の数

• k の選び方：3通り（k = 2, 3, 4）
• 残りの2つの箱への玉の入れ方：2! = 2通り

長さ2となる配置の数 = 3 × 2 = 6 通り

【(3) の解説】サイクルの長さが n の確率

Step 1：長さ n の条件

サイクルの長さが n ⟺ 箱1から出発して、全ての箱を1回ずつ巡ってから箱1に戻る

これは、1 → a₁ → a_a1 → ⋯ → 1 という巡回が全ての番号を含むことを意味します。

Step 2：巡回置換の数え上げ

n 個の要素の巡回置換（1つのサイクルで全要素を含む）の総数は (n-1)! です。

理由：

• 1を固定して、残り (n-1) 個の要素を円順列として並べる
• 円順列の数は (n-1)!

Step 3：確率の計算

P(長さ n) = (n-1)! / n! = (n-1)! / (n·(n-1)!) = 1/n

【(4) の解説】期待値の計算（最難問）

この小問が本セット最大の難所です。

Step 1：確率変数の定義

X を「箱1を含むサイクルの長さ」とすると、X は 1, 2, ..., n のいずれかの値をとります。

Step 2：P(X = k) の計算

サイクルの長さが k である確率 P(X = k) を求めます。

長さ k のサイクルに箱1が含まれる場合：

• 箱1以外に含まれる (k-1) 個の箱の選び方：_n-1C_k-1 通り
• 選んだ k 個の箱で長さ k のサイクルを作る方法：(k-1)! 通り
• 残り (n-k) 個の箱への玉の入れ方：(n-k)! 通り

P(X = k) = (_n-1C_k-1 × (k-1)! × (n-k)!) / n!

= ((n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)) × (k-1)! × (n-k)!) / n!

= (n-1)! / n! = 1/n

驚くべき結果：P(X = k) = 1/n（k = 1, 2, ..., n の全てで同じ！）

Step 3：期待値の計算

E[X] = Σ_k=1ⁿ k · P(X = k) = Σ_k=1ⁿ k · (1/n) = (1/n) · Σ_k=1ⁿ k

= (1/n) · (n(n+1)/2) = (n+1)/2

別解・発展

【別解】指示変数を用いた期待値計算

X_i を「箱 i が箱1と同じサイクルに含まれるとき1、そうでないとき0」とする指示変数（indicator variable）とします。

すると、サイクルの長さは X = X₁ + X₂ + ⋯ + X_n（X₁ = 1 は確定）

期待値の線形性より：

E[X] = E[X₁] + E[X₂] + ⋯ + E[X_n] = 1 + Σ_i=2ⁿ P(X_i = 1)

対称性から、P(X_i = 1) = P(箱 i が箱1と同じサイクル) は i ≠ 1 に対して全て等しく、その値は 1/2 であることが示せます。

よって E[X] = 1 + (n-1) · (1/2) = 1 + (n-1)/2 = (n+1)/2

【発展】組合せ論との関連

この問題は、対称群 S_n のサイクル構造という、代数学・組合せ論で重要なテーマと深く関連しています。「任意の要素を含むサイクルの長さが一様分布に従う」という美しい結果は、様々な確率論的問題に応用されます。

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この年度の重要テーマと対策

2019年度の出題傾向分析

2019年度の名古屋大学理系数学から読み取れる重要なポイントをまとめます。

1. 積分の計算力が必須

2. 空間図形の把握能力

3. 確率と整数の融合問題

名古屋大学 数学攻略の5つの鉄則

鉄則	内容
① 計算力の徹底強化	名大数学は計算量が多い。日頃から手を動かして計算する習慣を
② 小問の誘導を活かす	小問は後の問題へのヒント。(1)(2)の結果を必ず(3)で使う意識を
③ 図を正確に描く	空間図形は図の理解が9割。時間をかけても正確な図を描く
④ 典型問題の習得	積分の漸化式、回転体の体積など、典型パターンは完璧に
⑤ 時間配分の意識	150分で4問。1問平均35分。難問は後回しにする勇気を

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2019年度の問題で学んだ内容を定着させるため、類似の練習問題に挑戦しましょう！

【練習問題1】積分の漸化式

▶ 解答・解説を見る

(1) の解答

J₁ = ∫₀^π/4 tanθ dθ = ∫₀^π/4 (sinθ/cosθ) dθ

= [-log(cosθ)]₀^π/4 = -log(1/√2) + log(1) = log√2 = (1/2)log2

(2) の解答

J_n + J_n-2 = ∫₀^π/4 (tanⁿθ + tan^n-2θ) dθ

= ∫₀^π/4 tan^n-2θ(tan²θ + 1) dθ

= ∫₀^π/4 tan^n-2θ · (1/cos²θ) dθ

= [tan^n-1θ/(n-1)]₀^π/4 = 1/(n-1)

(3) の解答

J₂ + J₀ = 1 より、J₂ = 1 - π/4

J₄ + J₂ = 1/3 より、J₄ = 1/3 - J₂ = 1/3 - (1 - π/4) = π/4 - 2/3

【練習問題2】空間図形と角度

▶ 解答・解説を見る

(1) の解答

C は AB（x軸）を軸として回転するので、C の x 座標は不変。

元の C = (1, √3, 0) について、(y, z) 成分が回転する。

回転後：C' = (1, √3 cosθ, √3 sinθ)

(2) の解答

C' と xy平面との距離は C' の z 座標の絶対値。

距離 = √3 sinθ

(3) の解答

正射影は A = (0, 0, 0)、B = (2, 0, 0)、C'' = (1, √3 cosθ, 0) を頂点とする三角形。

底辺 AB = 2、高さ = √3 cosθ

面積 = (1/2) × 2 × √3 cosθ = √3 cosθ

【練習問題3】サイクルと確率

▶ 解答・解説を見る

(1) の解答

X = 1 ⟺ 左端（1番目の位置）にカード1がある

P(X = 1) = 1/5

(2) の解答

X = 2 ⟺ 1番目の位置にカード k（k ≠ 1）があり、k 番目の位置にカード 1 がある

k の選び方：4通り

残り3枚の並べ方：3! = 6通り

P(X = 2) = (4 × 6) / 5! = 24/120 = 1/5

(3) の解答

本問の設定では、P(X = k) = 1/5（k = 1, 2, 3, 4, 5）が成り立つ。

E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)/5 = 15/5 = 3

（一般に n 枚の場合、期待値は (n+1)/2）

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日本数学塾・数強塾で名古屋大学合格を目指そう

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まとめ

2019年度の名古屋大学理系数学を振り返りました。

名古屋大学の数学は、典型問題の習得と計算力の強化が合格への近道です。本記事で解説した問題を何度も復習し、類似問題にも積極的に取り組んでください。

質問や相談があれば、数強塾・日本数学塾までお気軽にお問い合わせください。皆さんの名古屋大学合格を心から応援しています！

文責：藤原進之介（数強塾・日本数学塾講師）

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補足：2019年度 名古屋大学数学の詳細分析

ここからは、各大問についてさらに詳しい分析と、受験生が陥りやすいミスについて解説します。

第1問の補足：積分計算のコツと注意点

よくあるミス①：置換積分での積分範囲の変換忘れ

置換積分を行う際、変数を変えたら積分範囲も必ず変換する必要があります。

よくあるミス②：部分分数分解の係数ミス

1/((1-t)(1+t)) の部分分数分解では、係数の計算を慎重に行いましょう。

積分の漸化式：出題パターンまとめ

名古屋大学をはじめとする旧帝大では、以下のような積分の漸化式が頻出です：

パターン	漸化式の形	解法のポイント
∫sinnx dx	In = ((n-1)/n)In-2	sin²x = 1 - cos²x を利用
∫cosnx dx	In = ((n-1)/n)In-2	cos²x = 1 - sin²x を利用
∫tannx dx	In + In-2 = 1/(n-1)	tan²x = 1/cos²x - 1 を利用
∫(1/cosnx) dx	本問のタイプ	部分積分で指数を下げる
∫xnex dx	In = xnex - nIn-1	部分積分の繰り返し
∫(logx)n dx	In = x(logx)n - nIn-1	部分積分の繰り返し

回転体の体積：公式の使い分け

回転体の体積を求める際は、どの軸のまわりに回転するかによって公式が変わります。

第2問の補足：空間図形問題の攻略法

座標設定の重要性

空間図形の問題では、座標の設定が解答のしやすさを大きく左右します。以下のポイントを意識しましょう：

1. 原点の選び方：回転軸上の点、または図形の特徴的な点を原点に
2. 軸の方向：回転軸や対称軸を座標軸に合わせる
3. 図形の配置：できるだけ座標が簡単になるように配置

回転の表現方法

空間での回転は、回転軸によって以下のように表現できます：

「平面との角度」の求め方

直線と平面のなす角を求める際の基本公式：

第3問の補足：微分と関数の性質

極値の存在条件

関数 f(x) が x = a で極値をとるための条件を整理します：

3次関数の特徴

f(x) = ax³ + bx² + cx + d（a ≠ 0）について：

• f'(x) = 3ax² + 2bx + c は2次関数
• f'(x) = 0 の判別式 D = 4b² - 12ac によって極値の有無が決まる
  • D > 0：異なる2つの極値をもつ
  • D = 0：極値をもたない（変曲点で接線が水平）
  • D < 0：極値をもたない（単調増加または単調減少）

第4問の補足：確率問題の思考法

置換のサイクル構造

この問題の背景にある「置換のサイクル構造」について、もう少し詳しく解説します。

期待値計算のテクニック：指示変数

複雑な確率変数の期待値を求める際、指示変数（indicator variable）を使うと計算が簡単になることがあります。

対称性の活用

確率問題では、対称性を見抜くことで計算を大幅に簡略化できることがあります。

第4問では「任意の箱 i を含むサイクルの長さの分布は、どの i でも同じ」という対称性が成り立ちます。これにより、箱1に限定して考えても一般性を失いません。

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名古屋大学 数学の年度別難易度推移

過去の出題傾向を把握することで、効果的な対策が可能になります。

年度	難易度	特徴	標準解答時間目安
2019	★★★★☆（やや難）	計算量増加、第4問が難問	145分
2018	★★★☆☆（標準）	穏やかなセット	125分
2017	★★★★☆（やや難）	思考力を問う問題が多い	160分
2016	★★★★★（難）	第4問が超難問	200分（4番除けば80分）
2015	★★★★☆（やや難）	バランスの取れた出題	145分

この表からわかるように、名古屋大学の数学は年度によって難易度の変動があります。2016年のような難化年でも、部分点を積み上げる戦略が有効です。

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分野別 頻出テーマと対策

【最頻出】微分・積分（数学Ⅲ）

【頻出】確率

【頻出】ベクトル・空間図形

【やや頻出】数列

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受験生へのメッセージ

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