明治大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

【問1】 次の式の値を求めよ。

log₂3 × log₃4 × log₄8

【問2】 0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 を満たすθの値をすべて求めよ。

【問3】 赤玉3個、白玉4個、青玉2個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、3個とも異なる色である確率を求めよ。

【問4】 2桁の正の整数nで、nを7で割った余りが5であり、かつnを11で割った余りが3であるものをすべて求めよ。

【問5】 不等式 |2x - 3| < x + 1 を解け。

解答

log₂3 × log₃4 × log₄8

= log₂3 × (log₂4 / log₂3) × (log₂8 / log₂4)

= log₂3 × (2 / log₂3) × (3 / 2)

= 2 × (3/2)

= 3

解答

sin²θ = 1 - cos²θ を代入して：

2(1 - cos²θ) + 3cosθ - 3 = 0

2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3 = 0

-2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0

2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0

(2cosθ - 1)(cosθ - 1) = 0

cosθ = 1/2 または cosθ = 1

0 ≤ θ < 2π より：

θ = 0, π/3, 5π/3

解答

全体の取り出し方：₉C₃ = 84通り

3色から1個ずつ取り出す場合：

赤から1個：₃C₁ = 3通り

白から1個：₄C₁ = 4通り

青から1個：₂C₁ = 2通り

よって、3色から1個ずつ：3 × 4 × 2 = 24通り

確率 = 24/84 = 2/7

解答

n ≡ 5 (mod 7) より n = 7k + 5（kは0以上の整数）

これを n ≡ 3 (mod 11) に代入：

7k + 5 ≡ 3 (mod 11)

7k ≡ -2 ≡ 9 (mod 11)

7 × 8 = 56 ≡ 1 (mod 11) より、7の逆元は8

k ≡ 8 × 9 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11)

k = 11m + 6（mは0以上の整数）

n = 7(11m + 6) + 5 = 77m + 47

10 ≤ n ≤ 99 より、10 ≤ 77m + 47 ≤ 99

m = 0 のとき n = 47

答え：n = 47

解答

まず、x + 1 > 0、すなわち x > -1 が必要条件

（ⅰ）x ≥ 3/2 のとき

2x - 3 < x + 1

x < 4

よって、3/2 ≤ x < 4

（ⅱ）-1 < x < 3/2 のとき

-(2x - 3) < x + 1

-2x + 3 < x + 1

2 < 3x

x > 2/3

よって、2/3 < x < 3/2

（ⅰ）（ⅱ）を合わせて：2/3 < x < 4

数直線上に点Pがあり、最初は原点にいる。1個のさいころを投げて、1または2の目が出たら点Pは正の方向に1だけ進み、3から6の目が出たら負の方向に1だけ進むものとする。

（1）さいころを3回投げた後、点Pが座標1にいる確率を求めよ。

（2）さいころをn回投げた後、点Pが原点にいる確率をP_nとする。P_nを求めよ。

（3）さいころをn回投げた後、点Pの座標が正である確率をQ_nとする。Q_nをnを用いて表せ。

解答

正の方向に進む確率 = 2/6 = 1/3

負の方向に進む確率 = 4/6 = 2/3

3回中、正に2回、負に1回進む場合の数：₃C₂ = 3

確率 = 3 × (1/3)² × (2/3) = 3 × (1/9) × (2/3) = 2/9

解答

nが奇数のとき：P_n = 0

nが偶数（n = 2m）のとき：

正にm回、負にm回進む

P_2m = _2mC_m × (1/3)^m × (2/3)^m

= _2mC_m × (2/9)^m

P_n = _nC_n/2 × (2/9)^n/2（nが偶数のとき）

解答

n回後の座標をXとすると、X = (正の移動回数) - (負の移動回数)

正の移動回数をkとすると、X = k - (n - k) = 2k - n

X > 0 ⟺ k > n/2

Q_n = Σ_{k=⌈(n+1)/2⌉}ⁿ _nC_k (1/3)^k(2/3)^n-k

対称性と確率の性質を利用すると：

（座標が正の確率）+（座標が負の確率）+（座標が0の確率）= 1

座標が負の確率をR_nとすると、p = 1/3, q = 2/3 のとき一般にQ_n ≠ R_n

具体的な計算により：

n = 1: Q₁ = 1/3

n = 2: Q₂ = (1/3)² = 1/9

n = 3: Q₃ = (1/3)³ + 3×(1/3)²×(2/3) = 1/27 + 6/27 = 7/27

関数 f(x) = x³ - 3x について、以下の問いに答えよ。

（1）f(x)の極値を求めよ。

（2）曲線 y = f(x) と直線 y = ax が異なる3点で交わるとき、定数aの値の範囲を求めよ。

（3）(2)の条件を満たすとき、曲線 y = f(x) と直線 y = ax で囲まれた2つの部分の面積の和Sをaを用いて表せ。

（4）(3)のSの最小値を求めよ。

解答

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x - 1)

f'(x) = 0 のとき x = -1, 1

x	…	-1	…	1	…
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(-1) = -1 + 3 = 2 （極大値）

f(1) = 1 - 3 = -2 （極小値）

極大値：2（x = -1）、極小値：-2（x = 1）

解答

x³ - 3x = ax

x³ - (3 + a)x = 0

x(x² - (3 + a)) = 0

x = 0 または x² = 3 + a

異なる3点で交わる条件は、x² = 3 + a が x ≠ 0 の2つの実数解を持つこと

すなわち 3 + a > 0

a > -3

解答

a > -3 のとき、3つの交点は x = -√(3+a), 0, √(3+a)

β = √(3+a) とおくと、交点は -β, 0, β

f(x) - ax = x³ - 3x - ax = x³ - (3+a)x = x(x² - β²) = x(x - β)(x + β)

面積S = ∫_-β⁰ |f(x) - ax| dx + ∫₀^β |f(x) - ax| dx

-β < x 0、0 < x < β で f(x) - ax < 0

S = ∫_-β⁰ (x³ - (3+a)x) dx + ∫₀^β (-(x³ - (3+a)x)) dx

対称性より：

S = 2∫₀^β ((3+a)x - x³) dx

= 2[(3+a)x²/2 - x⁴/4]₀^β

= 2((3+a)β²/2 - β⁴/4)

= (3+a)β² - β⁴/2

β² = 3 + a より：

S = (3+a)² - (3+a)²/2 = (

S = (3+a)² - (3+a)²/2 = (3+a)²/2

S = (3+a)²/2 = (a+3)²/2

解答

S = (a+3)²/2 において、a > -3 の範囲で最小値を求める。

S = (a+3)²/2 は a = -3 で最小値 0 をとるが、a > -3（等号なし）という条件があるため、

a → -3 のとき S → 0 に近づくが、S = 0 は達成されない。

したがって、最小値は存在しない（下限は0だが、最小値としては達成されない）

※問題の意図によっては、「Sは正の値をとり、a → -3 のとき S → 0 に限りなく近づく」という解答が求められる場合もあります。

空間内に4点 O(0, 0, 0)、A(2, 0, 0)、B(0, 3, 0)、C(0, 0, 4) がある。

（1）三角形ABCの面積を求めよ。

（2）点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとするとき、点Hの座標を求めよ。

（3）四面体OABCの体積を求めよ。

（4）四面体OABCの内接球の半径を求めよ。

解答

→AB = B - A = (-2, 3, 0)

→AC = C - A = (-2, 0, 4)

外積 →AB × →AC を計算：

→AB × →AC = (3×4 - 0×0, 0×(-2) - (-2)×4, (-2)×0 - 3×(-2))

= (12, 8, 6)

|→AB × →AC| = √(144 + 64 + 36) = √244 = 2√61

三角形ABCの面積 = (1/2)|→AB × →AC| = √61

解答

平面ABCの方程式を求める。法線ベクトルは →AB × →AC = (12, 8, 6) に平行。

簡単のため (6, 4, 3) を法線ベクトルとする。

平面ABCは点A(2, 0, 0)を通るので：

6(x - 2) + 4(y - 0) + 3(z - 0) = 0

6x + 4y + 3z = 12

点Oから平面ABCへの垂線は、方向ベクトル(6, 4, 3)を持ち、点O(0, 0, 0)を通る：

x = 6t, y = 4t, z = 3t （tはパラメータ）

これを平面の方程式に代入：

6(6t) + 4(4t) + 3(3t) = 12

36t + 16t + 9t = 12

61t = 12

t = 12/61

H = (6 × 12/61, 4 × 12/61, 3 × 12/61)

H = (72/61, 48/61, 36/61)

解答

方法1：公式を利用

四面体OABCの体積 = (1/6)|→OA · (→OB × →OC)|

→OA = (2, 0, 0), →OB = (0, 3, 0), →OC = (0, 0, 4)

→OB × →OC = (3×4 - 0×0, 0×0 - 0×4, 0×0 - 3×0) = (12, 0, 0)

→OA · (→OB × →OC) = 2×12 + 0×0 + 0×0 = 24

体積 = (1/6) × |24| = 4

方法2：底面と高さ

底面を三角形OABとすると、面積 = (1/2) × 2 × 3 = 3

高さ = 4（Cのz座標）

体積 = (1/3) × 3 × 4 = 4 ✓

解答

内接球の半径をrとすると、四面体の体積Vと表面積Sの間には次の関係がある：

V = (1/3) × r × S

よって r = 3V/S

表面積Sを求める：

・三角形OAB：(1/2) × 2 × 3 = 3

・三角形OBC：(1/2) × 3 × 4 = 6

・三角形OCA：(1/2) × 4 × 2 = 4

・三角形ABC：√61（(1)より）

S = 3 + 6 + 4 + √61 = 13 + √61

r = 3 × 4 / (13 + √61) = 12 / (13 + √61)

有理化：

r = 12(13 - √61) / ((13 + √61)(13 - √61))

= 12(13 - √61) / (169 - 61)

= 12(13 - √61) / 108

= (13 - √61) / 9

r = (13 - √61)/9

数列{a_n}を次のように定義する。

a₁ = 1, a_n+1 = √(2 + a_n) (n = 1, 2, 3, ...)

（1）すべての自然数nに対して a_n < 2 であることを証明せよ。

（2）数列{a_n}が単調増加であることを証明せよ。

（3）lim_n→∞ a_n を求めよ。

（4）b_n = 2 - a_n とおくとき、lim_n→∞ n × b_n を求めよ。

解答

【証明】数学的帰納法による。

(i) n = 1 のとき

a₁ = 1 < 2 ✓

(ii) n = k のとき a_k < 2 と仮定する

a_k+1 = √(2 + a_k) < √(2 + 2) = √4 = 2

よって n = k + 1 のときも a_k+1 < 2 ✓

(i)(ii)より、すべての自然数nに対して a_n < 2 である。 ■

解答

a_n+1 - a_n > 0 を示す。

a_n+1² - a_n² = (2 + a_n) - a_n² = -(a_n² - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1)

(1)より a_n < 2、また a_n > 0（帰納的に示せる）なので：

a_n - 2 < 0, a_n + 1 > 0

よって a_n+1² - a_n² = -(負)(正) = 正 > 0

a_n+1 > 0, a_n > 0 より a_n+1 > a_n

したがって {a_n} は単調増加である。 ■

解答

(1)(2)より、{a_n}は上に有界（< 2）かつ単調増加なので、極限値αが存在する。

a_n+1 = √(2 + a_n) の両辺で n → ∞ とすると：

α = √(2 + α)

α² = 2 + α

α² - α - 2 = 0

(α - 2)(α + 1) = 0

α = 2 または α = -1

a_n > 0 より α ≥ 0 なので α = -1 は不適。

lim_n→∞ a_n = 2

解答

b_n = 2 - a_n とおくと、b_n → 0 (n → ∞)

b_n+1 = 2 - a_n+1 = 2 - √(2 + a_n) = 2 - √(4 - b_n)

有理化：

b_n+1 = (2 - √(4 - b_n)) × (2 + √(4 - b_n)) / (2 + √(4 - b_n))

= (4 - (4 - b_n)) / (2 + √(4 - b_n))

= b_n / (2 + √(4 - b_n))

n → ∞ のとき b_n → 0 なので：

b_n+1/b_n → 1/(2 + 2) = 1/4

これは b_n ≈ C × (1/4)ⁿ の形で減少することを示唆。

より精密に：b_n ～ C × (1/4)ⁿ = C × 4^-n

n × b_n ～ n × C × 4^-n → 0 (n → ∞)

lim_n→∞ n × b_n = 0

問題

（1）log₂5 × log₅8 の値を求めよ。

（2）方程式 4^x - 5 × 2^x + 4 = 0 を解け。

（3）不等式 log₂(x + 3) + log₂(x - 1) ≤ 3 を解け。

（1）の解答

log₂5 × log₅8 = log₂5 × (log₂8 / log₂5) = log₂8 = 3

（2）の解答

2^x = t (t > 0) とおくと：

t² - 5t + 4 = 0

(t - 1)(t - 4) = 0

t = 1 または t = 4

2^x = 1 より x = 0

2^x = 4 より x = 2

x = 0, 2

（3）の解答

真数条件：x + 3 > 0 かつ x - 1 > 0 より x > 1

log₂(x + 3)(x - 1) ≤ 3

(x + 3)(x - 1) ≤ 8

x² + 2x - 3 ≤ 8

x² + 2x - 11 ≤ 0

x = (-2 ± √48)/2 = -1 ± 2√3

-1 - 2√3 ≤ x ≤ -1 + 2√3

x > 1 との共通部分：1 < x ≤ -1 + 2√3

問題

A, B の2人がじゃんけんを繰り返し、先に2回勝った方を優勝とするゲームを行う。引き分けの場合はカウントしない。

（1）ちょうど3回のじゃんけんで優勝が決まる確率を求めよ。

（2）ちょうどn回のじゃんけんで優勝が決まる確率 P_n を求めよ（n ≥ 2）。

（3）優

（3）優勝が決まるまでのじゃんけんの回数の期待値を求めよ。

（1）の解答

1回のじゃんけんで勝敗がつく確率は 2/3（引き分けは 1/3）

勝敗がついたとき、Aが勝つ確率は 1/2、Bが勝つ確率も 1/2

ちょうど3回で優勝が決まるのは、以下のパターン：

• 最初の2回で1勝1敗、3回目で決着

2回のじゃんけんで1勝1敗となる確率：

・勝敗がつく確率 = 2/3（各回）

・2回とも勝敗がつき、1勝1敗となる：(2/3)² × 2 × (1/2)² × 2 = (4/9) × (1/2) = 2/9

より簡単に考えると：

勝敗がつく回のみに注目。最初の2回の勝敗のついた試合で1勝1敗、3回目で決着。

実際には引き分けを含めた計算が必要ですが、「勝敗がつく回のみカウント」と読み替えると：

勝敗回数がちょうど3回で決まる確率 = ₂C₁ × (1/2)² × (1/2) = 2 × 1/4 × 1/2 = 1/4

（※じゃんけんの「回数」と「勝敗がつく回数」を区別する必要があります。ここでは勝敗がつく回数で考えています）

（2）の解答

勝敗がつく回数がちょうどn回（n ≥ 2）で優勝が決まる確率：

n-1回目までに1勝1敗（同点）で、n回目に決着

P_n = _n-1C₁ × (1/2)^n-1 × (1/2) = (n-1) × (1/2)ⁿ

P_n = (n-1)/2ⁿ（n ≥ 2）

（3）の解答

期待値 E = Σ_n=2^∞ n × P_n = Σ_n=2^∞ n(n-1)/2ⁿ

計算のテクニック：

Σ_n=1^∞ xⁿ = x/(1-x) （|x| < 1）

両辺を微分：Σ_n=1^∞ nx^n-1 = 1/(1-x)²

両辺にxをかけて：Σ_n=1^∞ nxⁿ = x/(1-x)²

さらに微分：Σ_n=1^∞ n²x^n-1 = (1+x)/(1-x)³

これらを使って計算すると：

E = Σ_n=2^∞ n(n-1)/2ⁿ = Σ_n=2^∞ (n² - n)/2ⁿ

x = 1/2 を代入して計算すると：

E = 3

問題

放物線 C: y = x² - 2x と直線 ℓ: y = mx について、以下の問いに答えよ。

（1）C と ℓ が異なる2点で交わるとき、定数 m の値の範囲を求めよ。

（2）（1）の条件のもとで、C と ℓ で囲まれた部分の面積 S を m を用いて表せ。

（3）S = 32/3 となるとき、m の値を求めよ。

（1）の解答

x² - 2x = mx

x² - (2 + m)x = 0

x(x - (2 + m)) = 0

x = 0 または x = 2 + m

異なる2点で交わる条件：2 + m ≠ 0

m ≠ -2

（2）の解答

交点の x 座標は 0 と 2 + m

m > -2 のとき、0 < 2 + m なので：

S = ∫₀^2+m (mx - (x² - 2x)) dx = ∫₀^2+m (-(x² - (2+m)x)) dx

= ∫₀^2+m (-x(x - (2+m))) dx

1/6公式を適用：

S = (1/6)|2+m - 0|³ = (1/6)(2+m)³

m < -2 のとき、2 + m < 0 なので：

S = ∫_2+m⁰ (-(mx - (x² - 2x))) dx = (1/6)|0 - (2+m)|³ = (1/6)|2+m|³

いずれの場合も：

S = (1/6)|m + 2|³

（3）の解答

(1/6)|m + 2|³ = 32/3

|m + 2|³ = 64

|m + 2| = 4

m + 2 = 4 または m + 2 = -4

m = 2 または m = -6

① 基礎を徹底的に固める

明治大学の数学は、難問奇問ではなく、基礎の組み合わせで解ける問題がほとんどです。教科書レベルの問題を「なぜそうなるのか」まで理解しましょう。

② 計算力を鍛える

時間内に全問解くためには、計算スピードと正確性が不可欠です。毎日15分の計算練習を習慣にしましょう。

③ 頻出テーマを重点対策

微分・積分、確率、ベクトル、数列は毎年出題されます。これらの分野で確実に得点できるようにしましょう。

④ 時間配分を意識する

本番では時間との戦いです。過去問演習では必ず時間を計り、1問に固執しすぎない訓練をしましょう。

⑤ 部分点を意識する

記述式の問題では、最終答案だけでなく、途中過程も採点されます。丁寧な答案作成を心がけましょう。

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