九州大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

したがって、f(x) は極値を持ちません。f(x) = (x − a)³ + a は単調増加関数です。

ただし、x = a で f'(x) = 0 となり、これは変曲点です。

【STEP 3】方程式 f(x) = 0 の解の個数

f(x) = (x − a)³ + a = 0 より：

(x − a)³ = −a

x − a = −a^{1/3}（実数解は1つのみ）

x = a − a^{1/3}

3次関数 (x − a)³ + a = 0 は、y = (x − a)³ のグラフを y軸方向に a だけ平行移動したものです。y = t³ は単調増加なので、y = (x − a)³ + a も単調増加であり、x軸との交点は必ず1つだけです。

【注意】上記の問題は、実際の出題とは異なる可能性があります。実際の九州大学2012年度の問題では、より複雑な関数が出題されていた可能性があります。以下に、より一般的な微分の問題を想定した解説を追加します。

別解・発展（一般的な3次関数の場合）

一般的な3次関数 g(x) = x³ + px + q が異なる3つの実数解を持つ条件を考えます。

g'(x) = 3x² + p

極値を持つためには g'(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つ必要があり、これは p < 0 のときです。

p < 0 のとき、極値をとる x の値は x = ±√(−p/3) です。

極大値と極小値の積が負であれば、3つの実数解を持ちます：

g(√(−p/3)) × g(−√(−p/3)) < 0

この条件を整理すると、判別式 D = −4p³ − 27q² > 0 となります。

大問4：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】状態の設定

Sₙ を3で割った余りに注目します。余りは 0, 1, 2 の3通りです。

n回投げた後の状態を以下のように定義します：

• pₙ：Sₙ ≡ 0 (mod 3) である確率
• qₙ：Sₙ ≡ 1 (mod 3) である確率
• rₙ：Sₙ ≡ 2 (mod 3) である確率

明らかに pₙ + qₙ + rₙ = 1 です。

【STEP 2】さいころの目と余りの関係

さいころの目を3で割った余りを考えます：

• 1, 4 → 余り1（確率 2/6 = 1/3）
• 2, 5 → 余り2（確率 2/6 = 1/3）
• 3, 6 → 余り0（確率 2/6 = 1/3）

【STEP 3】p₁, p₂ の計算

p₁ の計算：

S₁ = a₁ が3の倍数となるのは、a₁ = 3 または a₁ = 6 のとき。

p₁ = 2/6 = 1/3

p₂ の計算：

S₂ = a₁ + a₂ が3の倍数となる場合を考えます。

• a₁ ≡ 0, a₂ ≡ 0 (mod 3)：確率 (1/3)(1/3) = 1/9
• a₁ ≡ 1, a₂ ≡ 2 (mod 3)：確率 (1/3)(1/3) = 1/9
• a₁ ≡ 2, a₂ ≡ 1 (mod 3)：確率 (1/3)(1/3) = 1/9

p₂ = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3

【STEP 4】漸化式の導出

Sₙ₊₁ ≡ 0 (mod 3) となるのは、以下の3つの場合です：

• Sₙ ≡ 0 かつ aₙ₊₁ ≡ 0 (mod 3)：確率 pₙ × (1/3)
• Sₙ ≡ 1 かつ aₙ₊₁ ≡ 2 (mod 3)：確率 qₙ × (1/3)
• Sₙ ≡ 2 かつ aₙ₊₁ ≡ 1 (mod 3)：確率 rₙ × (1/3)

したがって：

pₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (1/3)qₙ + (1/3)rₙ = (1/3)(pₙ + qₙ + rₙ) = 1/3

同様に計算すると、qₙ₊₁ = 1/3, rₙ₊₁ = 1/3 も成り立ちます。

これは、対称性から導かれる結果です。さいころの各目が出る確率が等しく、3で割った余りが0, 1, 2となる目の数も同じ（各2個ずつ）であるため、十分大きなnに対して pₙ = qₙ = rₙ = 1/3 となります。

実際、n ≥ 1 に対して pₙ = 1/3 が成り立つことが示されました。

別解・発展

発展：非対称な場合

もしさいころが偏っていて、余り0, 1, 2 が出る確率がそれぞれ α, β, γ（α + β + γ = 1）であった場合、漸化式は以下のようになります：

pₙ₊₁ = αpₙ + γqₙ + βrₙ

qₙ₊₁ = βpₙ + αqₙ + γrₙ

rₙ₊₁ = γpₙ + βqₙ + αrₙ

この連立漸化式を解くには、行列の対角化やその他のテクニックが必要になります。

大問5：空間ベクトル

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】ベクトルの設定

O を原点とし、a = OA→, b = OB→, c = OC→ とします。

条件より：

• |a| = |b| = |c| = 1
• a・b = b・c = c・a = cosθ

【STEP 2】体積公式の適用

四面体 OABC の体積は、スカラー三重積を用いて：

V = (1/6)|a・(b × c)|

スカラー三重積の2乗は、グラム行列式で計算できます：

[a・(b × c)]² = det(G)

ここで G はグラム行列：

G = [[a・a, a・b, a・c], [b・a, b・b, b・c], [c・a, c・b, c・c]]

= [[1, cosθ, cosθ], [cosθ, 1, cosθ], [cosθ, cosθ, 1]]

【STEP 3】行列式の計算

det(G) を計算します。

第1列から第2列、第3列を引くと：

det(G) = det([[1, cosθ−1, cosθ−1], [cosθ, 1−cosθ, 0], [cosθ, 0, 1−cosθ]])

第1行に第2行と第3行を加えると：

det(G) = det([[1+2cosθ, 0, 0], [cosθ, 1−cosθ, 0], [cosθ, 0, 1−cosθ]])

これは上三角行列なので：

det(G) = (1 + 2cosθ)(1 − cosθ)²

【STEP 4】体積の表現

V² = (1/36) × det(G) = (1/36)(1 + 2cosθ)(1 − cosθ)²

V > 0 より（θ の範囲で 1 + 2cosθ > 0 かつ 1 − cosθ > 0 を仮定）：

V = (1/6)√{(1 + 2cosθ)(1 − cosθ)²}

= (1/6)(1 − cosθ)√(1 + 2cosθ)

ただし、体積が正となる条件として 1 + 2cosθ > 0、すなわち cosθ > −1/2、つまり 0 < θ < 2π/3 が必要です。

【STEP 5】体積の最大化

t = cosθ とおくと、−1/2 < t < 1 の範囲で：

V = (1/6)(1 − t)√(1 + 2t)

V² = (1/36)(1 − t)²(1 + 2t) = f(t) とおき、f(t) を最大化します。

f(t) = (1/36)(1 − t)²(1 + 2t)

f'(t) = (1/36)[2(1 − t)(−1)(1 + 2t) + (1 − t)² × 2]

= (1/36) × 2(1 − t)[−(1 + 2t) + (1 − t)]

= (1/36) × 2(1 − t)(−3t)

= (1/18)(1 − t)(−3t)

= −(1/6)t(1 − t)

f'(t) = 0 となるのは t = 0 または t = 1 のとき。

−1/2 < t < 1 の範囲で、t = 0 が極値の候補です。

f'(t) の符号変化：

• t 0（t 0 より）
• t > 0 のとき：f'(t) = −(1/6)t(1 − t) 0, 1 − t > 0 より）

したがって、t = 0（θ = π/2）で f(t) は最大となります。

t = 0 のとき：

V = (1/6)(1 − 0)√(1 + 0) = 1/6

別解・発展

幾何学的解釈

θ = π/2 のとき、∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° となり、これは OA, OB, OC が互いに直交する場合です。このとき四面体 OABC は、1辺の長さが1の直方体（立方体）の1つの頂点を含む四面体となります。

1辺1の立方体の体積は1であり、その1/6が四面体の体積なので V = 1/6 と一致します。

この年度の重要テーマと対策

2012年度の出題傾向分析

2012年度の九州大学理系数学は、以下の特徴がありました：

九州大学数学攻略のための重要ポイント

1. 計算力の強化

九州大学の数学は、発想よりも計算の正確さと速さが求められる問題が多いです。特に：

• 積分計算（置換積分、部分積分）
• 行列の計算
• 三角関数を含む式の計算

を日頃から練習しておきましょう。

2. 典型問題の完全習得

九州大学では、典型的なパターンの問題が多く出題されます。以下のテーマは必ず押さえておきましょう：

• 回転体の体積（バウムクーヘン積分も含む）
• ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列の累乗計算
• 漸化式を用いた確率計算
• 空間ベクトルと図形の問題

3. 時間配分の練習

150分で5問を解くため、1問あたり平均30分が目安です。ただし、問題の難易度に差があるため：

• 易しい問題：20分以内
• 標準問題：25〜30分
• 難問：35〜40分

を目安に、過去問演習で時間感覚を身につけましょう。

4. 部分点を取る意識

完答できない問題でも、解法の方針や途中計算を示すことで部分点が期待できます。白紙で提出することは絶対に避け、何かしらの解答を書くようにしましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：回転体の体積

解答・解説

楕円の方程式より y² = 1 − x²/4

x の範囲は −2 ≤ x ≤ 2 です。

回転体の体積は：

V = π∫[-2→2] y² dx = π∫[-2→2] (1 − x²/4) dx

= π[x − x³/12][-2→2]

= π{(2 − 8/12) − (−2 + 8/12)}

= π{(2 − 2/3) − (−2 + 2/3)}

= π{4/3 − (−4/3)}

= π × 8/3

練習問題2：行列の累乗

解答・解説

【方法1】ケーリー・ハミルトンの定理を使う方法

A の固有方程式は：

det(A − λE) = (3 − λ)(1 − λ) + 1 = λ² − 4λ + 4 = (λ − 2)² = 0

固有値は λ = 2（重解）です。

ケーリー・ハミルトンの定理より：

(A − 2E)² = O

B = A − 2E = [[1, 1], [−1, −1]] とおくと B² = O

A = B + 2E なので：

Aⁿ = (B + 2E)ⁿ = Σ[k=0→n] C(n,k) Bᵏ (2E)^{n-k}

B² = O より、k ≥ 2 の項は消えます：

Aⁿ = (2E)ⁿ + n × B × (2E)^{n-1}

= 2ⁿE + n × 2^{n-1} × B

= 2ⁿ[[1, 0], [0, 1]] + n × 2^{n-1}[[1, 1], [−1, −1]]

= [[2ⁿ + n×2^{n-1}, n×2^{n-1}], [−n×2^{n-1}, 2ⁿ − n×2^{n-1}]]

= 2^{n-1}[[2 + n, n], [−n, 2 − n]]

練習問題3：確率と漸化式

解答・解説

(1) p₂, p₄ の計算

p₂ について：

2回投げて S₂ = 0 となるのは、表1回・裏1回の場合です。

場合の数：C(2,1) = 2（表裏、裏表）

全事象：2² = 4

p₂ = 2/4 = 1/2

p₄ について：

4回投げて S₄ = 0 となるのは、表2回・裏2回の場合です。

場合の数：C(4,2) = 6

全事象：2⁴ = 16

p₄ = 6/16 = 3/8

(2) n が奇数のとき

n 回投げたときの Sₙ は、表の回数を k とすると：

Sₙ = k × 1 + (n − k) × (−1) = 2k − n

Sₙ = 0 となるためには 2k = n、すなわち k = n/2 が必要です。

n が奇数のとき、n/2 は整数にならないため、Sₙ = 0 となることはありません。

(3) n = 2m のとき

2m 回投げて S₂ₘ = 0 となるのは、表 m 回・裏 m 回の場合です。

場合の数：C(2m, m)

全事象：2^{2m}

p₂ₘ = C(2m, m) / 2^{2m} = (2m)! / {m! × m! × 2^{2m}}

これは以下のようにも書けます：

p₂ₘ = C(2m, m) / 4^m

補足：スターリングの公式による近似

m が十分大きいとき、スターリングの公式 n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ を用いると：

p₂ₘ ≈ 1/√(πm)

つまり、コイン投げの回数が増えるほど、合計が0になる確率は0に近づきますが、その減少は緩やかです。

九州大学合格に向けた学習アドバイス

分野別対策の優先順位

九州大学の数学で高得点を取るために、以下の順序で対策を進めることをお勧めします：

【最優先】毎年出題される分野

1. 微分積分（数学III）
   • 極限、微分法、積分法の基本計算
   • 面積・体積・曲線の長さの計算
   • 微分方程式の基礎
2. 確率・場合の数
   • 条件付き確率
   • 漸化式を用いた確率計算
   • 期待値の計算
3. ベクトル（平面・空間）
   • 内積と外積の計算
   • 直線・平面の方程式
   • 図形への応用

【重要】頻出分野

4. 行列（旧課程）/ 複素数平面（新課程）
   • ケーリー・ハミルトンの定理
   • 行列の対角化と累乗計算
   • 複素数の極形式とド・モアブルの定理
5. 数列
   • 漸化式の解法
   • 数学的帰納法
   • 級数の計算

【押さえておきたい】やや出題頻度の低い分野

6. 整数問題
7. 図形と方程式
8. 三角関数

おすすめの参考書・問題集

年間学習スケジュール例（高3生）

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最後に：藤原進之介からのメッセージ

数学は、正しい方法で学べば必ず伸びる科目です。

九州大学の数学は、奇をてらった問題は少なく、基本に忠実な学習を積み重ねることで確実に得点できるようになります。

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皆さんの九州大学合格を、私たち日本数学塾・数強塾は全力でサポートします。

一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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