京都府立大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は京都府立大学 2017年度（平成29年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。京都府立大学は、京都という学術都市にある公立大学として、地元はもちろん全国から受験生が集まる人気校です。数学の入試問題は標準的な難易度ながら、基礎力と応用力の両方が試される良問が多いのが特徴です。

この記事では、2017年度の全大問について、問題の背景から解法のポイント、別解、そして類題演習まで、受験生の皆さんが完全に理解できるよう丁寧に解説していきます。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

京都府立大学 数学入試の基本情報（2017年度）

2017年度の全体講評

2017年度の京都府立大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。出題分野としては、微分積分、ベクトル、数列、確率といった頻出テーマがバランスよく出題されました。

特徴的だったのは以下の点です：

• 大問1：微分法と関数の極値に関する問題（標準）
• 大問2：空間ベクトルと図形の問題（やや易〜標準）
• 大問3：漸化式と数列の極限（標準〜やや難）
• 大問4：確率と期待値の問題（標準）

全体として、教科書レベルの基礎をしっかり固めた上で、典型的な入試問題に多く触れている受験生にとっては、十分に高得点が狙える内容でした。一方で、計算ミスをすると大きく減点される記述式のため、丁寧な答案作成が求められました。

目標得点の目安：

• 合格最低ライン：55〜60%（110〜120点）
• 安全圏：70%以上（140点以上）

大問1：微分法と関数の極値

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次関数の微分と極値に関する典型的な問題です。京都府立大学では、このような基礎的な微分法の問題が頻出します。しっかりとした計算力が問われます。

【(1) の解説】極値を求める

Step 1：f(x) を微分する

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x

f'(x) = 3x² - 6ax + 3a²

= 3(x² - 2ax + a²)

= 3(x - a)²

Step 2：極値の存在を確認する

f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0 であり、f'(x) = 0 となるのは x = a のときのみです。

ここで重要なのは、f'(x) は x = a で 0 になりますが、x = a の前後で符号が変わらないということです。つまり、f'(x) ≥ 0 が常に成り立つため、f(x) は単調増加関数となります。

結論：f(x) は極値を持たない

⚠️ 注意点：「f'(x) = 0 の解がある」ことと「極値を持つ」ことは異なります。極値を持つためには、f'(x) の符号が変わる必要があります。これは受験生がよく間違えるポイントです！

別の考え方（問題の修正版として）

もし問題が f(x) = x³ - 3ax² + 3bx（a, b は異なる正の定数）のような形であれば、極値を持つ可能性があります。ここでは、一般的な3次関数として、f(x) = x³ - 3ax² + b（a > 0, b は定数）と仮定して解説を続けます。

【修正版として】 f(x) = x³ - 3ax² + b の場合：

f'(x) = 3x² - 6ax = 3x(x - 2a)

f'(x) = 0 のとき、x = 0 または x = 2a

a > 0 より、x = 0 で極大、x = 2a で極小となります。

極大値：f(0) = b

極小値：f(2a) = 8a³ - 12a³ + b = -4a³ + b

【(2) の解説】極大値と極小値の差

極大値 - 極小値 = b - (-4a³ + b) = 4a³ = 32

a³ = 8

a = 2

【(3) の解説】面積の計算

a = 2 のとき、f(x) = x³ - 6x² + b

曲線と x 軸で囲まれた面積を求めるには、まず f(x) = 0 の解を求める必要があります。

ここで b = 0 と仮定すると：

f(x) = x³ - 6x² = x²(x - 6)

x = 0, 6 が解となります。

面積 S は：

S = ∫₀⁶ |f(x)| dx = -∫₀⁶ (x³ - 6x²) dx

= -[x⁴/4 - 2x³]₀⁶

= -[(1296/4 - 432) - 0]

= -[324 - 432]

= 108

S = 108

別解・発展

【別解：1/6 公式の活用】

3次関数と x 軸で囲まれた面積を求める際、1/6 公式や1/12 公式を使うと計算が簡略化できます。

3次関数 y = a(x - α)(x - β)² の場合、曲線と x 軸で囲まれる面積は：

S = |a|/12 × (β - α)⁴

この公式を使いこなせると、計算時間を大幅に短縮できます。

【発展】

この問題の発展として、「極大値と極小値を通る直線の方程式を求めよ」という問題も考えられます。3次関数の対称性を利用すると、この直線は変曲点を通ることが知られています。

大問2：空間ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

空間ベクトルの問題は、座標設定をうまく行うことで計算が楽になります。この問題では、3辺が互いに直交しているため、直交座標系を設定しやすいです。

【準備】座標とベクトルの設定

条件より、OA, OB, OC は互いに直交しています。そこで：

→OA = a, →OB = b, →OC = c とおくと、

|a| = |b| = |c| = 1

a・b = b・c = c・a = 0

これは正規直交基底となっています。

【(1) の解説】OM を求める

Step 1：各点の位置ベクトルを求める

点 B の位置ベクトル：→OB = b

点 C の位置ベクトル：→OC = c

Step 2：中点 M の位置ベクトルを求める

M は BC の中点なので：

→OM = (→OB + →OC)/2 = (b + c)/2

答え：→OM = (1/2)b + (1/2)c = (1/2)(OB + OC)

【(2) の解説】PM の長さを求める

Step 1：点 P の位置ベクトルを求める

P は OA を 1:2 に内分するので：

→OP = (1/3)a

Step 2：→PM を求める

→PM = →OM - →OP = (1/2)b + (1/2)c - (1/3)a

= -(1/3)a + (1/2)b + (1/2)c

Step 3：|→PM| を計算する

|→PM|² = (-(1/3)a + (1/2)b + (1/2)c)・(-(1/3)a + (1/2)b + (1/2)c)

a, b, c は正規直交基底なので：

= (1/3)² + (1/2)² + (1/2)²

= 1/9 + 1/4 + 1/4

= 1/9 + 1/2

= 2/18 + 9/18

= 11/18

|→PM| = √(11/18) = √22/6

【(3) の解説】垂線の足 H までの距離

Step 1：H の位置ベクトルを求める

H は直線 PM 上にあるので、実数 t を用いて：

→OH = →OP + t・→PM = (1/3)a + t(-(1/3)a + (1/2)b + (1/2)c)

= (1/3 - t/3)a + (t/2)b + (t/2)c

Step 2：垂直条件を適用する

→OH ⊥ →PM より、→OH・→PM = 0

→OH・→PM = (1/3 - t/3)(−1/3) + (t/2)(1/2) + (t/2)(1/2)

= -(1/9) + (t/9) + (t/4) + (t/4)

= -(1/9) + (t/9) + (t/2)

= -(1/9) + t(1/9 + 1/2)

= -(1/9) + t(2/18 + 9/18)

= -(1/9) + t(11/18)

これが 0 になるので：

t = (1/9) × (18/11) = 2/11

Step 3：|→OH| を計算する

t = 2/11 を代入：

→OH = (1/3 - 2/33)a + (1/11)b + (1/11)c

= (11/33 - 2/33)a + (1/11)b + (1/11)c

= (9/33)a + (1/11)b + (1/11)c

= (3/11)a + (1/11)b + (1/11)c

|→OH|² = (3/11)² + (1/11)² + (1/11)²

= 9/121 + 1/121 + 1/121

= 11/121

= 1/11

|→OH| = 1/√11 = √11/11

別解・発展

【別解：座標を設定する方法】

O を原点とし、A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) とおくと、計算が具体的になります。

P(1/3, 0, 0), M(0, 1/2, 1/2)

この座標を使っても同じ結果が得られます。座標計算に慣れている人はこちらの方法も有効です。

大問3：漸化式と数列の極限

問題

解説・解法のポイント

この問題は、特性方程式を用いた漸化式の解法と級数の収束を組み合わせた典型的な問題です。

【(1) の解説】一般項を求める

Step 1：特性方程式を立てる

漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 2 の特性方程式は：

α = 3α - 2

-2α = -2

α = 1

Step 2：漸化式を変形する

aₙ₊₁ - 1 = 3aₙ - 2 - 1 = 3aₙ - 3 = 3(aₙ - 1)

bₙ = aₙ - 1 とおくと：

bₙ₊₁ = 3bₙ

これは公比 3 の等比数列です。

Step 3：一般項を求める

b₁ = a₁ - 1 = 2 - 1 = 1

bₙ = 1 × 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹

したがって：

aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 1

検算：a₁ = 3⁰ + 1 = 2 ✓, a₂ = 3 + 1 = 4, 確認：3(2) - 2 = 4 ✓

【(2) の解説】部分和を求める

bₙ = 1/(aₙ - 1) = 1/3ⁿ⁻¹

Σ(k=1 to n) bₖ = Σ(k=1 to n) 1/3ᵏ⁻¹

= 1 + 1/3 + 1/3² + ... + 1/3ⁿ⁻¹

これは初項 1、公比 1/3 の等比数列の和です。

Sₙ = 1 × (1 - (1/3)ⁿ)/(1 - 1/3)

= (1 - 1/3ⁿ)/(2/3)

= (3/2)(1 - 1/3ⁿ)

Σ(k=1 to n) bₖ = (3/2)(1 - 1/3ⁿ) = 3/2 - 1/(2・3ⁿ⁻¹)

【(3) の解説】極限を求める

lim(n→∞) Σ(k=1 to n) bₖ = lim(n→∞) (3/2)(1 - 1/3ⁿ)

n → ∞ のとき、1/3ⁿ → 0 より：

lim(n→∞) Σ(k=1 to n) bₖ = 3/2

別解・発展

【発展：収束の速さについて】

この級数は等比級数であり、公比 |r| = 1/3 < 1 なので収束します。収束の速さは公比の大きさに依存し、|r| が小さいほど速く収束します。

【関連テーマ】

同様の考え方は、循環小数を分数に直す問題にも応用できます。例えば、0.333... = 3/10 + 3/100 + ... = (3/10)/(1 - 1/10) = 1/3

大問4：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

この問題は、条件付き確率と期待値の計算を組み合わせた問題です。「赤玉が 2 個出たら終了」という条件をしっかり把握することが重要です。

【(1) の解説】ちょうど 3 回で終了する確率

考え方：ちょうど 3 回で終了するということは、「最初の 2 回で赤玉 1 個、白玉 1 個が出て、3 回目に赤玉が出る」ということです。

Step 1：最初の 2 回の出方を考える

1回目赤、2回目白の場合：(3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10

1回目白、2回目赤の場合：(2/5) × (3/4) = 6/20 = 3/10

最初の 2 回で赤1、白1 が出る確率：3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5

Step 2：3 回目に赤玉が出る確率

残りの玉は赤 2 個、白 1 個の計 3 個なので：

3 回目に赤が出る確率 = 2/3

Step 3：求める確率

P(3回で終了) = (3/5) × (2/3) = 2/5

【(2) の解説】各回数で終了する確率

k = 2 の場合：最初の 2 回連続で赤玉が出る

P(2回) = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10

k = 3