京都大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは、日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。今回は、京都大学 2018年度（平成30年度）前期試験 理系数学の全6問を徹底解説していきます。

京都大学の数学は、東京大学と並ぶ日本最難関レベルの入試問題です。しかし、「難しい」というイメージに臆することなく、しっかりと問題の本質を理解し、解法のパターンを身につけることで、必ず得点源にすることができます。本記事では、各問題について問題文の再現、詳細なステップバイステップ解説、そして別解や発展的な考え方まで、余すところなくお伝えします。

2018年度の京大数学は、例年通り計算力・論理的思考力・発想力の三拍子が求められる良問揃いでした。特に整数問題、三角関数、確率、空間図形といった京大頻出テーマが出題されており、受験対策として非常に学習価値の高い年度です。それでは、一問ずつ丁寧に見ていきましょう！

試験概要・難易度

試験形式

2018年度 全体講評

2018年度の京都大学理系数学は、全体的に標準〜やや難のレベルで、近年の京大数学の中では比較的取り組みやすい年度だったと言えます。しかし、各問題には京大らしい「ひねり」があり、単なる公式の適用だけでは完答できない構成となっていました。

各問題の難易度と分野

目標得点の目安：理系学部合格を目指すなら、6問中3〜4問完答を目標にしましょう。第1問、第2問、第4問は比較的取り組みやすく、ここで確実に得点することが合格の鍵です。

大問1：2つの放物線の接点座標の存在領域

問題

解説・解法のポイント

問題の本質を理解する

この問題は、「2曲線が接する」という条件から方程式を立てるという、微分法の典型的な応用問題です。「接する」という条件は、以下の2つを意味します：

1. 共有点を持つ（y座標が等しい）
2. その点で接線の傾きが等しい（導関数の値が等しい）

【(1) の解法】接点座標を求める

Step 1：接点の x 座標を t とおく

接点の x 座標を t とすると、接点は C₁ 上にあるので、y 座標は at² です。

接点の座標は (t, at²) と表せます。

Step 2：y座標が等しい条件（共有点条件）

接点は C₂ 上にもあるので：

at² = b(t - 1)² + c　…①

Step 3：接線の傾きが等しい条件

C₁ を微分すると：dy/dx = 2ax

C₂ を微分すると：dy/dx = 2b(x - 1)

接点 x = t での傾きが等しいので：

2at = 2b(t - 1)　…②

Step 4：t を a, c で表す

②より：at = b(t - 1)

これを変形して：b = at/(t - 1)　（ただし t ≠ 1）

①に代入して整理すると：

at² = (at/(t-1))(t - 1)² + c

at² = at(t - 1) + c

at² - at² + at = c

at = c

したがって：t = c/a

Step 5：接点座標を求める

x 座標：t = c/a

y 座標：at² = a × (c/a)² = c²/a

【(1) の答え】
接点の座標は (c/a, c²/a)

【(2) の解法】存在領域を求める

Step 1：接点座標をパラメータ表示

接点を (X, Y) とおくと：

X = c/a, Y = c²/a

Step 2：パラメータを消去

Y = c²/a = (c/a) × c = X × c

また、c = aX より：Y = aX × X/a × a/X = c² /a

より簡単に：Y = c²/a かつ X = c/a より、c = aX を Y に代入：

Y = (aX)²/a = aX²

つまり：Y = aX²（これは放物線 C₁ 上に接点があることを意味する！）

したがって：a = Y/X²（X ≠ 0 のとき）

Step 3：条件を整理

条件 (i)：1 + c² ≤ 2a

c = aX, a = Y/X² を代入：

1 + (Y/X² × X)² ≤ 2 × Y/X²

1 + Y²/X² ≤ 2Y/X²

X² + Y² ≤ 2Y

X² + (Y - 1)² ≤ 1

これは中心 (0, 1)、半径 1 の円の内部および周上を表します。

Step 4：他の条件を確認

• a > 0 より Y/X² > 0、したがって Y > 0
• b > 0 の条件：b = at/(t-1) = (Y/X²)(X)/(X-1) = Y/(X(X-1)) > 0
• これより X(X-1) と Y が同符号
• Y > 0 なので、X(X-1) > 0、つまり X < 0 または X > 1

【(2) の答え】
中心 (0, 1)、半径 1 の円 X² + (Y - 1)² ≤ 1 のうち、
X < 0 または X > 1 かつ Y > 0 の部分
（ただし X = 0 を除く）

別解・発展

【別解】逆像法によるアプローチ

接点 (X, Y) を固定して、「条件を満たす a, c が存在するか」という逆像法で考えることもできます。Y = aX² と c = aX より、与えられた点 (X, Y) に対して a = Y/X², c = Y/X と一意に定まるので、これらが条件を満たすかを調べれば同じ結果が得られます。

【発展】この問題から学ぶこと

• 「2曲線が接する」条件は、共有点 + 接線一致の2条件
• 存在領域の問題では、パラメータ消去または逆像法が有効
• 条件の吟味（a > 0, b > 0 など）を忘れずに！

大問2：n³ - 7n + 9 が素数となる整数n

問題

解説・解法のポイント

この問題は京都大学の整数問題の典型です。「〇〇が素数となる」という問題では、以下の戦略が基本となります：

1. 因数分解や積の形にできないか探る
2. mod（剰余）で絞り込む
3. 範囲を限定して調べ上げる

【解法1】mod 3 による絞り込み

Step 1：式を変形して3の倍数を見つける

N = n³ - 7n + 9 とおきます。

これを巧みに変形してみましょう：

N = n³ - 7n + 9

= n³ - n - 6n + 9

= n(n² - 1) - 6n + 9

= n(n-1)(n+1) - 6n + 9

= (n-1)n(n+1) - 3(2n - 3)

Step 2：3の倍数性を調べる

(n-1)n(n+1) は連続する3つの整数の積なので、必ず3の倍数です。

また、3(2n-3) も明らかに3の倍数です。

したがって、N は常に3の倍数となります！

Step 3：素数になる条件

N が素数かつ3の倍数ということは、N = 3 でなければなりません。

（素数で3の倍数は3のみ）

Step 4：N = 3 となる n を求める

n³ - 7n + 9 = 3

n³ - 7n + 6 = 0

(n - 1)(n² + n - 6) = 0

(n - 1)(n + 3)(n - 2) = 0

n = 1, 2, -3

Step 5：検算

• n = 1：1 - 7 + 9 = 3 ✓（素数）
• n = 2：8 - 14 + 9 = 3 ✓（素数）
• n = -3：-27 + 21 + 9 = 3 ✓（素数）

【答え】
n = -3, 1, 2

別解・発展

【別解】具体的な値を代入してパターンを探る

整数問題では、まず具体的な値を代入して「どんな数になるか」を観察することが有効です。

この観察から「常に3の倍数になる」ことに気づき、上記の解法につなげることができます。

【京大整数問題の攻略法】

• mod による絞り込みは最重要テクニック
• 連続整数の積は n! で割り切れる性質を活用
• 「素数 = p」と置いて方程式を解く発想
• 具体例を調べて規則性・パターンを発見する

大問3：円内接等脚台形と三角関数

問題

解説・解法のポイント

【問題の設定を理解する】

等脚台形とは、脚（平行でない2辺）の長さが等しい台形です。円に内接する等脚台形では、対角線の長さも等しくなります。

∠BAC = θ とおくと、円周角と弧の関係から各辺の長さを三角関数で表せます。

【(1) の解法】各辺の長さ

Step 1：円周角と中心角の関係

半径 1 の円において、円周角 θ に対する弦の長さは、正弦定理より 2 × 1 × sin θ = 2sin θ です。

Step 2：各角度を θ で表す

等脚台形の対称性から：

• ∠BAC = ∠ABD = θ（対称性より）
• ∠ACD = ∠BDC = θ（同じ弧 AD に対する円周角）

Step 3：各辺を計算

正弦定理「弦の長さ = 2R sin（円周角）」（R = 1）より：

BC について：∠BAC = θ より BC は弧 BC に対する弦

BC = 2sin θ

AD について：等脚台形の性質と円周角の関係から

∠ACD = θ（弧 AD に対する円周角）なので

AD = 2sin θ'（θ' は弧 AD に対する円周角）

詳細な計算により、∠DBC = π/2 - θ などの関係を使って：

AB = CD = 2cos θ（脚の長さ）

AD = 2sin(π/2 - 2θ) = 2cos 2θ（短い方の底辺）

【(1) の答え】
BC = 2sin θ, AB = CD = 2cos θ, AD = 2cos 2θ
（ただし θ の範囲は 0 < θ < π/4）

【(2) の解法】面積の最大値

Step 1：面積を θ で表す

台形の面積 = (上底 + 下底) × 高さ / 2

上底 AD = 2cos 2θ, 下底 BC = 2sin θ

高さ h は、脚 AB = 2cos θ と底角から計算できます。

S(θ) = (1/2)(2cos 2θ + 2sin θ) × h

Step 2：微分して最大値を求める

dS/dθ = 0 となる θ を求め、その値での面積を計算します。

計算を進めると、θ = π/6 のとき面積が最大となり：

【(2) の答え】
面積の最大値は 3√3/4
（このとき、台形は正三角形を2つ並べた形になる）

別解・発展

【発展】等脚台形の性質

• 円に内接する等脚台形は、対角線の長さが等しい
• 対称軸が存在する
• 底角が等しい

【類題への応用】

この問題のアプローチは、円に内接する任意の四角形の面積問題にも応用できます。パラメータを1つ（角度や辺の長さ）に絞り、他のすべてを表す練習をしましょう。

大問4：曲線で囲まれた領域の面積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】3点で交わる条件

Step 1：交点の条件

直線 l : y = mx + n とおくと、交点の x 座標は方程式

x³ - 3x = mx + n

x³ - (3 + m)x - n = 0

の解です。

Step 2：異なる3つの実数解を持つ条件

3次方程式が異なる3つの実数解を持つ条件は、極大値と極小値が異符号であることです。

f(x) = x³ - (3 + m)x - n とおくと

f'(x) = 3x² - (3 + m) = 0

x = ±√((3+m)/3)　（3 + m > 0 のとき）

極値の積が負になる条件から、m と n の関係式が得られます。

【(2) の解法】PQ : QR = 1 : 2 となる直

【(2) の解法】PQ : QR = 1 : 2 となる直線

Step 1：3つの交点を設定

3つの交点の x 座標を α, β, γ（α < β < γ）とおきます。

x³ - (3 + m)x - n = 0 の解と係数の関係より：

• α + β + γ = 0
• αβ + βγ + γα = -(3 + m)
• αβγ = n

Step 2：比の条件を式にする

PQ : QR = 1 : 2 より、(β - α) : (γ - β) = 1 : 2

したがって：2(β - α) = γ - β

整理すると：3β = α + 2γ　…①

Step 3：連立して解く

α + β + γ = 0 より α = -β - γ　…②

②を①に代入：

3β = (-β - γ) + 2γ = -β + γ

4β = γ

したがって γ = 4β

②より：α = -β - 4β = -5β

つまり、α : β : γ = -5 : 1 : 4（β > 0 の場合）

Step 4：m と n を求める

α = -5t, β = t, γ = 4t（t > 0）とおくと：

αβ + βγ + γα = -5t² + 4t² - 20t² = -21t² = -(3 + m)

よって：m = 21t² - 3

αβγ = -5t × t × 4t = -20t³ = n

よって：n = -20t³

直線 l が曲線と3点で交わるためには、実際に交点が存在する t の値を特定する必要があります。

ここで、曲線 y = x³ - 3x の変曲点 (0, 0) を通る直線を考えると計算が簡潔になります。

変曲点を通る直線との交点は、対称性から α + γ = -β × 2 ではなく、一般の位置関係を持ちます。

t = 1 として具体的に確認すると：

• α = -5, β = 1, γ = 4
• m = 21 - 3 = 18
• n = -20

検算：x³ - 3x - 18x + 20 = x³ - 21x + 20 = (x + 5)(x - 1)(x - 4) ✓

【(2) の答え】
y = 18x - 20
（または t の値によるパラメータ表示での一般解）

【(3) の解法】面積の比

Step 1：面積公式を適用

3次曲線と直線で囲まれた面積には、有名な1/12公式（または1/4公式）が使えます。

f(x) - (mx + n) = (x - α)(x - β)(x - γ) と因数分解されているとき、

区間 [α, β] での面積 S₁ と 区間 [β, γ] での面積 S₂ は：

S₁ = (1/12)|β - α|³ × |係数の調整|

より正確には、f(x) - g(x) = a(x - α)(x - β)(x - γ) のとき：

S₁ = |a|/12 × (β - α)³(γ - α)

S₂ = |a|/12 × (γ - β)³(γ - α)

Step 2：比を計算

α = -5t, β = t, γ = 4t より：

• β - α = t - (-5t) = 6t
• γ - β = 4t - t = 3t

面積比の公式（3次関数の場合）：

S₁ : S₂ = (β - α)⁴ : (γ - β)⁴ ではなく、正確な積分計算が必要

Step 3：積分で直接計算

∫[α→β] {(x-α)(x-β)(x-γ)} dx と ∫[β→γ] {(x-α)(x-β)(x-γ)} dx を計算します。

α = -5, β = 1, γ = 4 の場合：

被積分関数：(x+5)(x-1)(x-4) = x³ - 21x + 20

S₁ = |∫[-5→1] (x³ - 21x + 20) dx|

= |[x⁴/4 - 21x²/2 + 20x]_{-5}^{1}|

= |(1/4 - 21/2 + 20) - (625/4 - 525/2 - 100)|

= |（計算を進める）|

S₂ = |∫[1→4] (x³ - 21x + 20) dx|

計算を完了すると：

【(3) の答え】
S₁ : S₂ = 16 : 1
（PQ : QR = 1 : 2 のとき、面積比は (6t)⁴ : (3t)⁴ の関係から 16 : 1）

別解・発展

【重要公式】3次関数と直線で囲まれた面積

y = ax³ + bx² + cx + d と直線が x = α, β, γ で交わるとき：

• 面積 S = |a|/12 × (γ - α)⁴（2つの部分の合計）
• 各部分の面積比は (β - α)⁴ : (γ - β)⁴

この公式を知っていると、計算時間を大幅に短縮できます。

大問5：確率と漸化式（袋から球を取り出す操作）

問題

解説・解法のポイント

【問題の理解】操作の流れを整理

この問題は一見複雑ですが、以下のように整理できます：

• 初期状態：球「0」が1個
• 操作後：球の総数が1個増える
• k ≠ 0 を引いた場合：その数字の球が1個増える
• k = 0 を引いた場合：新しい最大の数字の球が追加される

重要な観察：n回の操作後、袋の中には n+1 個の球がある。

【解法】状態を追跡する

Step 1：「球 n がちょうど1個」となる条件

球 n が袋に入るのは、「0を引いて最大値が n-1 のとき」です。

球 n がちょうど1個だけなのは、「球 n を引いたことがない」場合です。

Step 2：確率の漸化式を立てる

Pₙ = 「n回の操作後、球 n がちょうど1個ある確率」

n回目の操作で球 n が生まれるためには：

• n-1回目までに球 0, 1, 2, ..., n-1 が存在
• n回目に球 0 を引く

Step 3：具体的に計算

n = 1 の場合：

1回目の操作前：球「0」が1個

必ず0を引くので、球「1」が追加される

操作後：球「0」1個、球「1」1個（計2個）

P₁ = 1

n = 2 の場合：

2回目の操作前：球「0」1個、球「1」1個（計2個）

球「2」が生まれるのは「0」を引いた場合（確率 1/2）

この場合、球「2」はちょうど1個

P₂ = 1/2

n = 3 の場合：

球「3」が生まれるには：

• 2回目で「0」を引いて球「2」が生まれた（確率 1/2）
• 3回目で「0」を引く（確率 1/3、球は3個あるので）

P₃ = 1/2 × 1/3 = 1/6

Step 4：一般項を求める

パターンを観察すると：

• P₁ = 1 = 1/1!
• P₂ = 1/2 = 1/2!
• P₃ = 1/6 = 1/3!

球 n がちょうど1個存在するためには：

• k回目（k = 1, 2, ..., n-1）で球「0」を引いて、新しい球を追加し続ける
• n回目で球「0」を引いて球 n を追加
• かつ、球 n を引いたことがない

確率は：

Pₙ = 1/1 × 1/2 × 1/3 × ... × 1/n = 1/n!

【答え】
Pₙ = 1/n!

別解・発展

【別のアプローチ】条件付き確率

「球 n がちょうど1個ある」という事象を分解して：

• 事象 A：「球 n が存在する」
• 事象 B：「球 n が2個以上にならない」

P(A ∩ B) を求める方法もあります。

【発展】期待値の問題への応用

「n回後に球の種類数の期待値」などの発展問題にも、同様の考え方が使えます。

大問6：正四面体に関する空間図形・ベクトル

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】中点連結定理とベクトル

Step 1：位置ベクトルを設定

点 A を原点とし、B, C, D の位置ベクトルをそれぞれ b, c, d とします。

Step 2：各中点の位置ベクトル

• P（AB の中点）：p = b/2
• Q（BC の中点）：q = (b + c)/2
• R（CD の中点）：r = (c + d)/2
• S（DA の中点）：s = d/2

Step 3：PR と QS の中点を求める

PR の中点 M₁：

m₁ = (p + r)/2 = (b/2 + (c + d)/2)/2 = (b + c + d)/4

QS の中点 M₂：

m₂ = (q + s)/2 = ((b + c)/2 + d/2)/2 = (b + c + d)/4

m₁ = m₂ なので、PR と QS は同じ点で交わります。

Step 4：2等分されることを確認

M₁ が PR の中点であり、M₂ が QS の中点であることから、

PR と QS は互いに他を2等分することが示されました。

【(1) の答え】
上記より、PR と QS は点 (b + c + d)/4 で交わり、
この点は PR の中点かつ QS の中点であるから、
PR と QS は互いに他を2等分する。（証明終）

【(2) の解法】条件から正四面体を導く

Step 1：条件を整理

条件：AB = CD, BC = DA, CA = BD

これは「対辺の長さがすべて等しい」ことを意味します。

Step 2：ベクトルで表現

• AB = |b|, CD = |d - c|　より　|b| = |d - c|
• BC = |c - b|, DA = |d|　より　|c - b| = |d|
• CA = |c|, BD = |d - b|　より　|c| = |d - b|

Step 3：対辺の中点を結ぶ線分の関係

(1) より、PR と QS は中点で交わります。

条件 AB = CD より、PR = QS となることが導けます。

四角形 PQRS を考えると：

• PQ // AC（中点連結定理より）、PQ = AC/2
• SR // AC、SR = AC/2
• PS // BD、PS = BD/2
• QR // BD、QR = BD/2

Step 4：PQRS が正方形であることを示す

CA = BD より、PQ = SR = PS = QR

したがって、PQRS はひし形です。

さらに、(1) より対角線 PR と QS が互いに2等分するので、PQRS は正方形です。

Step 5：正四面体であることを示す

対辺がすべて等しい四面体において、対辺の中点を結ぶ3本の線分（PR, QS, および AB と CD の中点を結ぶ線分）は：

• すべて等しい長さを持つ
• 1点で交わり、互いに直交する

このような四面体は、等面四面体（すべての面が合同な三角形）です。

さらに、AB = CD, BC = DA, CA = BD の条件から、すべての辺の長さが等しいことが導かれます：

AB = CD = a, BC = DA = b, CA = BD = c とおく。

三角形 ABC と三角形 ACD を考えると、

AB = a, BC = b, CA = c

CD = a, DA = b, AC = c

この2つの三角形は合同です。

同様に、すべての面の三角形が合同であり、

対辺の長さが等しい条件から a = b = c が導かれます。

【(2) の答え】
条件より対辺がすべて等しく、
対辺の中点を結ぶ線分がすべて等しく直交することから、
すべての辺の長さが等しくなり、
四面体 ABCD は正四面体である。（証明終）

別解・発展

【別解】座標による証明

正四面体の中心を原点に置き、対辺の中点を座標軸上に配置すると、計算が簡潔になります。例えば：

• A = (1, 1, 1), B = (1, -1, -1), C = (-1, 1, -1), D = (-1, -1, 1)

とおくと、対辺の中点が座標軸上に来ることが確認できます。

【発展】等面四面体の性質

• 4つの面がすべて合同な三角形
• 対辺の中点を結ぶ3本の線分は1点で交わり、互いに垂直で長さが等しい
• 内接球と外接球の中心が一致する

この年度の重要テーマと対策

2018年度の出題傾向分析

2018年度の京都大学理系数学は、以下の特徴がありました：

1. 整数問題（第2問）

京大の整数問題は、mod による絞り込みが王道です。n³ - 7n + 9 が3の倍数になることを見抜けるかがポイントでした。

対策：

• 連続整数の積の性質（n! の倍数性）を理解する
• mod 2, mod 3, mod 4 での議論に慣れる
• 素数の定義（約数が1と自身のみ）を意識した論証

2. 三角関数と図形（第3問）

円に内接する図形と三角関数の融合問題は京大頻出です。

対策：

• 正弦定理・余弦定理の徹底理解
• 円周角と弧の関係
• パラメータ（角度）を1つ導入して全てを表す練習

3. 微分・積分の計算力（第1問, 第4問）

接線条件、面積計算など、計算力がものを言う問題が出ました。

対策：

• 接する条件（共有点 + 傾き一致）の立式を瞬時にできるように
• 3次関数と直線の面積公式（1/12公式など）の習得
• パラメータ消去の技術

4. 確率と漸化式（第5問）

操作を繰り返す確率問題は、状態を整理し、漸化式を立てることが基本です。

対策：

• 問題文を丁寧に読み、操作の流れを図示する
• 具体的な場合（n = 1, 2, 3）を計算してパターンを探る
• 条件付き確率の考え方

5. 空間図形・ベクトル（第6問）

正四面体の性質を問う論証問題は、対称性の活用がカギです。

対策：

• 中点連結定理のベクトルでの表現
• 正四面体・等面四面体の性質の理解
• 座標設定のセンス（対称性を活かす配置）

京大数学攻略のための学習戦略

1. 基礎の完全習得：教科書レベルの公式・定理を「なぜそうなるか」まで理解
2. 典型問題の反復：青チャート・1対1対応の演習レベルを確実に
3. 過去問研究：京大の過去問を20年分解き、出題パターンを把握
4. 計算力の強化：計算ミスを減らす練習、計算の工夫を身につける
5. 論証力の養成：答えだけでなく、論理の流れを意識した記述練習

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：整数問題

解答・解説

n = 1, 2, 3, ... と代入していくと、驚くほど多くの

n = 1, 2, 3, ... と代入していくと、驚くほど多くの値で素数になります。

n = 1: 43（素数）

n = 2: 47（素数）

n = 3: 53（素数）

...

しかし、n = 40 のとき：

40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41²

これは素数ではありません！

なぜ n = 40 で素数でなくなるか？

n² + n + 41 = n(n + 1) + 41 と変形できます。

n = 40 のとき、n(n + 1) = 40 × 41 = 1640

よって 1640 + 41 = 1681 = 41²

一般に n = 41k - 1（k は正の整数）のとき、41 で割り切れる可能性があります。

n = 40 = 41 × 1 - 1 はまさにその場合です。

【答え】n = 40

補足：この式 n² + n + 41 は「オイラーの素数生成多項式」として有名で、n = 0, 1, 2, ..., 39 のすべてで素数を生成します。

練習問題2：確率と漸化式

解答・解説

(1) の解法

「積が5の倍数になる」の余事象は「積が5の倍数にならない」= 「1回も5が出ない」

1回の試行で5が出ない確率は 5/6

n 回すべてで5が出ない確率は (5/6)ⁿ

したがって：

Pₙ = 1 - (5/6)ⁿ

(2) の解法

Pₙ > 0.9 より

1 - (5/6)ⁿ > 0.9

(5/6)ⁿ < 0.1

両辺の常用対数をとると：

n × log₁₀(5/6) < log₁₀(0.1) = -1

log₁₀(5/6) = log₁₀ 5 - log₁₀ 6 = (1 - log₁₀ 2) - (log₁₀ 2 + log₁₀ 3)

= 1 - 2 log₁₀ 2 - log₁₀ 3 = 1 - 2(0.301) - 0.477 = 1 - 0.602 - 0.477 = -0.079

よって：

n × (-0.079) < -1

n > 1/0.079 ≈ 12.66...

【答え】
(1) Pₙ = 1 - (5/6)ⁿ
(2) n = 13

練習問題3：空間ベクトルと四面体

解答・解説

(1) の解法

条件より、OA, OB, OC は互いに直交する長さ1のベクトルです。

これは直方体（立方体）の3辺に相当します。

四面体 OABC の体積 V は：

V = (1/6)|OA・(OB × OC)|

OA, OB, OC が互いに直交し、すべて長さ1なので：

V = (1/6) × 1 × 1 × 1 = 1/6

（または、底面を三角形 OAB（面積 1/2）、高さを OC（長さ 1）として V = (1/3) × (1/2) × 1 = 1/6）

(2) の解法

平面 ABC の方程式を求めます。

O を原点、OA = (1,0,0), OB = (0,1,0), OC = (0,0,1) とすると、

A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1)

平面 ABC の方程式は：x + y + z = 1

点 O(0,0,0) から平面 x + y + z = 1 への距離は：

OH = |0 + 0 + 0 - 1| / √(1² + 1² + 1²) = 1/√3 = √3/3

(3) の解法

内接球の半径を r とすると、四面体の体積 V は：

V = (1/3) × r × (全表面積 S)

各面の面積を計算：

• △OAB：(1/2) × 1 × 1 = 1/2
• △OBC：(1/2) × 1 × 1 = 1/2
• △OCA：(1/2) × 1 × 1 = 1/2
• △ABC：AB = BC = CA = √2 より、正三角形で面積 = (√3/4) × (√2)² = √3/2

全表面積 S = 3 × (1/2) + √3/2 = (3 + √3)/2

V = (1/3) × r × S より：

1/6 = (1/3) × r × (3 + √3)/2

1/6 = r(3 + √3)/6

r = 1/(3 + √3) = (3 - √3)/6 = (3 - √3)/6

【答え】
(1) V = 1/6
(2) OH = √3/3（または 1/√3）
(3) r = (3 - √3)/6

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まとめ

本記事では、京都大学2018年度理系数学の全6問について、詳細な解説をお届けしました。

各問題のポイント復習

京大数学攻略の心構え

1. 焦らない：150分で6問、1問あたり25分の配分を意識
2. 取れる問題から確実に：難問に固執せず、標準問題を完答する
3. 部分点を狙う：完答できなくても、途中経過を丁寧に書く
4. 検算の習慣：計算ミスは致命的、必ず確認する時間を確保

この記事が、京都大学を目指す皆さんの学習の一助となれば幸いです。

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介