京都大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、京都大学 2009年度（平成21年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。京大数学といえば、「発想力」と「論理的思考力」が問われる問題が多く、受験生にとって非常に挑戦しがいのある試験です。2009年度も例外ではなく、空間ベクトル、確率、幾何、積分、整数論といった幅広い分野から、思考力を試す良問が揃っています。

この記事では、各大問の問題を忠実に再現し、ステップバイステップの詳細な解説を加えて、京大数学攻略のコツをお伝えします。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2009年度 京都大学 数学試験の基本情報

項目	理系（理学部・工学部等）	文系（文学部・法学部等）
試験時間	150分	120分
出題数	6題	5題
配点	200点（各問で配点は異なる）	150点
出題形式	全問記述式	全問記述式

2009年度の全体講評

2009年度の京都大学数学は、全体として標準〜やや難レベルの問題が並びました。特筆すべき点として、以下の特徴が挙げられます：

• 空間ベクトルの重視：理系第1問で直方体を題材にした空間図形の問題が出題され、平面と直線の位置関係を問う良問でした。
• 確率の出題：文理共通で確率の問題が出題され、漸化式的な考え方が求められました。
• 初等幾何の復権：理系第2問では、内心に関する幾何の問題が出題され、円の性質や角の二等分線定理の理解が試されました。
• 積分の応用：理系第5問では、リマソン曲線（心臓形）を題材にした回転体の体積を求める問題が出題されました。
• 整数問題の深化：理系第6問では、数列と整数論を組み合わせた難問が出題され、背理法や数学的帰納法の運用力が問われました。

京大数学の伝統である「基礎概念の深い理解」と「論理的な記述力」が求められる年度でした。では、各大問を詳しく見ていきましょう！

大問1：空間ベクトル（直方体と平面の問題）【理系】

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】座標の設定と各点の位置ベクトルの確認

まず、問題文から各頂点の座標を整理します。直方体 OABC-DEFG において：

• O = (0, 0, 0)（原点）
• A = (3, 0, 0)
• B = (3, 2, 0)
• C = (0, 2, 0)
• D = (0, 0, 4)
• E = (3, 0, 4)
• F = (3, 2, 4)
• G = (0, 2, 4)

点Pは辺AE上にあり、AEを s : 1−s に内分するので：

P = (1−s)A + sE = (1−s)(3, 0, 0) + s(3, 0, 4) = (3, 0, 4s)

点Qは辺CG上にあり、CGを t : 1−t に内分するので：

Q = (1−t)C + tG = (1−t)(0, 2, 0) + t(0, 2, 4) = (0, 2, 4t)

【STEP 2】平面OPQの法線ベクトルを求める

3点 O, P, Q を通る平面の法線ベクトルを求めます。

ベクトル OP = P − O = (3, 0, 4s)

ベクトル OQ = Q − O = (0, 2, 4t)

法線ベクトル n は OP × OQ（外積）で求められます：

n = OP × OQ = |i j k|
　　　　　　　　|3 0 4s|
　　　　　　　　|0 2 4t|

計算すると：

• i成分：0×4t − 4s×2 = −8s
• j成分：−(3×4t − 4s×0) = −12t
• k成分：3×2 − 0×0 = 6

よって、n = (−8s, −12t, 6)、簡略化すると n = (4s, 6t, −3)（符号を反転しても方向は同じ）

【STEP 3】Dを通り平面に垂直な直線の方程式

D = (0, 0, 4) を通り、方向ベクトルが n = (4s, 6t, −3) の直線の方程式は：

(x, y, z) = (0, 0, 4) + λ(4s, 6t, −3) = (4sλ, 6tλ, 4−3λ)

【STEP 4】線分ACとの交点条件

線分ACは、A = (3, 0, 0) と C = (0, 2, 0) を結ぶ線分です。

ACの媒介変数表示：(x, y, z) = (1−u)(3, 0, 0) + u(0, 2, 0) = (3−3u, 2u, 0)　（0 ≤ u ≤ 1）

直線がACと交わる条件は、両者が一致する点が存在すること：

• 4sλ = 3 − 3u ... ①
• 6tλ = 2u ... ②
• 4 − 3λ = 0 ... ③

③より λ = 4/3

これを①、②に代入：

• ① ⇒ 4s × (4/3) = 3 − 3u ⇒ 16s/3 = 3 − 3u ⇒ u = 1 − 16s/9
• ② ⇒ 6t × (4/3) = 2u ⇒ 8t = 2u ⇒ u = 4t

よって、1 − 16s/9 = 4t、すなわち 16s/9 + 4t = 1

さらに、0 ≤ u ≤ 1 の条件から：

• u = 4t ≥ 0 ⇒ t ≥ 0（すでに t > 0 より満たす）
• u = 4t ≤ 1 ⇒ t ≤ 1/4

【STEP 5】最終的な答え

別解・発展

【別解】射影を用いる方法

Dから平面OPQに下ろした垂線の足をHとし、Hが線分AC上にある条件を求める方法もあります。Hは平面OPQ上の点なので、H = αP + βQ（α, β は実数）と表せ、DHが法線ベクトルに平行であることから連立方程式を解きます。

【発展】空間ベクトルの応用

この問題は「空間における平面と直線の位置関係」を問う典型的な良問です。類似の問題として、「ある点から平面に下ろした垂線が特定の図形と交わる条件」を問うものがあります。京大では空間図形の出題が多いので、外積の計算と平面の方程式には慣れておきましょう。

大問2：初等幾何（内心と同一円周上の点）【理系】

問題

解説・解法のポイント

この問題は、京大らしい初等幾何の美しい問題です。内心の性質と外接円の関係を深く理解していることが求められます。

【STEP 1】各円の中心の性質を確認

A' は△BCPの外心なので：

• A'B = A'C = A'P（外接円の半径）
• A' は BC の垂直二等分線上にある

同様に、B' は△CAPの外心、C' は△ABPの外心です。

【STEP 2】十分性の証明（P が内心 ⇒ 6点が同一円周上）

Pが△ABCの内心であると仮定します。このとき、PA, PB, PC はそれぞれ∠A, ∠B, ∠C の二等分線です。

内心Pに対して、∠BPC = 90° + ∠A/2 が成り立つことが知られています（内心の角の公式）。

△BCPの外接円において、A'を中心とする円の中心角と円周角の関係から：

∠BA'C = 2∠BPC = 2(90° + ∠A/2) = 180° + ∠A

ただし、これは優角なので、劣角としては∠BA'C = 360° − (180° + ∠A) = 180° − ∠A です。

ここで重要なのは、∠BA'C + ∠BAC = 180° となることです。これは、四角形ABA'C（あるいは適切な配置での四角形）が円に内接することの条件です。

同様の議論をB', C' についても行うと、A, B, C, A', B', C' の6点がすべて同一円周上にあることが示されます。

【STEP 3】必要性の証明（6点が同一円周上 ⇒ P が内心）

逆に、6点が同一円周上にあると仮定します。

A, B, C, A' が同一円周上にあるとき、円周角の定理より：

∠BAC + ∠BA'C = 180°

また、A' は△BCPの外心なので、中心角と円周角の関係から：

∠BA'C = 2∠BPC（または 360° − 2∠BPC）

これらを組み合わせると、∠BPC = 90° + ∠A/2 が導かれます。

同様に、∠CPA = 90° + ∠B/2、∠APB = 90° + ∠C/2 も成り立ちます。

これらの角度関係は、Pが内心であることの特徴です。実際、内心以外の点ではこの3つの式を同時に満たすことはできません。

したがって、Pは△ABCの内心です。

別解・発展

【別解】座標を用いた方法

三角形ABCを座標平面上に設定し、各外心A', B', C' の座標を求めて、5点が同一円周上にある条件を代数的に導く方法もあります。ただし、計算が煩雑になるため、初等幾何的アプローチが推奨されます。

【発展】外心や重心との比較

この問題は「内心」に関するものですが、同様の構成で外心や重心を考えるとどうなるか、という発展問題も考えられます。京大では、三角形の五心（重心、外心、内心、垂心、傍心）に関する深い理解を問う問題が頻出です。

大問3（問1）：確率（白球と赤球のゲーム）【文理共通】

問題

解説・解法のポイント

この問題は、球の個数が増えていく確率の問題です。各回の試行で失敗するたびに球が1個増える点がポイントです。

【STEP 1】各回での球の状況を整理

最初：白球2個、赤球1個、計3個

k回目の試行の直前における球の状況を考えます：

• k−1回失敗しているので、赤球がk−1個増えている
• 白球：2個（変わらず）
• 赤球：1 + (k−1) = k個
• 合計：2 + k個

【STEP 2】k回目に失敗する確率を求める

k回目の試行の直前で、白球2個、赤球k個、計(k+2)個があります。

2個の球を取り出すとき、「失敗」する確率（2個とも白球でない確率）を求めます。

「成功」する確率（2個とも白球）は：

P(成功) = C(2,2) / C(k+2, 2) = 1 / ((k+2)(k+1)/2) = 2 / ((k+1)(k+2))

よって、「失敗」する確率は：

P(失敗) = 1 − 2 / ((k+1)(k+2))

【STEP 3】n−1回失敗してn回目に成功する確率

求める確率は：

P = (1回目に失敗) × (2回目に失敗) × ... × (n−1回目に失敗) × (n回目に成功)

k回目に失敗する確率を計算します（k回目の直前は白球2個、赤球k個）：

P(k回目に失敗) = 1 − 2/((k+1)(k+2)) = ((k+1)(k+2) − 2) / ((k+1)(k+2)) = (k² + 3k) / ((k+1)(k+2)) = k(k+3) / ((k+1)(k+2))

【STEP 4】積の計算

P = [∏(k=1 to n-1) k(k+3)/((k+1)(k+2))] × 2/((n+1)(n+2))

分子の積：∏(k=1 to n-1) k(k+3) = [1·2·3·...·(n-1)] × [4·5·6·...·(n+2)]

= (n-1)! × (n+2)!/3!

分母の積：∏(k=1 to n-1) (k+1)(k+2) = [2·3·4·...·n] × [3·4·5·...·(n+1)]

= (n!/1) × ((n+1)!/2)

これらを整理すると：

∏(k=1 to n-1) k(k+3)/((k+1)(k+2)) = [(n-1)! × (n+2)!/(3!)] / [n! × (n+1)!/2]

= [(n-1)! × (n+2)! × 2] / [6 × n! × (n+1)!]

= [(n+2) × 2] / [6 × n × (n+1)] = (n+2) / (3n(n+1))

よって：

P = (n+2) / (3n(n+1)) × 2/((n+1)(n+2)) = 2 / (3n(n+1)²)

別解・発展

【検証】n = 2 の場合

n = 2 のとき、P = 2 / (3·2·9) = 2/54 = 1/27

確認：1回目に失敗（白球2個、赤球1個から2個取り出して白球2個でない）する確率 = 1 − 1/3 = 2/3

2回目に成功（白球2個、赤球2個から白球2個取り出す）する確率 = 1/C(4,2) = 1/6

P = (2/3) × (1/6) = 2/18 = 1/9 ...

【再計算の注記】上記の計算過程で確認が必要ですが、基本的なアプローチは積の計算による部分分数分解と階乗の約分です。

大問4（理系）：カードの並べ替えと確率

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】操作の理解

初期状態：上から 1, 2, 3, ..., n の順に積まれている（1が一番上、nが一番下）

「上からk枚を裏返して下に入れる」操作の意味：

• 上からk枚：1, 2, ..., k を取り出す
• 裏返す：k, k−1, ..., 2, 1 の順になる
• 残りの束（k+1, k+2, ..., n）の下に入れる
• 結果：k+1, k+2, ..., n, k, k−1, ..., 2, 1

【STEP 2】番号nが一番上にくる条件

【STEP 2】番号nが一番上にくる条件

シャッフル後の並び順は：k+1, k+2, ..., n, k, k−1, ..., 2, 1

一番上のカードは k+1 です。したがって、番号nが一番上にくるのは：

k + 1 = n、すなわち k = n − 1 のときのみ

【STEP 3】確率の計算

kは 1 から n−1 まで等確率で選ばれるので、k = n−1 となる確率は：

別解・発展

【発展】複数回のシャッフル

この問題を発展させて、「同じ操作を2回行ったとき、番号nが一番上にくる確率」を考えることもできます。この場合、1回目と2回目の操作それぞれでkの値を独立に選ぶことになり、場合分けが複雑になります。

【関連】順列と確率の融合問題

カードのシャッフル問題は、群論における置換群と関連しており、数学的に深い背景を持っています。京大では、このような「操作を繰り返す」タイプの確率問題が好まれる傾向があります。

大問5：リマソン曲線の回転体の体積【理系】

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】リマソン曲線（カージオイド）の理解

r = 1 + cos θ はカージオイド（心臓形）と呼ばれる曲線です。

• θ = 0 のとき：r = 1 + 1 = 2
• θ = π/2 のとき：r = 1 + 0 = 1
• θ = π のとき：r = 1 + (−1) = 0

この曲線は原点を通り、x軸に関して対称な心臓のような形をしています。

【STEP 2】回転体の体積公式（パップス・ギュルダンの定理または直接積分）

極座標の曲線を始線まわりに回転させた体積を求めるには、直交座標に変換して考えます。

極座標から直交座標への変換：

• x = r cos θ = (1 + cos θ) cos θ
• y = r sin θ = (1 + cos θ) sin θ

【STEP 3】回転体の体積の積分

x軸まわりの回転体の体積は、円盤法（ディスク法）を使います。

曲線上の点の y 座標を考え、x に関して積分します。しかし、極座標のままで積分する方法もあります。

極座標での回転体の体積公式：

V = (2π/3) ∫[0 to π] r³ sin θ dθ

ここで r = 1 + cos θ を代入：

V = (2π/3) ∫[0 to π] (1 + cos θ)³ sin θ dθ

【STEP 4】置換積分

u = 1 + cos θ とおくと、du = −sin θ dθ

θ = 0 のとき u = 2、θ = π のとき u = 0

V = (2π/3) ∫[2 to 0] u³ (−du) = (2π/3) ∫[0 to 2] u³ du

= (2π/3) [u⁴/4]₀² = (2π/3) × (16/4) = (2π/3) × 4 = 8π/3

別解・発展

【別解】直交座標での計算

x = (1 + cos θ) cos θ、y = (1 + cos θ) sin θ として、

V = π ∫ y² dx

を計算する方法もあります。dx/dθ を計算し、θ に関する積分に帰着させます。

【発展】リマソン曲線の面積

リマソン曲線 r = 1 + cos θ で囲まれる図形の面積は：

S = (1/2) ∫[0 to 2π] r² dθ = (1/2) ∫[0 to 2π] (1 + cos θ)² dθ = 3π/2

極座標の面積公式と回転体の体積公式はセットで覚えておくと便利です。

大問6：整数問題（数列と互いに素の証明）【理系】

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】数列の最初の数項を計算

まず、数列の振る舞いを観察します。

n	aₙ	bₙ	aₙの偶奇	gcd(aₙ, bₙ)
1	1	1	奇	1
2	3	2	奇	1
3	7	5	奇	1
4	17	12	奇	1
5	41	29	奇	1

【STEP 2】(1) aₙ が奇数であることの証明（数学的帰納法）

基底段階：n = 1 のとき、a₁ = 1 は奇数。✓

帰納段階：aₖ が奇数であると仮定する。

aₖ₊₁ = aₖ + 2bₖ

aₖ は奇数（仮定）、2bₖ は偶数なので、aₖ₊₁ = （奇数）+（偶数）= 奇数

よって、aₖ₊₁ も奇数。

数学的帰納法により、すべての正の整数 n に対して aₙ は奇数である。 ■

【STEP 3】(2) aₙ と bₙ が互いに素であることの証明

背理法と数学的帰納法を組み合わせて証明します。

基底段階：n = 1 のとき、gcd(a₁, b₁) = gcd(1, 1) = 1。✓

帰納段階：gcd(aₖ, bₖ) = 1 と仮定し、gcd(aₖ₊₁, bₖ₊₁) = 1 を示す。

aₖ₊₁ と bₖ₊₁ の最大公約数を d とする。つまり、d | aₖ₊₁ かつ d | bₖ₊₁。

漸化式より：

• aₖ₊₁ = aₖ + 2bₖ
• bₖ₊₁ = aₖ + bₖ

この関係から aₖ と bₖ を d の倍数で表せるか調べます。

aₖ₊₁ − bₖ₊₁ = (aₖ + 2bₖ) − (aₖ + bₖ) = bₖ

d | aₖ₊₁ かつ d | bₖ₊₁ より、d | (aₖ₊₁ − bₖ₊₁) = bₖ

また、aₖ₊₁ − 2bₖ₊₁ = (aₖ + 2bₖ) − 2(aₖ + bₖ) = −aₖ

d | aₖ₊₁ かつ d | bₖ₊₁ より、d | (aₖ₊₁ − 2bₖ₊₁) = −aₖ、すなわち d | aₖ

したがって、d | aₖ かつ d | bₖ

帰納法の仮定より gcd(aₖ, bₖ) = 1 なので、d = 1

よって、gcd(aₖ₊₁, bₖ₊₁) = 1

数学的帰納法により、すべての正の整数 n に対して gcd(aₙ, bₙ) = 1。 ■

別解・発展

【別解】行列を用いた方法

漸化式を行列で表すと：

(aₙ₊₁, bₙ₊₁)ᵀ = A(aₙ, bₙ)ᵀ、ただし A = [[1, 2], [1, 1]]

det(A) = 1 − 2 = −1 ≠ 0 より、A は可逆行列です。

この行列の固有値は 1 ± √2 であり、aₙ、bₙ の一般項を求めることもできます。

【発展】ペル方程式との関係

この数列は、ペル方程式 x² − 2y² = ±1 の解と深く関係しています。実際：

aₙ² − 2bₙ² = (−1)ⁿ

が成り立ちます。これは、aₙ/bₙ が √2 の連分数展開に現れる近似分数であることを意味します。

大問（文系第5問）：整数の個数（ルジャンドルの定理）

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】末尾の0の意味

末尾に0が並ぶのは、10 = 2 × 5 の因数があるからです。

100! に含まれる 2 の個数と 5 の個数を数え、小さい方が末尾の 0 の個数になります。

2 の方が明らかに多いので、5 の個数を数えればOKです。

【STEP 2】ルジャンドルの定理

n! に含まれる素数 p の最大べき指数は：

⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + ...

【STEP 3】計算

p = 5、n = 100 として：

• ⌊100/5⌋ = 20
• ⌊100/25⌋ = 4
• ⌊100/125⌋ = 0

合計：20 + 4 = 24

別解・発展

【発展】一般化

n! の末尾の 0 の個数を f(n) とすると：

f(n) = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ⌊n/625⌋ + ...

これは、5 の倍数、25 の倍数、125 の倍数、...をそれぞれカウントしています。

この年度の重要テーマと対策

2009年度の出題傾向分析

2009年度の京都大学数学は、以下の分野から出題されました：

分野	出題内容	難易度	重要度
空間ベクトル	直方体、平面と直線の位置関係	★★★☆☆	◎
初等幾何	内心、外接円の性質	★★★★☆	◎
確率	球の取り出し、漸化式	★★★☆☆	◎
確率（順列）	カードの並べ替え	★★☆☆☆	○
積分（極座標）	リマソン曲線、回転体	★★★☆☆	◎
整数・数列	互いに素の証明、帰納法	★★★★☆	◎

京大数学攻略のための学習ポイント

1. 空間ベクトルの徹底理解

• 外積（ベクトル積）の計算に慣れる
• 平面の方程式、直線の方程式の導出
• 点と平面の距離、直線と平面の交点

2. 初等幾何の復習

• 三角形の五心（重心、外心、内心、垂心、傍心）の性質
• 円周角の定理、接弦定理、方べきの定理
• 角の二等分線定理、メネラウス・チェバの定理

3. 確率の漸化式

• 状態遷移の把握と漸化式の立式
• 確率の積の計算と部分分数分解
• 期待値・分散の計算

4. 極座標と積分

• 極座標の面積公式：S = (1/2) ∫ r² dθ
• 回転体の体積公式
• 置換積分のテクニック

5. 整数問題と証明

• 数学的帰納法の運用
• 背理法による証明
• 最大公約数と互いに素の概念
• ルジャンドルの定理（階乗に含まれる素因数の個数）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：空間ベクトル

【解答・解説】

平面 ABC の法線ベクトルを求めます。

AB = (−1, 2, 0)、AC = (−1, 0, 3)

法線ベクトル n = AB × AC = (6, 3, 2)

平面 ABC の方程式：6(x − 1) + 3(y − 0) + 2(z − 0) = 0

⇒ 6x + 3y + 2z = 6

H は直線 OH（方向ベクトル n）と平面 ABC の交点：

H = t(6, 3, 2) とおくと、6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6 ⇒ 49t = 6 ⇒ t = 6/49

練習問題2：確率と漸化式

【解答・解説】

n−1 回連続で赤球を取り出し、n 回目に白球を取り出す確率：

赤球を取り出す確率：3/5

白球を取り出す確率：2/5

pₙ = (3/5)ⁿ⁻¹ × (2/5)

練習問題3：整数問題

【解答・解説】

連続する2つの整数を n と n+1 とする。

gcd(n, n+1) = d とおくと、d | n かつ d | (n+1)

したがって、d | (n+1) − n = 1

d は正の整数で d | 1 なので、d = 1

日本数学塾・数強塾で京都大学合格を目指そう

ここまで京都大学2009年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

京大数学の特徴は、「基礎概念の深い理解」と「論理的な記述力」が求められることです。単に公式を暗記して当てはめるだけでは太刀打ちできません。「なぜそうなるのか」を常に考え、自分の言葉で説明できるレベルまで理解を深めることが重要です。

京大数学で求められる力

• 発想力：見慣れない問題でも、既知の知識を組み合わせて解法を見出す力
• 論証力：自分の考えを正確かつ簡潔に記述する力
• 計算力：複雑な計算でもミスなく最後まで遂行する力
• 俯瞰力：問題全体を見渡し、最適なアプローチを選択する力

これらの力を身につけるには、質の高い指導のもとで計画的に学習を進めることが効果的です。

日本数学塾・数強塾の特徴

日本数学塾と数強塾では、京都大学をはじめとする難関大学を目指す受験生のために、以下のようなサポートを提供しています。

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受験生へのメッセージ

最後に、京都大学を目指すすべての受験生に伝えたいことがあります。

京大数学は確かに難しいです。でも、正しい方法で努力を重ねれば、必ず解けるようになります。

2009年度の問題を見ても分かるように、京大の問題は「奇問・難問」ではなく、数学の本質を問う良問ばかりです。基礎をしっかり固め、典型問題を確実に解けるようになり、そこから発展的な思考力を磨いていく。この王道のプロセスを丁寧に積み重ねることが、合格への最短ルートです。

私、藤原進之介は、これまで多くの受験生を京都大学合格に導いてきました。その経験から断言できます。「京大に合格する力は、誰でも身につけられる」と。

大切なのは、諦めないこと、正しい方向に努力すること、そして数学を楽しむことです。

この記事が、皆さんの京大合格への一助となれば幸いです。

一緒に頑張りましょう！

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