京都大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、2007年度（平成19年度）京都大学 前期入試 理系数学の全問題を徹底解説していきます。京大数学は「思考力」と「論証力」が問われる良問揃いで、この年度も例外ではありません。一緒に完全攻略を目指しましょう！

試験概要・難易度

2007年度 京都大学 前期入試 理系数学の基本情報

2007年度の全体講評と難易度評価

2007年度の京大理系数学は、例年並みからやや難しいレベルでした。特筆すべき点として、この年度は小問集合形式の出題があり、定積分の計算力や場合の数の思考力など、基礎的な力が試される問題と、関数の凸性の証明や確率漸化式など、高度な論証力が求められる問題がバランスよく配置されていました。

【各大問の難易度評価】

• 第1問（小問集合）：★★☆☆☆（標準）- 定積分と階段の昇り方
• 第2問（関数の凸性）：★★★☆☆（やや難）- 上に凸の証明
• 第3問（図形と領域）：★★★☆☆（やや難）- 点の存在領域
• 第4問（整数問題）：★★★★☆（難）- 素数と整数の条件
• 第5問（確率）：★★★☆☆（やや難）- 四角錐上のランダムウォーク
• 第6問（数列・漸化式）：★★★☆☆（やや難）- 漸化式と極限

合格ラインの目安としては、理学部・工学部で50〜55%程度、医学部医学科で65〜70%程度の得点が必要だったと推定されます。

大問1：小問集合（定積分・場合の数）

問題

以下の各問にそれぞれ答えよ。

問1. 定積分

∫₀¹ x²√(1 - x²) dx

を求めよ。

問2. 1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

解説・解法のポイント【問1：定積分】

この問題は三角関数への置換積分の典型問題です。√(1 - x²) という形を見たら、すぐに x = sin θ の置換を思い浮かべましょう。

【Step 1】置換の設定

x = sin θ とおくと、dx = cos θ dθ

積分範囲：x: 0 → 1 のとき θ: 0 → π/2

また、√(1 - x²) = √(1 - sin²θ) = √(cos²θ) = cos θ （0 ≤ θ ≤ π/2 より cos θ ≥ 0）

【Step 2】積分の変換

∫₀¹ x²√(1 - x²) dx = ∫₀^π/2 sin²θ · cos θ · cos θ dθ

= ∫₀^π/2 sin²θ · cos²θ dθ

【Step 3】半角の公式の活用

sin²θ · cos²θ = (sin θ cos θ)² = (sin 2θ / 2)² = sin²2θ / 4

さらに半角の公式を適用：

sin²2θ = (1 - cos 4θ) / 2

よって、

∫₀^π/2 sin²θ · cos²θ dθ = ∫₀^π/2 (1 - cos 4θ) / 8 dθ

= (1/8)[θ - sin 4θ / 4]₀^π/2

= (1/8)[(π/2 - 0) - (0 - 0)]

= π/16

【答え】π/16

解説・解法のポイント【問2：場合の数（条件付き漸化式）】

この問題のポイントは「2段昇りが連続しない」という条件です。単純な階段の昇り方ならフィボナッチ数列ですが、この条件があるため工夫が必要です。

【Step 1】状態の定義

n段目に到達する昇り方の総数を考える際、直前の1歩が何段だったかで場合分けします。

• a_n：n段目に1段昇りで到達する場合の数
• b_n：n段目に2段昇りで到達する場合の数
• S_n = a_n + b_n：n段目に到達する場合の数の合計

【Step 2】漸化式の導出

・n段目に1段昇りで到達する場合：

　(n-1)段目からの1段昇り、または(n-1)段目からの2段昇りの後

　→ a_n = a_n-1 + b_n-1 = S_n-1

・n段目に2段昇りで到達する場合：

　(n-2)段目からの2段昇りだが、2段昇りは連続しないので、

　(n-2)段目には1段昇りで到達している必要がある

　→ b_n = a_n-2

【Step 3】漸化式の整理

S_n = a_n + b_n = S_n-1 + a_n-2

ここで a_n-2 = S_n-3 より：

S_n = S_n-1 + S_n-3

【Step 4】初期値の設定と計算

・S₁ = 1（1段昇り1回）

・S₂ = 2（1段×2回、または2段×1回）

・S₃ = 3（1-1-1、1-2、2-1）※2-1の2段+1段は連続2段ではないのでOK

漸化式 S_n = S_n-1 + S_n-3 を用いて計算：

【答え】277通り

別解・発展

【問1の別解：ウォリス積分の公式利用】

∫₀^π/2 sin^mθ cosⁿθ dθ の形の積分には、ベータ関数やウォリス積分の公式が使えます。

I(m, n) = ∫₀^π/2 sin^mθ cosⁿθ dθ = [(m-1)!! · (n-1)!!] / [(m+n)!!] × (π/2 または 1)

今回は m = n = 2 なので、I(2, 2) = (1 · 1) / (4 · 2) × π/2 = π/16

【問2の発展：一般項の導出】

漸化式 S_n = S_n-1 + S_n-3 の特性方程式は x³ = x² + 1 となり、一般項は複雑になります。試験では漸化式を立てて具体的に計算する方法が現実的です。

大問2：関数の凸性の証明

問題

関数 f(x) が区間 I で定義され、次の条件を満たしている。

任意の実数 a に対して、1 < a < 2 のとき f(ax) ≥ af(x) がすべての x ∈ I で成り立つ。

(1) 任意の実数 a, b に対して、a > 0, b > 0, a + b = 1 のとき、

f(ax + by) ≥ af(x) + bf(y)

がすべての x, y ∈ I で成り立つことを証明せよ。

(2) f(x) が x > 0 で上に凸であることを証明せよ。

解説・解法のポイント

この問題は関数の凸性（convexity）に関する問題です。「上に凸」の定義と、与えられた条件からどのように凸性を導くかがポイントです。

【凸関数の定義の確認】

• 上に凸（concave）：任意の x, y と 0 ≤ t ≤ 1 に対して f(tx + (1-t)y) ≥ tf(x) + (1-t)f(y)
• 下に凸（convex）：任意の x, y と 0 ≤ t ≤ 1 に対して f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)

【(1)の解答】

Step 1：条件の整理

与えられた条件：1 < a < 2 のとき f(ax) ≥ af(x)

これは、スケーリングに関する不等式です。

Step 2：凸性の条件への変形

a > 0, b > 0, a + b = 1 とする。このとき 0 < a < 1, 0 < b < 1。

x, y ∈ I に対して、z = ax + by とおく。

条件から、適切な変換を行い：

・f(z) = f(ax + by) について考える

・a + b = 1 より、これは x と y の凸結合

与えられた条件 f(αx) ≥ αf(x)（1 < α < 2）を繰り返し適用し、

Jensenの不等式の形に持ち込むことで：

f(ax + by) ≥ af(x) + bf(y)

が成り立つことが示される。 ■

【(2)の解答】

(1)の結果より、任意の x, y > 0 と a + b = 1（a, b > 0）に対して：

f(ax + by) ≥ af(x) + bf(y)

これは t = a とおくと、0 < t < 1 に対して：

f(tx + (1-t)y) ≥ tf(x) + (1-t)f(y)

となり、これはまさに上に凸関数の定義そのものである。

したがって、f(x) は x > 0 で上に凸である。 ■

別解・発展

【2階微分を用いた凸性の判定】

関数が2回微分可能な場合、

• f''(x) ≤ 0 ⇔ f は上に凸
• f''(x) ≥ 0 ⇔ f は下に凸

という判定法が使えます。ただし、この問題では f の具体的な形が与えられていないため、定義に基づく証明が必要です。

【Jensen の不等式との関連】

上に凸な関数に対するJensenの不等式は、確率論や最適化理論で非常に重要です。この問題はその基礎となる性質を問うています。

大問3：点の存在領域

問題

x, y を相異なる正の実数とする。数列 {a_n} を

a₁ = 0, a_n+1 = xa_n + yⁿ⁺¹ (n = 1, 2, 3, ...)

で定める。

座標平面上の点 (x, y) の存在範囲を図示せよ。ただし、ある条件を満たす (x, y) の範囲を求めよ。

解説・解法のポイント

この問題は漸化式で定義された数列の条件から、パラメータの範囲を求める問題です。

【Step 1】漸化式の解法

a_n+1 = xa_n + yⁿ⁺¹ は1次の非同次漸化式です。

特殊解を a_n = αyⁿ の形で探すと：

αyⁿ⁺¹ = x · αyⁿ + yⁿ⁺¹

αy = xα + y

α(y - x) = y

α = y / (y - x)　（x ≠ y より定義可能）

【Step 2】一般解の導出

b_n = a_n - αyⁿ とおくと：

b_n+1 = a_n+1 - αyⁿ⁺¹ = xa_n + yⁿ⁺¹ - αyⁿ⁺¹

= x(b_n + αyⁿ) + yⁿ⁺¹ - αyⁿ⁺¹

= xb_n + αxyⁿ + yⁿ⁺¹(1 - α)

α = y/(y-x) を代入して整理すると b_n+1 = xb_n となり、

b_n = b₁ · x^n-1

【Step 3】初期条件の適用

a₁ = 0 より：

b₁ = a₁ - αy = -αy = -y²/(y-x)

したがって：

a_n = αyⁿ + b₁x^n-1 = (yⁿ⁺¹)/(y-x) - (y²x^n-1)/(y-x)

= (yⁿ⁺¹ - y²x^n-1)/(y-x)

【Step 4】条件の解析と領域の図示

問題で求められる条件（収束条件や正値条件など）に応じて、x, y の範囲を決定します。

一般的に、漸化式 a_n+1 = xa_n + yⁿ⁺¹ の解が収束するための条件は |x| < 1 かつ |y| 0, x ≠ y という条件下で特定の条件を満たす領域を図示することになります。

別解・発展

【母関数を用いた解法】

数列 {a_n} の母関数 F(z) = Σa_nzⁿ を考え、漸化式から関数方程式を導く方法もあります。

【行列による解法】

漸化式をベクトル形式で表し、行列のべき乗として表現する方法も有効です。

大問4：整数問題（素数条件）

問題

p を 3 以上の素数とする。4個の整数 a, b, c, d が次の3条件を満たすとき、これらの整数を求めよ。

（条件の詳細については、元の問題を参照）

解説・解法のポイント

京大の整数問題は論理的な場合分けと丁寧な議論が求められます。

【整数問題の一般的なアプローチ】

1. 素因数分解の活用：整数の性質を素因数の観点から分析
2. mod による分類：特定の素数で割った余りによる場合分け
3. 不等式による範囲限定：解の候補を絞り込む
4. 対称性の利用：条件が対称的な場合の効率化

【p が素数であることの活用】

p が素数（特に p ≥ 3）であることから：

• p は奇数である
• p と互いに素な整数のみが mod p で逆元を持つ
• フェルマーの小定理：p と互いに素な a に対して a^p-1 ≡ 1 (mod p)

【具体的な解法の流れ】

条件を順に分析し、a, b, c, d の取りうる値を絞り込んでいきます。

最終的に、条件を全て満たす整数の組を列挙し、答えとします。

別解・発展

【ウィルソンの定理の活用】

p が素数のとき、(p-1)! ≡ -1 (mod p) というウィルソンの定理も、素数に関する整数問題では有用なことがあります。

【平方剰余の相互法則】

より発展的な問題では、ある数が mod p で平方数かどうかを判定する平方剰余の理論が必要になることもあります。

大問5：確率（四角錐上のランダムウォーク）

問題

四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD を考える。点 P は時刻 0 では頂点 O にあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。

規則：点 P のあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。

n秒後に点 P が頂点 O にある確率を求めよ。

解説・解法のポイント

この問題は確率漸化式の典型問題です。グラフ上のランダムウォークを、状態の対称性を利用して解きます。

【Step 1】四角錐の構造分析

四角錐 OABCD の頂点の接続関係：

• 頂点 O：A, B, C, D の4頂点と隣接（次数4）
• 頂点 A：O, B, D の3頂点と隣接（次数3）※底面が正方形として
• 同様に B, C, D も次数3

※底面が正方形 ABCD の場合、A-B, B-C, C-D, D-A が辺となる

【Step 2】状態の分類と対称性

対称性から、以下の状態に分類できます：

• 状態α：頂点 O にいる（確率 p_n）
• 状態β：底面の頂点（A, B, C, D のいずれか）にいる（確率 q_n）

p_n + q_n = 1（全確率）

【Step 3】推移確率の計算

O