京都府立医科大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、京都府立医科大学 2016年度（平成28年度）前期日程の数学を徹底解説していきます。京都府立医科大学（京府医大）は、国公立医学部の中でも難関校として知られており、数学の問題は計算量・思考力ともに高いレベルが求められます。

この年度の問題は、統計学（データの分析）、複素数平面、媒介変数表示と回転体の体積、数列と極限という4つの分野から出題されました。それぞれの大問について、問題の意図を理解し、効率的な解法を身につけていきましょう！

試験概要・難易度

試験形式と基本情報

2016年度の全体講評

2016年度の京都府立医科大学数学は、例年通りの高難度でありながら、各大問に明確な誘導がついており、部分点を狙いやすい構成でした。

難易度評価：やや難〜難

特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問：統計学（データの分析） - 共分散や相関係数の計算が出題され、計算量がかなり多い
• 第2問：複素数平面 - 複素数の性質と図形的解釈を組み合わせた良問
• 第3問：媒介変数表示と積分 - 曲線の図示と回転体の体積計算の融合問題
• 第4問：数列と極限 - 整数論的な要素を含む数列の問題で、後半は高難度

120分という試験時間に対して、すべての問題を完答するのは困難です。確実に解ける問題から着手し、部分点を積み重ねる戦略が重要となります。

目標得点の目安

大問1：統計学（データの分析）- 共分散と相関係数

問題

2つの変量 x, y に関するn個のデータ (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ) がある。xの平均値を x̄、yの平均値を ȳ とし、xとyの共分散を Sxy、xの標準偏差を Sx、yの標準偏差を Sy とする。

以下の問いに答えよ。

(1) 共分散 Sxy の定義に従って、次の式が成り立つことを示せ：

Sxy = (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ xᵢyᵢ - x̄ȳ

(2) 以下のデータについて、xとyの相関係数 r を求めよ。

(3) 変量 u = ax + b, v = cy + d（a, c > 0）とするとき、uとvの相関係数がxとyの相関係数と等しいことを証明せよ。

解説・解法のポイント

【(1)の解法】共分散の公式の導出

共分散の定義式から出発して、与えられた等式を導きます。

共分散の定義：

Sxy = (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)

展開すると：

Sxy = (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢyᵢ - xᵢȳ - x̄yᵢ + x̄ȳ)

= (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ xᵢyᵢ - (ȳ/n)Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ - (x̄/n)Σᵢ₌₁ⁿ yᵢ + (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ x̄ȳ

ここで、Σxᵢ = nx̄、Σyᵢ = nȳ であることを用いると：

= (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ xᵢyᵢ - ȳ·x̄ - x̄·ȳ + x̄ȳ

= (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ xᵢyᵢ - x̄ȳ　■

【(2)の解法】相関係数の計算

まず、各統計量を計算します。

Step 1: 平均値を求める

• x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3
• ȳ = (3+5+4+8+10)/5 = 30/5 = 6

Step 2: 各種の和を計算

• Σxᵢ² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
• Σyᵢ² = 9 + 25 + 16 + 64 + 100 = 214
• Σxᵢyᵢ = 3 + 10 + 12 + 32 + 50 = 107

Step 3: 分散と共分散を計算

• Sx² = 55/5 - 3² = 11 - 9 = 2 → Sx = √2
• Sy² = 214/5 - 6² = 42.8 - 36 = 6.8 = 34/5 → Sy = √(34/5)
• Sxy = 107/5 - 3×6 = 21.4 - 18 = 3.4 = 17/5

Step 4: 相関係数を計算

r = Sxy / (Sx · Sy) = (17/5) / (√2 · √(34/5)) = (17/5) / √(68/5) = (17/5) × √(5/68)

= 17/√(5×68) = 17/√340 = 17/(2√85) = 17√85/170

または、分母分子を整理して：

r = 17/√340 = 17√85/170 ≈ 0.92

【(3)の解法】線形変換と相関係数の不変性

u = ax + b, v = cy + d のとき、相関係数が不変であることを示します。

uの平均と分散：

• ū = ax̄ + b
• Su² = a²Sx²　（定数bを加えても分散は変わらない）
• Su = |a|Sx = aSx（a > 0より）

vの平均と分散：

• v̄ = cȳ + d
• Sv² = c²Sy²
• Sv = |c|Sy = cSy（c > 0より）

uとvの共分散：

Suv = (1/n)Σ(uᵢ - ū)(vᵢ - v̄)

= (1/n)Σ(axᵢ + b - ax̄ - b)(cyᵢ + d - cȳ - d)

= (1/n)Σ·a(xᵢ - x̄)·c(yᵢ - ȳ)

= ac · (1/n)Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)

= ac · Sxy

uとvの相関係数：

ruv = Suv / (Su · Sv) = (ac · Sxy) / (aSx · cSy) = Sxy / (Sx · Sy) = rxy　■

別解・発展

【発展】相関係数の幾何学的意味

相関係数 r は、n次元ベクトル空間において、偏差ベクトル

• x' = (x₁ - x̄, x₂ - x̄, ..., xₙ - x̄)
• y' = (y₁ - ȳ, y₂ - ȳ, ..., yₙ - ȳ)

のなす角θのcosθに等しいです：

r = cos θ = (x'·y') / (|x'||y'|)

この幾何学的解釈から、-1 ≤ r ≤ 1 が自然に導かれます。

大問2：複素数平面 - 複素数の条件と円

問題

複素数 z に対し、

α = z + 1/z,　β = z - 1/z

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) β = 0 となる z はどのような複素数か述べよ。

(2) α と β がともに自然数となる z をすべて求めよ。

(3) 複素数平面上において、(2)で求めた z に対応する点のすべてを周または内部に含む円を考え、そのような円のうち最小の面積をもつものを C とする。C の中心を表す複素数と C の半径を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1)の解法】β = 0 の条件

β = z - 1/z = 0 より：

z = 1/z

z² = 1

z = ±1

答：z = 1 または z = -1

【(2)の解法】α, β がともに自然数となる条件

α と β がともに自然数のとき、以下の関係式に注目します：

Key Formula：

α² - β² = (z + 1/z)² - (z - 1/z)² = 4z · (1/z) = 4

つまり、α² - β² = 4 が必要条件です。

α, β は自然数なので、(α - β)(α + β) = 4 を満たす必要があります。

α > β の場合の検討：

• α - β = 1, α + β = 4 → α = 5/2（自然数でない）✗
• α - β = 2, α + β = 2 → α = 2, β = 0（βは自然数でない）✗
• α - β = 4, α + β = 1（α + β > α - β に矛盾）✗

別のアプローチ：α + β と α - β を計算

• α + β = 2z
• α - β = 2/z

α, β が自然数なら、α + β も自然数で、2z が自然数となる。

同様に、α - β も整数（自然数または0または負の整数）で、2/z が整数となる。

z = (α + β)/2 かつ 1/z = (α - β)/2 より：

z · (1/z) = 1 = (α + β)(α - β)/4 = (α² - β²)/4

したがって α² - β² = 4。

α, β ≥ 1 のとき：

• (α, β) = (2, 0) は β ≥ 1 を満たさない

実は β = 0 を許容すると z = ±1 だが、これは (1) の答えと一致。

β ≥ 1 で α² - β² = 4 を満たす自然数の組は存在しません。

よって、問題の意図を再検討すると、「α, β がともに正の整数」または「α, β がともに実数で整数」と解釈する可能性があります。

z = (α + β)/2 を実数とすると：

α = z + 1/z, β = z - 1/z が自然数となる実数 z を探します。

z > 0 のとき、α = z + 1/z ≥ 2（相加相乗平均の関係より）。等号は z = 1 のとき。

z = 1 のとき：α = 2, β = 0（β は自然数でない）

z = 2 のとき：α = 2 + 1/2 = 5/2（自然数でない）

整数解の探索（z が複素数の場合）：

z = a + bi（a, b は実数）とすると、

1/z = (a - bi)/(a² + b²)

α, β が実数（特に自然数）となるためには、αとβの虚部が0である必要があります。

α の虚部 = b - (-b)/(a² + b²) = b(1 + 1/(a² + b²)) = b(a² + b² + 1)/(a² + b²)

これが0となるのは b = 0 のとき、すなわち z が実数のとき。

z が正の実数で α, β がともに自然数となるケースを詳しく調べると：

z = n + √(n² - 1)（n は自然数）の形で、α = 2n となります。

例えば、z = 2 + √3 のとき α = 4, β = 2√3（βは自然数でない）。

結論として、α と β がともに自然数となる z は非常に限定的で、問題の条件を厳密に満たす解を慎重に検討する必要があります。

【(3)の解法】最小包含円

(2)で求めた点集合に対して、すべての点を含む最小の円を求めます。

最小包含円（minimum enclosing circle）を求める際のポイント：

• 2点が直径の両端となる場合
• 3点が円周上にある場合

のいずれかで最小円が決定します。

点集合の重心や外接円を計算し、中心と半径を求めます。

別解・発展

【別解】極形式による考察

z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) とおくと：

• 1/z = (1/r)e^(-iθ)
• α = z + 1/z = (r + 1/r)cos θ + i(r - 1/r)sin θ
• β = z - 1/z = (r - 1/r)cos θ + i(r + 1/r)sin θ

α, β が実数となる条件は、虚部 = 0 より θ = 0, π のとき。

大問3：媒介変数表示と回転体の体積

問題

a, b を正の実数とし、媒介変数表示

x = a cos²t,　y = b sin³t　(0 ≤ t ≤ π/2)

で表される曲線を C とする。以下の問いに答えよ。

(1) 次の等式を証明せよ：

cos²t = (1 + cos 2t)/2,　sin²t = (1 - cos 2t)/2

(2) 曲線 C の方程式を x, y の関係式で表し、概形を図示せよ。

(3) 曲線 C と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1)の解法】半角の公式の証明

加法定理 cos 2t = cos²t - sin²t と sin²t + cos²t = 1 を用います。

cos²t の導出：

cos 2t = cos²t - sin²t = cos²t - (1 - cos²t) = 2cos²t - 1

∴ cos²t = (1 + cos 2t)/2　■

sin²t の導出：

cos 2t = cos²t - sin²t = (1 - sin²t) - sin²t = 1 - 2sin²t

∴ sin²t = (1 - cos 2t)/2　■

【(2)の解法】媒介変数の消去と曲線の図示

Step 1: 媒介変数を三角関数で表す

• x = a cos²t より cos²t = x/a
• y = b sin³t より sin³t = y/b

Step 2: sin²t + cos²t = 1 を利用

sin²t = (sin³t)^(2/3) = (y/b)^(2/3)

cos²t = x/a

したがって：

(x/a) + (y/b)^(2/3) = 1　（0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b）

Step 3: 曲線の概形

パラメータ t が 0 から π/2 まで変化するとき：

• t = 0：(x, y) = (a, 0)（x軸上、x切片）
• t = π/2：(x, y) = (0, b)（y軸上、y切片）

曲線は第1象限にあり、(a, 0) から (0, b) へ向かう滑らかな曲線です。

y = b(1 - x/a)^(3/2) と書き直すと、x = 0 で y = b、x = a で y = 0。

  y
  ↑
 b ●
   |＼
   | ＼
   |  ＼＿
   |     ＼__
   |         ＼___●
  -+----------------→ x
  O              a

【(3)の解法】回転体の体積

曲線 C と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわ

曲線 C と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転させた体積を求めます。

Step 1: 体積の公式（媒介変数表示）

x 軸まわりの回転体の体積は：

V = π∫y² dx

媒介変数 t を用いると、dx = (dx/dt)dt なので：

V = π∫₀^(π/2) y² · (dx/dt) dt

Step 2: 各成分の計算

x = a cos²t より：

dx/dt = a · 2cos t · (-sin t) = -2a cos t sin t = -a sin 2t

y = b sin³t より：

y² = b² sin⁶t

Step 3: 積分の設定

t が 0 → π/2 のとき、x は a → 0 と変化します（減少）。

積分の向きを調整するため：

V = π∫₀^(π/2) b² sin⁶t · (-a sin 2t) dt = πab²∫₀^(π/2) sin⁶t · sin 2t dt

（マイナスを外に出して積分区間を入れ替えるか、絶対値で処理）

sin 2t = 2 sin t cos t を代入：

V = πab² ∫₀^(π/2) sin⁶t · 2sin t cos t dt = 2πab² ∫₀^(π/2) sin⁷t cos t dt

Step 4: 置換積分

u = sin t とおくと、du = cos t dt

t: 0 → π/2 のとき u: 0 → 1

V = 2πab² ∫₀¹ u⁷ du = 2πab² [u⁸/8]₀¹ = 2πab² · (1/8)

V = πab²/4

別解・発展

【別解】直接積分による方法

y = b(1 - x/a)^(3/2) を用いて直接計算することも可能です。

V = π∫₀^a y² dx = π∫₀^a b²(1 - x/a)³ dx

u = 1 - x/a とおくと、du = -dx/a より dx = -a du

x: 0 → a のとき u: 1 → 0

V = πb² ∫₁⁰ u³ · (-a) du = πab² ∫₀¹ u³ du = πab² [u⁴/4]₀¹ = πab²/4

同じ結果が得られます。

【発展】y 軸まわりの回転体

同じ曲線を y 軸まわりに回転させた場合の体積も計算してみましょう。

V_y = π∫x² dy = π∫₀^(π/2) a²cos⁴t · (dy/dt) dt

dy/dt = b · 3sin²t · cos t = 3b sin²t cos t

V_y = πa² ∫₀^(π/2) cos⁴t · 3b sin²t cos t dt = 3πa²b ∫₀^(π/2) cos⁵t sin²t dt

この積分はベータ関数やウォリスの公式を用いて計算できます。

大問4：数列と極限 - 整数条件を含む漸化式

問題

数列 {aₙ} を次のように定める：

a₁ = 1, a₂ = 5, aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ - aₙ （n = 1, 2, 3, ...）

以下の問いに答えよ。

(1) a₃, a₄, a₅ を求めよ。

(2) すべての自然数 n に対して aₙ が自然数であることを証明せよ。

(3) bₙ = aₙ₊₁/aₙ とおく。数列 {bₙ} の極限 lim(n→∞) bₙ を求めよ。

(4) cₙ = aₙ₊₁² - aₙ · aₙ₊₂ とおく。cₙ を求めよ。

解説・解法のポイント

【(1)の解法】具体的な項の計算

漸化式 aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ - aₙ に従って計算します。

• a₃ = 5a₂ - a₁ = 5 × 5 - 1 = 25 - 1 = 24
• a₄ = 5a₃ - a₂ = 5 × 24 - 5 = 120 - 5 = 115
• a₅ = 5a₄ - a₃ = 5 × 115 - 24 = 575 - 24 = 551

答：a₃ = 24, a₄ = 115, a₅ = 551

【(2)の解法】数学的帰納法

数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して aₙ が自然数であることを示します。

[基底段階]

n = 1 のとき a₁ = 1 は自然数。✓

n = 2 のとき a₂ = 5 は自然数。✓

[帰納段階]

n = k, k+1（k ≥ 1）のとき aₖ, aₖ₊₁ が自然数であると仮定する。

漸化式より：

aₖ₊₂ = 5aₖ₊₁ - aₖ

aₖ, aₖ₊₁ が自然数のとき、5aₖ₊₁ は自然数であり、5aₖ₊₁ - aₖ も整数です。

あとは aₖ₊₂ > 0 を示せばよい。

aₖ₊₂ = 5aₖ₊₁ - aₖ > 0 を示すには、5aₖ₊₁ > aₖ、すなわち aₖ₊₁/aₖ > 1/5 を示せばよい。

(1)の結果から：

• a₂/a₁ = 5/1 = 5 > 1/5 ✓
• a₃/a₂ = 24/5 = 4.8 > 1/5 ✓
• a₄/a₃ = 115/24 ≈ 4.79 > 1/5 ✓

実際、aₙ₊₁ ≥ aₙ（数列は単調増加）であることが帰納的に示せます：

aₖ₊₁ ≥ aₖ かつ aₖ₊₂ = 5aₖ₊₁ - aₖ ≥ 5aₖ₊₁ - aₖ₊₁ = 4aₖ₊₁ > aₖ₊₁

したがって、aₖ₊₂ > aₖ₊₁ ≥ aₖ ≥ 1 より aₖ₊₂ は自然数。■

【(3)の解法】極限の計算

bₙ = aₙ₊₁/aₙ の極限を求めます。

Step 1: 特性方程式を解く

漸化式 aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ - aₙ の特性方程式は：

x² = 5x - 1　⟺　x² - 5x + 1 = 0

解の公式より：

x = (5 ± √21)/2

α = (5 + √21)/2, β = (5 - √21)/2 とおく。

Step 2: 一般項の導出

一般項は aₙ = Aαⁿ + Bβⁿ の形で表されます。

初期条件より：

• a₁ = Aα + Bβ = 1
• a₂ = Aα² + Bβ² = 5

α + β = 5, αβ = 1（解と係数の関係）を用いて A, B を求めます。

α² = 5α - 1, β² = 5β - 1 より：

a₂ = A(5α - 1) + B(5β - 1) = 5(Aα + Bβ) - (A + B) = 5 · 1 - (A + B) = 5

∴ A + B = 0, つまり B = -A

a₁ = Aα - Aβ = A(α - β) = 1

α - β = √21 より A = 1/√21, B = -1/√21

Step 3: 一般項

aₙ = (αⁿ - βⁿ)/√21 = (1/√21){((5+√21)/2)ⁿ - ((5-√21)/2)ⁿ}

Step 4: 極限の計算

|β| = |(5 - √21)/2| ≈ |（5 - 4.58）/2| ≈ 0.21 < 1

したがって、n → ∞ のとき βⁿ → 0

bₙ = aₙ₊₁/aₙ = (αⁿ⁺¹ - βⁿ⁺¹)/(αⁿ - βⁿ)

= α · (1 - (β/α)ⁿ⁺¹)/(1 - (β/α)ⁿ)

β/α = β · β/（α · β）= β²/1 = β² = (5 - √21)²/4 = (46 - 10√21)/4 < 1

n → ∞ のとき (β/α)ⁿ → 0 なので：

lim(n→∞) bₙ = α = (5 + √21)/2

【(4)の解法】cₙ の計算

cₙ = aₙ₊₁² - aₙ · aₙ₊₂ を計算します。

Step 1: 具体的な値で予想

• c₁ = a₂² - a₁ · a₃ = 25 - 1 × 24 = 25 - 24 = 1
• c₂ = a₃² - a₂ · a₄ = 576 - 5 × 115 = 576 - 575 = 1
• c₃ = a₄² - a₃ · a₅ = 13225 - 24 × 551 = 13225 - 13224 = 1

予想：cₙ = 1（すべての n で）

Step 2: 証明

漸化式 aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ - aₙ を用いて：

cₙ = aₙ₊₁² - aₙ · aₙ₊₂ = aₙ₊₁² - aₙ(5aₙ₊₁ - aₙ)

= aₙ₊₁² - 5aₙaₙ₊₁ + aₙ²

cₙ₊₁ = aₙ₊₂² - aₙ₊₁ · aₙ₊₃ = aₙ₊₂² - aₙ₊₁(5aₙ₊₂ - aₙ₊₁)

= aₙ₊₂² - 5aₙ₊₁aₙ₊₂ + aₙ₊₁²

cₙ₊₁ - cₙ を計算すると：

= (aₙ₊₂² - 5aₙ₊₁aₙ₊₂ + aₙ₊₁²) - (aₙ₊₁² - 5aₙaₙ₊₁ + aₙ²)

= aₙ₊₂² - 5aₙ₊₁aₙ₊₂ + 5aₙaₙ₊₁ - aₙ²

= aₙ₊₂² - aₙ² - 5aₙ₊₁(aₙ₊₂ - aₙ)

= (aₙ₊₂ + aₙ)(aₙ₊₂ - aₙ) - 5aₙ₊₁(aₙ₊₂ - aₙ)

= (aₙ₊₂ - aₙ)(aₙ₊₂ + aₙ - 5aₙ₊₁)

ここで aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ - aₙ より aₙ₊₂ + aₙ = 5aₙ₊₁

したがって aₙ₊₂ + aₙ - 5aₙ₊₁ = 0

よって cₙ₊₁ - cₙ = 0、つまり cₙ は定数。

c₁ = 1 より：

cₙ = 1（すべての自然数 n に対して）

別解・発展

【別解】一般項を用いた証明

aₙ = (αⁿ - βⁿ)/√21 を用いると：

cₙ = aₙ₊₁² - aₙ · aₙ₊₂

= [(αⁿ⁺¹ - βⁿ⁺¹)² - (αⁿ - βⁿ)(αⁿ⁺² - βⁿ⁺²)] / 21

分子を展開：

= α²ⁿ⁺² - 2(αβ)ⁿ⁺¹ + β²ⁿ⁺² - (α²ⁿ⁺² - αⁿβⁿ⁺² - αⁿ⁺²βⁿ + β²ⁿ⁺²)

= -2(αβ)ⁿ⁺¹ + αⁿβⁿ⁺² + αⁿ⁺²βⁿ

= (αβ)ⁿ(-2αβ + β² + α²)

= (αβ)ⁿ(α² - 2αβ + β²)

= (αβ)ⁿ(α - β)²

= 1ⁿ · 21 = 21（∵ αβ = 1, α - β = √21）

よって cₙ = 21/21 = 1　■

この年度の重要テーマと対策

2016年度の出題傾向分析

京都府立医科大学 数学の傾向と特徴

1. 数学IIIからの出題が中心

毎年、大問4題中2〜3題が数学III（微分積分、複素数平面など）から出題されます。特に積分計算は必出で、回転体の体積、面積、曲線の長さなどが頻出です。

2. 証明問題の重視

論理的な記述力を試す証明問題が多く出題されます。数学的帰納法、背理法、同値変形を正確に使いこなす力が求められます。

3. 計算量の多さ

2016年度の統計問題に象徴されるように、計算量が非常に多いのが特徴です。計算ミスを防ぐ工夫（検算、別解での確認）が重要です。

4. 融合問題

複数の分野を組み合わせた融合問題が出題されることがあります。幅広い知識と柔軟な思考力が必要です。

分野別対策法

【複素数平面】

• z + 1/z, z - 1/z の形は頻出。α² - β² = 4 のような恒等式を発見する練習を
• 極形式と直交形式の使い分けをマスター
• 円、直線、軌跡の問題を重点的に

【微分積分】

• 媒介変数表示の微分・積分は必須
• 回転体の体積（x軸まわり、y軸まわり両方）
• 置換積分、部分積分の習熟
• ウォリスの公式、ガウス積分などの典型積分

【数列】

• 3項間漸化式の特性方程式による解法
• 数学的帰納法による証明
• 極限との融合問題
• フィボナッチ型数列とその性質

【統計学】

• 平均、分散、標準偏差、共分散、相関係数の定義と公式
• 線形変換に対する各統計量の変化
• 計算を効率化するテクニック

時間配分の目安

120分で4題を解く場合の理想的な時間配分：

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：複素数平面（第2問類題）

【解答・解説】

(1)

z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) のとき、

z̄ = r(cos θ - i sin θ) = re^(-iθ)

1/z̄ = (1/r)e^(iθ) = (1/r)(cos θ + i sin θ)

したがって：

w = z + 1/z̄ = r(cos θ + i sin θ) + (1/r)(cos θ + i sin θ) = (r + 1/r)(cos θ + i sin θ)

(2)

|z| = 2 より r = 2。

w = (2 + 1

w = (2 + 1/2)(cos θ + i sin θ) = (5/2)(cos θ + i sin θ)

θ が 0 から 2π まで動くとき、w は原点を中心とする半径 5/2 の円を描きます。

答：原点を中心とする半径 5/2 の円

練習問題2：媒介変数と面積（第3問類題）

【解答・解説】

(1)

x = cos³t より cos t = x^(1/3)

y = sin³t より sin t = y^(1/3)

sin²t + cos²t = 1 より：

x^(2/3) + y^(2/3) = 1

(2)

対称性より、第1象限の面積の4倍を求めます。

S = 4∫₀¹ y dx（第1象限で x: 0→1、y ≥ 0）

媒介変数を用いると、t: π/2 → 0 のとき x: 0 → 1

dx/dt = 3cos²t · (-sin t) = -3cos²t sin t

S = 4∫_{π/2}^{0} sin³t · (-3cos²t sin t) dt

= 4∫₀^{π/2} 3sin⁴t cos²t dt

= 12∫₀^{π/2} sin⁴t cos²t dt

ウォリスの公式または半角公式を用いて：

∫₀^{π/2} sin⁴t cos²t dt = (3·1·1)/(6·4·2) · (π/2) = 3π/96 = π/32

（より詳しく：∫₀^{π/2} sin^m t cos^n t dt = B((m+1)/2, (n+1)/2)/2 を利用）

S = 12 · π/32 = 3π/8

(3)

対称性より、第1象限の部分を回転させた体積の2倍（上下対称なので）。

V = 2 · π∫₀¹ y² dx = 2π∫₀^{π/2} sin⁶t · 3cos²t sin t dt

= 6π∫₀^{π/2} sin⁷t cos²t dt

u = sin t とおくと du = cos t dt

∫₀^{π/2} sin⁷t cos²t dt = ∫₀^{π/2} sin⁷t (1 - sin²t) cos t dt

= ∫₀¹ u⁷(1 - u²) du = ∫₀¹ (u⁷ - u⁹) du

= [u⁸/8 - u¹⁰/10]₀¹ = 1/8 - 1/10 = 1/40

V = 6π · (1/40) = 3π/20

練習問題3：数列と極限（第4問類題）

【解答・解説】

(1)

• F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2
• F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3
• F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5
• F₆ = F₅ + F₄ = 5 + 3 = 8
• F₇ = F₆ + F₅ = 8 + 5 = 13

(2)

特性方程式 x² = x + 1、すなわち x² - x - 1 = 0 を解く。

x = (1 ± √5)/2

φ = (1 + √5)/2（黄金比）、ψ = (1 - √5)/2 とおく。

一般項は Fₙ = Aφⁿ + Bψⁿ の形。

初期条件より：

• F₁ = Aφ + Bψ = 1
• F₂ = Aφ² + Bψ² = 1

φ + ψ = 1, φψ = -1, φ - ψ = √5 を用いて解くと：

A = 1/√5, B = -1/√5

Fₙ = (φⁿ - ψⁿ)/√5 = (1/√5){((1+√5)/2)ⁿ - ((1-√5)/2)ⁿ}

(3)

|ψ| = |(1 - √5)/2| ≈ 0.618 < 1 より、n → ∞ のとき ψⁿ → 0

Fₙ₊₁/Fₙ = (φⁿ⁺¹ - ψⁿ⁺¹)/(φⁿ - ψⁿ) → φⁿ⁺¹/φⁿ = φ（n → ∞）

lim_{n→∞} Fₙ₊₁/Fₙ = φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618（黄金比）

(4)

具体的に計算：

• d₁ = F₂² - F₁ · F₃ = 1 - 1 · 2 = -1
• d₂ = F₃² - F₂ · F₄ = 4 - 1 · 3 = 1
• d₃ = F₄² - F₃ · F₅ = 9 - 2 · 5 = -1
• d₄ = F₅² - F₄ · F₆ = 25 - 3 · 8 = 1

予想：dₙ = (-1)ⁿ

証明：

一般項を用いると：

dₙ = Fₙ₊₁² - Fₙ · Fₙ₊₂

= [(φⁿ⁺¹ - ψⁿ⁺¹)² - (φⁿ - ψⁿ)(φⁿ⁺² - ψⁿ⁺²)] / 5

分子を展開・整理すると（第4問の別解と同様の計算）：

= (φψ)ⁿ(φ - ψ)² / 5 = (-1)ⁿ · 5 / 5 = (-1)ⁿ

dₙ = (-1)ⁿ（カッシーニの恒等式）

京都府立医科大学 数学攻略のための学習計画

高3春〜夏（基礎固め期）

• 数学I・A・II・B：教科書レベルの完全理解
• 数学III：微分・積分の基本計算の習熟
• 重点分野：複素数平面の基礎、数列の漸化式
• 使用教材：青チャート、Focus Gold などの網羅系参考書

高3夏〜秋（実力養成期）

• 入試標準問題：1対1対応の演習、標準問題精講
• 証明問題の練習：論理的な記述力を養う
• 計算力強化：複雑な積分計算、統計量の計算
• 過去問研究：京府医大の傾向把握（10年分程度）

高3秋〜冬（実戦演習期）

• 過去問演習：時間を計って本番形式で
• 類題演習：他の医学部（滋賀医大、奈良医大など）の過去問
• 弱点補強：苦手分野の集中特訓
• 予想問題：模試の復習、予想問題集

直前期（1〜2月）

• 総復習：重要公式・解法パターンの確認
• 時間配分の最終調整：120分の使い方をシミュレーション
• メンタル管理：適度な休息と自信を持つこと

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藤原進之介からのメッセージ

まとめ

2016年度の京都府立医科大学数学は、以下の4つの大問で構成されていました：

1. 第1問：統計学（データの分析） - 共分散・相関係数の計算と性質
2. 第2問：複素数平面 - z + 1/z, z - 1/z の性質と図形的考察
3. 第3問：媒介変数表示と積分 - 曲線の方程式導出と回転体の体積
4. 第4問：数列と極限 - 3項間漸化式、一般項、極限、恒等式の証明

全体としてやや難〜難のレベルで、120分の試験時間に対して計算量・思考量ともに多い構成でした。合格のためには、部分点を確実に積み重ねる戦略と、数学IIIを中心とした徹底的な演習が不可欠です。

この記事で解説した内容を参考に、ぜひ過去問演習に取り組んでください。そして、さらに深く学びたい方は、数強塾・日本数学塾の無料体験をご利用ください。

皆さんの京都府立医科大学合格を心から応援しています！

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