高知大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_admin高知大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
はじめに：この記事で得られること
高知大学 2019年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、高知大学2019年度（平成31年度）の数学入試問題を、基礎の基礎から丁寧に、そして誰でも理解できる形で完全解説します。
この記事を読むと、以下の3つが手に入ります：
- ✅ 高知大学数学の出題傾向と合格戦略が明確になる
- ✅ 2019年度の全大問を段階的に完全理解できる（途中計算一切省略なし）
- ✅ 高知大学合格に直結する学習ロードマップがわかる
👨🏫 藤原先生より：「高知大学の数学は、派手な難問ではなく、基礎・標準レベルの問題をしっかり解ける力が問われます。逆に言えば、基礎をきちんと積み上げた人が勝てる試験！今日からでも必ず間に合います。一緒に頑張っていきましょう！」
セクション2：高知大学の数学 ── 入試の全体像
試験形式と基本データ
高知大学の数学入試は、学部によって出題範囲と難易度が異なります。2019年度は以下の2種類の試験が実施されました。
| 項目 | 教育学部（大問1） | 理工学部・医学部（大問2） |
|---|---|---|
| 試験時間 | 120分 | 120分 |
| 問題数 | 大問4題 | 大問4題 |
| 範囲 | 数学Ⅱ・数学B | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B |
| 難易度 | 標準レベル | 標準〜やや難 |
| 解答形式 | 記述式 | 記述式 |
偏差値帯と求められる数学レベル：
- 教育学部：偏差値45〜55程度。教科書レベルの基礎をしっかり固め、標準問題が解ければ十分。
- 理工学部（数学受験）・医学科：偏差値55〜65程度。数学Ⅲまで含む標準〜応用問題。論述の明確さも重要。
過去10年の頻出単元ランキング（高知大学数学）
高知大学の過去問を分析すると、以下の単元が繰り返し出題されています。
| 順位 | 単元 | 出題頻度 | ポイント |
|---|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分（面積計算含む） | ほぼ毎年 | $\int_a^b f(x)\,dx$ の計算と図形応用 |
| 2位 | ベクトル・空間図形 | ほぼ毎年 | 内分点・平面の表現 |
| 3位 | 三角関数 | 高頻度 | $\sin$・$\cos$ の値計算・恒等式 |
| 4位 | 2次方程式・判別式 | 高頻度 | 解の条件・解と係数の関係 |
| 5位 | 数列・極限（理系） | 高頻度（理系） | 漸化式・$\sum$・$\lim$ |
| 6位 | 確率・場合の数 | 中頻度 | 組合せ・条件付き確率 |
| 7位 | 円・放物線と直線 | 中頻度 | 接線・面積計算 |
他大学との比較
東大・京大は「発想力・論述力」を徹底的に問う試験ですが、高知大学は「標準的な解法を正確に実行できるか」を問います。つまり、正しい手順を正確な計算で追えるかどうかが合否の分かれ目です。
会話①
🧑 生徒：「先生、高知大学の数学って、どんな単元を重点的に勉強すればいいですか？」
👨🏫 藤原先生：「高知大学で特に頻出なのは微分・積分とベクトルだよ。微分では $f'(x)=0$ となる点を求めて増減表を書き、積分では $\int_a^b \{g(x)-f(x)\}\,dx$ で面積を計算する流れをマスターすること。ベクトルでは、平面上の点を $\overrightarrow{OP} = s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$（$s+t+u=1$）と表す『平面の表現』が鉄板出題だ。2019年度もこれが大問3で出ているよ！」
基礎固めをしっかりやれば、高知大学の数学は必ず攻略できる！自信を持って進もう！
セクション3：2019年度 出題テーマ速報と分析
2019年度 大問別出題テーマ一覧
教育学部（数学Ⅱ・数学B）
| 大問 | テーマ | 分野 | 難易度 | 配点 |
|---|---|---|---|---|
| [1] | 2次方程式・三角関数・判別式 | 代数・三角 | ★★★☆☆ | 60点 |
| [2] | 微分・積分・面積計算 | 微積分 | ★★★☆☆ | 70点 |
| [3] | 空間ベクトル・内分・平面 | ベクトル | ★★★☆☆ | 60点 |
| [4] | 円と接線・2次関数・面積 | 図形・積分 | ★★★★☆ | 60点 |
理工学部・医学部（数学Ⅰ〜Ⅲ・A・B）
| 大問 | テーマ | 分野 | 難易度 | 配点 |
|---|---|---|---|---|
| [1] | 多項式の因数分解・1次式の積 | 代数 | ★★★★☆ | 100点 |
| [2] | 楕円・扇形面積・定積分 | 図形・積分 | ★★★★☆ | 100点 |
| [3] | 指数関数の対称性・数列の和・積分 | 関数・数列 | ★★★☆☆ | 100点 |
| [4] | 不等式の証明・対数・リーマン和・極限 | 解析 | ★★★★★ | 100点 |
合格ラインと得点戦略
- 教育学部：4大問で250点満点。合格には150〜160点（約60〜65%）が目安。大問[1][2][3]で安定して得点できれば、合格圏内。
- 理工学部・医学部：4大問で400点満点。合格には240〜280点（約60〜70%）が目安。大問[3]は比較的取りやすいため、ここを落とさないことが重要。
前年度との傾向変化
2019年度は、三角関数と2次方程式を組み合わせた大問[1]や、多項式の因数分解を論理的に扱う大問2-[1]など、計算力と論述力の両方が問われる問題が増えた傾向があります。特に理系は証明問題の比重が高く、丁寧な論述が求められます。
出題テーマを把握するだけで試験の8割は攻略できる！まずは全体像を頭に入れよう！
セクション4：全大問 問題・完全解説
大問1（教育学部）：2次方程式・三角関数（難易度★★★☆☆）
大問1 ─ [1]：2次方程式と判別式・三角関数
【問題文】
$k$ を実数の定数とする。2次方程式 $3x^2 + \sqrt{6}\,x + k = 0$ について、次の問いに答えよ。
- (1) この2次方程式が実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
- (2) $\theta$ を $0 \leq \theta \leq \pi$ を満たす定数とする。この2次方程式の2つの解が $\cos\theta + \sin\theta$、$\cos\theta + 2\sin\theta$ のとき、$\cos\theta\sin\theta$ の値を求めよ。
- (3) (2)のとき、$k$ の値を求めよ。
- (4) (2)のとき、$\cos 2\theta$ の値を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 判別式 | $D = b^2 - 4ac \geq 0$（実数解をもつ条件） |
| 解と係数の関係 | $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ |
| 倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 三角関数の恒等式 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
【(1) の解法ステップ】
- ステップ① 方針：判別式 $D \geq 0$ を使う。$a=3,\ b=\sqrt{6},\ c=k$ とおく。
- ステップ② 実数解をもつ条件は $D \geq 0$：
【(2) の解法ステップ】
- ステップ① 方針：解と係数の関係を使う。2つの解を $\alpha = \cos\theta + \sin\theta$、$\beta = \cos\theta + 2\sin\theta$ とする。
- ステップ② ③の両辺を2乗する：
⚠️ 注意：OCR解答では符号の取り扱いに誤りが含まれていましたが、正しくは解の和が $-\frac{\sqrt{6}}{3}$（マイナス符号あり）となります。$3x^2 + \sqrt{6}x + k = 0$ の係数 $b = \sqrt{6} > 0$ なので、$\alpha + \beta = -\frac{\sqrt{6}}{3} < 0$ です。
【(3) の解法ステップ】
- ステップ① 解の積：解と係数の関係より $\alpha\beta = \frac{k}{3}$。
- ステップ② 左辺を展開する：
- ステップ③ $\sin^2\theta$ を求める。$\cos\theta\sin\theta = -\frac{25}{54}$ より $\sin 2\theta = -\frac{25}{27}$。また、$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = \frac{2}{27}$ より：
ここで $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ と展開したので：
実は2次式を直接計算する方がシンプル：
$\sin 2\theta = -\frac{25}{27}$ なので $\cos 2\theta$ は後の(4)で求めることにして、別の分解を使う：
より単純に：
最もシンプルな方法：
よって：
【(4) の解法ステップ】
- ステップ① 倍角公式を使う：
- ステップ② $\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$ より：
- ステップ③ 符号を決定する。$0 \leq \theta \leq \pi$ かつ $\cos\theta + \sin\theta = -\frac{\sqrt{6}}{9} < 0$。
$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) < 0$ より $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) < 0$。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$ なので、$\sin < 0$ となるのは $\pi < \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$、すなわち $\frac{3\pi}{4} < \theta \leq \pi$。
このとき $\frac{3\pi}{2} < 2\theta \leq 2\pi$ なので $\cos 2\theta > 0$。
【藤原先生の解説】
2次方程式の解と三角関数を結びつけるこの問題は、解と係数の関係と三角関数の恒等式という2本柱を使うパズルです。料理で言えば、冷蔵庫にある「解の和・積」という食材を、「倍角公式」というレシピで調理していくイメージです。
最重要ポイントは、符号ミスをしないこと。$3x^2 + \sqrt{6}x + k = 0$ の係数 $b = \sqrt{6}$ は正なので、解の和 $= -\frac{\sqrt{6}}{3}$ は負になります。ここで「和は $+\frac{\sqrt{6}}{3}$」と間違えると後の計算が全て崩れます。
🧑 生徒：「(2)で $\cos\theta + \sin\theta = -\frac{\sqrt{6}}{9}$ になるのはなぜですか？解と係数の関係の式がよくわかりません。」
👨🏫 藤原先生：「解と係数の関係は、$ax^2+bx+c=0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ に対して、$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ が成り立つ公式だよ。この問題では $a=3, b=\sqrt{6}$ だから、$\alpha+\beta = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ になる。2つの解の和が $(\cos\theta+\sin\theta)+(\cos\theta+2\sin\theta) = 3\cos\theta+3\sin\theta = 3(\cos\theta+\sin\theta)$ だから、$3(\cos\theta+\sin\theta) = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ となって、$\cos\theta+\sin\theta = -\frac{\sqrt{6}}{9}$ が出てくるんだ！」
【この大問で身につく力】
判別式・解と係数の関係・三角恒等式を連携させる総合的な代数計算力と、三角関数の範囲内での符号判定能力が鍛えられる。
大問1（教育学部）：[2] 微分・積分と面積（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$p, q$ を実数の定数とする。関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx$ を考える。$y = f(x)$ で表される曲線 $C$ は点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接しているとする。
- (1) $p, q$ の値を求めよ。
- (2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めよ。
- (3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| x軸への接線条件 | $f(a)=0$ かつ $f'(a)=0$ |
| 極値の判定 | $f'(x)=0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化 |
| 面積公式 | $\int_a^b \{g(x)-f(x)\}\,dx$（$g(x) \geq f(x)$ のとき） |
| $\int (x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx$ の面積 | $= \frac{1}{6}|\beta - \alpha|^3$ |
【(1) の解法ステップ】
- ステップ① 曲線 $C$ が点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接する条件：$f(2)=0$ かつ $f'(2)=0$。
- ステップ② 条件を式に立てる：
- ステップ③ ①−②×2を計算：
②に代入：$12 - 16 + q = 0 \implies q = 4$。
【(2) の解法ステップ】
-
ステップ① $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$、$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$。
-
ステップ② $f'(x) = 0$ を解く：
- ステップ③ 増減表：
| $x$ | $\cdots$ | $\frac{2}{3}$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |
- ステップ④ 極大値を計算：
【(3) の解法ステップ】
- ステップ① 曲線 $C$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 8t + 4$。
接線の方程式：$y = f'(t)(x-t) + f(t)$
- ステップ② この接線が点 $(2, 0)$ を通る条件：
左辺を展開：
- ステップ③ $t=2$ は接点 $(2,0)$ 自身（$x$ 軸への接線）。求める接線は $t=1$ の場合：
$$f'(1) = 3 - 8 + 4 = -1 < 0$$（傾き負 ✓）
直線 $l$：$y = -x+2$
- ステップ④ 囲まれた面積を計算。$f(x) - (-x+2) = x^3-4x^2+4x+x-2 = x^3-4x^2+5x-2$。
因数分解：$x=1$ を代入すると $1-4+5-2=0$ なので $(x-1)$ が因数。
$1 \leq x \leq 2$ で $(x-1)^2 \geq 0$、$(x-2) \leq 0$ より $f(x) \leq -x+2$。
$$S = \int_1^2 {(-x+2) - (x^3-4x^
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
📲 **[プレゼント付き公式LINE（無料登録）](https://lin.ee/30k41AB)** — 無料授業・最新入試情報を配信中！
🎓 **[数強塾オンライン（sukyojuku.com）](https://sukyojuku.com)** — 藤原先生監修のマンツーマン指導
📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう
情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！
LINEに登録すると受け取れる特典 🎁
- ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
- ✅ 入試傾向の最新分析レポート
- ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
- ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから
数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！
🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう
藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！
